考點鞏固卷23排列組合及二項式定理（七大考點）

摩考克先競

原力顯技巧及考克利依

考點01：排列數及組合數的運算

1.設4=(i+x)",紇=4+4+…4,則為。24中Y前的系數為（)

C.C；023

C24C2025

A.C2023B.20D?

2.若A/=A；+A|+A；+…+A|Q23，則M的個位數字是（）

A.3B.8C.0D.5

A4C2

3.()

3!

A.24B.60C.48D.72

4.A，-A：。的值是（）

A.480B.520C.600D.1320

5.已知a=At,6=102。，c=C?,則()

A.a<b<cB.c<b<ac.c<a<bD.b<c<a

6.不等式A：<6A>的解集是（）

A.{8}B.{8,9,10,11}C.{尤17Vx<12}D.7<x<8|

7."-N*,"<20,則(21-〃)…(100-〃)等于()

8020-nA?180

人A?^A100-nDR-^AlOO-nc.c100一〃nA

8.20x21x22x23x24表示為()

「20

A.A；：B.A；,c.。24D.C；4

9.若C；3=C；「［xeN*),則A：=()

A.5B.20c.60D.120

10.已知c"-c：=c：,貝()

A.11B.10c.9D.8

考點02:捆綁法及插空法

11.一個小型聯歡會要安排1個詩詞朗誦類節目，2個獨唱類節目，2個歌舞類節目，則同類節目不相鄰的

安排方式共有（）

A.44種B.48種C.72種D.80種

12.兩個大人和4個小孩站成一排合影，若兩個大人之間至少有1個小孩，則不同的站法有（）種.

A.240B.360C.420D.480

13.現在六個人并排站成一排，則甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率為（）

21c11

A.—B.—C.—D.——

45301510

14.甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相鄰，且乙丙不相鄰，則不同排法共有（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

15.2024年“花開刺桐城”閩南風情系列活動在泉州舉辦，包含美術、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫

筆會，文藝晚會等內容.假如在美術、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區域有2幅不同的美術作品、3

幅不同的書法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排

掛2幅，則美術作品不相鄰的概率為（）

481113

A.—B.—C.—D.—

15151515

16.已知A、B、C、D、E、尸六個人站成一排，要求A和8不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（）

種

A.186B.264C.284D.336

17.已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對身高為“高低高低高”或“低高

低高低”的隊形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數為（）

A.12B.14C.16D.18

18.二項式卜6+5］的展開式中，

把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法種數為（）

A.A；種B.A：A：種C.A：A：種D.A；A：種

19.甲乙丙丁戊5名同學坐成一排參加高考調研，若甲不在兩端且甲乙不相鄰的不同排列方式的個數為（）

A.36種B.48種C.54種D.64種

20.某年級在元旦活動中要安排6個節目的表演順序，其中有3個不同的歌唱節目和3個不同的舞蹈節目，

要求第一個和最后一個都必須安排舞蹈節目，且不能連續安排3個歌唱節目，則不同的安排方法有（）

A.144種B.72種C.36種D.24種

考點03:染色問題

21.已知正四棱錐P-ABCD,現有五種顏色可供選擇，要求給每個頂點涂色，每個頂點只涂一種顏色，且

同一條棱上的兩個頂點不同色，則不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

22.如圖，A,B,C,。為四個不同的區域，現有紅、黃、藍、黑4種顏色，對這四個區域進行涂色，要求

相鄰區域涂不同的顏色（A與C不相鄰，2與。不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（）

23.為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成AB,C,￡）,E五個部分（如圖所示），現用4種顏色的鮮花進

行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區域鮮花的擺放方案共有（）

C.24種D.12種.

24.地圖涂色是一類經典的數學問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個區域，要求相鄰區域的

顏色不能相同，則不同的涂色方法有（）種.

