2024年中考數學真題專題分類精選匯

專題25解直角三角形（含勾股定理）及其應用

一、選擇題

1.（2024四川眉山）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦

圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現將

這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

【答案】D

【解析】本題考查勾股定理，設直角三角形的兩直角邊為。，b,斜邊為c,根據圖1,結合已知

條件得到/+〃=°2=24,（。―bp=/+〃—2仍=4,進而求出仍的值，再進一步求解即可.

【詳解】如圖，直角三角形的兩直角邊為。，b,斜邊為c,

a2+Z?2=c2-24?

??,小正方形的面積是4,

二.(a—6)=a?+—2aZ?=4,

/.ab=10,

1

???圖2中最大的正方形的面積=，?+4x—ab=24+2xl0=44；

2

故選：D.

4

2.（2024甘肅臨夏）如圖，在A43c中，AB=AC=5,sin^=y,則5C的長是（）

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理.正確作出輔助線是解題關鍵.過點

1Ar\4

/作/。工5C于點D由等腰三角形三線合一的性質得出5。=CD=—BC.根據sin8=￡2=；,

2AB5

可求出ND=4,最后根據勾股定理可求出5。=3,即得出3c=28。=6.

【詳解】如圖，過點N作4015c于點D

AB=AC=5,

：.BD=CD=-BC.

2

AT)4

在RtZ\48Z)中，sin5=----二—,

AB5

44

AD=-AB=-x5=4,

55

,"BD=VAB2—AD2=V52—42=3'

BC=2BD=6.

故選B.

3.（2024四川達州）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2,ZABD=120°,

其中點A,B,C都在格點上，貝！ItanNBCO的值為（

D.3

【答案】B

【解析】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，延長BC交格點于點連接NF，E,G分別在

格點上，根據菱形的性質，進而得出N4FC=90°,解直角三角形求得的長，根據對頂角相

等，進而根據正切的定義，即可求解.

【詳解】如圖所示，延長交格點于點尸，連接力尸，E,G分別在格點上,

依題意，ZEGF=120°,EG=GF,GF=GC,ZFGC=60°

ZCEF=30。,NEC尸=60°

ZAFC=90°

又尸C=2,

巧

???AF=2EF=4EGcos300=4x2x—=473

2

???tan/BCD=tanNACF=——=*=26

FC2

故選：B.

4.（2024四川德陽）某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高

度為10米的小樓房N3,小李同學在小樓房樓底B處測得。處的仰角為60°,在小樓房樓頂A處測

得。處的仰角為30°.（48、CD在同一平面內，氏。在同一水平面上），則建筑物的高為（）

米

A.20B.15C.12D.10+573

【答案】B

【解析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，如圖，過A作于E,則四邊形48DE為

CEI-

矩形，設CE=x,而/C4E=30。，可得=------=13x=BD,CD=x+10,結合

tan30°

CDx+10[T、

tan60------r=1-v3,再解方程即可.

BDV3x

【詳解】如圖，過A作力ELCD于￡,

依題意，ABLBD,CD1BD

???四邊形ABDE為矩形,

：.AB=DE=10,AE=BD,

設CE=x,而NG4￡=30。,

CFi-

??.AE=--------=y/3x=BD,

tan30°

CD=x+10,

CDx+10

tan60°=

~BDA/3X

解得：x=5,

經檢驗x=5是原方程的解，且符合題意；

CD=x+10=15（m）,

故選B

5.（2024深圳）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀ER測得的仰角為45。，

小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀3測得的仰角為53。，則電子廠48的高度為（）

434

（參考數據：sin53°,cos53°,tan53°）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【解析】本題考查了與仰角有關的解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，先證明四邊形EEDG、

EFBM、CDBN是矩形，再設GM=xm,表示￡W=(x+5)m,然后在

^AEM,tanAAEM=,以及Rt~4CN,tanNZCN=」，運用線段和差關系，即

EMCN

4

MN=AN-AM=yX-(x+5)=0.3,再求出x=15.9m,即可作答.

