專題16直線與圓幾何問題題型深度剖析與總結

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................6

05核心精講?題型突破............................................................8

題型一：直線的方程8

題型二：圓的方程9

題型三：直線、圓的位置關系10

題型四：圓的動點與距離問題11

題型五：阿氏圓12

題型六：米勒定理與角度問題13

題型七：圓的數形結合14

重難點突破：與距離問題有關的最值15

差情;奏汨?日標旦祐

直線與圓是高考數學的重點內容。考查形式多為選擇題、填空題，難度中檔。常考求直線（圓）方程、

點到直線距離、判斷直線與圓位置關系，以及簡單弦長與切線問題。其中，直線方程、圓的方程、兩直線

平行與垂直關系等是基礎考點，需熟練掌握相關公式和判定方法，注重數形結合解題.

考點要求目標要求考題統計考情分析

掌握直線方程，運2024年北京卷第3題，4分

直線與方程2025年高考數學可能

用數形結合解題2023年I卷第6題，5分

會涉及直線與圓的方程，

包括直線方程的一般形

2024年甲卷（理）第12題，5分

理解位置關系，滲2023年甲卷（理）第8題，5分式、圓方程的標準形式等。

直線與圓的位置關系

透數學思想方法2023年II卷第15題，5分同時，可能會考察直線與

2022年II卷第15題，5分圓的位置關系，如相交、

相切'相離等，以及相關

圓與圓的圓的位置關掌握判定方法及

2022年II卷第14題，5分的計算和應用。

系應用

平面內到定點的距離等于

一j定長的點的集合（軌跡）

'、、叫圓.

圓的標準方程：。-0）2+0"）2=/，

圓心坐標為（。，b）,半徑為r（r>0）

圓的一般方程：Y+y,+Dx+B，+尸=0（少+上工4/>0）,

IMI心坐標為（-々，-9），半徑r=8+E7F

《圓的四種方程：一2

圓的方程

網的直徑式方程：若/（MJi）出口”隊），

則以線段45為直徑的圓的方程是（.v7rlX.\?.vJ+（廣廣『）=0

x=a+rcos0

網的參數方程:（9為參數）

j=b+rsin。

點與圓的位置關系

二什）直線與圓相交，有兩個公共點二）

直線與圓的位置關系（2）直線與圓相切，只有一個公共點;

J3）直線與圓相離，沒有公共點.

直線與圓幾何問題判斷電線/。圓C的方程組成的方程組是否右解.

題型深度剖析與總如果有解，在線八:i圓C有公共點.

行兩組實數解時，百線八J惻c相交；

結

有一組實數解時，江線八JMC相切：

無實數解時，百線/，圓C相離.

直線與圓的位置關系的判定

由圓。的圓心到直線/的距離d與圓的半徑r的關系判斷:

當*r時，直線/與同C相交；

（I何法

'1d=r時，有線/與圓6相切；

當rf>/?時，直線/與圓C相離.

（1）圓與國相交，有兩個公共點；

圓與圓的位置關系（2）圓與圓相切（內切或外切），有一個公共點；

（3）圓與圓相離（內含或外高），沒有公共點.

判斷兩圓的方程組成的方程組厘否有解.

有兩組不同的實數解時，兩圓相交；

代數法

有一組實數解時，兩圓相切；

方程組無解時，兩圓相離.

圓與圓的位置關系的判定設0a的半徑為小的半徑為/??,兩例的陰心距為d.

當公〃〈*/*1+/2時,兩國相交;

當r1+r產加寸，兩圓外切;

■何法

當，i+r2VMi寸，兩圓外離;

當1y』=耐，兩圓內切;

當匕-〃>耐,兩圓內含.

