三角形的證明知識歸納與題型突破（23類題型）

01思維導圖

一、等腰三角形

1.三角形全等的性質及判定

全等三角形的對應邊相等，對應角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

2.等腰三角形的性質

①.等腰三角形是軸對稱圖形.

②.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線是等腰

三角形的對稱軸.

③.等腰三角形的兩個底角相等.

3.等腰三角形的判定

有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡述為：等角對等邊.

4.等邊三角形的性質及判定定理

性質定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60。；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對

稱軸.

判定定理：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形.

5.含30。的直角三角形的邊的性質

定理：在直角三角形中，如果一個角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

要點：等邊三角形是中考中常考的知識點，并且有關它的計算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數據

要熟記于心，比如邊長為a的等邊三角形它的高是g。，面積是含有30。的直角三角形揭示了三

24

角形中邊與角的關系，打破了以往那種只有角或邊的關系，同時也為我們學習三角函數奠定了基礎.

二、直角三角形

1.從角的角度研究直角三角形的性質和判定

定理：直角三角形的兩個銳角互余.

逆定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

2.勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

3.命題與逆命題

命題包括題設和結論兩部分；逆命題是將原命題的題設和結論交換位置得到的；

4.直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）.

三、線段的垂直平分線

1.線段垂直平分線的性質及判定

性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

2.三角形三邊的垂直平分線的性質

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.

3.如何用尺規作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于‘AB的長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN,

2

則直線MN就是線段AB的垂直平分線.

要點：①注意區分線段的垂直平分線性質定理和判定定理，注意二者的應用范圍；

②利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問題.

四、角平分線

1.角平分線的性質及判定定理

性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；

判定：在一個角的內部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上.

2.三角形三條角平分線的性質定理

性質：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.

3.如何用尺規作圖法作出角平分線

要點：①注意區分角平分線性質定理和判定定理，注意二者的應用范圍；

②幾何語言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法.遇到角平分線時，要構造全等三角形.

03題型歸納

題型一根據等腰三角形的定義求角度

例題

1.一個頂角為126。的等腰三角形，它的底角的度數為（）

A.18°B.24°C.27°D.34°

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

根據等腰三角形的性質可得兩底角相等，進而根據三角形內角和定理求解即可

【解析】解：一個頂角為126。的等腰三角形，它的底角的度數為:（180。-126。）=27。

故選C.

鞏固訓練

2.已知等腰三角形的一個角等于100。，則它的頂角是（）

A.80°B.100°C.80。或20。D.不能確定

【答案】B

【分析】本題考查等腰三角形的性質，根據100。角是鈍角只能做頂角求解即可得到答案.

【解析】解：..T00°>90°,

二100°角是頂角，

故選：B.

3.如果等腰三角形的一個角是80。，則它的頂角度數是（）

A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°

【答案】B

【分析】本題主要考查了三角形的內角和為180。，等腰三角形兩底角相等，解題的關鍵是熟練掌握相關內

容.分兩種情況討論：①當80。角為底角時；②當80。的角為頂角時，結合三角形內角和定理求解即可.

【解析】解：①當底角為80。時，頂角=180。-80。、2=20。，

②當頂角為80。時，頂角度數=80。，

綜上：頂角度數為80。或20。；

故選：B.

題型二根據等腰三角形的定義求邊長

例題

4.若一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則第三邊的長為（）

A.4B.6C.8D.4或8

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系的應用.分8是腰長與底邊兩種情況，再根據

三角形任意兩邊之和大于第三邊討論求解即可.

【解析】解：①8是腰長時，三角形的三邊分別為8、8、4,

4+8>8,能組成三角形，

所以，第三邊為8；

②8是底邊時，三角形的三邊分別為8、4、4,

?.-4+4=8,

二不能組成三角形，

綜上所述，第三邊為8.

故選：C.

鞏固訓練

5.等腰三角形的兩邊長分別為4cm和7cm,則周長為（）

A.15cmB.18cmC.13cm或18cmD.15cm或18cm

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質及三角形三邊關系的運用，關鍵是要結合三角形任意兩邊之和大于

第三邊對等腰三角形的邊長分情況進行討論.題中沒有指明哪個是底哪個是腰，則要分情況結合三角形三

邊關系進行分析.

【解析】根據題意，①當腰長為4cm時，三邊長為：4cm,4cm,7cm,可以構成三角形，此時周長為：

4+4+7=15（cm）；

②當腰長為7cm時，4cm,7cm,7cm,可以構成三角形，此時周長為：7+7+4=18（cm）.

