試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3.考試結(jié)束，只需上交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，，則（

）A．2 B．0 C． D．3．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比等于（

）A．或 B．或 C． D．4．已知數(shù)據(jù)，，…，的方差，則（

）A． B． C． D．5．已知，為任意正數(shù)，若恒成立，則（

）A． B． C． D．6．定義“真指數(shù)”（為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù).若函數(shù)，，則（

）A．27 B．28 C．29 D．308．若，，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．為的極小值點(diǎn)11．設(shè)曲線，直線與曲線的交點(diǎn)的可能個(gè)數(shù)的集合記為，則（

）A． B．C． D．若，則且三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．曲線在點(diǎn)處的切線方程是.13．已知是單位圓，正三角形的頂點(diǎn)，在上，則的最大值為.14．甲、乙、丙三人分別從2個(gè)不同的數(shù)中隨機(jī)選擇若干個(gè)數(shù)（可以不選），分別構(gòu)成集合，，，記中元素的個(gè)數(shù)為，則的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查100人購買情況，得到如下列聯(lián)表：新能源汽車款新能源汽車款總計(jì)男性5010女性251540總計(jì)25100(1)求；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選購該新能源汽車的款式與性別有關(guān)聯(lián)？(3)假設(shè)用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨(dú)立.若從購買者中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.附：，.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87916．已知函數(shù)（）.(1)若，求的極小值；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)的極大值為，求證：.17．在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動點(diǎn).(1)設(shè)，（?。┳C明：平面；（ⅱ）求三棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，過，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點(diǎn)，.(1)求的方程；(2)記，的縱坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率；(3)設(shè)為軸上一點(diǎn)，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．設(shè)，，…，是1，2，…，（且）的一個(gè)排列.數(shù)列滿足為，，（）的中位數(shù)，規(guī)定，.將中的所有取值構(gòu)成的集合記為.(1)當(dāng)時(shí)，求和；(2)求中所有元素之和的最大值；(3)求中元素個(gè)數(shù)的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】先求集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由或，所以，所以，故選：B.2．C【分析】利用平面向量加法與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，故C正確.故選：C3．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】，，所以，故選：C.4．D【分析】根據(jù)方差的計(jì)算公式，判斷，可判斷各選項(xiàng)的正確性.【詳解】因?yàn)椋?，即，（?即.所以.故選：D5．A【分析】先由恒成立得到，再由絕對值特性得到即可求解.【詳解】因?yàn)閷θ我獾恼龜?shù)，恒成立，所以，又，所以，所以.故選：A6．C【分析】由指數(shù)函數(shù)新定義舉反例可得ABD錯(cuò)誤；結(jié)合均值不等式分析，分當(dāng)時(shí)和當(dāng)或時(shí)兩種情況利用函數(shù)新定義可得C正確.【詳解】對于A，取，左邊，即左邊等于；右邊，故A錯(cuò)誤；對于B，取，左邊，即左邊等于；右邊等于，故B錯(cuò)誤；對于C，由于恒成立，所以在恒成立，所以自然指數(shù)函數(shù)滿足，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，故C正確；對于D，取，左邊，即左邊等于；右邊等于，故D錯(cuò)誤.故選：C7．B【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得，再利用賦值法由代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：B8．A【分析】將平方，結(jié)合可得，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】將平方得，結(jié)合可得，即，即，即，故CD錯(cuò)誤又，故A對，B錯(cuò)；故選：A9．ABC【分析】先化簡求出，再利用復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及四則運(yùn)算對各個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，，故選項(xiàng)A正確；