C.48D.24

25.用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區域A,B,C,D,E,尸涂色，要求相鄰區域涂不同顏色，則涂

26.中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創造.如圖所示的雨傘，其傘面被

傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1,2,3,…，8.現準備給該傘面的每個區域涂色，要求每個

區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域（如區域1與區域5）所涂顏色相同.若

有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.550種B.630種

C.720種D.840種

27.某植物園要在如圖所示的5個區域種植果樹，現有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區域不能種同一

種果樹，則共有（）種不同的方法.

28.五行是華夏民族創造的哲學思想.多用于哲學、中醫學和占卜方面.五行學說是華夏文明重要組成部分.

古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系.

五行是指木、火、土、金、水五種物質的運動變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，

現有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水

生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂

色方法種數有（）

韋

A.30B.120C.150D.240

29.將一個四棱錐的每個頂點涂上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，若只有5種顏色

可供使用，則共使用4種顏色的概率為（）

2342

A.—B.—C.—D.—

7775

30.如圖所示的五個區域中，中心區域是一幅圖畫，現要求在其余四個區域中涂色，有四種顏色可供選擇,

要求每個區域只涂一種顏色，相鄰區域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為（）

A.84B.72C.64D.56

考點04：倍縮法及隔板法

31.方程%1+%+退+%=9的非負整數解個數為（）.

A.220B.120C.84D.24

32.把分別寫有1,2,3,4,5,6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的卡片

超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數為（）

A.60B.36C.30D.12

33.已知w,y,zeN",且x+y+z=10,記J為x,y,z中的最大值，P傳=7）=（）

A.—B.-C.-D.—

6354

34.若方程號+馬+退+乙=8,其中3=2,則方程的正整數解的個數為（）

A.10B.15C.20D.30

35.滿足不等式lxl+1'l+lz區5的有序整數組（元,y,z）的數目為（）

A.228B.229C.230D.231

36.已知xeN*,yeN*,zeN*,則關于》，V,z的方程尤+y+z=10共有（）組不同的解.

A.C；B.C；C.D.C：0

37.在空間直角坐標系。-邛中，A（10,0,0）,5（0,10,0）,6（0,0,10）,則三棱錐。-ABC內部整點（所有坐標

均為整數的點，不包括邊界上的點）的個數為（）

A.C：°B.C；C.C；oD.Cg

38.（x+2y+z）”的展開式為多項式，其展開式經過合并同類項后的項數一共有（）

A.72項B.75項C.78項D.81項

39.學校有8個優秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則有（）種分配

方案.

A.45B.210C.21D.120

40.袋中有十個完全相同的乒乓球，四個小朋友去取球，每個小朋友至少取一個球，所有的球都被取完，

最后四個小朋友手中乒乓球個數的情況一共有（）

A.84種B.504種C.729種D.39種

考點05:平均分組及部分平均分組問題

41.某中學派6名教師到A,B,C,D,E五個山區支教，每位教師去一個地方，每個地方至少安排一名教

師前去支教.學校考慮到教師甲的家鄉在山區A,決定派教師甲到山區A,同時考慮到教師乙與丙為同一學

科，決定將教師乙與丙安排到不同山區，則不同安排方法共有（）

A.360種B.336種C.216種D.120種

42.將5本不同的書分給3位同學，則每位同學至少有1本書的不同分配方式共有（）種.

A.25B.75C.150D.300

43.有5個人到南京、鎮江、揚州的三所學校去應聘，若每人至多被一個學校錄用，每個學校至少錄用其中

一人，則不同的錄用情況種數是（）

A.90B.150C.390D.420

44.A、B、C、。、E5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有甲、乙、丙三個研學基地供選擇，

每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學校去的不同

的選擇種數共有（）

A.36種B.42種C.48種D.60種

45.甲、乙等5人去A,B,C三個不同的景區游覽，每個人去一個景區，每個景區都有人游覽，若甲、乙兩

人不去同一景區游覽，則不同的游覽方法的種數為（）

A.112B.114C.132D.160

46.大連市普通高中創新實踐學校始建于2010年1月，以豐富多彩的活動廣受學生們的喜愛.現有A,B,

C,D,E五名同學參加現代農業技術模塊，影視藝術創作模塊和生物創新實驗模塊三個模塊，每個人只能

參加一個模塊，每個模塊至少有一個人參加，其中A不參加現代農業技術模塊，生物創新實驗模塊因實驗

材料條件限制只能有最多兩個人參加，則不同的分配方式共有（）種.

