第十章六A卷

選擇題（共10小題）

1.（2024秋?正定縣期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.V8-V2=V2B.V2+V3=V5C.4A/3-4A/3=1D.3+2/=

2.（2024秋?泉港區(qū)期末）下列各式中，化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）

A.V16=4B.V9=±3

C.7（-4）2=-4D.V64=8

3.（2024秋?天府新區(qū)期末）下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是（）

A.V2+V3=V5B.3A/5—V5=3C.--=VJD.V6xV2=2V3

4.（2024秋?正定縣期末）已知,=正口+斤蒜+3,則乙的值為（）

x

4A33

A.—B.--QC.—D.—-T

3344

5.（2024秋?錦江區(qū)期末）下列各式中，正確的是（）

A.J（-2尸=-2B.（-V3）2=9

C.±V9=±3D.V3-V2=1

6.（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）估計(jì)（4g+魚(yú)）x￥的值在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

7.（2024秋?法庫(kù)縣期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.V4=±2B.V20=4V5C.V3+V2=V5D.J（—3尸=3

8.（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）下列各式中，與后是同類(lèi)二次根式的是（）

A.2vHB.C.V8aD.V2?2

9.（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.V18C.726abD.Vx2-2x+1

10.（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.V4—V2=V2B.3V3+2V3=5V3

V18/—

c@電=停D.——=V6

3

二.填空題（共5小題）

11.（2024秋?泉港區(qū)期末）最簡(jiǎn)二次根式7^二1與2遍可以合并，則％=

12.(2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末)當(dāng)實(shí)數(shù)x時(shí)，J-磊有意義.

13.(2024秋?錦江區(qū)期末)定義：因?yàn)?6+迎)(6-向)=(返)2-(死)2=。-6,可以有效的去掉根

號(hào)，我們稱(chēng)(VH+VF)與(VH-VF)為一對(duì)"對(duì)偶式”.若V18—%—V11—%=1,則V18—%+

V11—X=.

14.(2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末)6+VF的有理化因式是.

15.(2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末)二次根式4-2的有理化因式可以是.

三.解答題(共8小題)

16.(2024秋?昆都侖區(qū)期末)計(jì)算：

(1)2V3+3V2-5V3-3V2；

(2)(V5+V2)(V5-V2)-(V3-V2)2.

17.(2024秋?拱墅區(qū)期末)已知。是-8的立方根，b是蘭的算術(shù)平方根.

25

(1)直接寫(xiě)出。，6的值，并比較。與6-1的大小.

(2)求代數(shù)式a?+5xV7-5(2b+V7)的值.

18.(2024秋?羅湖區(qū)期末)計(jì)算：

(2)V75-(2024-7T)°+|2-V3|.

19.(2024秋?泉州期末)如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為18和25.

(1)大正方形的邊長(zhǎng)是，小正方形的邊長(zhǎng)是

(2)求圖中陰影部分的周長(zhǎng).

20.(2024秋?大慶期末)定義兩種新運(yùn)算，規(guī)定：a^b=4a-b,a^,b=y/a+b,其中a,b為實(shí)數(shù)且a

20.

(1)求(5^1)(5^1)的值；

(2)化簡(jiǎn)(?★?)□☆w).

21.(2024秋?新城區(qū)期末)【材料一】?jī)蓚€(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根

式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化固式.

例如:V5xV5=5/(V5+1)(V5—1)=4,我們稱(chēng)遮和愿互為有理化因式，(遙+1)和(V5—1)

互為有理化因式.

【材料二】如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同乘分母的有理化因式，使分

母中不含根號(hào)，這種變形叫作分母有理化.例/產(chǎn)誓=Vs+2.

V5—2(V5—2)(V5+2)

結(jié)合上述材料，解決問(wèn)題：

(1)"U的有理化因式是，V10+3的有理化因式是；

(2)利用分母有理化化簡(jiǎn)"7^.