二周長為:13cm或18cm.

故選：D.

6.已知等腰△N5C中，其中一邊長為4,周長為17,則其底邊長為（）

A.4B.9C.4或9D.不存在

【答案】A

【分析】本題考查了等腰三角形的定義、三角形三邊關系，當4為三角形的腰時，則三角形的三邊長分別為

4,4.17-4-4=9,根據三角形三邊關系可知此時不能組成三角形，當4為三角形底邊時，則另兩條邊

的長均為（17-4）+2=6.5,根據三角形三邊關系可知此時能組成三角形，所以等腰三角形的底邊為4.

【解析】解：?.?A/BC是等腰三角形，

54BC中有兩條邊相等，

當4為三角形的腰時，則三角形的三邊長分別為4、4、17-4-4=9,

?74+4=8<9,

??.不能組成三角形；

當4為三角形底邊時，則另兩條邊的長均為（17-4）+2=66,

1.14+6.5=10.5>6.5,

能組成三角形，

等腰A48C的底邊長為4.

故選：A.

題型三等角對等邊

例題

7.已知△4BC,AB=AC,AB=65°,則/C的度數是（）

A.50°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質.根據等腰三角形的兩個底角相等解答即可.

【解析】解：VAB=AC,

NC=NB,

???ZB=65°,

:.ZC=65°,

故選：B.

鞏固訓練

8.如圖，已知。￡〃8。,/2=/。,/1=125。，則NC的度數是（）

【答案】B

【分析】此題考查平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補；等腰三角形的性質：等邊對等角.根據平

行線的性質求出/2=180。-/1=180。-125。=55。，再根據等腰三角形的性質得到答案.

【解析】解：???DE?〃8C,

Z5+Zl=180°,

Zl=125°,

/.Z5=180o-Zl=180°-125o=55°,

AB=AC,

：.NC=NB=55°,

故選：B.

9.如圖，△48C中，。是3c邊上一點，AC=AD=BD,/A4c=105。，則/C的度數為（）

A

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等，也考

查了三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

設44OC=a,然后根據NC=AD=DB,NBAC=105°,表示出N3和，氏4。的度數，最后根據三角形的

內角和定理即可求解.

【解析】解：

:./B=/BAD,/ADC=NC.

設Z-ADC=ZC=OL,

（y

：./B=/BAD=—.

2

ZBAC=105°,

?,.ZDAC=105°--

2f

在△4DC中，

ZADC+ZC+ZDAC=1SO0,

a

：.2。+105。——=180。，

2

a-50°,

???ZC=50°.

故選D.

10.如圖，在△NBC中，AC=BC,D,E,尸分別是AB,AC,8c上的點，^.AE=BD,AD=BF,

若/瓦￥=43。，則，C的度數是（）

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理.首先利用山S判

定會ADAF,根據全等三角形對應角相等可得=從而可得

ZDFB+ZFDB=ZEDA+ZDFB=137°,根據三角形內角和定理可以求出/C==43。，再利用三角形內

角和定理可求NC的度數.

【解析】解：：在△4BC中，AC=BC,

NA=NB,

AE=BD

在AEAD和ADBF中-NN=ZB,

AD=BF

.^EAD=^DBF,

/EDA=/DFB,

又???/EDA+ZFDB=180。—ZEDF=180。—43。=137。，

/./DFB+ZFDB=/EDA+/DFB=137。,

ZB=180°-(ZFD5+ZDFB)=180°-137°=43°,

:.ZC=ZB=43°,

在中，/C=180°-/Z-Z8=94°.

故選：C.

題型四等腰三角形的“三線合一”

例題

11.如圖，在△N2C中，AD1BC,AB=AC,若BD=4,則。C的長是()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質，根據三線合一性質直接能得到點。是線段8C的中點,

即可求解.

【解析】解：,??4D/8C,AB=AC,BD=4,

：.CD=BD=4,

故選：B.

鞏固訓練

12.下列說法中，正確的是（）

A.等腰三角形的高線、中線、角平分線重合B.頂角為60。的等腰三角形是等邊三角形

C.等腰三角形底邊上的中線是它的對稱軸D.等邊三角形不是軸對稱圖形

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，軸對稱圖形的概念，熟知相關知識是

解題的關鍵.根據等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，軸對稱圖形的概念逐一判斷即可.

【解析】解：A、等腰三角形底邊上的高線、底邊上的中線和頂角的角平分線互相重合，不符合題意；

B、頂角為60。的等腰三角形是等邊三角形，符合題意；

C、等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，不符合題意；

D、等邊三角形是軸對稱圖形，不符合題意.