【詳解】如圖：延長交EM于一點G,

NMEF=NEFB=ZCDF=90°

...四邊形EEDG是矩形

ZMEF=NEFB=NB=90°

四邊形EE8M是矩形

同理得四邊形CDBN是矩形

依題意，^EF=MB=1.8m,CD=1.5m,AAEM=45°,ZACN=53°

CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

：.CG=MN=0.3m

設GM=xm,則EM=(x+5)m

在tanAAEM=也，

EM

二EMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在mAACN,tanZACN=——，

CN

4

：.CNtan53°=-x=AN

3

4

即AN=—xm

3

4

：.MN=AN-AM=-x-(x+5)=Q3

x=15.9m

/.=15.9+5=20.9(m)

/.AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22J（m）

故選：A

6.（2024安徽?。┤鐖D，在中，ZC=BC=2,點。在的延長線上，且CD=/8,

A.V10-A/2B.V6-V2C.2V2-2D.2V2-V6

【答案】B

【解析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，對頂角的性質，勾股定理，過點。作。ELC8

的延長線于點E,則48￡。=90。，由4c8=90。，AC=BC=2,可得=2Ji，

=ZABC=45°,進而得到CO=2夜，NDBE=45。,即得為等腰直角三角形，得到

DE=BE,設DE=BE=x,由勾股定理得（2+x）?+/=（2也『，求出x即可求解，正確作出輔

助線是解題的關鍵.

【詳解】解：過點。作的延長線于點E,則/5￡。=90。，

ZACB=90°,AC=BC=2,

,AB=N2?+2?=26，=ZABC=45°,

CD=2V2，NDBE=45°，

8BDE為等腰直角三角形，

DE=BE,

設DE=BE=x,則C￡=2+x,

在RtACDE中，CE-+DE-=CD2.

.'.（2+X）2+X2=（2A/2）\

解得再=百-1,x2=—V5-1（舍去），

:?DE=BE=4i-l，

二8￡?=J（百-if+（0-1丫=B-應,

故選：B.

5BD8

1.（2024深圳）如圖，在AABC中，AB=BC,tan/B=—，D為BC上一'點，且滿足---=—，

12CD5

過。作。交/C延長線于點E,則——=

AC--------

【解析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設48=8C=13x,根據

tanZS=—,AHLCB,得出AH=5x,BH=12x,再分別用勾股定理求出

12

AD=^41x,AC=^26x?故饃$/40。=迫=*叵，再運用解直角三角形得出

AD41

八“2074121V41加入CEMD

DM=---------x>AM=------x，代入二二=二二二，化間即可作答.

4141ACAM

【詳解】解：如圖，過點/作/7/LCS垂足為，

設45=BC=13x,

BD=8x>DC=5x，

VtanZS=—,AHLCB,

12

.AH5

??—,

BH12

?/A8=BC=13x,

AH'+BH2=AB2=169x2，

解得4f/=5x,BH=12x,

DH=12x-8x=4x,HC=5x-4x=x,

AD=^AH2+DH2=V4Lx，AC=^AH2+CH2=叵x，

???cos4DC=也4A/41

AD41

過點C作CM，垂足為M,

A

20A/4121A/41

DM=CD-cosZADC=——x，AM=AD-DM=——x，

4141

DEJ.AD,CMLAD,

：.MC〃DE,

20面

.CEDM_4］〔20

,,就一~AM—21V41-21'

---------X

41

…i20

故答案為：—.

21

2.（2024內蒙古赤峰）綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹N5的高度.如圖，點C處與古

樹底部”處在同一水平面上，且ZC=10米，無人機從C處豎直上升到達。處，測得古樹頂部2的

俯角為45°,古樹底部N的俯角為65°,則古樹4B的高度約為米（結果精確到0.1米；參

考數據：sin65°?0.906,cos65°?0.423,tan65°~2.145）.

D\'X"

!W

\\

1\\、

i\'盧

I\

I\

I\

C'--------u

【答案】11.5

【解析】本題考查了解直角三角形的應用.過點。作由題意知：的/=/C=10米，

ZBDM=45°,ZADM=65°,推出AADM是等腰直角三角形，在中，利用正切函數

求出的值，根據AB=AM-BM計算求解可得AB的值.

【詳解】如圖，過點。作DM1AB，交AB的延長線于點M,

作------中

'''、、

1\XI

1V'p

I\

C-I--------\U

...四邊形/CDM是矩形，

。河=/。=10米，

?1,ZBDM=45°,ZADM=65°,ZM=90°,

...ABDM是等腰直角三角形，

即/=。河=10米，

在RtZXZDM中，=-tanZ^Z）Af=10-tan650-10x2.145-21.45（米），

AAB=AM-BM=21A5-IQ=11A5~11.5（米）,

古樹48的高度約為11.5米.