V17+4

22.(2024秋?碑林區(qū)校級(jí)期末)已知刀=b+四，y=V3-V2,求/-孫+y的值.

23.(2024秋?長(zhǎng)沙期末)我們約定：關(guān)于x的代數(shù)式A,B,若不論x為何值，都有|A-2|=機(jī)(機(jī)為常數(shù))，

則稱(chēng)代數(shù)式A,8互為“差值代數(shù)式”，機(jī)為“差值”.例如：A=X2+2X+3,B=X2+2X+1,因?yàn)閨A-8|=2,

所以A,8互為“差值代數(shù)式"，“差值”為2.根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題.

(1)判斷下列各式是否互為“差值代數(shù)式”.若是，則在括號(hào)中的劃“J”，若不是，則劃“X”.

+1與—1；

②(x+2)2與/+2x；

x+32x+3

③——與-------------.

XX

(2)已知關(guān)于龍的整式M=(x-fl)2,N=*-2ax+5,若M,N互為“差值代數(shù)式”，且“差值”為

4,求。的值；

(3)已知關(guān)于尤的整式S=/+6x+c,T=j^+dx,若S,T互為“差值代數(shù)式”，且滿(mǎn)足(尤+2)(x+3)(x+4)

(x+5)=S2-1.

①求b,c,d的值；

T

②求代數(shù)式=的最小值.

第十章六A卷

參考答案與試題解析

題號(hào)12345678910

答案AADCCCDCCB

選擇題（共10小題）

1.（2024秋?正定縣期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.V8-V2=V2B.V2+V3=V5C.4百一4百=1D.3+

【考點(diǎn)】二次根式的加減法.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式的加減法則逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.

【解答】解：A、V8-V2=2V2-V2=V2,故此選項(xiàng)符合題意；

B、夜與日不是同類(lèi)二次根式，不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、4V3-4V3=0,故此選項(xiàng)不符合題意；

D、3與2/不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2024秋?泉港區(qū)期末）下列各式中，化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）

A.V16=4B.V9=±3

C.J（—4尸=—4D.V64=8

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；立方根.

【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、立方根的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題即可.

【解答】解：A、V16=4,正確，符合題意；

B、V9=3,不正確，不符合題意；

C、J（一4尸=4,不正確，不符合題意;

。、V64=4,不正確，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，立方根，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.（2024秋?天府新區(qū)期末）下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是（）

A.V2+V3=V5B.3V5—V5=3C.f=V4D.V6xV2=2V3

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則一一計(jì)算判斷即可.

【解答】解：A、魚(yú)與而不是同類(lèi)二次根式，不能合并，本選項(xiàng)不符合題意；

B、3事）-事）=2事）,本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、j=V2,本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、V6xV2=V12—2y[3,本選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算法則.

,____,____V

4.（2024秋?正定縣期末）已知y=后口+W^+3,則一的值為（）

4A33

A.—B.-5C.—D.--T

3344

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【專(zhuān)題】二次根式.

【答案】C

【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x的值，進(jìn)而得出y的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：由題意可得：尤=4,

貝！Jy=3,

則上的值為：

X4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出尤的值是解題關(guān)鍵.

5.（2024秋?錦江區(qū)期末）下列各式中，正確的是（）

A.7(-2)2=-2B.(-V3)2=9

C.±V9=±3D.舊一&=1

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；平方根.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】c

【分析】利用二次根式的性質(zhì)一一計(jì)算判斷即可.

【解答】解：A、曲取=2,本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、（-V3）2=3,本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、±V9=±3,本選項(xiàng)正確，符合題意；

D、次與魚(yú)不是同類(lèi)二次根式，不能合并，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，平方根，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算法則.

6.（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）估計(jì)（4冉+/）x孝的值在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；估算無(wú)理數(shù)的大小.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】將原式計(jì)算后進(jìn)行無(wú)理數(shù)的估算即可.

