2024-2025學年湖南省長沙市芙蓉區九年級（上）期末數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門基礎學科，“數學”的英文縮寫為“math”，構成“math”的四個英文字母中，屬于中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.下列事件中，屬于必然事件的是(

)A.在標準大氣壓下，水加熱到會沸騰 B.三角形的兩邊之和小于第三邊

C.經過有交通信號燈的路口，遇到綠燈 D.拋擲一塊石頭，石頭終將落地3.如圖，四邊形ABCD內接于，，則的度數是(

)A.

B.

C.

D.4.已知點，和都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是(

)A. B. C. D.5.如圖，在四邊形ABCD中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是(

)A.CA平分

B.

C.

D.6.把拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度，得到的拋物線的解析：式為(

)A. B.

C. D.7.10月10日，“竣越杯”2024湖南省青少年籃球超級聯賽在長沙市六中開幕，本屆賽事采取了主客場的賽制進行，即每兩個隊之間要進行兩場比賽.最終，來自各地的多支本土校園籃球勁旅在為期一個月的時間內展開了56場比賽.若設共有x支本土校園籃球勁旅參加比賽，則x滿足的關系式為(

)A. B. C. D.8.對于二次函數，下列說法正確的是(

)A.圖象的開口向上 B.圖象的對稱軸是直線

C.圖象的頂點是 D.當時，y隨x的增大而增大9.劉徽在《九章算術注》中首創“割圓術”，利用圓的內接正多邊形來確定圓周率，開創了中國數學發展史上圓周率研究的新紀元．某同學在學習“割圓術”的過程中，作了一個如圖所示的圓內接正十二邊形．若的半徑為1，則這個圓內接正十二邊形的面積為(

)A.1 B.3 C. D.10.如圖，在中，，點D為線段BC上一動點不與點B，C重合，連接AD，作，DE交線段AC于點

下面是某學習小組根據題意得到的結論：

甲同學：∽；

乙同學：若，則；

丙同學：當時，D為BC的中點.

則下列說法正確的是(

)A.只有甲同學正確 B.乙和丙同學都正確C.甲和丙同學正確 D.三個同學都正確二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.已知關于x的方程的一個根是3，則它的另一個根是______.12.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色，一個不透明的盒子中裝有6個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是，則盒中棋子的總個數是______個.13.如圖，在中，直徑于點E，，，則的半徑長為______.

14.如圖是二次函數的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是______.

15.如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD互相垂直，，則四邊形ABCD的面積的最大值為______.

16.如圖，在中，，點A在反比例函數的圖象上，點B，C在x軸上，，延長AC交y軸于點D，連接BD，若的面積等于4，則k的值為______.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題6分

計算：18.本小題6分

解方程：19.本小題8分

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點和點

求m，a的值，并直接寫出點B的坐標；

根據圖象可得，不等式的解集為______.20.本小題8分

某市利用各類靈活多樣的宣傳方式、各種宣傳載體，全方位開展“國家反詐中心APP”宣傳推廣活動，截至2023年底，注冊人數已達萬人.某社區工作人員為調查本社區居民對于“國家反詐中心APP”的了解情況，進行了一次問卷調查，本次問卷調查共設10個問題，每題10分，問卷調查結束后，根據問卷結果分為A：非常了解分、B：比較了解分、C：基本了解分、D：不太了解分四個等級并繪制了如下兩幅不完成的統計圖.

