2025屆高考數學二輪復習專題卷點、直線、平面之間的位置關系

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。一、單項選擇題：本大題共8小題，

每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正

確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.如圖，正方體ABC。—44G2的棱長為1,尸為側面BCG4內的動點，"=◎,Q在對角

___..

線4。上，且4。=手4。，則PQ的最小值為（）

C.1+V2D.72-1

2.設a,/3,丫是三個不同的平面，%/是兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若_1_/?,僅ua,/_L，,則mniB.若mua,lu廿,all/3，則mill

C.若tz_L/?,tz，=根，/J_根,則/_L，D.若op|，=/,m〃/,wi_L/,則tz_L/

3.已知直線772J_平面。，則“直線〃_1_加”是“〃〃口”的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.在正方體ABC。—AB'C'。'中，若點尸（異于點B）是棱上一點，則滿足PB和AC'所成的角為

45°的點尸有（）

A.6個B.4個C.3個D.2個

5.已知正四棱錐P-A5CD的各棱長均相等，點E是的中點，點尸是PC的中點，則異面直線

OE和5歹所成角的余弦值是（）.

11c亞2

A.-B.-D.-

32.33

6.已知九〃是空間兩條不同的直線，a,13是空間兩個不重合的平面，下列命題為真命題的是（）

A.若mua,nu。,allp廁mllnB?若mLa工n，all(3”則nil13

C.若機j_1，mlIn，e_L/?，則“〃尸D.若加J_a，則加_L〃

7.正方體ABCD-4與G。的棱長為4,點M在棱AB上，且A"=l,點尸是正方體下底面ABCD

內（含邊界）的動點，且動點尸到直線42的距離與點尸到點M的距離的平方差為16,則動點P

到8點的最小值是（）.

7

A.-B.2夜C.V6D.V2

2

8.如圖所示，ABCD-A4Gq為正方體，給出以下四個結論:

①AC1，平面C3Q;

②直線與5。所成的角為60°；

③二面角C—用2—G的正切值是6；

④AC1與底面ABCZ）所成角的正切值是J5；

其中所有正確結論的序號為（）

C.①②④D.①②

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知正方體ABC。-的棱長為1,則下列說法正確的是（）

A.直線BC［與C4所成的角為90。

B.點B與平面AC耳的距離為走

C.直線BQ與平面BBQQ所成的角為30。

D.平面AC，與平面A8CD所成的角為45。

10.已知正方體ABC。—A4G。的棱長為2,尸為棱AA的中點，貝1（）

A.直線PD1與5C所成的角為30。

B.BQ1平面AJBCJ

C.過點P且與BQ垂直的平面截正方體所得截面的面積為373

D.以尸為球心，V6為半徑的球面與側面片的交線的長度為兀

2

11.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。—A4G。中，M,N分別為棱42，A3的中點，P

為側面3CG片的一動點，下列說法正確的是（）

A.異面直線AC與BM所成角的余弦值為—

3

B.若△AGP的面積為由，則動點P的軌跡為橢圓的一部分

C.若點P到直線與直線CA的距離相等，則動點P的軌跡為拋物線的一部分

D.過直線的平面。與面ABCD所成角最小時，平面a截正方體所得的截面面積為3百

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在棱長為1的正方體ABC。—中，點E在線段ACI上（不與A,G重合），EF±AC

于RFG_LBC于G,以下四個結論:

①3C，平面所G；

②線段所與線段FG的長度之和為定值；

③△EEG面積的最大值為,；

4

④線段EG長度的最小值為叵.

2

其中所有正確的結論的序號是.

13.如圖所示，在長方體A3CD—ABIGR中，AA=AB=2,AD=1,點E,RG分別是。2，

AB,CC］的中點，則異面直線4E與G尸所成的角是.

14.若點Aw直線〃，且直線〃u平面cr,則Aa.(填合適的符號)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在直三棱柱ABC—4與。］中，AA=AB=AC=1，B］C=5

⑴證明：平面Age，平面A&g5；

(2)若。為A/中點，求平面ABC與平面BXCD夾角的正弦值.

16.如圖，在三棱柱ABC—A31cl中，A3=AC=AA=2,BA±BC'BA=BC

（1）證明：平面ABCJ_平面ACCiA；

（2）若直線45與平面ABC所成角為60。，求平面ABC與平面ABC夾角的余弦值.

17.如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,/RCD=60。,PC=PD,M,N分

別為線段DC和線段的中點.

P

（1）求證:平面平面PDC；

（2）若？6,即/，？8=1，求直線￡W與平面所成角的正弦值.