【解答】解：原式=2遙+1=舊+1,

V4<V24<5,

.?.5<V24+1<6,

即原式的值在5和6之間，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則及無(wú)理數(shù)估算的方

法是解題的關(guān)鍵.

7.（2024秋?法庫(kù)縣期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.V4=±2B.V20=4V5C.V3+V2=V5D.J（—3）2=3

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；二次根式的加減法.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算判斷即可.

【解答】解：A、V4=2,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、V20=2V5,故此選項(xiàng)不符合題意；

C、V3+V2^V5,故此選項(xiàng)不符合題意；

D、7（-3）2=3,故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

8.（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）下列各式中，與岳是同類(lèi)二次根式的是（）

A.2VaB.C.V8aD.

【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類(lèi)二次根式的概念判斷即可.

【解答】解：A、2vH與衣不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；

B、上=畔,與伍不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；

C、y/8a=V4X2a=2V2a,與后是同類(lèi)二次根式，符合題意；

D、E=也,與后不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類(lèi)二次根式,把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后,如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，

就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式.

9.（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.V18B.C.726abD.Vx2-2x+1

【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，像這

樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式，分母中含有二次根式的也不是最簡(jiǎn)二次根式，由此判斷即可.

【解答】解：A、V18=3V2,不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、/=￥，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

c、而F是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

D、V%2-2%+1=y/（x-I）2=II，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

10.（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.V4-V2=V2B.3V3+2V3=5V3

C.V3-J|=^D-?=加

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的減法運(yùn)算對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加法運(yùn)算對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；

根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：A.V4-V2=2-V2,所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.3V3+2A/3=5A/3,所以3選項(xiàng)符合題意；

C.V3xJ|=j3x|=V5,所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.~~=-=V2,所以。選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和除法法則

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

—.填空題（共5小題）

11.（2024秋?泉港區(qū)期末）最簡(jiǎn)二次根式折口與2g可以合并，則尸5.

【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式；最簡(jiǎn)二次根式.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】5.

【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式的概念列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：由題意可知：最簡(jiǎn)二次根式與2次是同類(lèi)二次根式，

貝Ux-2=3,

解得：x=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類(lèi)二次根式，幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同,

就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式.

12.（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)實(shí)數(shù)x<7時(shí),J-磊有意義.

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】<-1.

【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為零列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得：一系20,

2

:一中力。,

2

則x+l<0,

解得：x<-1,

故答案為：<-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為零是解題

的關(guān)鍵.

13.（2024秋?錦江區(qū)期末）定義：因?yàn)椋?+迎）（迎-VF）=（6）2-（迎尸=a-6,可以有效的去掉根

號(hào)，我們稱(chēng)（VH+啊與樂(lè)-迎）為一對(duì)“對(duì)偶式”.若A/18—X-Vil-x=1,則U18—x+V11-%=

7.

【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】7.

【分析】在等式“8-乂一41=1的兩邊乘+一、）可得結(jié)論.

【解答】解：：同=W—"1=^=1,

（V18—x-Vl1—x）（V18—x+V11—x）=V18—x+V11—x,

.W18-x+Vil-x=18-x-（ll-x）=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

14.（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）孤+VF的有理化因式是Va-Vb

【考點(diǎn)】分母有理化.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；二次根式.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子，據(jù)此作答.

【解答】解：+(VH-VF)=(Va)2-(乃)2—a-b,

VH+VF的有理化因式是VH-Vb,

故答案為：VS—Vb.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的有理化.根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化.二次根式有

理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子.即一項(xiàng)

符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同.

15.(2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末)二次根式叮-2的有理化因式可以是役+2.

【考點(diǎn)】分母有理化.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】依+2.

【分析】根據(jù)分母有理化因式的特征進(jìn)行解答即可.

【解答】W：V(Vx-2)(Vx+2)=x-4,

.,.二次根式?-2的有理化因式可以是《+2,

故答案為：〃+2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分母有理化，掌握分母有理化因式的特征是正確解答的關(guān)鍵.