故選：B.

13.如圖，在AABC中，=點。為的中點，則下列結論中錯誤的是（）

A.NB=NBACB.NBAD=NCADC.NBDA=NCDAD.NB=NC

【答案】A

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟知三線合一定理和等邊對等角是解題的關鍵.

【解析】解：=點。為8c的中點，

/.ABAD=ACAD,AD±BC,NB=NC.

：.ABDA=NCDA=90°,

故B、C、D正確，A錯誤.

故選：A.

14.如圖，△NBC中，=JL8C于點。，DEJ.AB于點、E,BFJ.AC于點、F,BF=8,則DE的

長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據等腰三角形的性質可得從而得到以雙=2以.，從而得到尸=2x；4歷DE,

即可求解.

【解析】解：=

：.CD=BD,

,?S^ABC=2S—BD，

?；DE_LAB,BF1AC,

：

.S△.BC=-2AC-BF,，S△AABD=2-ABDE,

：.-AC-BF=2x-AB-DE,

22

,?BF=8,

：.DE=4.

故選：C

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

題型五等腰三角形的格點問題

例題

15.如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點.已知N、8是兩格點，如果C也是圖中的格點且使

△N8C為等腰三角形，則點C的個數是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定,

根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①"為等腰△N8C底邊；②"為等腰UBC其中的一條腰.

【解析】解：如圖：分情況討論.

①為等腰△N2C底邊時，符合條件的C點有4個（包括兩個等腰直角三角形）;

②AB為等腰其中的一條腰時，符合條件的C點有4個.

一共有8個點.

故選：C.

鞏固訓練

16.在如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點.已知點8是格點，如果點尸也是圖中的格點,

且使得尸是以為腰的等腰直角三角形；則點P的個數是（）

B

匚1二/Il

A

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【分析】本題考查了在格點圖中畫等腰三角形，根據是以42為腰的等腰直角三角形，進行作圖，即

可作答.

【解析】解：尸是以N2為腰的等腰直角三角形，

.,.當=時，結合正方形小網格的特征，APX-AB,ngAP2-AB,

如下圖所示：

Pi

.,.當46=8尸時，結合正方形小網格的特征，BP3=4B,或BP&=AB,

如下圖所示：

尸3

綜上：滿足A/8P是以42為腰的等腰直角三角形的點P有4個，

故選:A

題型六等角對等邊；等腰三角形的判定

例題

17.在A42c中，/B=/C,AB=5.則/C=()

A.12B.9C.5D.2

【答案】C

【分析】根據等腰三角形的判定定理，等角對等邊即可求解.

【解析】解：

：.AC=AB=5.

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定定理：在同一個三角形中，等角對等邊，理解定理是關鍵.

鞏固訓練

18.下列條件中，不能判定△NBC是等腰三角形的是()

A.a=3,b=3,c=4B.a:b:c=2:2:4

C.Z5=50°,ZC=80°D.ZA:ZB:ZC=1:1:2

【答案】B

【分析】本題考查等腰三角形的定義和判定，三角形三邊關系，三角形內角和定理.掌握等腰三角形的定

義和等角對等邊的判定定理是解題關鍵.由等腰三角形的定義可直接判斷A；由三角形三邊關系可判斷B；

根據三角形內角和定理可求出4=48,再根據等角對等邊，可判斷C；直接由等角對等邊可判斷D.

【解析】解：A.a—3,b—3,c—4,

：.a=b,即△NBC是等腰三角形，故該選項能判定，不符合題意；

B.a:b:c=2:2:4,

.,.可設a=2x,貝！16=2x,c=4x,

a+b=4x,即此時以a、b、c為邊不能組成三角形，

二不能判定是等腰三角形，故該選項符合題意;

C.；4=180°-Z8-/C=50°,

/.ZA=NB,

；?能判定△A8C是等腰三角形，故該選項不符合題意；

D.'：ZA:ZB:ZC=1:V.2,

二可設乙4=NB,

能判定△NBC是等腰三角形，故該選項不符合題意.

故選：B.

19.如圖，已知N1=N2,NB=2C,不正確的等式是()

A.AB=ACB./BAE=NCADC.BEDCD.BD=DE

【答案】D

【分析】根據等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解析】解：；N2=NC,

Z.AB=AC,故A選項正確，不符合題意；

在和A/CD中，

2B=zc

<Zl=Z2,

AB=AC

：.AABE^AACD(AAS),

Z.BE=CD,NBAE=NCAD,

'：BE=CD,

：.BE-DE^CD-DE,

BD=CE,

故B選項、C選項正確，D選項錯誤,

故選：D.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質，掌握等腰三角形的判定是解題的關鍵.

