第01講平方根、立方根

01學習目標

課程標準學習目標

1求一個數的算術平方根

1、了解平方根的概念，會用根號表示一個數的平方根，并了解被開方數的

2利用算術平方根的非負性解題

非負性；

3估計算術平方根的取值范圍

2、了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，進

4與算術平方根有關的規律探索題行簡單的開平方運算。

5算術平方根的實際應用3.了解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根。

6平方根概念理解4.會用立方運算求一個數的立方根，了解開立方與立方互為逆運

算。

7平方根的應用

5.了解立方根的性質。

8立方根概念理解6.區分立方根與平方根的不同。

9求一個數的立方根學習重點：了解平方根的概念，求某些非負數的平方根

10立方根的實際應用學習難點：了解被開方數的非負性；

02思維導圖

01.平方根

02琳平碇

知識點03非城的頡：琳平751g

04立方根

05計算器一數的開方

01求一個數的算術平方根

02利用算術平方根的非負性解題

平方根、立方根

03估計算術平方根的取值范圍

0但算術平方根有關的規律探索題

05算術平方根的實際應用

遜

06平碇

07平方根的應用

08立方根概念理解

09求的立方根

10的實

知識清單

知識點01.平方根

（1）定義：如果一個數的平方等于。，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根.

（2）求一個數。的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數。的正的平方根表示為“?”，負的平方根表示為“-.

正數。的正的平方根，叫做。的算術平方根，記作零的算術平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質

1.平方根的性質：正數。有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.

2.立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是

0.

【即學即練】

1.（2024春?潁泉區校級月考）實數0.36的平方根是（）

A.0.6B.-0.6C.±0.6D.±0.06

知識點02算術平方根

（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a,即/=a,那么這個正數x叫做。的算術

平方根.記為

（2）非負數a的算術平方根”有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根”本身是非負數.

（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以借

助乘方運算來尋找.

【即學即練】

2.（2024春?金安區校級月考）64的算術平方根是（）

A.±4B.±8C.4D.8

知識點03非負數的性質：算術平方根

（1）非負數的性質：算術平方根具有非負性.

（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據被開方數是非負數，開方的結果也是非負數列出不

等式求解.非負數之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題.

【即學即練】

3.（2024春?蚌埠月考）已知x,y為實數，且K斤+（y+2/=0,則（x+y）2023的值為（）

A.±1B.0C.-1D.1

知識點04立方根

（1）定義：如果一個數的立方等于。，那么這個數叫做。的立方根或三次方根.這就是說，如果x3=a,那

么x叫做。的立方根.記作：如.

（2）正數的立方根是正數，0的立方根是0,負數的立方根是負數.即任意數都有立方根.

（3）求一個數0的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數.

注意：符號五中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有唯一一

個立方根.

【規律方法】平方根和立方根的性質

1.平方根的性質：正數。有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.

2.立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是

0.

【即學即練】

4.（2024春?大觀區校級月考）若J口+3+25）2=0,則而的值為（）

A.-5B.5C.15D.25

知識點05計算器一數的開方

正數。的算術平方根。與被開方數a的變化規律是：

當被開方數a的小數點每向左或向右平移2位時，它的算術平方根的小數點也相應向左或向右平移1位,

即a每擴大（或縮小）100倍，。相應擴大（或縮小）10倍.

【即學即練】

5.（2023春?金安區校級月考）如圖，某同學利用計算器中的匹］,回三個按鍵設置計算程序,

以下是這三個按鍵的功能.

①?:將熒幕顯示的數變成它的算術平方根；

②HZ3：將熒幕顯示的數變成它的倒數；

③舊：將熒幕顯示的數變成它的平方.

小明輸入一個數據后，程序將按照以下步驟進行，依次按照從第一步到第三步循環計算.

輸入x------?x2------?l/x------?VF

第一步第二步第三步

若一開始輸入的數據為10,那么第2021步之后，顯示的結果是（）

Vio

B.100C.0.1D.0.01

10

E題型精講

題型01求一個數的算術平方根

1.（20.21七年級下?安徽安慶?期末）如圖是一個數值轉換器，當輸入的x的值為81時，輸出的y的值是

（）

所對下體算術平方根I不是［理智輸甌

是有理數

A.GB.9C.3D.-V3

2.（23-24七年級下?全國?期末）已知a=J所，則。的算術平方根是.

3.（23-24七年級下?安徽淮北?階段練習）已知正數x的兩個不同的平方根分別是-4加-4和12+2加.

⑴求加，x的值；

（2）x-8y的算術平方根是16,求X-/-12的平方根.

題型02利用算術平方根的非負性解題

4.（21-22七年級下?安徽六安?期末）若7^=7+|6-9|=0,則，的平方根是（）

3399

A.-B.±-C.-D.±-

2244

5.（23-24七年級下?安徽安慶?期末）已知（。+6）+"-2=0,則ab的值是

6.（2024七年級下?安徽?專題練習）若|a-3|+VF￡=0,求/-26+1的值.

題型03估計算術平方根的取值范圍

7.（23-24七年級下?安徽六安?階段練習）估算回+1值是在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

8.（23-24七年級下?安徽蚌埠?期中）已知一個正數的兩個平方根分別是2a+5和3a-15.

⑴求這個正數；

⑵請估算26“的算術平方根在哪兩個連續整數之間.

題型04與算術平方根有關的規律探索題

9.（23-24七年級下?安徽亳州?期中）若麗=103,4=1.03,則x的值是（）

A.1060.9B.10.609C.106.09D.1.0609

10.（23-24七年級下?安徽淮南,階段練習）已知V^X=2.5,則J0.0625=.