三.解答題(共8小題)

16.(2024秋?昆都侖區(qū)期末)計(jì)算：

(1)2V3+3V2-5V3-3V2；

(2)(V5+V2)(V5-V2)-(V3-V2)2.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；平方差公式.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】⑴-3V3；

(2)2V6-2.

【分析】(1)直接合并同類(lèi)二次根式即可；

(2)先根據(jù)平方差公式和完全平方公式計(jì)算，然后合并即可.

【解答】解：(1)原式=-38；

(2)原式=5-2-(3-2V6+2)

=5-2-5+2V6

=2遙-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和乘法公式

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.(2024秋?拱墅區(qū)期末)已知。是-8的立方根，b是蘭的算術(shù)平方根.

25

(1)直接寫(xiě)出。，6的值，并比較a與6-1的大小.

(2)求代數(shù)式a?+5xV7-5(2b+V7)的值.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；立方根；實(shí)數(shù)大小比較.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

4

【答案】(l)a=-l,b=a<b-1；

(2)-4-10V7.

【分析】(1)根據(jù)立方根，算術(shù)平方根的定義求出a,6可得結(jié)論；

(2)把a(bǔ),6的值代入計(jì)算即可.

【解答】解：(1)是-8的立方根，萬(wàn)是”的算術(shù)平方根，

4

27

〃---

‘P-

5

4

7仁

P-1---=

=5

.\a<b-1；

(2)原式=(-2)2-5V7-5(-+g)

=4-5V7-8-5V7

=-4-10V7.

【點(diǎn)評(píng)】題考查二次根式的混合運(yùn)算，立方根，實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)

算法則.

18.(2024秋?羅湖區(qū)期末)計(jì)算：

V24xV6

⑴

(2)V75-(2024-7T)°+|2-V3|.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】⑴4V3；

(2)4V3+1.

【分析】(1)先根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算，再根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算，最后根據(jù)二次根式的

性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；

(2)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)累、絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算，再合并即可.

【解答】解：(1)立等生

=V24XV2

=V48

=4遍；

(2)V75-(2024-兀)°+|2-V3|

=5V3-1+2-V3

=4V3+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

19.(2024秋?泉州期末)如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為18和25.

(1)大正方形的邊長(zhǎng)是5,小正方形的邊長(zhǎng)是

(2)求圖中陰影部分的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)5,3V2；

(2)20.

【分析】(1)根據(jù)題意可得小正方形邊長(zhǎng)為3a,大正方形邊長(zhǎng)為5,即可求解;

(2)根據(jù)大小正方形的邊長(zhǎng)為3注和5,列式即可求解.

【解答】解：(1)..?大正方形的面積為25,小正方形的面積為18,

大正方形邊長(zhǎng)為后=5,小正方形邊長(zhǎng)為VIm=3V2,

故答案為：5,3V2；

(2)?.?大正方形邊長(zhǎng)為5,小正方形邊長(zhǎng)為3VL

.?.陰影部分的周長(zhǎng)4(5-3V2)+4x3a=20.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，明確題意，求出大小正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

20.(2024秋?大慶期末)定義兩種新運(yùn)算，規(guī)定：crkb=Va-b,ai^b=y/a+b,其中a,b為實(shí)數(shù)且a

》0.

(1)求(5*1)(5☆1)的值；

(2)化簡(jiǎn)(2★心(2祗n).

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】⑴4；

(2)2-層.

【分析】根據(jù)題意列式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)原式=(V5-1)(V5+1)

=5-1

=4；

(2)原式=(V2-w)(V2+n)

=2-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵.

21.(2024秋?新城區(qū)期末)【材料一】?jī)蓚€(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根

式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化固式.

例勿7：V5xV5=5,(V5+1)(V5-1)=4,我們稱(chēng)小和有互為有理化因式，(花+1)和(有一1)

互為有理化因式.

