2024-2025學年八年級數學下學期第一次月考卷01

（人教版）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教版八年級下冊第16章?第17章。

5.難度系數：0.75o

一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。）

1.下列計算正確的是（）

A.V3+V4=V7B.V2xV5=V7

C.V12-V6=2D.3V5-2V5=V5

【答案】D

【解析】解：4聲與V?不是同類二次根式，所以不能合并，故4不符合題意；

B、V2XV5=V10,故2不符合題意；

C、V12-V6=V2,故C不符合題意；

D、3V5-2V5=V5,故。符合題意：

故選：D.

2.滿足下列條件的△ABC（a、b、c為三邊）,不是直角三角形的是（）

A.Z5=50°,ZC=40°B.a2=c2-b1

C.a2=5,b2=U,C2=13D./A：ZB：ZC=1：2：3

【答案】C

【解析】解：A.'：ZB=50°,ZC=40°,

；.N/=180°-ZB-ZC=90°,

是直角三角形，故選項/不符合題意;

B、Va2=c2-b1,

a2+b1=c1,

...△NBC是直角三角形，故選項B不符合題意；

C、;層=5,y=12,C2=13,

c^+b2=17W,2=13,

.?.△/5C不是直角三角形，故選項C符合題意；

D、；//：NB：/C=l：2：3,/Z+/8+C=180°,

3

最大角NC=1+2+3*18。°=90°,

.?.△/5C是直角三角形，故選項。不符合題意；

故選：C.

3.在下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.qB.yjx2+y2C.yjx2yD.V27

【答案】B

【解析】解：A,信=乎,不是最簡二次根式，不符合題意；

79D

B、jN+y2是最簡二次根式,符合題意；

c、，西=困77，不是最簡二次根式，不符合題意；

D、V27=3V3,不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：B.

4.如圖，把一塊含45°角的三角板放入2X4的網格中，三角板三個頂點均在格點上，直角頂點與數軸上

表示-1的點重合，則數軸上點N所表示的數為（）

C.-1+2V2D.V3

【答案】C

【解析】解：如圖,

由題意可知，BA=BC,/BDC=9Q°,BD=CD=2,

：.BC=7BD2+CD2="2+22=2V2,

：.BA=242,

...數軸上點A所表示的數為-1+2北，

故選：C.

,____,____y

5.已知y—4+A/4—x+3,貝咚的值為()

4433

A.-B.--C.-D.

4

【答案】C

x-4>0

【解析】解：由題意可得：\,所以x=4,

4-x>0

則y=3,

y3

貝匚的值為：T.

故選：c.

6.如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5加的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴區如圖①

所示，人只要移至該門鈴5加及5小以內時，即/CW5加，門鈴就會自動發出語音'‘歡迎光臨如圖②

所示，一個身高1.5加的學生走到。處，即CD=1.5%,門鈴恰好自動響起，則AD的長為（）

A.3米B.4米C.5米D.7米

【答案】B

【解析】解：由題意可知，BD=CE,BE=CD=\.5m,AC=5m,則-5E=4.5-1.5=3(a),

在RtA^CE中，由勾股定理得：CE='AC2-4E2=府=事=4(加)，

米，

即門鈴恰好自動響起，則80的長為4米，

故選：B.

7.若實數怙〃在數軸上的位置如圖所示，則代數式JQn+4)2—|m—用的化簡結果為()

*11

-------n----------------------m----------------------0

A.-2mB.2nC.2mD.-In

【答案】A

【解析】解：由數軸可知,〃<0,m<0,|m|<|n|,

.*.7(m+n)2-|m-n\

=\m+n\-\m-n\

=-(加+〃)-(m-n)

--m-n-m+n

--2mf

故選：A.

1

8.若。=1+魚，b=則。與b的關系是()

A.互為相反數B.互為倒數

C.相等D.互為負倒數

【答案】A

11+V2=「

=_

【解析】解：^^=(1.V2)(1+V2)(1+?)，a='+內

六。與6互為相反數.

故選：A.

9.如圖，在Rt448C中，NC=90°,/C=4,BC=3,分別以各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面

積為()

c

2525

A.6B.-C.4n-6D.~^n:

【答案】A

【解析】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=25,

11AC1BC、1AB

則陰影部分的面積=5X/CX3C+jXTtX(―)2+-XTtX(―)2--X7TX(―)2

111

=~x3X4+-Xirx-x(ACn2+BC2-AB2)

ZN4

=6,

故選：A.

