導數的幾何意義(切線問題)

知識回顧：

1、切線的定義：在曲線的某點A附近取點B,并使B沿曲線不斷接近A.這樣直線AB的極限

位置就是曲線在點A的切線.

(1)此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一

方面也可理解為一個動態的過程，讓切點A附近的點向Z不斷接近，當與Z距離非常小時，

觀察直線AB是否穩定在一個位置上.

(2)判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點的個數來判定。例如函數y=/

在(-1,-1)處的切線，與曲線有兩個公共點.

(3)在定義中，點8不斷接近Z包含兩個方向，Z點右邊的點向左接近，左邊的點向右

接近，只有無論從哪個方向接近，直線Z5的極限位置唯一時，這個極限位置才能夠成為在

點A處的切線。對于一個函數，并不能保證在每一個點處均有切線。例如歹=國在(0,0)處，

通過觀察圖像可知，當x=0左邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為歹=-x,而當

x=0右邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為y=x,兩個不同的方向極限位置不相

同，故y=|x|在(0,0)處不含切線.

(4)由于點8沿函數曲線不斷向Z接近，所以若/(x)在Z處有切線，那么必須在/點

及其附近有定義(包括左邊與右邊)

2、函數f(x)在點X。處的導數［(X。)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點處的切線的斜率(瞬

時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數).相應地，切線方程為y—"。)=7(x°)(x—X。).

3、從導數的幾何意義中可通過數形結合解釋幾類不含導數的點：

(1)函數的邊界點：此類點左側(或右側)的點不在定義域中，從而某一側不含割線，

也就無從談起極限位置.故切線不存在，導數不存在；與此類似還有分段函數如果不連續，

則斷開處的邊界值也不存在導數.

(2)已知點與左右附近點的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導數.例如前

1

面例子歹=國在（0,0）處不存在導數.此類情況多出現在單調區間變化的分界處，判斷時只

需選點向已知點左右靠近，觀察極限位置是否相同即可.

（3）若在已知點處存在切線，但切線垂直x軸，則其斜率不存在，在該點處導數也不存

在.例如：>=正在（0,0）處不可導.

綜上所述：（1）-（3）所談的點均不存在導數，而（1.）（2）所談的點不存在切線，（3）

中的點存在切線，但沒有導數.由此可見：某點有導數則必有切線，有切線則未必有導數.

典例：

重難點題型突破1在某點的切線方程

例1.（1）、（2014?全國?高考真題（理））曲線y=在點（1,1）處切線的斜率等于（）.

A.2eB.eC.2D.1

2

（2）、（2021?全國高三月考（文））函數〃x）=21nx+7的圖象在x=l處的切線方程為

7x

【變式訓練1-1】.（2020?河南省實驗中學高三二測）已知函數/（x）=a/+x+b,若函數

“X）在（0,/（0））處的切線方程為y=2x+3,則必的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式訓練1-2】.（2020屆四川省成都市高三第二次診斷）曲線y=%在點（1,0）處的

切線方程為（）

A.2x-y=0B.2x+y-2=0

C.2x+y+2=0D.2x—y—2,—0

【變式訓練1-31（2020屆安徽省“江南十校”高三綜合素質檢測）已知函數/（x）=lnx+x2,

則曲線y=/（%）在點（1,/。））處的切線方程為.

重難點題型突破2過某點的切線方程

2

例2.(1)、(2022?河南省淮陽中學模擬預測(理))已知/'(x)=；f一g,過原點作曲線

>=/(x)的切線，則切點的橫坐標為()

A.2孤B.-2^2C.一次D.次

(2)、(2022?全國高三專題練習)已知曲線/(》)=/在點尸(1J⑴)處的切線也是曲線

g(x)=alnx的一條切線，則。=()

A.fB.-C.e2D.—

323

【變式訓練2-1】.(2020?銅梁中學校高三期中)已知過點/(。,0)可作兩條不同的直線與曲

線C:/(x)=x/相切，則實數。的取值范圍是()

A.(-8,Y)U(O,+8)B.(0,+oo)

C.(-oo,-l)U(l,+<?)D.(-co,-l)

_.--lnx,0<x<1,

【變式訓練2-2】(2016?四川?高考真題(文))設直線li，I2分別是函數f(x)=(,

圖象上點P1，P-2處的切線，k與12垂直相交于點P,且11，b分別與y軸相交于點A,B,則

△PAB的面積的取值范圍是

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(l,+o0)

3

重難點題型突破3綜合問題

x+2

,x<0

例3.(1)、(2021?廣東實驗中學附屬天河學校)己知k為常數，函數〃x)=x-1

|lnx|,x>0

若關于X的函數g(x)=/(x)-6-2有4個零點，則實數k的取值范圍為.

