規律問題

1.某種球形病毒的直徑約是0.01納米，一個該種病毒每經過一分鐘就能繁殖出9個與自己完全相同的病

毒，假如這種病毒在人體內聚集到肯定數量，按這樣的數量排列成一串，長度達到1分米時，人體就會感

到不適.(1米=ia納米)

(1)從感染到第一個病毒起先，經過5分鐘，人體內改種病毒的總長度是多少納米？

(2)從感染到第一個病毒起先，經過多少分鐘，人體會感到不適？

【答案】(1)從感染到第一個病毒起先，經過5分鐘，人體內改種病毒的總長度是1000納米；(2)從感染

到第一個病毒起先，經過10分鐘，人體會感到不適.

【解析】解：(1)由題意可知：經過5分鐘，人體內改種病毒的總長度是0.01X1X105=1000(納米)

答：從感染到第一個病毒起先，經過5分鐘，人體內改種病毒的總長度是1000納米；

(2)1分米='米=1()8納米

而1()8+(0.01X1)=1()1°

從感染到第一個病毒起先，經過10分鐘，人體會感到不適

答：從感染到第一個病毒起先，經過10分鐘，人體會感到不適.

2.你會求(。一1)(清18+。即+清16+?+a2+a+)的值嗎？這個問題看上去很困難，我們可以先考慮

簡潔的狀況，通過計算，探究規律：

(a—l)(a+l)=/—1

(a-+a+l)=(73—1

(a-1)+a+1)=a，—1

(1)由上面的規律我們可以大膽猜想，得至！](a—1乂。2包9+4。18+“2017+…+/+a+])=；

(2)利用上面的結論求22019+22018+22。。+L+22+2+1的值.

⑶求52019+52018+52017+…+52+4的值

［答案】(1)“2020—1；(2)22020-1；(3)|(52020-9).

【解析】(1)由題可以得到(Q—1乂。"+?+陵~++/+〃+1)

=an+1-l

2019,?2018..?2,?,

(a-a+a++a+a+l)

=a2020-l

(2)由結論得：22°19+22°18+22°17++22+2+1

=(2-1).(22019+22018++2?+2+1)

=22020-1

2019201820172

(3)5+5+5++5+4

20192018201712

(5-1)(5+5+5+5+5+1-2

4

11

3?計算+???+

99100

99

【答案】—

100

【解析】解：1一;++;+一+11

499WO

.111111

=]------1-------------------1-***-|---------------

223499100

_99

-100-

4.視察下列等式:

111

第1個等式：第2個等式：%

1x2122^3-2-3

第3個等式：第4個等式：?4=-^-=---

3x4344x545

解答下列問題:

(1)按以上規律寫出第5個等式：％=

(2)求%+。2+。3+L+42020的值.

1111

(3)求---------1-------------1-++的值.

4x88x1212x162016x2020

11，、202063

【答案】(1)一-一；(2)-----(3)

5x65620211010

【解析】解：(1)第1個等式：al=-^-=---;

1x212

111

第2個等式：a

22^3~2-3

111

第3個等式：的

374-3-4

111

第4個等式:

"4=而丁二

111

第5個等式:

5x656

111

故答案為:

5x656

1_1]__11_]_11

(2)%+出+%++^2020~\-----------------------

1~22~33-420202021

=1_J_

2021

2020

2021

⑶—11

+H-----------------

4x88x1212x162016x2020

111

=-X+20162020

44-88~12

111

=-X

442020

1504

__x_____

-42020

63

1010

5.閱讀材料：求1+2+2?+23+24+…+223的值.

解：設S=1+2+2?+23+24+…+22014+22°15,將等式的兩邊同乘以2,得

2S=2+22+23+24+...+22015+22016

將下式減去上式得，2S—S=22°16一1

即S=22°16—1.

BP1+2+22+23+24+,..+22015=22016-1

請你仿照此法計算：

（1）填空：1+2+2?+23=.

（2）求1+2+2?+23+24+…+2]°的值.

