第02講平面向量的數量積

（7類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標表示平面向量線性運算的坐標表示

數量積的運算律

2024年新II卷,第3題,5分已知數量積求模模長的相關計算

垂直關系的向量表示

向量垂直的坐標表示

2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標表示

利用向量垂直求參數

2023年新II卷,第13題,5分數量積的運算律向量的模長運算

2022年新H卷，第4題,5分數量積及向量夾角的坐標表示平面向量線性運算的坐標表示

坐標計算向量的模

2021年新I卷，第10題,5分數量積的坐標表示逆用和、差角的余弦公式化簡、求值

二倍角的余弦公式

2021年新II卷，第15題,5分數量積的運算律無

2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數量積無

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度不定，分值為5分

【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積

2會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

3能用坐標表示平面向量的數量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角

4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學

和實際問題中的作用

5會用數量積解決向量中的最值及范圍問題

【命題預測】本節一般考查平面向量數量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應用，易理

解，易得分，需重點復習。

知識講解

1.平面向量的數量積

設兩個非零向量。，〃的夾角為仇記作(詞，且Oe[O/]

定義二

則數量MMIcos6叫做a與b的數量積,記作ab

|a|cos3叫做向量a在8方向上的投影，

投影

|Z?|cos6叫做向量8在a方向上的投影

幾何

數量積ab等于a的長度⑷與8在a的方向上的投影版|cos0的乘積

意義

2.向量數量積的運算律

(l)ab=b?a.

(2)(%)?辦=2(。乃)=。?(勸).

(3)(〃+方)c=ac+辦c.

3.平面向量數量積的有關結論

已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,*),a與8的夾角為夕

結論幾何表示坐標表示

數量積⑷步|cos（叫a-b=xix2-\-yiy2

模\a\=y[a^a|a|=..+.

ab—+yiy2

aCS

夾角COSu—IIIJI°4?+.々3+次

1ali例

a±b的充要條件ab=0xix2-\-yiy2=0

|a創與同|臼的關系M?臼W|a|一\x1x2-\-y1y2\Wy]（%?+貨）（遇+次）

1.數量積運算律要準確理解、應用，

例如，a0=a-c(a#O)不能得出Z>=c,兩邊不能約去一個向量.

2.a?A=O不能推出a=0或辦=0,因為很。=0時，有可能a_LA.

3.在用⑷=而求向量的模時，一定要先求出，再進行開方.

考點一、求平面向量的數量積

典例引領

（2022?全國,圖考真題）已知向量滿足|a|=1,|）|=。-261=3,貝！Ja%=

A.-2

2.（2024?山東濰坊?三模）已知向量a=（l,2）,b=（4,—2）,c=（l㈤，若。（2。+6）=0,則實數2=

3.（2021,全國可考真題）已知向量a+6+c=0，"=1，忖=卜|=2,a-b+b-c+c-a=-

4.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，在邊長為2的等邊ABC中，點E為中線3。的三等分點（靠近點B）,

點尸為BC的中點，則FE/8=（）

1.（2023?全國?高考真題）正方形ABC。的邊長是2,E是A3的中點，則石。磯）=（

A.75C.26

2.（2024,黑龍江?二模）已知向量。=。,帆），b=（n,6）,若6=3a，貝!1"力=.

3.（2022?全國?高考真題）設向量°,6的夾角的余弦值為g,且口=1,1|=3,貝1］僅4+6）/=.

4.（2024?河北衡水?模擬預測）在中，N2AC=60，kq=6，kc|=3,AM=2"B,CN=7W,則AN-C2=

A.-9D.18

考點二、辨析數量積的運算律

典例引領

1.（2021?浙江?高考真題）已知非零向量a,b,c,則"a.c=c"是"。=b"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

2.（湖北?高考真題）已知a,6,c為非零的平面向量.甲：a-b=a-c,乙:5=c，貝U（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.（上海?高考真題）若°,b，c均為任意向量，機eR,則下列等式不一定成立的是（）

A.{a+b）+c=a+{b+c）B.{a+b）-c=a-c+b-c

C.m（a+b）=ma+mbD.（a?b）c=a（b-c）

4.（2023?全國，模擬預測）設a也c是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結論正確的是（

A.B.