A.84B.72C.60D.48

47.甲、乙等5人計劃去上海、蘇州及青島三個城市調查農民工薪資情況.每個人只能去一個城市，并且

每個城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數為（）

A.150B.300C.450D.540

48.基礎學科對于一個國家科技發展至關重要，是提高核心競爭力，保持戰略領先的關鍵.其中數學學科

尤為重要.某雙一流大學為提高數學系學生的數學素養，特開設了“九章算術”，“古今數學思想”，“數學原

理”，“世界數學通史”，“算術研究”五門選修課程，要求數學系每位同學每學年至多選三門，至少選一門，

且已選過的課程不能再選，大一到大三三學年必須將五門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式種數

為（）,

A.150種B.210種C.240種D.540種

49.為了了解雙減政策的執行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙、丁四人到三所學校進行調研，每

個學校至少安排一人，則不同的安排方法種數有（）

A.12種B.24種C.36種D.72種

50.將甲，乙等5人全部安排到A,B四個工廠實習，每人只去一個工廠，每個工廠至少安排1人，且

甲，乙都不能去A工廠，則不同的安排方法有（）

A.72種B.108種C.126種D.144種

考點06:利用分配系數求指定項或系數

11

51.的展開式中二項式系數最大的項是（）

A.第3項B.第6項C.第6,7項D.第5,7項

52.若的展開式中第6項的二項式系數最大，則其常數項為（）

A.120B.252C.210D.45

53.在。-尤『I的展開式中，二項式系數最大的項是（）

A.第〃-1項B.第〃項

C.第項與第〃+1項D.第〃項與第〃+1項

54.尤-1廣的展開式的第5項的系數是（）

A.。B.—Goc.D.Vo

55.在的二項展開式中，x的系數為（)

A.士1533

B.—C.D.

4488

56.C￡+C短+C必+-+C麓被3除的余數為（）

A.1B.2C.3D.4

已知卜的展開式中各項的二項式系數和為32,

57.則展開式中常數項為（）

A.60B.80C.100D.120

58.二項式的展開式中第4項的二項式系數為（）

A.-15B.15C.-20D.20

59.(x-yp的二項展開式中，第機項的二項式系數是（）

D「陽+1廣；總

A.5024D?^2024。?口2024D.(-1C

］（〃eN*）的展開式中二項式系數和為64,則,=（

60.若|"+工)

A.3B.4C.5D.6

考點07:二項式系數的最值及系數的最值

61.在（尤+1）”的二項展開式中，系數最大的項為尤3和尤4,則展開式中含X項的系數為.

62.若展開式的所有項的二項式系數和為256,則展開式中系數最大的項的二項式系數

為.（用數字作答）

63.已知（l+3x）"的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121,則展開式中系數最大的項為.（不

用計算，寫出表達式即可）

64.（%+1）8的二項式展開中，系數最大的項為.

65.已知++—+寫出滿足條件①②的一個〃的值_____.

@n>3,neN*；②。3之4，i=Q,1,2,n.

66.在二項式（％+1）”的展開式中，系數最大的項的系數為（結果用數值表示）.

67.若［以2_￡|6中v的系數為則°=.二項展開式中系數最大的項為.

68.已知（/+聲］的展開式中，第4項的系數與倒數第四項的系數之比為:，則展開式中二項式系數最大

的項的系數為.

69.已知（1-3尤）"展開式中第三項的二項式系數是10,則〃=,展開式中系數的絕對值最大的項

是.

70.假如卜-的二項展開式中Y項的系數是-84,則二項展開式中系數最小的項是

考點鞏固卷23排列組合及二項式定理(七大考點)

■考點手熨

排列組合及二項式定理考點04:倍縮法及隔板法

朦龍桀技巧4考點利稱

考點01:排列數及組合數的運算

1.排列的定義：

一般地，從n個不同的元素中取出m(m<n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素

中取出m個元素的一個排列.