(2).(2021?江西臨川一中高二月考(理))已知函數〃x)=/+6x的圖象在點處

的切線/與直線3x-y+2=0平行，若數列J的前〃項和為S“，則SZM的值為(

2021202020192018

-------C.-------D.-------

2022202120202019

/、IInx,x>1

【變式訓練3-1】.(2021?全國)已知定義在R上的函數/(x)=L-，若函數

lx—X,XS1

左卜)=/(無)+ax恰有2個零點，則實數。的取值范圍為()

A.(0,+co)u1--jB.[0,+oo)u1-j

c.[o,i)U(i,+°°)u1——1D.(-℃,-i)U(-i,o)u1—j

【變式訓—?全國.高考真題(文))已知函數小)弋二；U，若"(X",

則a的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.(-oo,l]C.[-2,1]D.[-2,0]

4

練習：

1.（2022?吉林?長春吉大附中實驗學校模擬預測）若直線y=h+b是曲線/（x）=e，-2與

g（x）=e*+2°22_2022的公切線，貝（］左=（）

10111012

B.1D.2022

10121011

2.（2022?福建泉州?模擬預測）若直線了=匕（》+1）-1與曲線y=e，相切，直線＞=白G+1）-1

與曲線＞=lnx相切，則上上的值為（）

2

A.yB.1C.eD.e

3.（2022?廣東北江實驗學校模擬預測）曲線＞=lnx+l在橫坐標為1的點處的切線方程為（）

A.x+y-l=0B.x+y+l=0C.x+y=0D.x-y=0

r2

4.（2022?江西?南昌十中模擬預測（文））己知函數/（x）=xlnx——+tx-l（teR）有兩個極值

e

點玉戶2（占＜%），則下列說法錯誤的是（）

A./＞In2—1

B.曲線y=/（x）在點（e,/（e））處的切線可能與直線1-歹=0垂直

C./（再）＜。

4

D.x+x＞—xx

x2e］2

5.（2014?全國?一模（文））已知〃x）="3+3J+2,且=則實數q的值為（）

19161310

A.—B.—C.—D.—

3333

6.（2022?江西?南昌市實驗中學一模（理））對于函數k/Xx）,若存在%,使〃/）=-/（f）,

則稱點卜。,/伉））與點（fj（-x。））是函數/（x）的一對"隱對稱點若函數

/、fInx,x＞0、一

/X=2c的圖像恰好有2對"隱對稱點”，則實數制的取值范圍是（）

\-mx-mx,x＜0

A.（0,：］B.（0,l）u（l,+?）

C.（L+sjD.（l,+℃）

7.（2022?河南新鄉?三模（理））若函數〃月=^+/+°的圖象在點處的切線方程

為y=kx+2k,則〃=（）

A.1B.-1C.0D.2

4

8.（2021?榆林市第十中學高三月考（文））若直線/與曲線/（、）=-0相切，則直線/的

5

斜率的最大值為（）

In2,In2

A.—B.1-----

22

C.1D.In2

9.（2021?南昌市豫章中學高三開學考試（文））點P是曲線y=e'+x上的點，。是直線>=2x

上的點，貝”P0的最小值為（）

A.立B.也

55

C.V5D.275

InV

10.（2021?廣東汕尾?高二期末）若直線y=x+l與曲線了=叫+。相切，貝日的值為（）

X

A.0B.-1C.1D.2

11.（2021?全國（理））已知函數/（x）=ae1nx+京，且曲線y=/（無）點（1，/⑴）處的切線

方程為y=3ex-2e,則實數。和。的值分別為（）

A.e,1B.1,eC.—,—1D.2e,—1

e

/、fInx,0<x<1

12.（2020?廣西（理））設直線R。分別是函數/'x=,圖象上點耳，已處

[~linx,x>1

的切線，且4與4垂直相交于點P，4,4分別與了軸相交于點A,B,則,g的面積的取

值范圍是（）

..（（3-ln2）「（（3-ln2）2A

A.0,1B.0,^——C.——，+<冷D.(1,+8)

v744

\7\7

（llnx\0<x?%什

13.（2021?安徽省舒城中學（理））已知函數/'（尤）=、.，右7

[f（2e-x）,（?<x<2e,

尸屏）=〃幻-6有4個零點，則。的可能的值為（）

111

A.-B.1C.-D.-

42e

_12_2xx<0,

14.（2020?渝中區?重慶巴蜀中學）已知函數/'（%）=,/.）八若函數

ln（x+l），x>0.

2

g（x）=/（x）-如"冽+§有四個零點，則實數機的取值范圍是()

A.B.e"

C.]|，"D.

6

、/、|log9>0

15.(2020?河北高三(理))已知函數/(x)=F2/、/八有兩個零點，則實數k

x+(2-1M)x+2,xW0

的取值范圍為()

A.k>2-2①或k=-^B.k<2-2叵或k=L

em2e

c.AT>2-2A/2D.左<2—2后或左=

eln2

16.（2021?安徽高二月考（理））已知函數/（x）=g（x）=31nx,若直線/與曲線

y=f（x）及y=g（x）均相切，且切點相同，求公切線/的方程為

17.（2021?山東煙臺市?高二期末）了=/與y=ln（x+a）有一條斜率為2的公切線，則

a=.

18.（2021?河南許昌?（文））曲線〃x）=xlnx-x3在點（1,〃功處的切線方程為

19.（2020?全國（理））已知曲線>=6、在點（尤"e"）處與曲線y=lnx在點（匕，1噸）處的切線

相同，貝!］（再+1）（%-1）=.

,「一若關于X的方程“*）=履-4恰

Inx,x>12

有4個不相等的實數根，則實數左的取值范圍是.

-V-_1_1

21.（2020?河南洛陽?高二期末（理））已知函數/。）=靖-］，下面四個結論：①函數〃x）

在其定義域上為增函數；②對于任意的a<0,都有③/（尤）有且僅有兩個零點；

④若了=，在點處的切線也是y=lnx的切線，則％必是/（x）的零點，其中所有正

確的結論序號是.

22.（2022?海南?模擬預測）函數“尤）=山》+3在（1J⑴）處的切線與坐標軸圍成的面積為

23.（2019?陜西?安康市教學研究室二模（理））奇函數/（x）=o?+a-2的圖象在點（1J⑴）處

的切線方程為.

24.