C.與％垂直D.||a|-|z?||<|a-Z?|

5.（22-23高三上?江蘇揚州?開學考試）（多選）關于平面向量6,c,下列說法不正確的是（）

A.若a,c=b，貝=b

B.（〃+0）?（:=Q.c+萬

C.若a2=b?,則Q.c=b.c

D.（a?b）?0=（b??a

考點三、模長綜合計算

典例引領

1.（2022?全國,高考真題）已知向量。=（2,1）0=（-2,4）,則1-耳（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024?全國?高考真題）已知向量°,6滿足口=1,卜+2*2,且僅-2a），6,則忖=（）

A.|B.—C.3D.1

222

3.（2024?廣東肇慶?模擬預測）己知是單位向量，且它們的夾角是60.若a=q+2e2，b=幾6-e；,且

\a\=\b\,貝lM=（）

A.2B.-2C.2或一3D.3或-2

4.（2024高三下■全國?專題練習）已知向量。=（-1,2）,向量b滿足卜-0=26\且cos〈a,b〉=咚，則|b|=（）

A.非B.5C.710D.25

1.（2024?陜西榆林?二模）若向量4=。%,7找-1）,6=（夜秋,3）,|＜7|=|。|,則冽=（）

A.-4B.-3C.-20D.-2

2.（2024?陜西西安?模擬預測）已知向量￡=（“〃），M?GR,6=（0,2）,則卜+b|的最小值為.

3.（2024?廣西柳州?模擬預測）已知向量0與6的夾角為60。，且4=（1,⑹，忖=1,貝巾一2同=（）.

A.不B.75C.4D.2

4.（2024?湖南長沙?三模）平面向量a,b,c滿足：a±c,且同=卜卜3,忖=2,

貝ijL+z?+c|=_.

考點四、夾角綜合計算

典例引領

1.（2023?全國?高考真題）已知向量a=（3,l）,〃=（2,2）,貝！Jcos（〃+b,a-b）=（）

A-B.姮C.@D.至

171755

2.（2023?全國?高考真題）已知向量。也c滿足同=忖=1,同=0,且Q+Z?+C=0,則cos〈a—c,A—c〉=（）

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

3.（2022?全國?高考真題）已知向量〃=（3,4）,〃=（1,0）,。=。+仍，若＜〃,。＞=＜瓦。＞,則，=（）

A.-6B.-5C.5D.6

4（2023?河南鄭州?模擬預測）已知向量。=（百,1）,。=（根-1,3）,若向量〃，人的夾角為銳角，則實數加的

取值范圍為（）

A.(1-后+8)B.^1+3^3,4-coj

C.(1-近1+3百)(1+373,+oo)D.(l+/l+3石)(1+3"+oo)

1.（2024?山東日照?三模）已知〃和人是兩個單位向量，若卜力）=三，則向量〃與向量”―匕的夾角為（）

7171兀2兀

A.-B.-C.-D.—

6323

2.（2024?廣東江門?二模）設向量。4=（1,尤）,03=（2,無），則cos〈OA,OB〉的最小值為.

3.（2024?河北?模擬預測）平面四邊形A3CD中，點反尸分別為AD,BC的中點，|。|=2|鈿|=8,怛產|=5,

則cos(A2,￡)C)=()

4.(2024?上海,模擬預測)已知向量d,b,c滿足向==1,同=0,且a+b+c=0,貝!Jcos(a-c,6-c)=

考點五、垂直綜合計算

典例引領

I__________________

1.(2024?全國?高考真題)設向量2=(x+l,x)出=(苑2),則()

A."x=-3"是"a_L6"的必要條件B."x=-3"是的必要條件

C."x=0"是"66"的充分條件D.“x=T+石"是"a//6"的充分條件

2.(2024?全國?高考真題)已知向量。=(0,1),6=(2,x),若/(方-44),則工=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.(2023?全國?高考真題)已知向量a=(l,1),6=(1,-1),若(a+樹，,+聞，則()

A.%+//=1B.%+4=-1

C.加=1D.%〃=-1

1.（2024?廣西?三模）已知向量a=（-l,3）M，b,那么向量b可以是（）

A.（1,3）B.[C.（3,-1）D.（3,1）

2.（2024?浙江臺州?二模）已知平面向量展=（2,1）,U（-2,4）,若（2〃+。）“貓叫，則實數人（）

A.-1B.-2C.1D.2

3.（2023?浙江寧波?一模）若是夾角為60°的兩個單位向量，/la+Z?與-3a+2Z?垂直，則4=（

4.（2024?安徽合肥?模擬預測）已知向量。=（2j）,b=（1,2）,若當￡=%時，Q1=問?忖，當，=時，alb，

貝IJ（）

A.%=-4,^=-1B.%=-4,J=1

C.「4,12=-1D.。=4,J=1

考點六、求投影向量

典例引領

1.（2024?山東青島?二模）已知向量方=（-1,2）,6=（—3,1）,則a在b上的投影向量為（）

311下2小、（3M麗）

A.(-包)B.(--,1)丁FD.