故答案為：H.5.

3.（2024江西?。D1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形45CD,連接/C,則

tanZCAB=.

【答案】:##0.5

【解析】本題考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角函數，如圖1,設等腰

直角△MVQ的直角邊為。，利用圖形的位置關系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊

長，進而根據正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖1,設等腰直角△MVQ的直角邊為則〃0=缶，小正方形的邊長為。，

MP=2Q,

二EM=J（2a『+（2a『=2缶，

MT=EM=242a，

QT=2>/2?-42a=41a，

如圖2,過點。作?！?，48的延長線于點X,則S=AD,BH=CD,

由圖（1）可得，AB=BD=2y[2a>CO=缶+0。=2也。，

CH=141a>BH=2垃a,

?■-AH=2缶+2缶=4缶，

.…門CH2缶1

??tan/CAB-——尸———,

AH4缶2

故答案為：

2%〃__7V

B

圖2

4.（2024江蘇鹽城）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面30m的點尸

處，測得教學樓底端點/的俯角為37。，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6m至點0處，測得

教學樓頂端點8的俯角為45。，則教學樓的高度約為m.（精確到1m,參考數據：

sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75)

【答案】17

【解析】本題主要考查解直角三角形的實際應用，延長N5交直線尸。于點X,先用三角函數解

求出？H，進而求出紗，再證紗=8笈，最后根據45=瓦7即可求解.

【詳解】解：如圖，延長48交直線夕。于點”,貝UZPHA=90°,

由題意知4f/=30m,

ATJ30

在Rt△尸H4中，tan/LPHA=-----,BPtan37°-----?0.75,

PHPH

解得7W=40m,

QH=PH-PQ=40-26.6^13

???ZPHA=90°,4QHB=45°,

ZQBH=ZQHB=45°,

QH=BH=13Am,

AB=AH-BH=30-13A=16.6-n(m),

故答案為：17.

5.（2024黑龍江綏化）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓頂部

點。的仰角為60。，測得底部點8的俯角為45。，點A與樓的水平距離2。=50m,則這棟樓的

高度為m（結果保留根號）.

c

【答案】（50+50V3）##（50A/3+50）

【解析】本題考查解直角三角形一仰角俯角問題.注意準確構造直角三角形是解答此題的關鍵.根據

題意得NA4O=45。，ACAD=60°,AD=50m,然后利用三角函數求解即可.

【詳解】依題意，ZBAD=45°,ZCAD=60°,AD=50m.

在RtZ\A8Z）中，BD-AD-tan45°=50x1=50m,

在RtzX/CD中，CD=^r>-tan60°=50xV3=50V3m-

/.BC=BD+CD=（50+50V3）m.

故答案為：（50+5073）.

6.（2024武漢市）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽.在一次綜合

實踐活動中，某數學小組用無人機測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升

至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端N的俯角為45°,底端8的俯角為63°,則測得黃鶴樓

的高度是m.（參考數據：tan630-2）

【答案】51

【解析】本題主要考查解直角三角形的應用，理解題意，作出輔助線是解題關鍵.延長A4交距水平

地面102m的水平線于點。，根據tan63°a2,求出=它51m,即可求解.

【詳解】延長以交距水平地面102m的水平線于點。，如圖，

設AD=x，

?/ZDCA=45°

DC=AD=x

…BD1020

??tan63—----------才2

DCx

DC=AD?51m

，AB^BD-AD=102-51-51m

故答案為：51.

7.（2024四川達州）如圖，在中，NC=90°.點。在線段5C上，ZBAD=45°.若

AC=4,CD=1,則的面積是.

【答案】專

【解析】本題考查解直角三角形，勾股定理.過D作DE人AB于E,設DB=x,則C8=x+1,

利用sinD8=----=列出等式即可.