20.如圖，已知△4BC中，ZABC=45°,尸是高4D和班的交點，8=4,則線段。尸的長度為（）

A.V2B.4C.5D.2亞

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的判定，先根據等腰直角三角形的性

質得=2。，再證明/C4D=/C5E,然后根據“角邊角”證明%FSO,最后根據全等三角形的對

應邊相等得出答案.

【解析】?/ZABD=45°,/4DB=9Q°,

ZABD=ZBAD,

AD=BD.

,/ACAD+ZC=NCBE+ZC=90°,

：.ACAD=ACBE.

,/NADC=ZADB=90°,

：.^CAD^FBD,

DF=CD=4.

故選：B.

21.如圖，△ABC中，BO平分NABC,CO平分NNC2,MV經過點。，與AB,NC相交于點N,

AMN〃BC,已知/B=3,/C=4,SC=4.5,貝！JA/W的周長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，根據角平分線的定義和平行線的性質可證

和△NCO是等腰三角形，從而可得=NO=NC,然后根據等量代換可得：△㈤W的周長

=4B+AC,從而進行計算即可解答.

【解析】解：,??8。平分N/5C,CO平分N/C5,

:"ABO=/OBC,ZACO=ZOCB,

???MN〃BC,

ZMOB=ZOBC,ZNOC=ZOCB,

ZABO=Z.MOB,ZACO=ZNOC,

:.MO=MB,NO=NC,

'：AB=3,AC=4,

:AAMN的周長=++

=AM+AN+MO+ON

=AM+AN+MB+CN

=AB+AC

=3+4

=7,

故選：B.

題型七等腰三角形的尺規作圖

例題

22.如圖，在△ABC中，AB=/C,//=50。，根據作圖痕跡，可知()

【分析】由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出.

【解析】解：?.Z2=/C,

:.NABC=NACB=1(180°-Z^)=1(180°-50°)=65°.

由作圖痕跡可知BC=BD，

：.ZBDC=ZBCD=65°.

：.NCBD=180°-NBDC-Z5CD=180°-65°-65°=50°.

故選D.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理，根據作圖痕跡得出是解答本題的關鍵.

A.80°B.60°C.45°D.50°

鞏固訓練

23.如圖，已知直線/及直線/外一點P,過點P作直線/的平行線，下面四種作法中錯誤的是（）

P.

【分析】本題考查尺規作圖規范和平行線的判定，解題的關鍵在于明白尺規作圖的原理.根據題意逐一對

選項進行分析即可得到本題答案.

【解析】解：A選項利用等腰三角形性質等邊對等角，角平分線的定義及內錯角相等證明兩直線平行,

B選項利用同位角相等判定兩直線平行，

C選項無法判斷兩直線平行，

D選項利用內錯角相等即可證明兩直線平行，

故選：C.

24.如圖，給出了尺規作等腰三角形的三種作法，

①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高；

②已知等腰三角形的底邊和腰；

③已知等腰三角形的底邊和一底角.

A.①②③B.②①③C.③①②D.②③①

【答案】B

【分析】根據等腰三角形的性質即可求解.

【解析】解：圖形①的作圖依據是“②已知等腰三角形的底邊和腰”；

圖形②的作圖依據是“①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高”；

圖形③的作圖依據是“③已知等腰三角形的底邊和一底角”.

故選：B.

【點睛】本題主要考查尺規作圖等腰三角形，掌握等腰三角形的性質，作圖的方法是解題的關鍵.

題型八等邊三角形的性質

例題

25.等邊三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有（）

A.1條B.2條

C.3條D.6條

【答案】C

【分析】根據等邊三角形的性質以及軸對稱圖形的定義：一個圖形沿某條直線翻折與原圖形能夠完全重合

的圖形為軸對稱圖形，據此解答即可.

【解析】解：等邊三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有3條，

故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱的定義以及等邊三角形的性質，題目比較簡單.

鞏固訓練

26.如圖，已知等邊三角形Z5C,且則Z1的度數為（）

A.25°B.30°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查的是等邊三角形的性質，平行線的性質，先證明/C=60。，再利用平行線的性質可得答

案.