要點詮釋：

(1)排列的定義中包括兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”.

(2)從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列.

(3)如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個

元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列.

2、排列數

L排列數的定義

從〃個不同元素中，任取也（加＜八）個元素的所有排列的個數叫做從〃個元素中取出加元素的排列

數，用符號表示.

要點詮釋:

“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指“從n個不同的元素中，任取m（m＜n）個元素，按

照一定的順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）;

2.排列數公式

A；=〃(〃—1)(〃—2)…加+1),其中n,m《N+,且mgn.

要點詮釋:

公式特征：第一個因數是〃，后面每一個因數比它前面一個少1,最后一個因數是〃-加+1,共有，〃個

因數。

3：階乘表示式

1.階乘的概念:

把正整數1到〃的連乘積，叫做〃的階乘.表示：加，即￡=〃!.

規定：0!=1.

2.排列數公式的階乘式:

n-(n—l)-(n—2)......(n—m+l)-(n—m).......2-1n\

A：=n(n—l)(n-2)???(n-m+1)=所以

(n—m)......2-1("-m)!

A根_

n(n-m)!

組合數公式:

黑1n(n-l)(n-2)???(〃-加+1)

(DC：=（加、neN+,且根＜〃）

ml

(2)C"'=-------:---(加、n&N,且〃)

ml(n-m)\+

1.設4=（1+%）",與=4+4+-?4，則B2024中d前的系數為（）

B.CC.C短3

A.C；o232024D.^2025

【答案】D

【分析】依題意，寫出與。24的展開式，利用二項式通項，寫出展開式中d前的系數，利用組合數的性質計

算即得.

2

【詳解】依題意，82024=4+4+----4ZO24=(1+X)+(1+X)4------4-(1+X)2024,

對于4=(1+無)"的通項為(+1=C：x',r=0,1,…,〃,

故與儂中'前的系數為:C；+C；+C"..+C晟=?+c：)+C+…+C'

=C：+C；+C；+…+C晟=…=C；必+c￡=C短.

故選：D.

2.若知=A；+A；+A；+…+A/，則M的個位數字是()

A.3B.8C.0D.5

【答案】A

【分析】通過發現當“25時，A：=120x...x〃可知個位數為0,再求出A；+A；+A；+A：=33即可判斷.

【詳解】：當“25時，A；；=1X2X3X4X5X...X/7=120X...X/7,

當〃25時，A：的個位數字為0,

又A；+A；+A；+A：=l+2+6+24=33,

的個位數字為3.

故選：A.

A4r2

3.()

3!

A.24B.60C.48D.72

【答案】A

【分析】根據組合數以及排列數的計算即可求解.

A4C2A\Q2

［詳解】=?=4Cj=24,

3!3!

故選：A

4.A：2-A：o的值是()

A.480B.520C.600D.1320

【答案】C

【分析】根據排列數公式計算即可.

【詳解】A：2—A：。=12x11x10—10x9x8=10(132—72)=600.

故選：C.

5.已知a=A1,b=10叫c=C，則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【分析】先借助排列數的定義與指數定義得到。與匕的關系后，借助組合數定義結合放縮可比較。與c的關

系，即可得解.

【詳解】a=20xl9xl8x...x2xl,Z?=lOxlOxlOx---x10x10,

均由20個數相乘組成，其中前兩項和最后一項比較20xl9xl<10xl0xl0,

其他項18x2<10xl0,17x3<10xl0直至Unx9<10xl0,故

40x39x38x…x22x21、,.,..…

c=--------------------<2x3o1l0x433x5-2x6x8oxllx21,

20xl9xl8x---x2xl

其中a=20xl9xl8x…x2xl里面前四項大于2x3i°x43x52x6x8xllx21中的后五項，

即20xl9xl8xl7>5x6x8xllx21,

其他項均要對應大于或等于剩余2x31°x4?x5中的每一項，故c<。.