ABDB

【詳解】解：過。作。E148于￡,

/BAD=45。

:N是等腰直角三角形

、V2734

\DE-——AD------

22

設DB=x,則C8=x+1

\AB=J42+(x+Ip

.iACDE

?：sinD5=-----=-----

ABDB

V34

\,4A

J42+(x+1)2X

1717

解得了二一,(舍去)或x=一

53

17

經檢驗x=—是原分式方程的解，

3

\S△血=；髦8NC=；0(1@4y--

_,40

故答案為：—.

3

8.(2024四川眉山)如圖，斜坡的坡度，=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹48,當

太陽光與水平面的夾角為60。時，大樹在斜坡上的影子BE長為10米，則大樹4B的高為米.

【答案】(4^/15-275)##(-275+4715)

【解析】此題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，解題的關鍵是正確構造直角三角形.

如圖，過點￡作水平地面的平行線，交48的延長線于點設=x米，EH=2x米,勾股定

理求出》=2若，解直角三角形求出/笈=1211/4￡打?￡5=屜〃=4詬，進而求解即可.

【詳解】如圖，過點E作水平地面的平行線，交N5的延長線于點X,

則NBEH=NDCF,

BHI

在RtAJ5EH中，tan/BEH-tanZBCF=i==—,

EH2

設BH=x米，EH―2x米，

BE=^EH2+BH2=氐=10，

x=2亞，

:.BH=2加米,EH=4也米,

QZAEH=60°,

:.AH=tan/AEH?EH=jEH=4岳（米），

AB=AH-BH=（4>/15-275）（米），

答：大樹48的高度為卜巫-26）米.

故答案為：（4巫-26）.

三、解答題

1.（2024甘肅臨夏）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內，共九級，為碎框架式結構，

造型獨特別致，遠可眺太子山露骨風月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹.某校數學興

趣小組在學習了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度48的實踐活動.A為乾元塔的頂端,

AB，BC,息C,。在點B的正東方向，在C點用高度為1.6米的測角儀（即CE=1.6米）測得A

點仰角為37。，向西平移14.5米至點。，測得A點仰角為45。，請根據測量數據，求乾元塔的高度

AB.（結果保留整數，參考數據：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan370?0.75）

圖1圖2

【答案】乾元塔的高度N3約為45米

【解析】本題考查解直角三角形的應用，設CE平移后得到0G,延長EG交Z3于點/，設廠G=x,

分別解RtA4FE,RtA4FG,表示出/尸的長，列出方程進行求解即可.

【詳解】解：設C￡平移后得到。G,延長EG交N3于點E,則：C￡=QG=5尸=1.6,E尸，,

￡G=14.5,

設G77二x,貝U：￡尸=14.5+工，

在RsaFE*中，=￡F-tan37°?0.75(x+14.5),

在中，AF=FG-tm45°=x,

0.75(x+14.5)=x,

x-43.5t

：./尸=43.5,

AB=AF+BF=43.5+1.6-45；

答：乾元塔的高度Z5約為45米.

2.（2024甘肅威武）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實

現碳中和.甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機

組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔

筒高度”的實踐活動.如圖，已知一風電塔筒2笈垂直于地面，測角儀CO,E尸在4F/兩側，

CD=￡E=1.6m,點C與點￡相距182m（點C,H,E在同一條直線上），在。處測得簡尖頂點

/的仰角為45。，在尸處測得筒尖頂點/的仰角為53°.求風電塔筒/笈的高度.（參考數據：

434

sin53°a一,cos53°?—,tan53°?—.）

553

【答案】105.6m

【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，過點。作。

于G,連接尸G,則四邊形CDGH是矩形，可得G/f=CD=1.6m,DG=CH,再證明四邊形

EFGH是矩形，則/G=HE,ZHGF=90°,進一步證明。、G、尸三點共線，得到DF=182m；

33

設/G=xm,解RR4DG得到Z>G=xm；解RtaAFG得到尸G土一xm；則x+—x=182,解

44

得x=104,即/G=104m,則Aff=ZG+G//=105.6m.

【詳解】解：如圖所示，過點。作。于G,連接FG,則四邊形COGH是矩形,

GH=CD=1,6m,DG=CH,

■：CD=EF=1.6m,

：.GH=EF,

由題意可得G/f，CE,EFLCE,

GH//EF,

二四邊形所G〃是矩形，

:.FG=HE,ZHGF=90°,

ZDGH+ZFGH=180°,

:.D、G、尸三點共線，

：.DF=DG+FG=CH+HE=CE=182m：

設/G=xm,

AQ

在.中，tanN4Z)G=-----

DG

Y

tan45°=-----

DG

DG=xm；

在RtZ\4FG中，tanZAFG=—

FG

Y

???tan53。二」一

FG

3

FGx—xm；

4

3

xH—x—182

49

解得x=104,

AG=104m,

/.AH=AG+GH=105.6m,

...風電塔筒4/7的高度約為105.6m.