18.如圖，在幾何體ABCDE中,C4=CB，CD，平面ABC，BE//CD-BE=2CD-

（1）求證:平面ADE_L平面ABE；

（2）若C4=AB，應：=3,AB=4,在棱AC上是否存在一點凡使得石戶與平面ACD所成角的正弦

值為空?若存在，請求出的值;若不存在,請說明理由.

7AC

19.如圖ABC—451cl為直三棱柱，BCLAB,BC^AB^AA,,設。為AQ的中點.

⑴證明

(2)求二面角A-BD-C的正弦值.

參考答案

1.答案：B

解析：連接男尸，易知面BCG4,

又u面BCC[Bi,所以4片，男尸,

因為尸為側面3CG片內的動點,

且內尸|=3，|A4|=L所以14Pl=1，

即點尸在以B1為圓心，1為半徑的圓弧上,

連接用。，過。作QE〃A四交B|C于E,易知QEL面BCG4,

因為。所以翳勒扁,

又碩=事而，/q=G，困。|=四

V2

y/3—y/3X-------

所以|CE|=一蘇2-xV2^72-1,

忸目=1，故E在3cl上,

所以當尸與E重合時，歸。|最小,

號7?

又|QE|=心一旦

2

所以|PQ|最小值為2乎,

故選：B.

2.答案：D

解析：對于A選項，若,,則〃/0或/ua，無法確定"2與/的關系,錯誤;

對于B選項，根據面面平行的性質定理，缺少加〃/的條件，它們可能平行或異面,錯誤；

對于C選項，根據面面垂直的性質定理，缺少條件/utzJ，分平行、相交或/u分均有可能,錯誤;

對于D選項，若an〃=/，rn///'m±/J'J/l/，由面面垂直的判定定理可得c±Y，正確.

故選:D

3.答案：B

解析：若直線平面a,nLm,

則直線nu平面a或nila；

若直線m_L平面a,直線nila,則〃_Lm,

所以““_L加”是“3/e”的必要不充分條件.

故選：B.

4.答案：C

解析：如圖，將正方體的各個頂點（除B點外）分類，

規定當頂點與B的連線與直線AC所成的角大于等于45。時為一類，

小于45。時為一類

顯然A5,BB',CB與AC所成角的正切值為后＞1,故大于45。,

AB與AC'所成角的為90。，大于45。，

￡＞'3與AC所成角的余弦值為工，角大于45。，

3

與47所成角的正切值為正＜1,小于45。，

2

當點尸從3'運動到C時，角度從大于45。變化到小于45°,

一定經過一個點滿足45。；

以此類推，當點P在B'C,CC,O'C上運動時，

都經歷過角度從小于45。到大于45。的變化，故滿足條件的點共有3個.

故選：C

5.答案：D

解析：設AC,相交于點。，根據題意，

以。4,OB,OP所在直線分別為無軸，y軸，z軸

建立空間直角坐標系，如圖所示，

不妨設AB=4,則。4=08=2行，0P=2也,

則A（2后,0,0）,B（0,272,0）,C（-2A/2,0,0）,

D（0,-2A/2,0）,P（0,0,272）,

因為點E是己4的中點，點歹是PC的中點，

所以E（0,O,0）,F（-72,0,72）,

所以瓦=(行,2后,碼，BF=(-V2,-2A/2,A/2),

—2-8+22

則cos瓦，品=1為竺］

HM26x2也3

因為異面直線夾角的取值范圍是0,5

2

所以異面直線DE和BF所成角的余弦值是一.

3

故選:D.

6.答案：D

解析：若7〃uau/7,0〃/7,則直線m,n有可能平行,也可能異面,A錯誤;

右m.Lee,fn.Lncell13，則可能有nu（3或nil/3,B錯誤；

若m.LeemlIn,a1/3，則可能有nu（3或nil/3,C錯誤；

由可得比，為分別可作為平面a,p的法向量，

由czJ_/?，可得ffiJ_方，即得〃/_）_〃,D正確.

故選:D.