葡3

知過臨孑里?方法拈工弓

1、直線與圓的位置關系

（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關系）

圓心（a力）到直線Ax+By+C=O的距離，則d=12班+。：

VA2+B2

d<ro直線與圓相交，交于兩點尸,Q,\PQ\=.

d=ro直線與圓相切；

d>ro直線與圓相離

（2）代數方法（幾何問題轉化為代數問題即交點個數問題轉化為方程根個數）

fAx-\-By+C=0

由［（x-a）2+（y-bp=r2，

消元得到一元二次方程px2+qx+1=0，px2+qx+t=o判別式為八，貝h

A>0o直線與圓相交；

A=0o直線與圓相切；

A<0o直線與圓相離.

2、圓與圓的位置關系

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：

設兩圓a，q的半徑分別是我,廠，（不妨設尺>廠），且兩圓的圓心距為d,貝的

d<R+r=兩圓相交；

d=R+r=兩圓外切；.

302

R-r<d<R+r。兩圓相離

d=R-r=兩圓內切；

0<4<7?-廠=兩圓內含（d=0時兩圓為同心圓）

設兩個圓的半徑分別為R,r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關系可用下表來表示:

位置關系相離外切相交內切內含

幾何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd-R-rd<R-r

代數特征無實數解一組實數解兩組實數解一組實數解無實數解

公切線條數43210

3、關于圓的切線的幾個重要結論

(1)過圓/+>2=/上—*點尸(%,%)的圓的切線方程為xQx+yQy

(2)過圓(x—.產+(y—初2=/上一點尸(%,為)的圓的切線方程為

(%o-a)(x-a)+(%-b)(y-b)=r2

(3)過圓+y2+6+石,+產=0上一點尸(%,%)的圓的切線方程為

/光+為y+o?——

+“.亨+1

(4)求過圓一+丫2=/外一點尸(灰,%)的圓的切線方程時，應注意理解:

①所求切線一定有兩條；

②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論.設切線方程為y-%=代工-％),利用圓

心到切線的距離等于半徑，列出關于女的方程，求出k值.若求出的A值有兩個，則說明斜率不存在的情形

不符合題意；若求出的k值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意.

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）已知直線6+勿-"+26=0與圓C：/+/+4、-1=0交于48兩

點，貝U|AB|的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024年北京高考數學真題）圓/+/一2%+6丫=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為（）

A.72B.2C.3D.3&

3.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已矢口。是me的等差中項，直線。尤+勿+c=0與圓尤2+/+4、-1=0

交于A,8兩點，則|A卸的最小值為（）

A.1B.2C.4D.2若

4.（2024年天津高考數學真題）已知圓（x-l）2+V=25的圓心與拋物線V=2px的焦點產重合，且兩曲線

在第一象限的交點為A,則原點到直線AF的距離為.

5.（2023年新課標全國II卷數學真題）已知直線/：尤一⑺+1=0與1C:（X—1）2+/=4交于A,8兩點，寫

Q

出滿足“VABC面積為丁的m的一個值____.

6.（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）已知實數尤,V滿足/+/-4x-2y-4=0,則x—，的最大值是

（）

A.1+乎B.4C.1+3忘D.7

7.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設。為平面坐標系的坐標原點，在區域｛（無，^心/+^4^內

TT

隨機取一點，記該點為4則直線的傾斜角不大于:的概率為（）

4

A.—B.—C.—D.—

8642

8.（2023年新課標全國I卷數學真題）過點（0,-2）與圓爐+/一4%—1=0相切的兩條直線的夾角為。，則

sina=（）

A.1B.姮C.典D.逅

444

9.（2022年新高考天津數學高考真題）若直線x-y+m=0（根＞0）被圓（x-lY+（y-1）2=3截得的弦長為"?,

則加的值為.

10.(2022年新高考全國n卷數學真題)設點A(-2,3),B(0⑷，若直線A8關于丫=。對稱的直線與圓

(x+3)2+(y+2>=1有公共點，則a的取值范圍是.

11.(2022年高考全國甲卷數學(文)真題)設點M在直線2x+y-l=0上，點(3,0)和(0,1)均在“上,

則，"的方程為.

12.(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)過四點(。,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程

為.

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：直線的方程

【典例1-1】已知43,1),B(-l,2),若NACB的平分線方程為y=x+l,則AC所在直線的一般方程為一.