，

而，與相等，故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C正確；，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC10．BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域即可判斷A,根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)即可求解B，求導(dǎo)，根據(jù)上導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解C，根據(jù)單調(diào)性即可由極值點(diǎn)的定義求解D.【詳解】的定義域?yàn)?，故為非奇非偶函?shù)，故A錯(cuò)誤，由于，且，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因此，B正確，對于C,，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因此在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤，對于D，，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，為的極小值點(diǎn)，D正確，故選：BD11．ACD【分析】根據(jù)曲線方程有，且漸近線為，當(dāng)，，即曲線上半部分為雙曲線的一部分，下半部分為橢圓的一部分，且曲線關(guān)于y軸對稱，應(yīng)用對稱性研究時(shí)直線與曲線的交點(diǎn)情況判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】當(dāng)有且漸近線為，當(dāng)有，如下圖示，曲線上半部分為雙曲線的一部分，下半部分為橢圓的一部分，且曲線關(guān)于y軸對稱，根據(jù)對稱性，只需討論的情況，討論如下：當(dāng)，時(shí)，直線與曲線無交點(diǎn)；時(shí)，直線與曲線有1個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，如下圖直線，隨變化過程，由圖知，直線與橢圓部分相切為界，即有1個(gè)交點(diǎn)；此時(shí)不變，，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，，直線與曲線無交點(diǎn)，所以直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有三種可能；時(shí)，，如下圖直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，如下圖，分別以直線與曲線雙曲線、橢圓部分相切為界，直線在雙曲線部分相切線上方時(shí)，直線與曲線恒有1個(gè)交點(diǎn)，直線與雙曲線部分相切時(shí)，直線與曲線恒有2個(gè)交點(diǎn)，直線在橢圓相切線下方時(shí)，直線與曲線無交點(diǎn)，直線與橢圓部分相切時(shí)，直線與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，直線在兩條相切線之間時(shí)，直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，綜上，，A對；對于直線恒過點(diǎn)，隨的變化與曲線位置，如下圖示，時(shí)直線與曲線恒有2個(gè)交點(diǎn)；時(shí)直線與曲線恒有1個(gè)交點(diǎn)；所以與曲線的交點(diǎn)可能有兩種可能，即，B錯(cuò)；對于，以直線與橢圓部分相切、直線與雙曲線漸近線平行為界，聯(lián)立，則且，若，可得，如下圖示，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與曲線有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線無交點(diǎn)；所以與曲線的交點(diǎn)可能有兩種可能，即，C對；結(jié)合A分析，時(shí)存在直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，而其它情況不存在，此時(shí)，假設(shè)，顯然直線與曲線有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合，所以，結(jié)合對稱性，直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，必有且，D對.故選：ACD12．【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，則切線斜率，又，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，所以切線方程為.故答案為：13．2【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用圓與等邊三角形的對稱性得出取最大值時(shí)，過的中點(diǎn)M，設(shè)，表示出的大小，借助于導(dǎo)數(shù)求出的最大值．【詳解】等邊三角形的頂點(diǎn)，在圓上，如圖所示；根據(jù)圓與等邊三角形的對稱性知，當(dāng)取最大值時(shí)，過的中點(diǎn)M，設(shè),則，,所以，，設(shè)，則，令，即，移項(xiàng)平方后化簡可得或（舍），所以當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為2.故答案為：2.14．【分析】根據(jù)已知一個(gè)元素被某人選中的概率為且相互獨(dú)立，應(yīng)用獨(dú)立乘法公式及對立事件的概率求法得兩個(gè)元素均未被三人選中的概率為，最后應(yīng)用對立事件的概率求法即可得.【詳解】設(shè)兩個(gè)不同數(shù)為，一個(gè)元素被某人選中的概率為且相互獨(dú)立，所以一個(gè)元素被甲乙丙三人都選中的概率為，由中元素的個(gè)數(shù)，表示至少一個(gè)元素被三人選中，而兩個(gè)元素均未被三人選中的概率為，所以的概率為.故答案為：15．