7.答案：C

解析：如圖所示，作PQLAD,。為垂足，則PQL面AD2A

過點。作則面PQR

所以依即為P到直線A2的距離

因為PR2—PQ2=RQ2=16,PR2-PM2=16

所以=

所以點尸的軌跡是以AO為準線，點M為焦點的拋物線

如圖建立直角坐標系，

貝ij點P的軌跡方程是/=2x(0<y<20)

點哈。]

所以|P8|=

所以當V=5,|P卻取得最大值幾

故選：C

8.答案：D

解析：①連接AG，

*/B[D[.LAG，BQ】J_AA{,

:.BQi，平面441c]，

ByDy_LAC,j，

同理：B°JLAG，BlDlC\BiC=Br

AC11平面CBR，故①正確；

②?；BD//BR,異面直線用。與8。所成的角是N°3]C或其補角,

?.?△4CP是等邊三角形，

ZD1B1C=60°，故②正確;

③AC1nB1D1=0，連接OC，NCOG是二面角C—BiD「G的平面角

tanNCOC]=語=行，故③不正確;

④CG，平面ABCD，

N￡AC是AG與底面ABCD所成角,

9.答案：ABC

解析：以，為坐標原點,

以2A，2。所在直線分別為了，y,z軸，建立空間直角坐標系，

A選項，則3(1,i,i),q(0,1,0),c(o,i,i),

A。,o,o)，4。,i,o)，A(I,O,I),

故國=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),C^=(l,o,o)-(o,l,l)=,(l,-l,-l)

故cos/，C\=157cAL=導上半土11=o

忸G|.HCAIvi+ixVi+i+i

故直線BC1與CA所成的角為90。；

B選項，設平面AC8］的法向量為為二(x,y,z7

n-AC=(羽y,z)-(-1,1,0)=-x+y=0

n-AB1=(羽y,z)?(0,1,-1)=y~z=0

令y=l得，x=l,z=l,故為=(1,1,1),

故點8到平面AB1的距離為d=匕?==昱，3正確;

\ii\71+1+13

C選項，因為DR_L平面ABC。，ACu平面ABCD,

所以LAC,

因為四邊形ABCD為正方形，所以

因為_8￡>n￡>Z)i=Z),BD,DRu平面BB[D]D,

所以AC，平面331。。，

故平面BB,D,D的一個法向量為AC=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0),

設直線與平面5與2。所成的角大小為，,

顯然sin。-Icos/fiCAC\|-"閭-|(T'0'T),(T/,0)|_1

故直線與平面5片。。所成的角為30。，正確.

D選項，設平面ACD]的法向量為初=(玉,x，zj,

m-AC=(玉，y1,z1)-(-l,l,0)=-x1+y1=0

m-ADi=(x1,y1,z1)-(-l,0,-l)=-x1-z1=0

令X]=l,則%=1,z1--1,故玩=(1,1,一1),

平面ABCD的法向量為日=(0,0,1),

\m-u\_|(1,1,-1)-(0,0,1)|

|m|-|w|V1+1+13，

故平面ACD｝與平面ABCD所成的角不為45°,

故選:ABC

10.答案：BCD

解析：對于A,在正方體ABCD—44GA中，^DJIB.CJIBC,

故直線PD1與所成的角即為直線PD1與所成的角，即NA。。,

「AI，則NARP不為30。，A錯誤;

在RtZ\PA2中，tan/AQP=

AA

對于B,連接4A，則

又DDX_L平面AlBiClDl,AGu平面AlBlClDl,

所以DO，,BQ口DD[=D1；

BQ,DD]u平面DDlBl,故!平面DD}By,

耳Du平面。。1月，故用。，同理可證45,4￡>,

AjQn\B=,AG，A15u平面A^G，故耳。J.平面,B正確;

對于C,由B可知用。，平面A3C],

故過點P且與B.D垂直的平面截正方體所得截面與平面43cl平行，

設AB,BC,Cq,CR,2A，的重點為。，E,F,G,H

依次連接P,Q,E,F,G,H,

可得六邊形PQEFGH為正六邊形，

而產。〃45,PQ(Z平面4BG，ABu平面A3G，故PQ〃平面ABC1，

同理可證EQ〃平面EQp\PQ=Q,

EQ,PQu面PQEFGH,

故面PQEFGHU平面AXBCX,

即過點P且與B}D垂直的平面截正方體

所得截面即為六邊形PQEFGH,邊長為血，

其面積為6x——x(0)=3月，C正確;

4

對于D,過點尸作8月的垂線，垂足為

則M為8旦的中點，且9,平面BCG用，

設以P為球心，、后為半徑的球面與側面3CG5]的交線上的點為K,則PK=Jd,

上Ku平面BCC/i，故PA/，人K,

旦MK7PK2-PM。=后4=血,

則以P為球心，V6為半徑的球面與側面BCQBi的交線為平面BCC[B[上以M為圓心,

以夜為半徑的圓弧，如圖：

由于NB[MN=ZBML=45°,故ZLMN=90°,

則交線長度為二*忘=叵，D正確，

22

故選：BCD.