【材料二】如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同乘分母的有理化因式，使分

1lX(V5+2)

母中不含根號(hào)，這種變形叫作分母有理化.例=Vs+2.

Vs-2(V5—2)(V5+2)

結(jié)合上述材料，解決問(wèn)題:

(1)VIU的有理化因式是V10+3的有理化因式是3

⑵利用分母有理化化簡(jiǎn)備.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；平方差公式；分母有理化.

【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)V10,V10-3；

(2)V17-4.

【分析】(1)根據(jù)有理化因式的定義求解；

(2)利用平方差公式分母有理化即可.

【解答】解：(1)的有理化因式是內(nèi)，舊+3的有理化因式是“U-3.

故答案為：V10,V10—3；

(2)原式=-,——-^=—=VT7—4.

(717+4)(717-4)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算法則.

22.(2024秋?碑林區(qū)校級(jí)期末)已知x=,+VLy=V3-V2,求/-孫+y的值.

【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】把所求的式子變形成(x+y)2-3町的形式，然后代入數(shù)值計(jì)算即可.

【解答】解：原式=(x+y)2-3孫，

當(dāng)久=8+a,丫=百一/時(shí)，原式=(2V3)2-3(V3+V2)(V3-V2)

=12-3

=9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確對(duì)所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵.

23.(2024秋?長(zhǎng)沙期末)我們約定：關(guān)于x的代數(shù)式A,B,若不論x為何值，都有|A-8|=機(jī)(機(jī)為常數(shù))，

則稱(chēng)代數(shù)式42互為"差值代數(shù)式",M2為"差值".例如:A=X2+2X+3,B=X2+2X+1,因?yàn)閨A-3|=2,

所以A,2互為“差值代數(shù)式"，“差值”為2.根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題.

(1)判斷下列各式是否互為“差值代數(shù)式”.若是，則在括號(hào)中的劃“J”，若不是，則劃“義”.

①爪+1與《—1V；

②(x+2)2與/+2尤X；

X+32%+3

③一與——V.

xx

(2)已知關(guān)于x的整式(x-a)2,N=/-2辦+5,若〃，N互為“差值代數(shù)式”，且“差值”為

4,求。的值；

(3)已知關(guān)于尤的整式S=/+6x+c,T=x1+dx,若S,T互為''差值代數(shù)式”，且滿(mǎn)足(尤+2)(x+3)(x+4)

(x+5)=S2-1.

①求b,c,d的值；

T

②求代數(shù)式定的最小值.

【考點(diǎn)】二次根式的加減法；整式的加減；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；平方差公式.

【專(zhuān)題】整式；分式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)①②義，③

(2)a=l或a=-1或。=3或a=-3；

AQ

(3)①。=7,c=11,d=7；②—2^.

【分析】(1)根據(jù)“差值代數(shù)式”以及“差值”的定義以及計(jì)算方法進(jìn)行解答即可；

(2)根據(jù)“差值代數(shù)式”以及“差值”的定義以及計(jì)算方法得到5|=4,進(jìn)而得至!］。2一5=4或，2

-5=-4,求出〃的值即可；

(3)①根據(jù)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=S?-1可化為(/+7x+根)(/+7x+12)=(/+Zzx+c+l)(/+fcv+c

-1),進(jìn)而求出8=7,c=ll,再根據(jù)“差值代數(shù)式”以及“差值”的定義以及計(jì)算方法可得到b=d；

Ty2?yY［人

②將S=x2+bx+c,代入一^可得一5-----------進(jìn)而得到1——2,當(dāng)7+7尤+16的值最小

S+5X2+7X+16/+7%+16

時(shí)，原式的值最小，求出7x+16的最小值即可.