（3）求1+；+（；）2+（；）3+（；）4+…+（；）”的值.（其中〃為正整數）

311

【答案】（1）15；（2）2047；（3）

【解析】解：（1）由題意可得，

1+2+22+23=24-1=16-1=15,

故答案為：15；

（2）由題意可得，

1+2+22+23+24+-+210=2n-l=2048-1=2047；

（3）設S=l+g+（；）2+（；）3+（乎+...+（；）",

則;s=；+（|）2+（1）3+（1）4+...+（；）"+[嚴,

33

91

33

311

解得，

即1+；++《）3+（；）4+…+的值是m-*（J）”.

6.在日歷上，我們可以發覺其中某些數滿意肯定的規律，圖是2020年1月份的日歷，我們用如圖所示的四

邊形框出五個數.

2020年1月:

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

4

5679ic>11

12,747"n18

<59202T>22232425

2L7。C8293031

(1)將每個四邊形框中最中間位置的數去掉后，將相對的兩對數分別相減，再相加，例如：

(10-8)+(16-2)=16,(21-19)+(27-13)=16.不難發覺，結果都是16.若設中間位置的數為“，請

用含"的式子表示發覺的規律，并寫出驗證過程.

(2)用同樣的四邊形框再框出5個數，若其中最小數的2倍與最大數的和為56,求出這5個數中的最大數

的值.

(3)小明說：我用同樣的四邊形框也框出了5個數，其中最小數與最大數的積是120.請推斷他的說法是

否正確，并說明理由.

【答案】(1)5+1)—(〃—D+5+7)—5—7)=16,見解析；(2)28；(3)正確，見解析

【解析】(1)設中間位置的數為“，左邊數為〃—1,右邊數"+1，上面數〃—7,下面數為72+7,

則5+1)—(〃-1)+("+7)—(〃-7)=16

(2)2(〃—7)+(〃+7)=56,〃=21,

.-.21+7=28.

(3)正確

5—7)5+7)=120,

—13(舍去)或者八=13,可以存在.

7.材料：若一個正整數，它的各個數位上的數字是左右對稱的，則稱這個正整數是對稱數.例如：正整數

22是兩位對稱數；正整數797是三位對稱數；正整數4664是四位對稱數；正整數12321是五位對稱數.

依據材料，完成下列問題：

(1)最大的兩位對稱數與最小的三位對稱數的和為

(2)若將隨意一個四位對稱數拆分為前兩位數字順次表示的兩位數和后兩位數字順次表示的兩位數，則這

兩個兩位數的差肯定能被9整除嗎？請說明理由.

(3)假如一個四位對稱數的個位數字與十位數字的和等于10,并且這個四位對稱數能被7整除，懇求出滿

意條件的四位對稱數.

【答案】(1)200；(2)肯定可以，理由見解析；(3)3773

【解析】解：(1)最大的兩位對稱數是99,

最小的三位對稱數是101,

99+101=200，

故答案是：200；

(2)設個位和千位上的數字是a,十位和百位上的數字是6,

則這兩位數分別是10。+6、10b+a,

|1O?+Z?-(1OZ?+?)|-\9a-9b\,

它們的差是|9a-明，

這個數是9的倍數，所以這個數肯定可以被9整除；

(3)設這個四位數的個位數是x,則十位數是(10-%),

這個數可以表示為X+10(10—力+100(10—x)+1000%,化簡得89lx+1100,

令x=1,則這個數是1991,

令J=2,則這個數是2882,

令％=3,則這個數是3773,

令x=9,則這個數是9119

其中只有3773能夠被7整除,

???滿意條件的四位數是3773.

8.用棱長為2cm的若干小正方體按如所示的規律在地面上搭建若干個幾何體.圖中每個幾何體自上而下分

別叫第一層、其次層，…，第"層（”為正整數）

4

從正面看從正面看從正面看

①②③

（1）搭建第④個幾何體的小立方體的個數為

（2）分別求出第②、③個幾何體的全部露出部分（不含底面）的面積.

（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂law?須要油漆Q2克，求噴涂

第20個幾何體，共須要多少克油漆？

【答案】（1）30；（2）第②個幾何體露出部分（不含底面）面積為64cm2,第③個幾何體露出部分（不含

底面）面積為132cM2；（3）992克.

【解析】（1）搭建第①個幾何體的小立方體的個數為1,

搭建第②個幾何體的小立方體的個數為1+4=1+22>

22

搭建第③個幾何體的小立方體的個數為1+4+9=1+2+3.