11.答案：BCD

解析：

以。為原點，以ZM,DC,所在的直線分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標系，

如圖所示,可得4(2,0,0),C(0,2,0),5(2,2,0),M(l,0,2),

貝西=(-2,2,0),加7=(-1,-2,2)

?__.___.ACBM2J2

所以bosACBAf=7~尸=所以A錯誤；

11"H

AC^BMA/8XV96

設尸到AC|的距離為〃，則;MG|?丸=6,解得場=1，

所以點P位于以AG為中軸線，半徑為1的圓柱面上，

又因為P位于平面5。。|與上，

則尸位于平面BCG4與圓柱面的交線上，

根據圓柱面與平面的位置關系，

可得尸的軌跡為橢圓的一部分，故B正確；

點P到直線CR的距離等于|PCj,

即P到點G與尸到直線BC的距離相等，

根據拋物線的定義，則動點P的軌跡為拋物線的一部分，所以C正確;

取A。中點則易得MH=2,且平面A6CD,

易得當9與平面a和底面ABCD的交線垂直時，

過直線的平面a與面ABCD所成角最小，

可知TiNLAC,則平面a和底面A3CD的交線與AC平行，

此時易得平面a即為圖中的平面MQVE尸G,

其中點Q,E,F,G是所在棱的中點，

可得截面圖形為正六邊形，邊長為行，

所以其面積為4x(J5>x走x6=3豆，所以D正確.

22

故選：BCD.

GCi

12.答案：①②④

解析：

對于①，如圖，在正方體ABCD—4片。]口中，CCjJ_平面ABCD，

因CC]u平面ACC1，則平面ACC,1平面ABCD，

因平面ACGC平面A6CD=AC，所u平面ACG且即，AC，

故瓦，平面ABC。，又BCu平面ABC。，則EFL5C，

又因BCLFG，FGCEF=F，FG,EFu平面EFG，

故BC_L平面EFG，故①正確;

FFAF

對于②，由①解題思路易得及7/CC],則有——=——，即得￡尸=小人尸;

CCXAC2

又由5cG，8。，46可得45〃尸6，則有生=0￡，即得FG=R2b，

ABAC2

故得:EF+FG=^AF+^CF=^^=V

即防+FG為定值1，故②正確;

對于③，由①，已得石下，平面ABCD，因尸Gu平面ABCD，則有即，FG，

則△EEG的面積SA￡FG=-EFxFG<-x3+FGY=」,

△EFG2248

當且僅當EF=FG=-時等號成立，

2

即當EF=BG=工時，△EEG面積的最大值為」，故③錯誤；

28

對于④，由③已得上FJ_FG，則EG?=EF?+FG?+FG)=」,

22

當且僅當EF=FG=-時等號成立，

2

即當所=BG=工時，線段EG長度的最小值為正，故④正確.

22

故答案為：①②④.

13.答案：90°

解析：連接B,F,EG,?.?點E,F,G分別是D，，AB,CC1的中點,

:.EGHD[G，EG=D[C[,D^C^IIA^By,DyCi—

4耳〃EG,44=EG,四邊形A1EGBi為平行四邊形，

則GBJAE,故NB[GF或其補角即為與GF所成的角,

易得4G="閾+℃2=#+12=V2,

2

BXF=^B^+BF=VF+f=75,

GF=JCG+CBP+BF?=V3，

所以*+FG?=Bp?,所以NB]GF=90°.

故答案為：90°.

14.答案：e

解析：點Ac直線a,且直線au平面a,則Aea,

故答案為：e

15.答案：（1）證明見解析；

⑵走

3

解析：（1）在直三棱柱ABC—44G中，

故AB,=7M2+A5I2=6,故與。2=AB;+AC2-

所以ACLAg，又因為ACJ.A&，441nA4=A，

"，人與匚平面原田田，故AC,平面A41AB.

因為ACu平面AB'，所以平面A4c，平面A4耳8.

（2）因為ABu平面MqB，所以A3,AC，

所以AgLAG，所以4A，A5.-4G兩兩垂直?

以44,4G,多乂為x軸,>軸，z軸正方向建立空間直角坐標系A-孫z,

則4(i,o,o)，c(o,i,i).。[。，°，￡|，故阿反=[o,i,g

因為A4_L平面ABC，所以4了=（。,。,1）可作為平面A5C的一個法向量,

設平面4CD的一個法向量為為=（九,y,z），

x——z=0x=l

取貝」為二(

則2｛y=_l，I1,—1,2).

y+一z=0z=2

2

設平面ABC與平面與。。的夾角為。，

貝！Icos3=cos/n,=—，

\…A同1M3

所以sin。=Jl-cos"='

3

16.答案：（1）證明見解析；

⑵丸

7

解析：（1）方法1：取AC的中點。，連接AO，B0,

因為AA=AC，所以A】。LAC，且402+042=.=4,

因為ABL3C，BA=BC，。為AC的中點，所以。A=O3=OC，

所以4。2+OA2=+。臺2=4=4笈,所以A,0±BO,

因為。AnOB=O，OAu平面ABC，OBu平面ABC，所以4。，平面ABC，

因為AOu平面ACC]A，所以平面ABC_L平面ACGA.