故選：C.

6.不等式A；<6A>的解集是（）

A.{8}B.{8,9,10,11}C.{x|7<x<12}D.{x|7<x<8}

【答案】A

【分析】利用排列數公式化簡并求解不等式.

【詳解】不等式A；<6A=中，2<x<8,xeN*,化為行-您-7一^,

（8-%）!（170r-X）!

整理得尤2—19X+84<0，解得7cx<12,因此x=8,

所以不等式A；<6A「的解集是{8}.

故選：A

7.“eN*,n<20,則…（100—等于（）

A.A乳“B.A靠,C.A：］,D.A，

【答案】A

【分析】根據給定條件利用排列數公式的意義即可得解.

【詳解】因〃eN*且“<20,(21-〃)(22-〃)…(100-〃)表示80個連續正整數的乘積,

其中最大因數為100-〃，最小因數為21-〃，由排列數公式的意義得結果為A：：修，

所以(21-九)(22-H)-.-(IOO-H)=AX?.

故選：A

8.20x21x22x23x24表示為()

A.A；：B.Aj4C.《D.Cf4

【答案】B

【分析】由排列數公式求解.

【詳解】由排列數公式可得：A=4=20x21x22x23x24.

故選：B.

9.若C：3=C；*(xeN*),貝iJAf=()

A.5B.20C.60D.120

【答案】D

【分析】直接利用組合數與排列數的計算方法計算即可.

【詳解】因為C：3=C；/，由組合數的性質可得x+2x+l=13,解得x=4,

故A：=A；=5x4x3x2=120.

故選：D.

10.已知c：+「c：=C，貝打7=()

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【分析】根據組合數的性質計算可得.

【詳解】因為c：「c：=c：,所以C3=c：+c"

又C：+C=%,所以C3=C3,所以“+1=5+6,解得〃=10.

故選：B

考點02:捆綁法及插空法

相鄰問題

1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在

一起考慮.如果設計到順序，則還應考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進行計算.

2、解題步驟：

第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數

第二步：求出其余元素的排列種數

第三步：求出總的排列種數

不相鄰可畢

技巧總結

1.思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進行全排列，然后將要求不相鄰

的元素插入到已排列的元素之間，最后進行計算即可

2.解題步驟：

①先考慮不受限制的元素的排列種數

②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當種（插空法），求出排列種數

③求出總的排列種數

11.一個小型聯歡會要安排1個詩詞朗誦類節目，2個獨唱類節目，2個歌舞類節目，則同類節目不相鄰的

安排方式共有（）

A.44種B.48種C.72種D.80種

【答案】B

【分析】利用間接法，首先將五個節目全排列，減去獨唱類節目相鄰，再減去歌舞類節目相鄰，最后加上

獨唱類節目相鄰且歌舞類節目也相鄰的情況即可.

【詳解】依題意五個節目全排列有A：=120種排法；

若獨唱類節目相鄰，則有A；A：=48種排法；

若歌舞類節目相鄰，則有A；A：=48種排法；

若獨唱類節目相鄰且歌舞類節目也相鄰，則有A；A；A；=24種排法；

綜上可得同類節目不相鄰的安排方式共有120-48-48+24=48種.

故選：B

12.兩個大人和4個小孩站成一排合影，若兩個大人之間至少有1個小孩，則不同的站法有（）種.

A.240B.360C.420D.480

【答案】D

【分析】由題意可得兩個大人不相鄰，不相鄰問題用插空法即可得.

【詳解】若兩個大人之間至少有1個小孩，即兩個大人不相鄰，

故共有A：A；=24x20=480種.

故選：D.

13.現在六個人并排站成一排，則甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

45301510

【答案】B

【分析】由6人的全排列，以及插空法及甲乙丙的順序確定，從而可求甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概

率.

【詳解】6人的全排列有A。，利用插空法，將余下的三個人全排列A；A：,

則將甲、乙、丙三人插入到四個空中且他們的順序為甲乙丙一種，

又由甲、乙、丙三人的全排列有A；種，

A3A3

所以甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的排法有-^種，

A3A31

故所求概率為蘇

故選：B.