【解析】解：：等邊三角形

ZC=60°,

AD//BC,

Z1=ZC=60°,

故選C

27.等邊三角形的一邊與這邊上的高的比是（）

A.V3：2B.V3：1C.2：V3D.1：Q

【答案】C

【解析】略

28.已知直線。〃6,將等邊三角形A8C按如圖方式放置，點B在直線b上，若/2=130。，則N1的度數為

A.10°B.12°C.18°D.20°

【答案】A

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，掌握以上知識是解題的關鍵.根據平行線的性質

結合已知條件，求得-4=50。，根據等邊三角的性質，根據/1=60。-/4即可求解.

【解析】解：如下圖，

A

C

???/2=130。，a//b.

.?./3=/2=130。，/3+/4=180。，

???/4=180。-130。=50°,

???△4SC是等邊三角形，

??.NABC=60°,

.?./I=/ABC——4=60。—48。=10。，

故選：A.

29.如圖，在等邊三角形ZBC中45=4,80是/C邊上的高，延長5。至點E,使CE=CD,則5石的長

為.

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，根據題意可得CE=C0=；/C=；/2=2,進而根據BE=BC+CE,

即可求解.

【解析】解：：在等邊三角形/3C中22=4,BD是/C邊上的高，

:.AC=BC=AB=4,CD=-AC

2

又?：CE=CD,

：.CE=2

：?BE=BC+CE=4+2=6

故答案為：6.

30.如圖，已知△/加）是等邊三角形，3C=OC,E是40上的點，CE〃AB,與BD交于點、F.若NCBD=40。,

則/DCE的度數為（）

A.40°B.20°C.2°D.25°

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質、平行線的性質，三角形的外角的性質；由等邊三角形的性質求出

ZABD=60°,由CE〃4B得N4BD=NEFD=60。,進而可得/CD3==40。，再根據三角形外角性

質求出/DCE的度數即可.

【解析】解：是等邊三角形，

ZABD=60°,

CE//AB,

AABD=ZEFD=60°,

又：BC=BD,ZCBD=40°,

NCDB=NCBD=40°,

■：ZDCE+ZCDB=NEFD,

ZDCE=ZEFD-NCDB=60°-40°=20°,

故選：B.

題型九等邊三角形的判定

例題

31.在△/BC中，已知=再添加一個條件,就能使△4BC是等邊三角形.（只要寫出一個符

合題意的條件即可）

【答案】44=60。（答案不唯一）

【分析】此題考查等邊三角形的判定，解題的關鍵是熟知等邊三角形的判定方法.根據等邊三角形的判定

方法即可求解.

【解析】解：添加乙4=60。（答案不唯一）.

VAB=AC,ZA=60°

LABC是等邊三角形.

故答案為：44=60。（答案不唯一）.

鞏固訓練

32.下面給出幾種三角形：（1）有兩個角為60。的三角形；（2）三個外角都相等的三角形；（3）一邊上的高

也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個角為60。的等腰三角形，其中是等邊三角形的個數是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的判定.根據等邊三角形的判定定理：有兩個角都是60。的三角形或有三邊

相等的三角形或有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形，分析并作答即可.

【解析】解：①有兩個角為60。的三角形是等邊三角形，故①正確；

②?.?三個外角都相等，

，相鄰的三個內角都相等，

又?.?三角形的內角和為180。，

三個內角都是60。，

,三個外角都相等的三角形是等邊三角形，故②正確；

③一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，故③錯誤；

④有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形，故④正確，

能證得等邊三角形的有①②④，共3個，

故選：B.

33.如圖，下列哪個條件能推出△/BC是等邊三角形的是（）

C.AD1BC,BD=CD,ABAD=30°D.AD±BC,ABAD=ZACD

【答案】C

【分析】根據等邊三角形的判定方法（三邊相等或三個角都是60度，或有一個角是30。的等腰三角形是等

邊三角形）進行判斷，解答即可.本題考查了等腰三角形的判定與等邊三角形的判定.

【解析】解：A、NB=NC,只能說明△N8C是等腰三角形，該選項不符合題意；

B、ADIBC,BD=CD,只能說明△4BC是等腰三角形，該選項不符合題意；

C、AD±BC,AD=CD,，=，△48C是等腰三角形，：4840=30。，，NR4c=60。，"BC

是等邊三角形，該選項符合題意；

D、AD±BC,ABAD=ACAD,只能說明△NBC是等腰三角形，該選項不符合題意；

故選：C.