3.（2024河北?。┲袊奶皆鹿こ碳ぐl了同學們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點

P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離8。=4m,仰角為&；淇淇向前走了3m后到達

點。，透過點P恰好看到月亮，仰角為尸，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面5。的距

離/8=CZ>=1.6m,點尸到8。的距離PQ=2.6m,/C的延長線交于點￡(注：圖中所

有點均在同一平面)

(2)求CP的長及sin/APC的值.

【答案】(1)45°,-(2)0m,2叵

434

【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數的定義是

解本題的關鍵；

(1)根據題意先求解CE=PE=lm,再結合等腰三角形的性質與正切的定義可得答案；

(2)利用勾股定理先求解=如圖，過。作4P于“，結合

「H1

tana=tanNPAE=——=—，設CH=xm,則/〃=4xm,再建立方程求解x,即可得到答案.

AH4

【小問1詳解】

解：由題意可得：PQ-LAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,

AE=BQ=4(m),AC=BD=3(m),

/.CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=l(m),ZCEP=90°,

/.CE=PE,

PE1

/3=Z.PCE=45°,tana=tanNPAE=----=—；

AE4

【小問2詳解】

解：'：CE=PE=lm,ZCEP=90°,

CP=A/12+I2=0m，

如圖，過。作4P于X,

AH4

/.x2+(4x)2=^C2=9,

17

CH=m,

17

3后

sinZAPC=^-=-^-3A/34.

CP4134

4.（2024河南?。┤鐖D1,塑像Z5在底座BC上，點。是人眼所在的位置.當點8高于人的水平

視線￡>￡時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數學家研究發現：當

經過4,5兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖2）,在切點P處感覺看到的塑像最大，此時N4P5

為最大視角.

（1）請僅就圖2的情形證明ZAPB>NADB.

（2）經測量，最大視角N4P5為30°,在點P處看塑像頂部點/的仰角/APE為60°,點尸到塑

像的水平距離小為61n.求塑像Z5的高（結果精確到0.1m.參考數據：小1.73）.

【答案】（1）見解析（2）塑像Z3的高約為6.9m

【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質，解直角三角形的應用等知識，解題的

關鍵是：

（1）連接卸/,根據圓周角定理得出AAMB=ZAPB，根據三角形外角的性質得出

ZAMB>ZADB，然后等量代換即可得證；

(2)在RtAZH0中，利用正切的定義求出幺〃，在中，利用正切的定義求出38,即可

求解.

【小問1詳解】

則AAMB=NAPB.

ZAMB>ZADB，

/.NAPB>ZADB.

【小問2詳解】

解：在RS/HP中，ZAPH=60°,PH=6.

4H

VtanZAPH=—,

PH

AH=PH-tan60°=6x垂）=6-\/3-

?/ZAPB=30°,

二NBPH=NAPH-ZAPB=60°-30°=30°.

在0中，=%,

PH

：?BH=PH.330。=6乂皂=26.

3

AB=AH—BH=6A/3—25/3=4^3~4x1.73?6.9（m）.

答：塑像NB的高約為6.9m.

5.（2024江蘇蘇州）圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿48工8C,活動

桿4D可繞點力旋轉，CO為液壓可伸緬支撐桿，已知48=10cm,BC=20cm,AD=50cm.

D

(1)如圖②，當活動桿2。處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度(結果保留根號)；

3

(2)如圖③，當活動桿40繞點/由水平狀態按逆時針方向旋轉角度0,且tana=-為銳角),

4

求此時可伸縮支撐桿的長度(結果保留根號).