【典例1-2]光從介質1射入介質2發生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質2相對介質1的折射

率.如圖，一個折射率為&的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以45。的入射角從空氣中射入

點4(-2,0),該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為.

1、已知直線4：Ax+4y+G=0,直線￡\x+B2y+C2=0,貝！I/"《=4旦一人g=0,且30

(或4G—B2clw0),Z]_Ll2<=>A4+B[B?=0.

2、點到直線/：Ajc+By+C=0(A,B不同時為零)的距離d=.

A/A'+B2

..._|C,-Cd

3、兩條平行直線4：A%+4y+G=。，，2：+不丁+。2=o(A，b不同時為零)間的距離d=—.='.

VA2+B2

【變式1-1】已知過原點的直線/與圓U(X-1)2+V=4相交于A,B兩點，若[4川=￥，則直線/的方程

為.

【變式1-2】一條光線經過點A(2,3)射到直線x+y+l=。上，被反射后經過點3(1,1),則入射光線所在直線

的方程為.

I命題預測飛

1.過定點A的直線/：or+y-2a+4=0與圓G：/+y2=4交于8C兩點，點8恰好為AC的中點，寫出滿

足條件的一條直線的方程.

題型二：圓的方程

【典例2-1］如圖是一個中國古典園林建筑中常見的圓形過徑門，已知該門的最高點到地面的距離為4米,

門在地面處的寬度為4米.現將其截面圖放置在直角坐標系xQy中，以地面所在的直線為x軸，過圓心的豎

直直線為＞軸，則門的輪廓所在圓的方程為()

【典例2-2】過點尸(％,0)引圓C：Y+y2-4x=o的兩條切線，切點分別為A,B.若cos/APB=；,則過

P,A,3三點的圓的方程為()

A.(X-3)2+/=4B.x2+y2=4

C.(%—4)2+9=4或V+尸=4D.x2+(y-3)2=4+/=4

1、圓的方程

(1)圓的定義

在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓

(2)圓的標準方程

設圓心的坐標C(a,3，半徑為r,則圓的標準方程為：(x-a)2+(y-?2=/

（3）圓的一般方程

圓方程為1+/+瓜+&+尸=0,圓心坐標：（-y,-1）,半徑：r=^D2+E2-4F

【變式2-1】已知直線/與拋物線G：V=4x交于A,8兩點（B在第一象限），C是拋物線G的準線與直線/

的交點，/是拋物線G的焦點，若AC=-2AF，則以AB為直徑的圓的方程為（）

【變式2-2]“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的

fv21

交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓.若橢圓C：，+2=1（。＞0）的離心率為：，

a+1a3

則橢圓C的蒙日圓的方程為（）

A.x2+y2=19B.x2+y2=17C.x2+y2=15D.x2+y2=14

命題預測T

1.已知圓C：（x-l）2+（y-l）2=4,P為直線/:2x+y+2=。上的動點，過點尸作圓C的切線B4,切點為A,

當jR4c的面積最小時，B4C的外接圓的方程為（）

5

A.

4

5

C.

4

題型三：直線、圓的位置關系

【典例3-1】若直線/：'=履+3-左與曲線c：y=d=7恰有兩個交點，則實數%的取值范圍是（）

43

A.B.

352

無2Iy2_2尤V1

【典例3-2】在平面直角坐標系宜刀中，滿足不等式組）+2：二］的點（工》）表示的區域面積為（）

B.兀C.71-1D.兀一2

1、直線與圓的位置關系：相交、相切和相離.

2、圓與圓的位置關系，即內含、內切、相交、外切、外離.