2.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知向量a/滿足同=2,6=（3,0）,卜-小師，則向量“在向量B方向

上的投影向量為（）

A.［川B.C.［別D.（1,0）

3.（2024?安徽馬鞍山?模擬預測）已知平面向量4與。滿足：a在〃方向上的投影向量為,6在d方向上

4

的投影向量為a,且|4=2,則忖=（）

A.小B.2C.D.4

ABAC1ABAC1

4.（2024?湖南長沙?模擬預測）已知非零向量AB與AC滿足rn+i一IBC=0,且則向

〔網|呵\AB\|ACI2

量C4在向量C3上的投影向量為（）

3131

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

2222

1.（23-24高三下?湖北?開學考試）已知e是單位向量，且|2e-4=a+2e在e上的投影向量為5e,則〃

與?的夾角為（

2.（2024?浙江紹興?三模）若非零向量a,b滿足同=忖=,+可，則。+26在6方向上的投影向量為（）

31r

A.2bB.—bC.bD.—b

22

3.（2024?全國?模擬預測）已知向量。=（2,m），/?=（〃/），c=（m+l,-l）,若a_Lb，bile，貝Ub在a+c上

的投影向量為（）

4.（2024?新疆喀什?二模）在直角梯形ABC。中，4）//8。且5。=24）,46，旬,4?與&）交于點0,則向

量50在向量胡上的投影向量為（）

11?3

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

5.（2024?山東荷澤?模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，0A=（1,指），點B在直線x+也y-2=0上，則

在OA上的投影向量為（）

fl回

A.小⑹B.(1,3)HR

考點七、數量積范圍的綜合問題

典例引領

1.（湖南?高考真題）設db均是非零向量，且忖=2愀，若關于x的方程/+卜卜+。2=0有實根，則°與萬

的夾角的取值范圍為（）

71712兀71

A.B.3,71C.D.

0

2.（2022?北京?高考真題）在，ABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.P為ABC所在平面內的動點，且PC=1,

則的取值范圍是（）

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

3.（2023?全國?高考真題）已知O的半徑為1,直線B4與CO相切于點4直線PB與。交于2,C兩點,

。為BC的中點，若「。|=0,則P4PD的最大值為（

A.21+2近

B.

22

C.1+V2D.2+72

己知同=問=（）（）則卜-的取值范圍是（）

4.（2024IWJ二?全國?專題練習）W=2,1,a-c-b-c=0,N

近-1近+1

A.[V6-1,V6+1]

2'2

-s/6-1y[6+1

C.[T7-1,A/7+1]

1.（2024?河北唐山?二模）已知圓C：X2+（J；-3）2=4,過點（0,4）的直線/與無軸交于點尸，與圓C交于A,

3兩點，則CP（C4+C8）的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2]D.[0,2）

2.（2024?天津河北?一模）ABC是等腰直角三角形，其中A3,AC』=尸是,ABC所在平面內的一點,

若CP=XCA+〃C8（2>0,//>0>2+2//=2）,則以在門上的投影向量的長度的取值范圍是（）

3.（2024?全國?模擬預測）已知a,b,c為單位向量，且13a-5司=7,貝力2a-c|+|b-2d的最小值為（）

A.2B.26C.4D.6

22

4.（2024?山東日照?一模）過雙曲線上—匕=1的右支上一點尸，分別向G：（%+4）2+/=3和

412

6：（%-4>+y2=i作切線，切點分別為"，N,貝（）（尸加+9）?碗的最小值為（）

A.28B.29C.30D.32

『I好題沖關

一、單選題

1.(2024?重慶?三模)已知向量a=(3,1),6=(-2,x),若a，(a+b),則18|=()

A.2B.3C.2A/5D.