題型十等邊三角形的性質與判定綜合

例題

34.如圖，△/BC中，ZACB=90°,ZA=60°,。是48邊上一點，ABCD=30°,BD=4cm,則ANC￡）的

周長為（）

A.6cmB.8cmC.12cmD.16cm

【答案】C

【分析】本題考查了三角形中等角對等邊，直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質等知識，證明

BD=DC=4cm,是解答本題的關鍵.證明AD=DC=4cm,再證明是等邊三角形，即有

CD=ZO=/C,問題得解.

【解析】解：:△NBC中，ZACB=90°,ZA=60°,

：.ZB=30°,

?：ZBCD=30°,BD=4cm,

NBCD=ZB,

：.BD=DC=4cm,

AACD=NACB-NBCD=60°,

：.ZACD=N4=60°,

ANCD是等邊三角形，

/.CD=4D=4C=4cm,

.?.“CO的周長為：4C+4O+CD=4x3=12cm,

故選：C.

鞏固訓練

35.如圖，△45。是等邊三角形，點。為4C邊上一點，以BD為邊作等邊ABDE,連接CE.若CD=2,

CE=6,貝M=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定及性質，取5C上一點，使得CG=CQ,根據等

邊三角形的性質得CQ=DG=CG=2,再利用SAS證得△ADG會△￡QC,進而可求解，熟練掌握相關判定及

性質是解題的關鍵.

【解析】解：取3C上一點，使得CG二C。，如圖：

?.?△/5C是等邊三角形，

：.ZACB=60°,

.?.△CDG是等邊三角形，

CD=DG=CG=2,

???NBDG+ZEDG=60°,ZEDC+ZEDG=60°,

ZBDG=ZEDC,

在"DG和AEDC中,

'BD=DE

<ZBDG=ZEDC,

DG=DC

:MDG也△EDC(SAS),

/.BG=CE,

BC=BG+CG=CE+CD=8,

故選B.

題型十一直角三角形的兩個銳角互余及其逆定理

例題

36.如圖，在Rt448C中，44c8=90。，CD,48于點。.若44=35。，則/8CD的度數為（）

A.40°B.35°C.30°D.25°

【答案】B

【分析】本題考查同角的余角相等，垂線的定義，根據題意得出N/CO+ZBCA=90。=+是解題

關鍵.根據同角的余角相等結合題意可得出4CD=4=35。.

【解析】解：：N4C3=90°,CDA.AB,

：.ZACD+/BCD=90°=ZA+ZACD,

：./BCD=NA=35。.

故選B.

鞏固訓練

37.如圖，己知直線。〃6,ABla,垂足為2,Z1=48°,則//的度數是（）

A.32°B.42°C.48°D.52°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質，直角三角形的性質，由平行線的性質可得//C8=/l=48。，再根據直

角三角形兩銳角互余即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵.

【解析】解：：。〃6,4=48°,

?.44c3=/1=48°,

ABLa,

：.ZABC=90°,

Z.//=90°一NACB=90°-48°=42°,

故選：B.

38.在△/8C中，下列哪組條件不能判定△NBC是直角三角形（）

A.=2:2:4B.AB=5,AC=12,BC=13

C.ZC:ZB:ZA=3:4:5D./A+NC=NB

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，三角形內角和，直角三角形的定義，掌握這三個知識點是解題的關鍵.根

據勾股定理，直角三角形定義進行判定即可.

4

【解析】解：A、ZA=——xl80°=90°,故△/8C是直角三角形，不符合題意；

2+2+4

B、AB-+AC2=52+122=132=BC2,故△48C是直角三角形，不符合題意；

C、最大角//=,$xl8（T=75。,故A/BC不是直角三角形，符合題意；

D、由+=//+/C+/B=180。，得2/8=180。，即/5=90。，故是直角三角形，不符

合題意；

故選：C.

題型十二“HL”

例題

39.如圖，AC1BC,DF±EF,AC=DF,AB=DE,則判定RtZ\/8C名RtZ\D跖的依據是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，能熟練地運用全等三角形的判定定理進行推理是解題的關鍵.

根據全等三角形的判定定理判斷即可.

【解析】解：：,DF±EF,

：.ZACB=ZDFE=90°,

在RtA^SC和RtADEF中

AC=DF

AB=DE

，也RtZ\DM（HL）.

故選：C.

鞏固訓練

40.如圖，在中，ZACB=90°,E是48上一點，且BE=BC,過點E作。E工交ZC于點

連接8D,如果NC=3cm,則4D+DE等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.利用HL

證明RSBOE絲RSBOC,利用全等三角形對應邊相等得到OC=O￡,根據4D+OC=/C,等量代換即可

確定出4D+DE的長.