根據如圖所示圖標回答下面的問題：

在扇形統計圖中，A等級對應的扇形圓心角為______，補全條形統計圖；

若該社區共有居民8000人，請你估計對于“國家反炸中心APP”問卷調查得分不低于60分的人數；

為了更好的開展“國家反詐中心APP”宣傳推廣工作，社區準備招募兩名宣講人員，現有問卷調查為A的4人報名，其中男性1人，女性3人，若從中隨機選取2人，求選取的為1男1女的概率.21.本小題8分

如圖，在矩形ABCD中，，點E，F分別在邊BC、AB上，且于點

如圖1，當時，求證：；

如圖2，，若，，求AH的值.22.本小題8分

“我想把天空大海給你，把大江大河給你，沒辦法，好的東西就是想分享于你”這是直播帶貨新平臺“東方甄選”帶貨王董宇輝在推銷大米時的臺詞．所推銷大米成本為每袋40元，當售價為每袋80元時，每分鐘可銷售100袋．為了吸引更多顧客，“東方甄選”采取降價措施．據市場調查反映：銷售單價每降1元，則每分鐘可多銷售5袋，設每袋大米的售價為x元為正整數，每分鐘的銷售量為y袋．

求出y與x的函數關系式；

設“東方甄選”每分鐘獲得的利潤為w元，當銷售單價為多少元時，每分鐘獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

“東方甄選”不忘公益初心，熱心教育事業，其決定從每分鐘利潤中捐出500元幫助留守兒童，為了保證捐款后每分鐘利潤不低于3875元，且讓消費者獲得最大的利益，求此時大米的銷售單價是多少元？23.本小題8分

如圖，AB是的直徑，AC是的弦，半徑，CE交AB于點F，過點C作的切線交AB的延長線于點

求證：；

若，，求圖中陰影部分的面積.24.本小題10分

定義1：在平面直角坐標系中，點是平面內一點，我們稱的值為點P的“2024芙蓉花”.如考慮點，因為，所以點的“2024芙蓉花”為

定義2：在平面直角坐標系中，圖形G上所有點的“芙蓉花”中最大的值稱為圖形G的“2024最美芙蓉花”.

已知點P在拋物線的圖象上，且P點的橫坐標為，那么點P的“2024芙蓉花”是______；該拋物線的“2024最美芙蓉花”是______.

已知拋物線，是否存在某個合適的m的值，使得該拋物線的“2024最美芙蓉花”是若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由.

已知：①點在二次函數的圖象上，且點A的“2024芙蓉花”為；②二次函數和二次函數的“2024最美芙蓉花”相等；③AB是圓O的直徑，點C為圓O上一定點點C不與點A和點B重合以長度分別為，，的三條線段剛好能構成一個三角形，且構成的三角形剛好和三角形ABC相似.求滿足條件的a，b，c的值.25.本小題10分

如圖，四邊形ABCD內接于，對角線AC、BD交于點E且AC為直徑，延長DA、CB交于點F，連接OD，若，請回答下列問題：

求證：∽；

若，求的值；

設，與四邊形ABCD的面積之比為y，請求出y關于x的函數關系式.答案和解析：1.【答案】D

解析：解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是中心對稱圖形，符合題意；

故選：2.【答案】D

解析：解：A、在標準大氣壓下，水加熱到會沸騰，是不可能事件，故該選項不符合題意；

B、三角形的兩邊之和小于第三邊，是不可能事件，故該選項不符合題意；

C、經過有交通信號燈的路口，遇到綠燈，是隨機事件，故該選項不符合題意；

D、拋擲一塊石頭，石頭終將落地，是必然事件，故該選項符合題意．

故選：

3.【答案】B

解析：解：四邊形ABCD內接于，，

，

故選：

4.【答案】D

解析：解：點，和都在反比例函數的圖象上，

，，，

，

故選：

5.【答案】C

解析：解：在和中，，

如果∽，需滿足的條件有：

①或AC是的平分線；

②；

故選：6.【答案】A

解析：解：將拋物線向左平移2個單位所得直線解析：式為：；

再向下平移5個單位為：

故選：

7.【答案】D

解析：解：根據題意得，

故選：

設共有x個隊參加比賽，根據參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場場比賽，共要比賽56場，可列出方程．