3

2.（2024?北京大興?三模）已知平面向量a=（l,〃z）,b=（2,-2m）,則下列結論一定錯誤的是（）

l

A.allbB.aLbC.W=2忖D.a-b=（l,-3m）

3.（2024?黑龍江?模擬預測）已知向量|a|=3,|a-6=|。+26|,則|2+加=（）

A.gB.2C.6D.3

4.（2024?湖南?模擬預測）已知平面向量a=（-l,2）,6=（3,4）,則°在》上的投影向量為（）

5.（2024?陜西安康?模擬預測）已知向量為單位向量，|c|=唐且a+6+c=0，則a與b的夾角為（）

6.（2024?陜西安康,模擬預測）若平面向量滿足時=0料=1,卜+川=百，則向量。力夾角的余弦值為

7.（2024,江蘇泰州?模擬預測）在平行四邊形ABCD中A=45,AB=1,AD=0,若4尸=AB+xAD（xeR）,則

網的最小值為（）

A—B.專

C.1D.0

二、填空題

8.（2024?陜西?模擬預測）如圖是某人設計的正八邊形八角窗，若。是正八邊形ABCOEFGH的中心，=1,

則ACCO.

9.（2024?四川內江?模擬預測）已知向量2=（-4,附,6=（1,-2）滿足（0-26），》，則機的值為.

10.（2024?重慶三模）已知正方形ABC。，邊長為1,點E是8c邊上一點，若BE=2CE,貝！］AE.CE=.

一、單選題

1.（2024?福建泉州?模擬預測）若平面向量a,b滿足卜卜W,且，=g時，口-H取得最小值，則@6）=（）

2.（2024?天津北辰?三模）在ABC中，=。為，ABC外心，且AO.AC=1，則，ABC的最大值

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.（2024?四川內江?模擬預測）曲線C的方程為y2=4x,直線/與拋物線C交于A,8兩點.設甲：直線/與

過點（1，。）；乙：OAOB=-3（。為坐標原點），則（）

A.甲是乙的必要不充分條件B.甲是乙的充分不必要條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

4.（2024?四川成都?模擬預測）設向量6滿足（a-+且2同=3,卜0,則cos<a/>=（）

1313

A.—B.—C.—D.—

6868

5.（2024?陜西銅川?模擬預測）在ABC中，BABC=-BC,^a=-AB+-AC,b=-AB+-AC,

23344

25

c=-AB+-AC,貝！|（）

77

A.碼>間>同B.|i|>|a|>|?|C.|d|>|c|>|z?|D.同>同>網

6.（2024?四川成都?三模）在矩形A3CD中，AB=5,AO=4,點E滿足2AE=3EB,在平面ABCD中，動

點尸滿足尸E?尸8=0，則DP-A3的最大值為（）

A.我+4B.741-6C.2而+4D.2713-6

二、多選題

7.（2024?浙江,模擬預測）已知向量a,b的夾角為三，且同=1,忖=2,貝I］（）

A.(a-b^LaB.|d+/?|=V7

在的方向上的投影向量為

C.|24+,=網D.ab36

4

8.（2024?新疆?三模）已知點0（0,0）,A（2,l）,8（1,2）,尸（cosa,sina）（OWa<2;i）,則下列結論正確的是

兀_3兀

A.若"=3，則B.若M//OP，則”彳

124

C.若A30P=——，sin2a=—D.的最大值為6+1

525

9.（2024?廣東江門?三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算，*扇聯|山，心［〉，其中〈。,力表示的

夾角，則對于兩個非零平面向量3,6,下列結論一定成立的有（）

A.“在b上的投影向量為|a|sin〈a,?-2

\b\

B.斜力了+而辦/口加

C.X(Q*8)=(2a)*辦

D.若〃*Z?=0,則allb

三、填空題_

10.（2024?天津河東?二模）如圖所示，正方形ABC。的邊長為歷，正方形EFGH邊長為1,則AE-AG的

值為.若在線段上有一一個動點M,則ME.MG的最小值為.

1.（2024?北京?高考真題）設a,b是向量，貝廣（。+6｝（"6）=0"是"。=_6或a=b"的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?天津?高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段。的三等分點，

1uuruuruufl

CE=-DE,BE=ABA+^BC,則彳+〃=；/為線段BE上的動點，G為AF中點，則A尸.OG的最小值

為.