10.我國宋代數學家秦九韶的著作《數書九章》中關于三角形的面積公式與古希臘數學家海倫的成果并稱

a+b+c

“海倫-秦九韶公式”.它的主要內容是：如果一個三角形的三邊長分別是eb,c,記p=1—,S

為三角形的面積，S=y/p(p—d)(p—b)(p—c),若一個三角形的三邊長分別為Q,b,c,p=S=\5,a=

10,且b>c,則6值為()

A.10+V22B.10-V22C.10+V15D.10

【答案】A

【解析】解：..?p=S=15,?=10,

a+b+c10+b+c

?加^-=^^=15,

Z?+c=20,

即c=20-b,

=Jp(p-a)(p-b)(p-c)=p,

:.p(p-a')(p-6)(p-c)=p2,

即(p-a)(p-b)Cp-c)=p,

把p=15,a=10,c=20-b代入得:

(15-10)(15-6)(15-20+6)=15,

整理得y-206+78=0,

即(b-10)2=22,

'：b+c=20S.b>c,

：.b>10,

：.b-10=V22,

即b=10+V22,

故選：A.

11.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和

中間的小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形的兩條直角邊長分別為加，〃(%>〃).若小正方形

面積為7,(〃?+〃)2=21,則大正方形面積為()

A.11B.12C.13D.14

【答案】D

【解析】解：.??小正方形面積為7,

(加-〃)2=7,

又：(w+n)2=21,

(w+n)2-(加-〃)2=14,

2mn=l.

1

又,大正方形的面積=/nnX4+(m-ri')2=m2+n2,

.'.m^+rr—(%+〃)2-2mn—21-7=14,

故選：D.

11

12.我們知道形如石，工后的數可以化簡，其化簡的目的主要是把原數分母中的無理數化為有理數.如:

1

1lxV2V2lx(2+V3)一「

正=亦方=苧不*(2半)(2+2)=2這樣的化簡過程叫做分母有理化.我們把血

叫做血的有理化因式，2+舊叫做2-g的有理化因式.利用有理化因式，可以得到如下結論：①

1O.ab1

^=—②設有理數。，6滿足可+==-6魚+4,則"6=6；③即_即>

1____________________

A/2021-，2020；④已知〃3—%—111—%=4,則，43——+V11——=6；以上結論正確的有()

A.①③B.①②C.①④D.③④

【答案】A

13+V53+V5x-x

==

【解析】解：^(3-V5)(3+V5)—故①正確,符合題意；

ab

正7+百=(⑶1)(41)-6V2+4

：.a+b^-6,故②錯誤，不符合題意；

1_______-2023+V2022_______________

V2023-V2022-(V2023+V2022)(V2023-V2022)-^2023+^2022,

1V2021+V2020,____,___

/~,=/~~,=V2021+V2020,

V2021-V2020(V2021+V2020)(V2021-V2020)

11

AV2023-V202l>72021-72^;故③正確'符合題意；

V43—%—V11—%—4,(V43—x—V11—%)(V43—%+V11—%)—43—x—11+%=32,

.'.V43—%+V11—x=8,故④錯誤，不符合題意；

故選：力.

二、填空題(本題共6小題，每小題2分，共12分.)

13.已知平面直角坐標系內兩點Z(3,-1)和5(-1,2),則48=.

【答案】5

【解析】解：根據兩點間的距離公式可知：/—=J(3+1)2+(_1_2)2=5,

故答案為：5.

14.已知是整數，則正整數”的最小值為.

【答案】7

【解析】解：V28n=V22x7n,

是整數，〃為正整數，

的最小值是7.

故答案為：7.

15.若最簡二次根式47^口與—7317—2a能夠合并,那么合并后的值為.

【答案】-3V7

【解析】解：由題意得：3a-8=17-2a,

解得：a=5,

貝ij3a-8=17-2a=7,

4V7+(-7V7)=-3V7,

故答案為：-3V7.

16.把aJ二中根號外面的因式移到根號內的結果是.

【答案】—V—a

【解析】解：原式=-J—i-a2=—V—a,

故答案為：—V—a

17.如圖，在直角三角形中，ZA=90°,AB=10cm,/C=5c加，點尸從點力開始以2c加/s的速度向

點5移動，點0從點。開始以3c加/s的速度沿。一4一5的方向移動.如果點尸，0同時出發，點尸到

達點5時，P,0兩點都停止運動.設移動時間為f(s),當時，5.

AB

【答案】1或5

【解析】解:因為點0從點C開始以3cm/s的速度沿Cf/fg的方向移動，移動時間用1(s)表示，

所以當點。在NC上運動時，C0=3fc%,

所以“0=/C-CQ=(5-3力cm,

分兩種情況：

①當點。在/C上運動時，QA=4P,BP5-3t=2t,

解得f=l;

②當點0在上運動時，QA=AP,即3「5=2f,

解得t=5,此時點尸與點0同時到達點2,

綜上所述，f的值為1或5.