8.【答案】C

解析：解：，

，開口向下，頂點，對稱軸是直線，

當時，y隨x的增大而減小．

故選：

9.【答案】B

解析：解：如圖，過A作于C，

圓的內接正十二邊形的圓心角為，，

，

，

這個圓的內接正十二邊形的面積為，

故選：

10.【答案】D

解析：解：在中，

，

，

，，

，

∽，

甲同學正確；

在和中，，

≌，

，

乙同學正確；

當時，

，

，

，

，

，

，

D為BC的中點，

丙同學正確；

綜上所述：三個同學都正確．

故選：11.【答案】

解析：解：由題知，

因為關于x的方程為，

所以方程的兩根之積為，

又因為方程的一個根為3，

所以方程的另一個根為

故答案為：12.【答案】24

解析：解：由題意，盒中棋子的總個數是個

故答案為：13.【答案】5

解析：解：直徑于點E，，，

，

設的半徑長為r，則，

在中，，即，

解得

故答案為：

14.【答案】或

解析：解：由圖可知，對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標為，

函數圖象與x軸的另一交點坐標為，

的解集是或

故答案為：或

15.【答案】

解析：解：設，四邊形ABCD面積為S，則，

則：，當時，；

所以，四邊形ABCD的面積最大值為

故答案為：

16.【答案】12

解析：解：作于E，連接OA，

，

，

，

，

，

∽，

，

的面積等于4，，

，

，

，

，

，

，

故答案為：17.【答案】原式

解析：根據特殊角的三角函數值、負整數指數冪、絕對值、二次根式化簡的計算方法，分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．

18.【答案】解：原方程兩邊都乘，去分母得：，

整理得：，

解得：，

檢驗：當時，，

故原方程的解為

解析：利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．

19.【答案】或

解析：解：點在一次函數的圖象上，

將，代入中，得，

點在反比例函數的圖象上，

將，代入中，得，

解得

聯立，解得：或，

點B的坐標為；

由圖象得：當一次函數的圖象位于反比例函數圖象下方，即時，或，

故答案為：或20.【答案】

解析：解：依題意，總人數：人；

A等級對應的扇形圓心角：；

B等級的人數：人；

如圖：

依題意，

“國家反炸中心APP”問卷調查得分不低于分的人數：人；

依題意，列出樹狀圖：

總共有16種結果，滿足選取的為1男1女的結果有7種，

則選取的為1男1女的概率：

21.【答案】證明：當時，，

矩形ABCD是正方形，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

；

解：在矩形ABCD中，，

，

，

，

，

，

∽，

，，，

，

解得：或舍去，

解析：根據題意可得矩形ABCD是正方形，再證明≌，即可；

證明∽，可得，從而得到，再由勾股定理，即可求解．22.【答案】解：由題意可得：

，

與x的函數關系式為；

由題意，得：

，

，拋物線開口向下，

當時，w最大，最大值4500，

答：當銷售單價為70元時，每分鐘獲得的利潤最大，最大利潤是4500元；

根據題意得：，

解得，，

為了讓消費者獲得最大的利益，

，

答：此時大米的銷售單價是65元．

解析：根據銷售單價每降1元，則分鐘可多銷售5袋，寫出y與x的函數關系式；

根據“東方甄選”每分鐘獲得的利潤w元等于每袋的利潤乘以銷售量，列出函數關系式，根據二次函數的性質求解即可；

根據“東方甄選”每分鐘獲得的利潤w元等于每袋的利潤乘以銷售量以及保證捐款后每分鐘利潤不低于3875元，列出方程，求出方程的解，再根據讓消費者獲得最大的利益，進行取值即可．

23.【答案】證明：如圖，連接OC，

為的切線，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

解：，，

，

，

，

，

解析：連接OC，根據切線的性質得到，根據等腰三角形的性質得到，證明，得到；

根據三角形面積公式、扇形面積公式計算即可．24.【答案】

解析：解：當時，，

，

，當時，，

該拋物線的“2024最美芙蓉花”是：，

故答案為：，；

假設存在，

，該拋物線的“2024最美芙蓉花”是，

，，

，

；

，點A的“2024芙蓉花”為，

，

①，

由題意得，

，，

二次函數和二次函數的“2024最美芙蓉花”相等，

，

②，

是的直