3.(2023?天津?局|考真題)在dABC中，BC=1,NA=60,4。=/24仇。石=5。￡),記245=〃,4。=/2，用Q,Z?

表示AE=;若BF=3BC,則A/的最大值為.

4.（2023?全國?高考真題）已知向量〃，力滿足,一司=6,k+司=卜〃一W,則忖=

5.（2023?北京?高考真題）已知向量4,6滿足。+>=（2,3）,。-6=（-2,1）,則|〃|2一|切2=（）

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2022?全國,高考真題）已知向量。=（九3）,。=（1,機+1）.若0，人貝打”=.

7.（2022?全國?高考真題）設向量°,6的夾角的余弦值為g,且忖=1,1|=3,貝l］（2a+6）?6=

8.（2022?全國?高考真題）已知向量之6滿足|a|=l,g|=g,|a-2/=3,則°力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

9.（2022?天津?高考真題）在ABC中，C4=a,C5=。，。是AC中點，C5=23石，試用表示O石為

若AB工DE，則/ACB的最大值為

10.（2021?全國?高考真題）已知向量Q=（1,3）,〃=（3,4）,若（a_L〃，則2=.

11.（2021?全國?高考真題）若向量4,6滿足卜卜3,卜一0=5,〃?。=1,則網=.

12.（2021?全國?高考真題）已知向量a=（3,l）,b=（l,0）,c=a+H?.若〃_Lc，貝!!左=

13.（2021?浙江?JWJ考真題）已知非零向量〃，反則"a.c=〃.c"是"a=心"的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

14.（2021?天津?高考真題）在邊長為1的等邊三角形A5C中，。為線段5C上的動點，且交A3

于點E.。尸〃且交AC于點尸,則|25月+OF|的值為；的最小值為.

15.（2021?全國司考真題）已知向量a+0+c=0，忖=1，"二=2,a-b+b-c+c-a—-

16.（2021?浙江?高考真題）已知平面向量〃）,（?,（°力0）滿足卜|=1刎=2,〃?〃=0,（4-6卜。=。.記向量1在。*

方向上的投影分別為％,乃d-4在c方向上的投影為z,則V+y2+z2的最小值為.

17.（2021?全國?高考真題）（多選）已知。為坐標原點，點《（cosa,sina）,鳥（cos⑸-sin/?）,

4（cos（a+/?）,sin（a+￡））,A（l,0）,則（）

A.|。耳=|網B.\AP］=\AP2\

C.OXOP^=OPxOP2D.OAOP^OP^OPi

18.（2020?全國?高考真題）設向量a=（1,-1）,萬=（m+1,2根-4）,若］_LZ>,則機=.

19.（2020?全國?高考真題）設〃力為單位向量，且|〃+切=1,貝!J|a-口=.

20.（2020?全國?高考真題）已知單位向量〃，匕的夾角為60。，則在下列向量中，與匕垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a-b

21.（2020?北京?高考真題）已知正方形ABC。的邊長為2,點P滿足AP=g（A5+AC）,則|尸。|=：

PBPD=

22.（2020?浙江?高考真題）設c,02為單位向量，滿足|2q-e2|v0,a=ex+e2,b=3q+e；,設°,b的

夾角為。，則cos?。的最小值為.

23.（2020?山東?高考真題）己知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則APAB的取值范圍是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

24.(2020?全國?高考真題)已知向量a,6滿足|a|=5,\b\=6,d-b=-6>貝1kos<a,a+b>=()

31-19-17-19

AA.——B.——C.—D.——

35353535

3

25.(2020?天津?高考真題)如圖，在四邊形ABC。中，ZB=60°,AB=3,BC^6,S.AD=ABC,ADAB=——,

2

則實數4的值為，若KN是線段2c上的動點，且|MN|=1,則O0.DN的最小值為.