【答案】（1）C￡>=10VWcm（2）CD=20V5cm

【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：

(1)過點。作CE，，垂足為E,判斷四邊形ABCE為矩形，可求出C￡,QE,然后在RUCED

中，根據勾股定理求出3即可；

(2)過點。作。尸1BC,交5c的延長線于點尸，交/。于點G.判斷四邊形/AFG為矩形，

3

得出N/G￡>=90°.在RtA/G￡>中，利用正切定義求出。G=—ZG.利用勾股定理求出

4

AD=-AG,由AD=50,可求出5尸=/G=40,FG=AB=10,CF=20,DF=4Q.在

4

RSCED中，根據勾股定理求出CO即可.

【小問1詳解】

解：如圖，過點C作垂足為￡,

E

彳I□二

答圖I

由題意可知，ZB=ZA=90°,

又?；CEL4D,

.??四邊形45CE為矩形.

???^3=10,BC=2Q,

AE=2Q,CE=10.

?.-AD=50,

ED=30.

在RtACEZ）中，CD=JCE2+ED~=V102+302=1oVlO-

即可伸縮支撐桿CD的長度為loVlOcm；

【小問2詳解】

解：過點。作。廠1BC,交的延長線于點尸，交ND'于點G.

由題意可知，四邊形ZBEG為矩形,

ZAGD=90°.

DG3

在.Rt/i/GZ）中，tana----=一,

AG4

3

:.DG=-AG.

4

AD=^AG2+DG2^-AG,

4

AD=50,

NG=40,DG=3Q.

BF=AG=40,FG=AB=10,

CF=20,DF=40.

???在RtACED中，CD=y/CF2+DF2=7202+402=2075-

即可伸縮支撐桿CD的長度為20右cm.

6.（2024山東威海）某校九年級學生開展利用三角函數解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一

是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角.測量報告如下表（尚不完整）

課題測量某護堤石壩與地平面的傾斜角

成員組長：XXX組員：XXX,XXX,XXX

測量

竹竿，米尺

工具

說明：ZC是一根筆直的竹竿.點。

測量

//*、水面是竹竿上一點.線段QE的長度是

示意

/?iV-點。到地面的距離.Na是要測量

圖地干曲上,或工…、

的傾斜角.

測量

數據

......

(1)設N8=。，BC=b,AC=c,CE=d，DE=e,CD=f,BE=g,AD=h,請根據

表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數據，把表示數據的小寫字母填寫在“測量

數據”一欄.

(2)根據(1)中選擇的數據，寫出求Na的一種三角函數值的推導過程.

(3)假設sina它0.86,cosa^O.52,tana它1.66,根據(2)中的推導結果，利用計算器求出

Na的度數，你選擇的按鍵順序為.

1|2ndH?n]0]?I8[6向

②|嬴|6|二]￡]百匚|

112MHeM。I?[sill]

④。I?I5I2

51|2mlF]un[?]*[6]6]]

⑥|tnn]F|~]6|6I=j

【答案】(1)AB=a,AC=c,DE=e,CD=f.

(2)sina=與，推導見解析;

af

(3)①.

【解析】【分析】(1)根據題意選擇需要的數據即可；

DECDef

(2)過點A作力于點M,可得ACDES^CAM,得至ij——二一,即得——得

AMCAAMc

ec

到AM=—,再根據正弦的定義即可求解；

(3)根據(2)的結果即可求解；

本題考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【小問1詳解】

解：需要的數據為：ABa,AC=c,DE=e,CD=f.

【小問2詳解】

解：過點A作/于點則NZ〃B=90°,

?/DELCB,

DE//AM,

：.ACDES.CAM

.DECD

"AM~CA

即工=￡

AMc

ec

：.AM=—

f

ec

.AMfec；

sina=----=-——

ABaf

地平面￡

【小問3詳解】

解：vsin^^—,

可

???按鍵順序為［2ndF］、m］QI?IXI6］二］，

故答案為：①.

7.(2024天津市)綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔的高度(如圖

①).某學習小組設計了一個方案：如圖②，點C,D,E依次在同一條水平直線上，

DE=36m,ECLAB,垂足為C.在。處測得橋塔頂部3的仰角(NCDB)為45。，測得橋塔底

部A的俯角(NCDA)為6。，又在E處測得橋塔頂部B的仰角(NCEB)為31°.

圖①

(1)求線段3的長(結果取整數)；

(2)求橋塔45的高度(結果取整數).參考數據：tan31°?0.6,tan6°?0.1.