方法2：設。為A在底面ABC的射影，則平面ABC，

因為A3=A1C=AA，所以。4=O5=OC

射影O為底面△ABC的外心，

又△ABC為直角三角形，所以°恰為斜邊AC的中點，

因為AOu平面AC￡A，所以平面ABC_L平面ACG4.

（2）由（1）可知，4。_L平面ABC，

所以A3與平面ABC所成角即為NA50，所以NA50=60°，

因為所以NABO=NAAO=60°，所以4。=用,ao=i，

因為B4=5C,。為AC的中點，所以50JLAC，

方法1：如圖所示，以。為原點，分別以麗，痂,兩所在方向為無軸、y軸、z軸正方向，建立

空間直角坐標系，

則A（0,0,⑹，c（-i,o,o）.BJTLG），

所以福=（一1,1,0），西=（o/,G），

則y=-G,x=-A/3,所以％=卜6,—6」），

易知平面ABC的一個法向量為4=（0,0,1）.

設平面ABC與平面ABC的夾角為0，所以cos。==以一=—

同?同V7xl7

所以平面與平面ABC夾角的余弦值為近.

7

方法2：如圖，過C作AB的平行線/,因為45〃4月，所以〃小片，

過。作垂足為"，

因為A。_L平面ABC，CHu平面ABC，所以

又OH_LCH，Aono〃=o，AO,OHu平面A。”，

所以CH，平面因為4〃U平面4。"，所以

所以平面AAC與平面ABC的夾角即為NA〃O，

易知0H=￡=叵，所以tanj"。-訪-萬-亞

22三

2

所以cosZA^HO=—平面431c與平面ABC夾角的余弦值為—■

17.答案：(1)證明見解析

⑵叵.

13

解析：(1)連結DB-

因為四邊形ABCD為菱形，所以6C=CD.因為ZBCD=60°，所以△BCD為正三角形.

因為M為DC中點，所以CD.

因為PC=PD且M為DC中點，所以CD，.

又因為創/。。/欣=加，3N，冏/匚平面PHW，所以CDJ_平面PBM

因為CDu平面P0C，所以平面平面PZ)C-

(2)因為CD1平面PBM，PBu平面PBM，所以CDLPB，又因為

PBJ_3"，口M，助公。<=平面ABC。,所以Q5，平面ABCD

法一:延長AD,BM交于點。，連結PQ-

因為四邊形ABC。為菱形，所以AB//CD且A5=CD.

因為M為。C中點，所以ABHDM且DM=；AB，所以。為AQ中點.

因為N為Q4中點，所以DW/PQ,

所以直線￡>N與平面PBC所成角即為直線PQ與平面PBC所成角.

VPBCO=--PB-S^BCO=-X1X(-X2^3X1]=--

設。到平面PBC的距離為h，

V-V——-h-S.=—/z|—xlx2|=—,^1^/2-yR.

pBC0orPoBCC3ZXPJTDBC3(213"YJ

在△PBQ中，PQ2=2§2+302=1+(2由『=13,則PQ=yjl3-

設PQ與平面PBC所成角為e，則Sin6=—L=e=工￡，

'PQ岳13

所以直線ON與平面PBC所成角的正弦值為叵.

13

法二:因為BALBM，PB_L平面ABCD，所以BA，BM，BP兩兩垂直.

以B為原點旅所在直線分別為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則￡＞（1,6,0）,4（2,0,0）,「（0,0,1）,。卜1,百,0）.

因為N為/%中點，所以N[1,0,g

則麗=1o,-右=BP=(0,0,1)-

設平面PBC的法向量為為=（x,y,z）,

方?一即］z=0

所以3，麗,3，配，則＜

n-BC=0-%+也〉=0

令y=l,則平面PBC的一個法向量為為=（6』,0）.

設直線DN與平面PBC所成角為0

所以直線ON與平面所成角的正弦值為我.

13

18.答案：（1）證明見解析

（2）存在,4￡=工

AC2

解析：（1）因為CD,平面ABC，且5E〃CD，

所以BE，平面ABC，

取AB的中點°，連接CO，則COu平面ABC，所以BE，CO，

又C4=CB，所以COLAB，

取AE的中點M連接0M，DM，則OMI