第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市順義區(qū)牛欄山一中板橋中學(xué)高二（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列3,5,A.第20項 B.第21項 C.第22項 D.第23項2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2=1，aA.7 B.8 C.9 D.103.函數(shù)f(x)=lnx?12x2A.(0,1] B.(?1,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)4.數(shù)列{an}中，a3=2，a7=1A.0 B.12 C.23 5.函數(shù)f(x)=ex?x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[?1,1]上的最小值是A.1+1e B.1 C.e+1 6.已知函數(shù)f(x)=x3?2ax2+aA.0或?1 B.?3或?1 C.?1 D.?37.在等比數(shù)列{an}中，已知a3=32，A.32 B.?12 C.32或6 8.若a=ln22,b=ln33,c=1e，則aA.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c9.函數(shù)f(x)=?2cosxex，x∈[?π,π]的圖象大致為A.B.C.D.10.已知函數(shù)f(x)=lnx+x3?ax，當(dāng)x∈(0,1)時f(x)≤0恒成立，則a的取值范圍是A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知數(shù)列?2，a1，a2，?8成等差數(shù)列，?2，b1，b2，b3，?812.函數(shù)f(x)=lnx圖像上一點到直線y=x的最短距離是______．13.若函數(shù)f(x)=x2+ax的圖象在點P(1,f(1))處的切線方程為y=mx+m(m∈R)，則實數(shù)14.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)<x，且f(2)=1，則不等式f(x)<12x2?115.表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為ai,j，則a7,8=

，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1，a2是a1和a4的等比中項．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列{17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=13x3?4x+1．

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)求18.(本小題12分)

A，B，C三人參加知識闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨立.已知A闖關(guān)成功的概率是23，A，B，C三人闖關(guān)都成功的概率是16，A，B，C三人闖關(guān)都不成功的概率是112．

(1)求B，C兩人各自闖關(guān)成功的概率；

(2)求A，B，C19.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，且AB=3，AD=2，側(cè)面PAD是等腰三角形，且PA=PD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求證：AP⊥平面PCD；

(Ⅱ)求側(cè)面PBC與底面ABCD20.(本小題13分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)的離心率e=32，且圓x2+y2=2過橢圓C的上、下頂點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線1的斜率為12，且直線1與橢圓C相交于P，Q兩點，點P關(guān)于原點的對稱點為21.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3?3ax2+3．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]參考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.D

7.C

8.A

9.A

10.B

11.1212.213.1

14.(2,+∞)

15.57；12

16.解：(1)數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1，a2是a1和a4的等比中項．

故a22=a1?a4，整理得(a1+d)2=a1(17.解：(1)由f(x)=13x3?4x+1得，f′(x)=x2?4，

∴f(0)=1，f′(0)=?4，

∴曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程y?1=?4(x?0)，即4x+y?1=0；

(2)令f′(x)>0可得x>2或x<?2，令f′(x)<0可得?2<x<2，

∴函數(shù)f(x)在[?1,1]上單調(diào)遞減，18.解：(1)記A，B，C三人各自闖關(guān)成功分別為事件D，E，F(xiàn)，

三人闖關(guān)成功與否得相互獨立，且滿足P(D)=23P(D)P(E)P(F)=16[1?P(D)][1?P(E)][1?P(F)]=112，

則P(F)=12，P(E)=12，

所以B，C兩人各自闖關(guān)成功的概率都是12．

(2)設(shè)A，B，19.(Ⅰ)證明：在△APD中，AD=2，PA=PD=2，

∴AD2=AP2+DP2，∴AP⊥DP，

又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，

AD⊥CD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面APD，∴CD⊥AP，

∵CD∩DP=D，∴AP⊥平面PCD；

(Ⅱ)解：取AD的中點為M，連接PM，∵PA=PD，所以PM⊥AD，

又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PM⊥平面ABCD，過點M作MG⊥BC，垂足為G，連接PG，

∴BC⊥平面PMG，∴∠PGM為側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，

在直角△PMG中，PM=12AD=1，MG=3，∴PG=20.解：(1)由題意可得b=2，e=ca=1?b2a2=32，

所以a2=8，

所以橢圓C的方程為：x28+y22=1；

(2)證明：設(shè)直線l的方程為x=2y+t，設(shè)P(x1,y1)，21.解：(1)由題意可得f′(x)=3x2?6ax，

當(dāng)a=0時，f′(x)=3x2≥0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，2a<0，

令f′(x)=3x(x?2a)>0，解得x>0或x<2a，令f′(x)<0，解得2a<x<0，

所以f(x)在(?∞,2a)，(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(2a,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，2a>0，

令f′(x)>0，解得x>2a或x<0，令f′(x)<0解得0<x<2a，

所以f(x)在(?∞,0)，(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減．

(2)存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為?1．

由(1)知，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(