【答案】(1)54m(2)59m

【解析】【分析】此題考查了解直角三角形的應用，數形結合是解題的關鍵.

(1)設CQ=x,在上△BCD中，BC=CD-tanZCDB=x-tan45°=x.在中，

BC=CE-tanZCEB=(x+36)-tan31°,則x=(x+36)-tan31°.解方程即可；

(2)求出/C,根據45=/C+BC即可得到答案.

【小問1詳解】

解：設CO=x,由。E=36,nCE=CD+DE=x+36.

?：ECLAB,垂足為C,

NBCE=ZACD=90°.

在中，tanZCDB=—,ZCDB=45°,

CD

BC=CD-tan/CDB=x?tan45°=x.

在RMBCE中,tanZCEB=—,NCEB=31。，

CE

BC=CEtanZCEB=(x+36)-tan31°.

/.x=(x+36)-tan31°.

/a36xtan31°36x0.6

得工=-----------=54.

1-tan31°1-0.6

答：線段CD的長約為54m.

【小問2詳解】

AQ

在Rt^/CD中，tanZCDA=——，ZCDA=6°,

CD

AC=CD-tanZCDA?54xtan6°工54x0.1=5.4.

:.AB=AC+BC-5A+5A^59.

答：橋塔48的高度約為59m.

8.（2024重慶市B）如圖，A,B,C,。分別是某公園四個景點，B在A的正東方向，。在A的

正北方向，且在。的北偏西60。方向，C在A的北偏東30°方向，且在B的北偏西15。方向，AB=2

千米.（參考數據：72^1.41-6=1.73，V6-2.45）

（1）求5c的長度（結果精確到0.1千米）；

（2）甲、乙兩人從景點。出發去景點5,甲選擇的路線為：。-C-5,乙選擇的路線為：￡>-/-8.請

計算說明誰選擇的路線較近？

【答案】（1）2.5千米

（2）甲選擇的路線較近

【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用：

（1）過點8作于E,先求出N/CS=45°,再解RtZ\4BE得到5￡=豆千米，進一步

解RtAfiCE即可得到BC=———=&《2.5千米；

sinZBCE

（2）過點C作CEL/D于。，先解RtZXZBE得到2￡=1千米，則ZC=ZE+CE=（1+百）千

米，再RtA^FC得至ICF=叱8千米，/尸=七目千米，最后解Rt^DCF得到DF=如目

226

千米，=千米，即可得到CD+8C=宏衛+布標4.03千米，ZD+48合5.15千米,

33

據此可得答案.

【小問1詳解】

解：如圖所示，過點8作于E,

NZ8C=90°—15°=75°,

ZACB=180°-ZCAB-NABC=45°，

在RtZkABE中，ZAEB=90°,A8=2千米,

???BE=AB-cosZBAE=2-cos60°=千米，

在RtABCE1中，BC=--------------=-------=a；2.5千米,

sinXBCEsin45°

???8C的長度約為2.5千米；

【小問2詳解】

解：如圖所示，過點。作CT7,40于。，

在中，AE=AB-cosXBAE=2-cos60°=1千米，

AC=AE+CE=(1+V3)千米，

在Rtz\4FC中，。尸=2。?11/。/=(1+6)-5也30°=上13千米，

AF=AC-cosZCAF=(1+73)-cos30°=千米，

在RtA。。/中，ZDCF=30°,ZDFC=90°,

???DF=CF-tanZDCF=5m-tan30°=3±41千米，

26

1+V3

CD二CF_F^_3+8千米,

cosZDCFcos3003

???CD+BC=3+也+V6x4.03千米，

3

/Q+/3="+/5=2+^+6+?+Ga5.15千米,

62

V4.03<5.15,

，甲選擇的路線較近.

9.（2024四川樂山）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩

秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進

10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺.（假設秋千的繩索拉的很

直）

圖1圖2

（1）如圖1,請你根據詞意計算秋千繩索。4的長度；

（2）如圖2,將秋千從與豎直方向夾角為a的位置0/釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為￡

的地方兩次位置的高度差尸。=%.根據上述條件能否求出秋千繩索CM的長度？如果能，請

用含a、￡和〃的式子表示；如果不能，請說明理由.

【答案】(1)秋千繩索的長度為14.5尺

h

(2)能，0A=——----------

cosp-cos(Z

【解析】

【分析