11.（23-24七年級下?安徽蕪湖?期中）（1）填表并觀察規律：

a0.00640.64646400

4a

（2）根據你發現的規律填空：

①已知V33.64=5.8,則V33640000=；

②已知J12.25=3.5,&=0.035,貝1|無=.

（3）從以上問題的解決過程中，你發現了什么規律，試簡要說明.

題型05算術平方根的實際應用

12.（23-24七年級下?安徽阜陽?期末）面積為4的正方形，其邊長等于（）

A.4的算術平方根B.4的平方根

c.4的立方根D.V?的算術平方根

13.（23-24七年級下?安徽黃山?期中）已知Jx+5=2，則》=.

14.（23-24七年級下?安徽阜陽?階段練習）如圖，用兩個面積為200cm2的小正方形紙片拼成一個大的正方

形紙片.

⑴大正方形紙片的邊長是；

（2）若沿著大正方形紙片的邊的方向剪出一個長方形紙片，能否使剪出的長方形紙片的長、寬之比為5:2,

且面積為360cm2?

題型06平方根概念理解

15.（23-24七年級下?安徽,單元測試）下列各數中，沒有平方根的是（）

A.0B.（—3）2C.-32D.-（-3）

16.（23-24七年級下?安徽淮北?階段練習）如果a,6分別是2024的兩個平方根，那么。+6-必=.

17.（20-21七年級下?安徽亳州?階段練習）一組實數按下列規律排列：

1;亞;百；2；Vs;V6;V7第1行

V8:3:Vio；VH;V12;V13:A/14第2行

V15;4；Vn;V18;V19；V20；第3行

根據這個規律解答以下問題：

（1）直接寫出第4行第1列所表示的實數是

（2）實數血而排在第幾行第幾列？并說明理由.

題型07平方根的應用

18.（23-24七年級下?安徽淮南?階段練習）一個非負數的平方根是2a-1與2-a,那么這個數是（）

A.1B.9C.一1或1D.1或9

19.（23-24七年級下?安徽宣城?期中）一個正數的平方根是a+2和2a-17,那么這個數是

20.（23-24七年級下?安徽阜陽?階段練習）如圖，這是一個3階魔方，由三層完全相同的27個小立方體組

成，體積為27.

⑴求出這個魔方的棱長.

（2）圖中陰影部分是一個正方形N8CD,求出陰影部分的面積及其邊長.

題型08立方根概念理解

21.（23-24七年級下?安徽淮北?期中）一2是-8的（）

A.算術平方根B.平方根C.立方根D.立方

21.（23-24七年級下?安徽合肥?期中）已知41+26與43b-5相等，則b的值為

22.（22-23七年級下?安徽池州?期中）已知某正數的兩個不相等的平方根分別足。+3和2.-15,6的立方

根是-2,求3a+6的值.

題型09求一個數的立方根

23.（23-24七年級下?安徽六安?階段練習）64的立方根為（）

A.4B.±4C.V?D.土返

24.（23-24七年級下?安徽合肥,期中）把兩個半徑分別為1cm和而cm的鉛球熔化后做成一個更大的鉛球,

4

則這個大鉛球的半徑是—cm（球的體積公式廠=§口3,其中「是球的半徑）.

28.（23-24七年級下?安徽阜陽?期中）求x的值：

（1）9/=16

（2）8（3x-2）3=-64

題型10立方根的實際應用

27.（21-22七年級下?安徽六安,期中）如果一個正方體的體積變為原來的64倍，那么它的棱長增加為原來

的多少倍？（）

A.3B.4C.6D.8

28.（22-23七年級下?安徽池州,期末）若血后元=0.7160,43.670=1.542,4-0.003670=.

29.（22-23七年級下?安徽淮南?階段練習）求下列x的值

（1）9X2-25=0;

（2）/-26=1.

強化訓練

一、單選題

1.下列各組數中，互為相反數的是（）

A.一如與煙B.舛與-我C.卜亞與應D.也與舛

2.若a,b互為倒數，且c,d互為相反數，貝+的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

3.下列等式正確的是()

A.-725=-5B.J(-3)2=-3C.9=±4D.=-2

4.下列說法中正確的是（）

士的平方根是土）

A.一16沒有立方根B.1的立方根是±1C.D.一

366

3的立方根是正

5.自然數。沒有（）

A.倒數B.相反數C.算術平方根D.立方根

6.如果y=J^+/^+l,則2x+y的平方根是（）

A.9B.±9C.3D.±3

7.已知江工=-2,則G的值是（）

A.1B.2C.3D.4

8.計算囪的結果中（）

A.9B.-9C.3D.-3

9.下列說法正確的是（）

A.-9的平方根是±3B.-9的算術平方根是-3

C.J語的平方根是±4D.0的平方根與算術平方根都是0

10.下列命題中，是真命題的是（）

A.囪的算術平方根是3B.5是25的一個平方根

C.1的平方根是1D.64的立方根是：t4

二、填空題

11.若一個正數的平方根是。和2.-1,求。的值為

12.已知百=1.732,則.

13.如果某數的一個平方根是-5,那么這個數是—.

14.已知班2.515,不使用計算器，求J0.0000159的近似值

三、解答題

15.把一個長、寬、高分別為12cm,9cm,2cm的長方體鐵塊鍛造成一個立方體鐵塊，求這個立方體鐵塊

的棱長.

16.(1)計算：-^64+^(-4)2-7^-；

(2)解方程：3(X-2)3+81=0.

17.已知第一個正方體紙盒的棱長為6cm,第二個正方體紙盒的體積比第一個正方體紙盒的體積大184cm工

求第二個正方體紙盒的棱長.（結果精確到0.001cm）

18.如圖，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形.

⑴拼成的正方形的面積與邊長分別是多少？

（2）你能夠在4x4的方格圖內，畫出面積為10的正方形嗎？