【解答】解：⑴①立+1-(々―1)|=2,所以?+1與近—1互為“差值代數(shù)式"，“差值”為2,

故答案為：V；

②|(x+2)2-(7+2x)|=|/+4工+4-/-2工|=|2五+4］,所以(x+2)2與/+2x不是(尤+2)2與/+2x,

故答案為：X；

丫-|-2?丫-|~2Q2丫_|-2QV-L*2

③I——-——1=|1+|-2-1|=1,所以當(dāng)無(wú)W0時(shí)，——與——互為“差值代數(shù)式"，“差值”為1,

XXXXXX

故答案為：V；

(2),?,關(guān)于］的整式M=(x-4z)2,N=/-2〃x+5,若M,N互為“差值代數(shù)式”，且“差值”為4,

A\M-N\=\(%-4)2-(x2-2ox+5)|=4,

即id-5|=4,

-5=4或。2-5=_%

當(dāng)〃2-5=4時(shí)，即/=9,所以〃=3或〃=-3；

當(dāng)〃2-5=-4時(shí)，即〃2=1,所以。=1或〃=-］；

綜上所述，4=1或〃=-1或4=3或4=-3；

(3)①:關(guān)于％的整式S=/+bx+c,T=/+公，若s,T互為“差值代數(shù)式”，

A\j?+bx+c-x2-的結(jié)果是常數(shù)，

:.b=d,且“差值”為Id,

又：(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=S2-1,

(/+7x+10)(7+7尤+12)=(/+6x+c+l)(x2+bx+c_1),

:.b=1,c=ll,

答：b=l,c=ll,d=7；

工=-+7X=]16

S+5%2+7X+16X2+7X+16，

當(dāng)7+7元+16的值最小時(shí)，原式的值最大,

4X1X16-4915

1.,X2+7X+16的最小值為

4X14

.?扁的最小值1-骨=-篝

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式二次根式的加減法，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，多項(xiàng)

式乘多項(xiàng)式的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.平方根

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于。，這個(gè)數(shù)就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

(2)求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.

一個(gè)正數(shù)。的正的平方根表示為“g負(fù)的平方根表示為“-迎”.

正數(shù)a的正的平方根，叫做。的算術(shù)平方根，記作份.零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，。的立方根是

0.

2.立方根

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，如果/=a,

那么x叫做。的立方根.記作：VH.

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

(3)求一個(gè)數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫開(kāi)立方，其中。叫做被開(kāi)方數(shù).

注意：符號(hào)狐中的根指數(shù)“3”不能省略；對(duì)于立方根，被開(kāi)方數(shù)沒(méi)有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一

個(gè)立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，。的立方根是

0.

3.實(shí)數(shù)大小比較

實(shí)數(shù)大小比較

(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)

實(shí)數(shù)比大小，絕對(duì)值大的反而小.

(2)利用數(shù)軸也可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在

原點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小.

4.估算無(wú)理數(shù)的大小

估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)，求無(wú)理數(shù)的近似值.

5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，

又可以進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開(kāi)平方.

(2)在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算

加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開(kāi)方運(yùn)算、幕的運(yùn)算、指數(shù)(特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三

角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)

算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

6.整式的加減

(1)幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接；然后去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng).

(2)整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類(lèi)項(xiàng).

(3)整式加減的應(yīng)用：

①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；

②根據(jù)題意列出算式；

③計(jì)算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實(shí)際問(wèn)題.

【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問(wèn)題

1.整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng).一般步驟是：先去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng).

2.去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是時(shí)，

去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào).

7.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

(1)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

(2)運(yùn)用法則時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

①相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類(lèi)項(xiàng)

之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.

8.平方差公式

(1)平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

(a+b)(.a-b)—a2-b2

(2)應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；

②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；

③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；

④對(duì)形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運(yùn)用這個(gè)公式計(jì)算，且會(huì)比用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則簡(jiǎn)便.

9.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

(1)二次根式的概念.形如G(a20)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

(3)二次根式具有非負(fù)性.VH(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)來(lái)確定二次根式被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負(fù)性解決相關(guān)問(wèn)題.

【規(guī)律方法】二次根式有無(wú)意義的條件

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根