(1)，；(2)與性別有關(guān)(3)【分析】（1）利用表格數(shù)據(jù)直接計(jì)算即可.（2）列出零假設(shè)，計(jì)算，再進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可.（3）先判斷服從二項(xiàng)分布，再利用二項(xiàng)分布的期望公式求解即可.【詳解】（1）由題意得，.（2）零假設(shè)為：選購新能源汽車的款式與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，可以認(rèn)為選購車的款式與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；（3）隨機(jī)抽取1人購買B款車的概率為，的可能取值有，由題意得，由二項(xiàng)分布的期望公式得.16．(1)(2)和(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性求解出函數(shù)的極值即可（2）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性求解出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（3）分和討論求解即可.【詳解】（1）由題意知.若，則，所以.令，得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值等于.（2）因?yàn)椋?，由，即，解得或，所以在和單調(diào)遞增，由，即，解得，所以在單調(diào)遞減，故的單調(diào)增區(qū)間為和.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知，的極大值等于；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無極大值；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的極大值等于，令，所以，在上在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故，綜上所述，.17．(1)（?。┳C明見解析；（ⅱ）(2)【分析】（1）（?。└鶕?jù)線面垂直，可證線面垂直；（ⅱ）利用可求三棱錐的體積.（2）建立空間真假坐標(biāo)系，利用空間向量表示出直線與平面所成角的正弦值，再結(jié)合換元法和基本不等式可求其最大值.【詳解】（1）（?。┰谥?，，，所以.因?yàn)?，，所以，所?又因?yàn)椋矫?，，所以平?（ⅱ）.（2）如圖，建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角的平面角為，則，，，.所以.平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則.設(shè)，設(shè)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），即.直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18．(1)(2)(3)【分析】（1）由題意得到，即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解；（3）由（2）結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式即可求解.【詳解】（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯(lián)立消去，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設(shè)，因?yàn)?因?yàn)椋?所以，當(dāng)時(shí)，為定值.所以.19．(1)，(2)(3)答案見解析【分析】（1）取和，根據(jù)題意得到和；（2）先排除不可能的取值，然后得到最大值，并構(gòu)造出對應(yīng)數(shù)列，得到最大值可取；（3）先分析時(shí)，由三元素組分析得到.然后通過構(gòu)建兩個(gè)具有相同的大小順序的數(shù)列，證明.從而得到的最小值.然后再構(gòu)造出能夠取到最小值的數(shù)量列即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，1，2，3無論按何種順序排列，中位數(shù)只能是2，故.當(dāng)時(shí)，在1，2，3，4中任取3個(gè)數(shù)：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，中位數(shù)只能為2或3，所以.（2）顯然，不存在使得或，故中所有元素的和，且當(dāng)時(shí)，有.此時(shí)成立.（3）注意到對于任意，，記中元素個(gè)數(shù)的最小值為，由（1）可知，，.考慮的情形：對于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作為中位數(shù)；不妨，考慮三元素組，，，至少產(chǎn)生2個(gè)不同的中位數(shù).①若此時(shí)中位數(shù)為，，不妨，則，.所以三元組將產(chǎn)生新的中位數(shù)，所以；②若此時(shí)的中位數(shù)為，，則，，.若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù)；若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù).所以.③同理可知，若此時(shí)中位數(shù)為，；，也有；所以，，.下面證明：.比較下面兩個(gè)數(shù)列：（ⅰ），，…，，，.（ⅱ），，…，，，，，，.其中，，…，和，，…，具有相同的大小順序.因此，這兩個(gè)數(shù)列的前個(gè)三元數(shù)組所對應(yīng)的中位數(shù)個(gè)數(shù)相同.因此，只需要比較數(shù)列（?。┲腥M，和數(shù)列（ⅱ）中三元組，，，，.因?yàn)?，?shù)列（ⅱ）中至少增加1個(gè)新的中位數(shù)，故結(jié)論成立.因?yàn)槿?，的中位?shù)在前面未出現(xiàn)，則，的中位數(shù)在前面也不會出現(xiàn).對于新增的中位數(shù)，若，的2個(gè)中位數(shù)在前面出