18.如圖是一種筆記本電腦支架，它有N?尸共6個檔位調節角度，相鄰兩個檔位距離為2c%,已知托架

0K的長度為24c%,M點是支點且(W=2MC.當支架調至/點時，AMLOK,當支架調至E檔時，托

架0K繞著點O旋轉到OK，,此時E=OE,則支點到。/的距離為cm.

【解析】解：由題意可知：MA=ME=OE,AMLOK,AE=8cm,

?.?有/?尸共6個檔位調節角度，相鄰兩個檔位距離為2cm,

?./￡=8。加，

\'OK=24cm,OM=1MK,

：.OM=OAf^l6cm,

^MA=ME=OE=xcm,則CM=(x+8)cm,

在RtAOAM中,

由勾股定理，得。42=M42+OM2,

即(x+8)2=X2+162,

解得x=12,

：.MA=ME=OE=\2cm,

過點Af作〃W_LCM,

設OH=ycm,則EH=(12-y)cm,

由勾股定理，得MH1=OM2-OH2=ME2-EH2,

即162-/=122-(12-y)2,

32

解得v="F'

77^~7327716西、

:.MH=70M'2_。。2=162-(―)2----(cm).

答：支點M"到OA的距離為空⑤cm.

故答案為：智5

三.解答題（本題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.(8分)計算：

(])~~+2V18—TV32;

Zo

(2)(V5+V^)(V5—V3)—V48+V3.

LL1L

【解析】解：(1)原式=魚+6魚一5位

13V2

=------（4分）

2，

(2)原式=(V5)2-(V3)2-4

=5-3-4

--2.（8分）

20.（8分）如圖，在△/8C中，AB=AC,是/8/C的角平分線，NC的垂直平分線交于點E,交

NC于點尸，連接BE.

（1）求證：AE=BE；

(2)若4B=4C=5,BC=6,求△A8E的周長.

【解析】（1）證明：連結EC.

\'AB=AC,4。是NA4C的角平分線，

：.AD垂直平分BC,（1分）

???點E在ZO上，

:?BE=EC,（2分）

VAC的垂直平分線交AD于點E,

：.AE=EC,（3分）

：.AE=BE.（4分）

1

(2)由(1)得，BD=~BCf

9：BC=6,

:,BD=3,

：.AD=7AB2-BD2=4,（5分）

設AE=BE=x,

在Rt/XBDE中，BD2+DE2=BE2,

32+(4-x)2=x2,（6分）

25

即4E=—,（7分）

O

252545

/\ABE的周長為r：AB+BE+AE=5+—+—=-.（8分）

oo4

11

21.(8分)已知%=獐,y=二云

(1)求/-盯+/的值；

(2)若x的小數部分為a,y的小數部分為6,求(a+b)2+J(a一6)2的值.

12-V3-

【解析】解：(1)=2+二=(2+0)(2-a=2一肩

12+6

=2-V3=(2-V3)(2+V3)=2+^（2分）

；.尤2-xy+y2

=(x+y)2-3xy(3分)

=(2-V3+2+V3)2-3X(2-V3)(2+V3)

=42-3X1

=16-3

=13；(4分)

(2)由(1)知，x=2-V3,y=2+V3,

VI<3<4,

1<V3<2,

-2<-V3<-1,3<24-V3<4,

.".0<2-V3<l,

Vx的小數部分為a,y的小數部分為b,

.,.a=2—y/3)b=2+—3=y/3—1,(6分)

.,.原式=(2-V3+V3-1)2+J(2-V3-V3+l)2

=1+J(3-2遮/

=l+2V3-3

=2V3-2.(8分)

22.(8分)如圖，A,8兩村莊相距3千米，C為供氣站，NC=2.4千米，8C=1.8千米，為了方便供氣,

現有兩種方案鋪設管道.

方案一：從供氣站C直接鋪設管道分別到/村和3村；

方案二：過點C作的垂線，垂足為點“，先從C鋪設管道到點〃處，再從點〃處分別向/、8兩村

鋪設.

(1)試判斷△NBC的形狀，并說明理由；

(2)兩種方案中，哪一種方案鋪設管道較短？請通過計算說明.

【解析】解：（1）△/BC是直角三角形.理由如下:（1分）

"：AC2+BC2=2,42+1.82=9,AB2=?>2=9,（2分）

:.AC2+BC2^AB2,（3分）

：.4ABC是直角三角形;（4分）

11

(2)AABC的面積=-AB-CH=~AC-BC,（5分）

AC-BC2.4X1.8

----=1.44(米)；（6分）

V^C+5C=2.4+1.8=4.2(米),

8+48=1.44+3=4.44(米),（7分）

4.2米<4.44米,

方案一所修的管道較短.（8分）

1

23.（8分）小明同學在解決問題“已知a=彳后，求2*-8。+1的值”時，他是這樣解答的:

12-V3

22-

?a-2+V3一(2+V3)(2-V3)=2—V3,V3=2—a,(V3)=(2—a),??a2=4。1.