第02講平面向量的數量積

（7類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標表示平面向量線性運算的坐標表示

數量積的運算律

2024年新II卷，第3題,5分已知數量積求模模長的相關計算

垂直關系的向量表示

向量垂直的坐標表示

2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標表示

利用向量垂直求參數

2023年新II卷，第13題,5分數量積的運算律向量的模長運算

2022年新II卷，第4題,5分數量積及向量夾角的坐標表示平面向量線性運算的坐標表示

坐標計算向量的模

2021年新I卷，第10題,5分數量積的坐標表示逆用和、差角的余弦公式化簡、求值

二倍角的余弦公式

2021年新H卷，第15題,5分數量積的運算律無

2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數量積無

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度不定，分值為5分

【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積

2會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

3能用坐標表示平面向量的數量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角

4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學

和實際問題中的作用

5會用數量積解決向量中的最值及范圍問題

【命題預測】本節一般考查平面向量數量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應用，易理

解，易得分，需重點復習。

知識講解

1.平面向量的數量積

設兩個非零向量a,方的夾角為仇記作(叫，且Je[o，T

定義

則數量MMIcos3叫做a與b的數量積，記作ab

|a|cos6叫做向量a在萬方向上的投影，

投影

|Z>|cos6叫做向量〃在a方向上的投影

幾何

數量積ab等于a的長度⑷與8在a的方向上的投影版|cos0的乘積

意義

3.向量數量積的運算律

(2)(4。)?辦=%>》)=a?(勸).

(3)(a+》)c=ac+"c.

3.平面向量數量積的有關結論

已知非零向量a=(xi,yi),8=(x2,>2),a與1的夾角為夕

結論幾何表示坐標表示

數量積|a||Z>|cos（叫a-b=xiX2+yiy2

模\u\=7|a戶.%?+完

_ab%1.2+11月

夾角COSu—IiiiiC°S山?+.々二+貢

a±b的充要條件ab=0xix2~\-y\y2=0

|a?臼與|a||臼的關系|a創W|aM|\x1x2-\-y1y2\（%?+丁彳）（送十支）

2.數量積運算律要準確理解、應用，

例如，a^=a-c(aWO)不能得出8=c,兩邊不能約去一個向量.

2.a仍=0不能推出a=0或8=0,因為a仍=0時，有可能a_LZ>.

3.在用⑷=訴求向量的模時，一定要先求出解再進行開方.

考點一、求平面向量的數量積

典例引領

1.(2022?全國?高考真題)已知向量°力滿足|a|=l,|b|=6,|a-2b|=3,則1%=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據給定模長，利用向量的數量積運算求解即可.

【詳解】解：回|。一2切2=|°|2-44力+4網2,

又即。|=1,聞=后|。-26|=3,

09=l-4fl-&+4x3=13-4a-Z?，

團〃力=1

故選：C.

2.(2024?山東濰坊?三模)已知向量a=(l,2),b=(4,-2),c=(l,X),若c(2a+6)=0,則實數2=

【答案】-3

【分析】根據向量線性運算和數量積公式得到方程，求出答案.

【詳解】2辦)=(2,4)+(4,-2)=(6,2),

c(2a+6)=(l">(6,2)=6+22=0,

解得4=-3.

故答案為：-3

3.(2021?全國考真題)已知向量〃+b+c=0，=1，"=k|=2,a-b+b-c+c-a=.

9

【答案】-耳

【分析】由已知可得(〃+b+c『=0,展開化簡后可得結果.

【詳角軍】由已知可得(Q+0+c)=J+//+J+2(Q.b+b.0+c.Q)=9+2(a./?+b.c+c.Q)=0,

————9

因止匕，a-b+b-c+c-a=——.

a

故答案為：-彳.

4.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，在邊長為2的等邊ABC中，點E為中線3。的三等分點（靠近點B）,

點廠為BC的中點，則（）

【答案】D

【分析】由平面向量數量積公式以及平面向量基本定理求解結果.

【詳解】由已知有18Al=2,|BC|=2,ZABC=60°,

所以BABC=|BA||8C|COS/ABC=2X2XL=2.

2

已知。是AC的中點，則3。=」（胡+20，BE='BD=L（BA+BC）,BF=FC=LBC,

2362

所以尸￡=防-8/=」（胡+36-』"」班-！8。，

6263

RllJFEFB=|-BA--BC||--BC|=-—BABC+-BC2=--x2+-x4=-.

（63八2J1261262

故選：D.

1.（2023?全國?高考真題）正方形ABC。的邊長是2,E是的中點，則石（：磯）=（）

A.小B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【分析】方法一：以為基底向量表示EC,即，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進而根據數量積的定義運算求解.

【詳解】方法一：以為基底向量，可知/4=/。|=2,45乂。=。，

umuurumiuunuumuunuiruumiuunuum

則EC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=一一AB+AD,

22

mmUUBI（iuuauumA（iuuauumAiuun?uum2

所以EC?ED=5A5+AO]—2A