歸納類推得：搭建第④個幾何體的小立方體的個數為1+22+32+42=1+4+9+16=30,

故答案為：30；

(2)第②個幾何體的三視圖如下：

由題意，每個小正方形的面積為2x2=4(c"2),

則第②個幾何體的全部露出部分(不含底面)面積為(3x2+3x2+4)x4=64(512)；

第③個幾何體的三視圖如下：

則第③個幾何體的全部露出部分(不含底面)面積為(6x2+6x2+9)x4=1329")；

(3)第20個幾何體從第1層到第20層小立方體的個數依次為1,22,.,2()2,

則第20個幾何體的全部露出部分(不含底面)面積為

[2x(l+2++20)+2x(l+2++20)+202]x4=4960(cm2),

因此，共須要油漆的克數為4960x0.2=992(克),

答：共須要992克油漆.

9.閱讀下列解題過程：

]_1x(逐一_君一g_^5_^4

\[5+A/4(y/5+\/4)(^/5—A/4)(A/5)2—(A/4)2

1_lx(?-逐)_娓-逐_遙_6

布+逐一函+否)函-⑹Z府-訴2一，

請回答下列回題:

1

(1)視察上面的解答過程，請寫出耐+回=

(2)請你用含〃(〃為正整數)的關系式表示上述各式子的變形規律;

(3)利用上面的解法，請化簡：

11111

I+A/2應+后A/3+74……顧+回風+^/155

【答案】(1)10-3而；(2)

]=1x(阿-師=阿-屈

=V100-A/99

+4iQQ+j99G/i^+演)回)-G/iW-(廊下

=10-3而;

故答案為：10-3而.

1yjn+1-y[n.

(2)視察前面例子的過程和結果得:

+1+&

(3)反復運用

111]]

I+A/2&+GV3+A/4……頤+回V99+V100

=-\/2—A/T+s/3—sp2+-\/4—yj3++Jl00—《99

=-4+&-0+6-百+4-4+-799+^00

=-1+V100=-1+10=9.

10.先化簡，再求值：(2+產一(2-)(2+)—5,其中=2019,=-1.

【答案】2024.

【解析】原式=42+4+2-(42—2)—5

=42+4+2—42+2—5,

=22一,

當=2019,=一1時，

2

原式=2x(-1)-2019x(-1)=2021

11.視察下列三行數，回答問題：

-1、+3、-5、+7、-9、+11>....

-3、+1、-7、+5、-11、+9、....

+3、-9、+15、-21、+27、-33、...

(1)第①行第9個數是

第②行第9個數是

第③行第9個數是

(2)在第②行中，是否存在連續的三個數，使其和為83?若存在，求這三個數；若不存在，說明理由.

(3)是否存在第m列數(每行取第m個數)，這三個數的和正好為-99?若存在，求m；若不存在，說明理

由.

【答案】(1)-17；-19；51.(2)存在，85,-91,89；(3)第加列數不存在，理由見解析.

【解析】(1)視察到第①行的規律是(-1)”(2〃-1),第②行的規律是將第①行的數-2,第③行的規律是

(-l)"+1(6n-3),

因此當n=9時，第①行的數為T7

???第②行的數為-17-2=-19,第③行的數為—17x(—3)=51；

(2)設第②行存在連續的三個數和為83,且第一個數為X,

若x>0,即》在第②行中的偶數次列，滿意第〃列的數為2〃-3(其中〃為正偶數)，

則x+(—x—6)+(X+4)=83,

得x=85,

即2〃—3=85,〃=44,符合題意，x在第②行第44列，

此時，連續的三個數依次為85,-91,89.

若x<0,即％在第②行中的奇數次列，滿意第幾列的數為-2〃-1(其中〃為正奇數)，

則x+(—x—2)+(x—4)=83,

得x=89,

即-2〃-1=89,n=-45,不符合題意，故舍去，

綜上所述，存在這樣連續的三個數使和為83,依次為85,-91,89.

(3)設存在第加列數使三個數的和為-99,且此列第①行的數為y，

則第加列第②行的數為y-2,第③行的數為-3y,

y+y-2+(-3y)=-99,

得y