【變式3?1】設圓C:（x-2『+（y-球=36和不過第三象限的直線/：4%+3丁-。=0,若圓。上恰有三點到直

線/的距離均為2,則實數4=（）

A.-9B.1C.21D.31

【變式3-2］已知圓M:—+,2一6y=。與圓N：（%—COS6）2+（y—sin6）2=1（0?6<2兀）交于A、3兩點，貝|

ABM（A/為圓M的圓心）面積的最大值為（）

99

A.y/2B.—C.2y/2D.—

命題預測

L設有一組圓G：（x-竟+（1左）2=公化>0）,若圓Ck上恰有兩點到原點的距離為I,則上的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（A/2-1,^+1）C.（0,72+1）D.（五-1,血+2）

題型四：圓的動點與距離問題

【典例川若實數工，滿足條件xf-，則"的范圍是（）

A.7，+8B.-oo,-C.-00,-D.

4JI4I2

【典例4-2】已知點4（-1,0）,5（1,0）,若圓（x-a『+（y—24=1上存在點尸滿足尸4尸8=3,則實數0的

取值的范圍是.

巧

解決與圓相關的長度或距離的最值問題，通常的策略是根據所涉及的長度或距離的幾何定義，借助圓

的幾何特性，通過數形結合的方法來尋找解答。

【變式4-1】已知點尸(X,y)是圓+y2一26了+2=0上一點，貝U卜+若y+1|的范圍是—.

【變式4-2】已知點尸(血,力在圓C:(x-2)2+(y-2)2=9上運動，則(%+2)2+(〃+1)2的最大值為____,最

小值為,Vm2+n2的范圍為?

命題預測I

992x+y

1.已知實數無，y滿足(尤一l)-+(y-2)2=l,則z=&②行的最小值為

題型五：阿氏圓

【典例5-1］古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現：“平面內與兩定點距離的比為

常數左(左>0且左N1)的點的軌跡是圓后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

已知點M是圓O：/+y2=i上任一點，點Q(_3,o),則;MQ|+M目的最小值為()

451—

A.1B.-C.—D.J17

33

【典例5-2】古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點的距離之比為定值彳

(X>O"W1)的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知

在平面直角坐標系xOy中，A(T,1),B(T,4),若點尸是滿足%總=彳的阿氏圓上的任意一點，點。為拋

物線C：V=i6x上的動點，。在直線x=Y上的射影為R,則|PB|+2|PQ|+2|QR|的最小值為.

一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數42>0,2.1)的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯

圓”.特殊地，當九=1時，點P的軌跡是線段AB的中垂線.

【變式5-1】古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：若動點M與兩個定點A,B的距離之比為常數2(2>0,

4"),則點M的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知

A(-1,O),B(O,1),M是平面內一動點，且制=應，則點M的軌跡方程為.若點P在圓

C:(X-2)2+/=36上，則2|刑+|冏的最小值是.

【變式5-2]已知實數十，丫滿足V+V=4,則2而一1)2+7+次+(y-以的最小值為—.

I命題預測T

1.阿波羅尼奧斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱亞歷山大時期數學三巨匠.他發現：“平面

內到兩個定點48的距離之比為定值"221)的點的軌跡是圓.”人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏

圓.已知在平面直角坐標系中，A(-3,l),8(-3,5),點尸是滿足|PB|=3|PA|的阿氏圓上的任意一點，則

該阿氏圓的方程為;若。為拋物線匚產=4彳上的動點，。在y軸上的射影為則

IPB|+3(|PQ\+\QM\)的最小值為.

題型六：米勒定理與角度問題

【典例6-1](多選題)已知點P在圓C：(x-4『+(y-5)2=5上，點A(4,0),3(0,2),則下列說法中正確

的是()

A.點尸到直線A3的距離小于6B.點尸到直線的距離大于2

47T

C.cosNAPB的最大值為二D.ZAPS的最大值為彳

【典例6-2】德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”(也稱“米勒定理”)：若點是NMON的加

邊上的兩個定點,C是。V邊上的一個動點，當且僅當VABC的外接圓與邊ON相切于點C時，/ACB最大.在

平面直角坐標系中，己知點。(2,0),E(4,0),點尸是y軸負半軸的一個動點，當NDEE最大時，DE尸的

外接圓的方程是().

A.(x-3『+(y+2@2=9B.(x-3)2+(y-2V2)2=9

C.(X+2V2)2+(^-3)2=8