/.2a--8。+1—2(4a-1)-8a+l—8a-1-8a+l--1.

請你認真理解小明的解答過程，解決如下問題:

1111

+++；

(1)化向：^+1+V3+V2V4+V3-"V2025+V2024

1

(2)已知x=萬五，求2A3_8X2+3X+7的值.

【解析】解：(1)原式=血一1+V3-V2+V4-V3+...+V2025-V2024（2分）

=<2025-1

=45-1

=44；（4分）

1

(2)Cx==魚+1,（5分）

'.x-1=V2,

(X-1)2=2,

即x2-2x+l=2,

.'.X2—2X+1,（6分）

/.x3=x(2x+l)=2X2+X=2(2X+1)+x=5x+2,（7分）

二?原式=2(5x+2)-8(2x+1)+3x+7=-3x+3=-3(V2+1)+3=-3V^.（8分）

24.（10分）如圖，把兩張小正方形紙片分別沿對角線剪開，拼成一張面積為16c層的大正方形紙片.

（1）小方形紙片的邊長為cm；

（2）在（1）的條件下，設小正方形紙片的邊長的值的整數部分為0,小數部分為6,求a+2b—4魚的

值；

（3）若沿此大正方形紙片邊的方向剪出一張長方形紙片，能否使剪出的長方形紙片a的長寬之比為2：

1,且面積為12C%2?若能，試求出剪出的長方形紙片的長和寬；若不能，請說明理由.

【解析】解:（1）:.小正方形的面積為16+2=8（cm2）,

...小正方形的邊長為

故答案為：2魚；（2分）

（2）由題意a=2,b=2\[2—2,（4分）

：.a+2b-4V2=2+2（2V2-2）-4V2=2+4V2-4-4V2=-2；（6分）

（3）不能，理由如下：

???長方形長寬之比為2：1,

...設長方形的長和寬分別為2xc%,xcm,

.'.2x*x—12,

：.X2=6,（7分）

Vx>0,

.".x=V6,（8分）

??2x=2>/6,

V2<V6<3,

/.2V6=V24>4.（9分）

沿此大正方形紙片邊的方向不能裁剪出符合要求的長方形.（10分）

25.（10分）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長都為

1

b,斜邊長都為c）,大正方形的面積可以表示為c2,也可以表示為4X]ab+（a—6）2,由此推導出重要

的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,則。2+廬=02.

cc

【結論探究】

（1）圖②為美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”，請你利用圖②推導勾股定理；

【結論應用】

（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側有一村莊C,河邊原有兩個取水點4,B,AB^AC,由于某

種原因，由C到n的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點〃H,8在

同一條直線上），并新修一條路5.CHLAB.測得CH=0.8千米，加=0.6千米，求新路比原

路CA少多少千米？

【問題拓展】

（3）△/2C中，NC=10,BC=\7,AB=21,CHLAB,垂足為〃，請直接寫出S的值.

【解析】（1）證明：：梯形/5。的面積可表示為2（。+6）9+6）=［。2+仍+$）2,a分）

111_

也可以表示為5ab+,就+5c2,（2分）

11111

J.—ab+~ab+-c12*5=—a2+ab+--b2,

乙乙乙乙乙

整理，得。2+62=。2；（3分）

（2）設A8=/C=x千米，

：.AH=AB-BH=（x-0.6）千米，（4分）

在RtZ\/CH中，

由勾股定理，得C/』C〃2+/H2,

即/=0.82+（x-0.6）2,

5

解得x=

O

即乙4=總千米，（5分）

51,

CA—CH=——0.8=—（千米），

o3U

1

答：新路CH比原路C4少熱千米;（6分）

（3）CH=8.

理由：如圖，設

:.BH=21-y,

-CHLAB,垂足為H,

:.AACH,△BC”都是直角三角形,

在RtZ\/CH中,

\'AC=IO,

，由勾股定理，得C〃2=/c2-/〃2=102_、2,（7分）

在RtASC/f中，

V5C=17,

由勾股定理，得Clf=BC2-BH2=172-（21-y）2,（8分）

.\102-/=172-（21-y）2,

解得y=6,（9分）

在Rt/\ACH中，

由勾股定理，得CH=y/AC2-AH2=V102-62=8,（10分）

26.（12分）如圖，在△