14.甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相鄰，且乙丙不相鄰，則不同排法共有（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

【答案】B

【分析】利用捆綁法，結合排列組合只是求解.

【詳解】甲乙捆綁在一起看成一個整體，與丙以外的2人全排列，有A；A：=12種，

又因為乙丙不相鄰，

所以把乙放入一共有3種，

所以一共有12?3=36種，

故選：B.

15.2024年“花開刺桐城”閩南風情系列活動在泉州舉辦，包含美術、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫

筆會，文藝晚會等內容.假如在美術、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區域有2幅不同的美術作品、3

幅不同的書法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排

掛2幅，則美術作品不相鄰的概率為（）

、4-8「13

A.—B.—C.—D.—

15151515

【答案】C

【分析】利用排列組合公式，還需要用到分類計數加法原理和分步計數乘法原理，因為遇到不相鄰問題，

還得用插空法原理.

【詳解】由題意知這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上的不同掛法有：A：種，

由于美術作品不相鄰，按以下情形分類：

①美術作品掛在第一排的不同掛法有：C；A；A；A；種；

②美術作品分掛在兩排的不同掛法有：A；C：A：A；種；

C；A；A；A；+A；C：A：A；_11

所以美術作品不相鄰的概率是:

~15

故選：C.

16.已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和8不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（）

種

A.186B.264C.284D.336

【答案】D

【分析】先考慮A和B不相鄰的排法，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，相減后得到答案.

【詳解】先考慮A和B不相鄰的排法，

將C、D、E、F四個人進行全排列，有A：種情況,

C、D、E、F四個人之間共有5個空，選擇2個排A和B,有A；種情況,

故有空號=480種選擇，

再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，

先從兩端選擇一個位置安排C,有C；種情況,

再將D、E、F三個人進行全排列，有A；種情況

最后D、E、F三個人之間共有4個空，選擇2個排A和B,有A：種情況,

故有C；A；A：=144種情況，

則要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的安排有480-144=336種情況.

故選：D

17.已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對身高為“高低高低高”或“低高

低高低”的隊形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數為（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【分析】將排法分為兩種情況討論，再利用分類加法計數原理相加即可.

【詳解】依據題意，分兩種情況討論，

情況一：高低高低高依次對應1-5號位置，規定甲在2號位，則乙在1號位或4號位，而甲，丁不相鄰，

當乙在1號位時，此時為乙甲戊丙丁，共1種，

當乙在4號位時，此時有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2種，

易得倒序排列和正序排列種數相同，故本情況共6種，

情況二：低高低高低依次對應1-5號位置，假設戊在2號位，

若丁在1號位，此時有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2種，

若丁在4號位，此時有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2種，

易得倒序排列和正序排列種數相同，故本情況共8種，

故符合題意的情況有8+6=14種，故B正確.

故選：B.

18.二項式（底+出，的展開式中，把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法種數為（）

A.A；種B.A：A；種C.A：A：種D.A；A：種

【答案】D

【分析】先利用二項式|近的展開式的通項公式求出有理項的項數，再利用插空法求解.

【詳解】二項式的展開式的通項公式為：

小=小（亞產=C"工

令l-'eZ,得r=0,2,4,6,

2

所以展開式中的有理項有4項，

把展開式中的項重新排列，先把3項無理項全排列，

再把4項有理項插入形成的4個空中，

所以有理項互不相鄰的排法種數為A；A：種.

故選：D.

19.甲乙丙丁戊5名同學坐成一排參加高考調研，若甲不在兩端且甲乙不相鄰的不同排列方式的個數為（）

A.36種B.48種C.54種D.64種

【答案】A

【分析】利用間接法，先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式

數，結合排列數運算求解.

【詳解】先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數，

所以總數為A；A；-A；A；A；=36種，

故選：A.