【解析】解:;DE工AB,

ZDEB=90°=ZC,

在R3BED和RtASCD中

\BD=BD

|BE=BC,

Rt△阻涇RtABCZ)(HL),

DE二DC,

AD+DE=AD+CD=AC=3cm,

故選：B.

41.如圖，在△48C中，ZC=90°,AC=12,BC=6,P、。兩點分別在ZC和過點A且垂直于/C的射

線可上運動，PQ=AB,當△P/。與△4BC全等時，"的長度為（）

X

A.6B.6或12C.8D.8或12

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，如

SSS、SAS、ASA、AAS、HL等.結合已知條件，根據“HL”判定三角形全等即可.

【解析】解：：NC=90。，AXLAC,

：.ZC=NQAP=90°,

①當/尸=6=8C時，在RtZUCB和中，

\AB^QP

\BC^AP'

：.RUACB絲RtA0N尸(HL)；

②當/尸=12=/C時，在和RSP/。中,

UB=QP

\AC=AP,

：.Rt^ACBgRtAP/°(HL).

綜上所述，當△P/0與△/3C全等時，"的長度為6或12.

故選：B.

42.如圖，在等腰中,AB=AC,NB=50。,點。為邊2C的中點，點E在邊48上，

ZAED=69°.若點尸是等腰△48C的腰/C上的一點，當△￡0尸為等腰三角形時，則NEAP的度數是

()

A.69°B.100°C.142°D.100°或142°

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，過。作。DGVAB,易證

RaDEG公RtADP[H,RLDEG空RtADRH,再根據四邊形內角和360。即可得到答案.

【解析】解：連接ND,

A

?：AB=AC,NB=50。,

：.ABAC=180。一50°-50°=80°,

???點尸是等腰△45。的腰/C上的一點，AB=AC,。為3c的中點，

ABAD=ACAD,

過。作。H_L4C,DGLAB,,

：.DG=DH,

在RtZXDEG與RGDRH中，

[DG=DH

[DE=DPX'

：.R3DEG絲R3D4H(HL),

.?.AAPXD=ZAED=69°,

???NBAC=80。,

：./EDP、=360°-ZAED-ZAP{D-ABAC=360°-69°-69°-80°=142°,

同理可得RMQEG四Rt△。6"(HL)

.?.AEDG=ZP2DH,

.?.ZEDP2=ZGDH=360。一80°-90°-90°=100°,

綜上，ZE7乃的度數是100。或142。，

故選：D.

題型十三直角三角形的30。角的性質

例題

43.如圖，在△ABC中，NACB=90。,8是高，ZA=30°fBD=2,則的長為（）

c

【答案】c

【分析】本題考查了直角三角形的性質.首先在RtACM中根據直角三角形中30。的銳角所對的直角邊等于

斜邊的一半可知CB=4,在Rt^ABC中再次利用直角三角形中30。的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半得到

AB=8.

【解析】解：??,CD是高，

ZCDA=90°,

又；//=30°,

:.ZACD=60°,

ZACB=90°,

:"BCD=NACB-ZACD=90°-60°=30°,

在RMC5。中，CB=2BD=2x2=4,

在RIANBC中，AB=2CB=2x4=8.

故選：C.

鞏固訓練

44.如圖，在△N3C中，ZACB=90°,CD是高，44=30。，AB=4.貝BD長為()

C

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形的性質，熟練掌握含30。角的直角三角形的性質是解此題的關鍵.利用含30。

角的直角三角形的性質即可得到答案.

【解析】解：??.在RtZUBC中，ZACB=90°,44=30。，AB=4,

/.BC=-AB=-x4=2,

22

???CDAB,

NADC=ZBDC=90°,

ZACD=90°—/A=90°-30°=60°,

'：ZACD+ZBCD=90°f

/BCD=90°-ZACD=90°-60。=30°,

二.BD=—BC=—x2=1,

22

.?.8。的長為1.

故選：A

45.如圖，在ZX/BC中，N5=30。，NBAC=105。，AC=3^,則5C的長為（）

【答案】B

【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔

助線構造直角三角形是解題關鍵.過點4作。于點。，易得出NA4Q=60。，AB=2AD,從而可求

出/CUC=/C=45。，即得出4。=。。，再結合勾股定理求解即可.

【解析】解：過點4作/。于點。，

ABAD=60°,AB=2AD.

NB4c=105。,

???/D4c=45。,

???ZC=45°,

AD=CD.