20.某年級在元旦活動中要安排6個節目的表演順序，其中有3個不同的歌唱節目和3個不同的舞蹈節目，

要求第一個和最后一個都必須安排舞蹈節目，且不能連續安排3個歌唱節目，則不同的安排方法有（）

A.144種B.72種C.36種D.24種

【答案】B

【分析】先排第一及最后一個節目，再排歌唱節目，最后用插空法計算即可得.

【詳解】先從3個不同的舞蹈節目選出2個分別安排在第一及最后一個，有A；種，

再將3個不同的歌唱節目排成一列，有A；種，

3個不同的歌唱節目中間有2個空，從中選1個安排最后一個節目，有C；種，

故共有A；A；C；=6x6x2=72.

故選：B.

考點03:染色問題

秒殺策略：涂色問題分步（乘法）、分類（加法）處理：盡可能多的找兩兩相鄰的區域，因為這些區域顏色各

不相同，按乘法原理涂色，再按分類涂剩余區域，一般分用剩余顏色與不用剩余顏色。

模型1：如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且

相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種。（用數字作答）

破解：兩兩相鄰最多的區域是兩個，這兩個區域涂色按乘法原理：6x5=30種，再涂剩余兩個區域，分:

用剩余顏色：4x2+4x1=12種；不用剩余顏色：1種；共6x5x（4x2+4xl+l）=390種。

模型2：如圖，一環形花壇分成A、B、C、D四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花,

且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）

A.96B.84C.60D.48

破解：共有：4x3x（四種顏色：2x1+三種顏色：2xl+2xl+兩種顏色：1）=84）種，

選B。

21.已知正四棱錐尸-ABCD,現有五種顏色可供選擇，要求給每個頂點涂色，每個頂點只涂一種顏色，且

同一條棱上的兩個頂點不同色，則不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

【答案】B

【分析】分三種情況，用三種顏色，四種顏色，五種顏色，求出每種情況數相加得到答案.

【詳解】當只用三種顏色時，AC同色且反。同色，

5種顏色選擇3種，且有A；=60種選擇，

當只用四種顏色時，AC同色或反。同色，

從5種顏色中選擇4種，再從AC和6。中二選一，涂相同顏色，

故有C：C；A：=240種選擇，

當用五種顏色時，每個頂點用1種顏色，故有A；=12。種選擇,

綜上，共有60+240+120=420種選擇.

故選:B

22.如圖，A,B,C,D為四個不同的區域，現有紅、黃、藍、黑4種顏色，對這四個區域進行涂色，要求

相鄰區域涂不同的顏色（A與C不相鄰，8與。不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（）

【答案】B

【分析】由排列組合以及分類加法計數原理求解個數，即可由古典概型概率公式求解.

【詳解】使用4種顏色給四個區域涂色，有A：=24種涂法；

使用3種顏色給四個區域涂色，共有2C：C；A；=48種涂法；

（使用3種顏色給四個區域涂色有兩類情況：①區域A與區域C涂同一種顏色，區域B與區域D涂另外2

種顏色；

②區域B與區域D涂同一種顏色，區域A與區域C涂另外2種顏色）

使用2種顏色給四個區域涂色，共有A；=12種不同的涂法.

121

所以所有的涂色方法共有24+48+12=84（種），故使用2種顏色給四個區域涂色的概率為正=,.

故選：B

23.為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成AB,C2E五個部分（如圖所示），現用4種顏色的鮮花進

行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區域鮮花的擺放方案共有（）

C.24種D.12種.

【答案】A

【分析】滿足條件的涂色方案可分為鳳。區域同色，且和其它區域不同色和CE區域同色兩類，且和其它

區域不同色，結合分步乘法計數原理，分類加法計數原理求解即可

【詳解】滿足條件的擺放方案可分為兩類，

第一類區域同色，且和其它區域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區域A有4種方法，

第二步，擺放區域有3種方法，

第三步，擺放區域C有2種方法，

第四步，考慮到區域4瓦C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區域E有1種方法，

由分步乘法計數原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

第二類，CE區域同色兩類，且和其它區域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區域A有4種方法，