,/AD2+CD1=AC2

：.2AD~=（376），

：.CD=AD=3拒,

：.AB=2AD=673，

BD=yjAB2-AD2=9,

：.BC=BD+CD=9+3y/3.

故選B.

題型十四勾股定理及其逆定理

例題

46.一直角三角形斜邊長為10,一直角邊長為9,則另一直角邊長為.

【答案】V19

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.直接利用勾股定理計算即可.

【解析】解：由勾股定理得：另一直角邊長=而下=曬，

故答案為：J歷.

鞏固訓練

47.如圖，在△/BC中，AB1AC,垂足為4AD是4c邊上的中線，48=5cm,4D=6cm,則2C的長

是.

【答案】13cm

【分析】本題考查了勾股定理，由題意得2/。=12cm,根據8c=5/笈+/。2即可求解.

【解析】解：：是NC邊上的中線，

:.AC=2AD=\2cm,

VAB1AC,

BC=ylAB2+AC2=13cm

故答案為：13cm

48.如下圖以直角三角形三條邊為分別向外作三個正方形，其中兩個正方形的面積分別為225和289,則圖

中正方形字母/所代表的正方形的面積為.

【分析】本題考查勾股定理，正方形的面積，利用數形結合的思想是解題關鍵.根據勾股定理可直接求得

正方形字母4所代表的正方形的邊長.

?.?其中兩個正方形的面積分別為225和289,

：.BD2=225,CD2=289.

???ASCD為直角三角形，

/.BC2=CD2-BD2=64,

正方形字母/所代表的正方形的面積為64.

故答案為:64.

49.一塊鋼板形狀如圖所示，若43=3,5c=4,AB±BC,C￡>=12,40=13,則這塊鋼板的面積為

【答案】36

【分析】四邊形/BCD是不規則圖形無法直接計算，連接/C,將四邊形分割成兩個直角三角形進行計

算.先算出/。=存弄=5,再運用勾股逆定理得出乙48=90。，故這塊鋼板的面積

3x45x1?

=S.〃Bc+S“s=;—+—=36,即可作答.本題考查了勾股定理以及勾股逆定理，正確掌握相關性質內

容是解題的關鍵.

【解析】如解圖，連接4C,

ABLBC,

：./5=90。，

VAB=3,BC=4,

AC—J32+4?=5，

,/52+122=132,

Z.ZACD=90°,

3x45x19

鋼板的面積=S"+Leo="+己一=36.

故答案為：36

50.如圖，每個小正方形邊長都為1,連接小正方形的三個頂點A,B,C,可得△ZBC,則邊BC上的高

為.

【分析】本題考查了勾股定理，由圖形，根據勾股定理可得BC=師，然后根據三角形的面積和正方形的

面積，求得X―進而根據等面積法，即可求解.

【解析】解：依題意，BC=Vl2+32=V10-

S,=3x3--xlx2--x2x3--xlx3=9-l-3-1.5=3.5,

./Bser222

27

...邊3c上的高為義5=7師,

國10

故答案為：—Vio.

51.如圖,折疊長方形ABCD一邊AD,使。落在2C邊的點尸處，已知=6,8C=10,則CE的長.

【分析】本題考查折疊問題，勾股定理，根據折疊，得到。E=M,AF=AD,勾股定理求出期的長，進

而求出CF的長，設CE=x,在RtZkCM中，利用勾股定理進行求解即可.

【解析】解：：折疊長方形48co一邊AD,使。落在3c邊的點尸處，

CD=AB=6,AF=AD=BC=10,DE=EF,AB=ZC=90°,

BF=4AF2-AB-=8，

CF=BC-BF=2,

設CE=x,貝lj：DE=EF=6-x,

,s

在RtZiC環中，由勾股定理，得:（6-x）=1+22,解得：x=-,

/.CE=--

3

Q

故答案為：I

題型十五互逆命題與互逆定理

例題

52.下列說法中，正確的是（）

A.每個命題不一定都有逆命題

B.每個定理都有逆定理

C.真命題的逆命題仍是真命題

D.假命題的逆命題未必是假命題

【答案】D

【分析】本題考查的是命題與定理的區別，（1）判斷正確的命題叫定理；（2）任何一個命題都有逆命題，

但不一定是真命題；不是任何一個定理都有逆定理.

根據逆命題的概念、真假命題的概念判斷即可.

【解析】解：A、每個命題都有逆命題，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B、每個定理都有逆命題，不一定有逆定理，故本選項說法錯誤，不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項說法錯誤，不符合題意；

D、假命題的逆