高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)專題01集合新定義問(wèn)題以集合為背景的創(chuàng)新問(wèn)題是考試創(chuàng)新題型的一個(gè)熱點(diǎn)，此類問(wèn)題多以“問(wèn)題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，這類試題只是以集合為依托，常在創(chuàng)新集合定義、運(yùn)算、性質(zhì)等方面命題，考查考生理解問(wèn)題、解決創(chuàng)新問(wèn)題的能力．題型一與集合定義有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題【例1】若對(duì)任意，均有，就稱集合是伙伴關(guān)系集合．設(shè)集合，則的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．16 C．32 D．128【解題技法】與集合新定義有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題是通過(guò)重新定義相應(yīng)的集合，對(duì)集合的知識(shí)加以深入地創(chuàng)新，結(jié)合原有集合的相關(guān)知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)，來(lái)解決新定義的集合創(chuàng)新問(wèn)題，遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)；按新定義的要求，“照章辦事”逐步分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決．【跟蹤訓(xùn)練】若對(duì)任意，，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B．C． D．題型二與集合運(yùn)算有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題【例2】如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（

）A． B．C． D．【解題技法】與集合運(yùn)算有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求給出新的集合運(yùn)算規(guī)則，并按照此集合運(yùn)算規(guī)則和要求結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．【跟蹤訓(xùn)練】（2024·廣東珠海高一期末）對(duì)于的兩個(gè)非空子集，定義運(yùn)算，則（

）A．B．C．若，則D．表示一個(gè)正方形區(qū)域題型三與集合性質(zhì)有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題【例3】設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)．若對(duì)于任意，都有，且若，則，則稱P是一個(gè)數(shù)域．例如，有理數(shù)集Q是數(shù)域．下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)B．整數(shù)集是數(shù)域C．若有理數(shù)集，則數(shù)集M一定是數(shù)域D．?dāng)?shù)域中有無(wú)限多個(gè)元素【解題技法】與集合性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題是利用創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)新性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決有關(guān)的集合性質(zhì)的問(wèn)題．【跟蹤訓(xùn)練】在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下三個(gè)結(jié)論：①2023∈[3]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．題型四與數(shù)列交匯的創(chuàng)新問(wèn)題【例3】（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【解題技法】若新定義與數(shù)列有關(guān)，可得利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，多通過(guò)構(gòu)造的分法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題求解，求解過(guò)程靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)的數(shù)列知識(shí).【跟蹤訓(xùn)練】（2024·北京·高考真題）設(shè)集合．對(duì)于給定有窮數(shù)列，及序列，，定義變換：將數(shù)列的第項(xiàng)加1，得到數(shù)列；將數(shù)列的第列加，得到數(shù)列…；重復(fù)上述操作，得到數(shù)列，記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，證明：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”．1．定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．A．2 B．4 C．8 D．162．德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾在其著作《集合論》中給出正交集合的定義：若集合A和B是全集U的子集，且無(wú)公共元素，則稱集合互為正交集合，規(guī)定空集是任何集合的正交集合．若全集，則集合A關(guān)于集合U的正交集合B的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．16 C．32 D．643．如圖所示，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，則為（

）A． B．C．或 D．或4．已知集合（），若集合，且對(duì)任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（

）A． B． C． D．5．（多選）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中．有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒(méi)有根式解就可以用群論知識(shí)證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“．”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對(duì)所有的a、，有；②、b、，有；③，使得，有，e稱為單位元；④，，使，稱a與b互為逆元．則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群．則下列說(shuō)法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．自然數(shù)集N關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群6．設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，若且，則是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個(gè)．7.（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．8．已知S是全體復(fù)數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果，總有，則稱S是數(shù)環(huán)．設(shè)是數(shù)環(huán)，如果①內(nèi)含有一個(gè)非零復(fù)數(shù)；②且，有，則稱是數(shù)域．由定義知有理數(shù)集是數(shù)域．(1)求元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)；(2)證明：記，證明：是數(shù)域；(3)若是數(shù)域，判斷是否是數(shù)域，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．已知數(shù)列，記集合.(1)若數(shù)列為，寫出集合；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．10．設(shè)正整數(shù)，，，這里.若，且，則稱具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，若具有性質(zhì)，且，，，令，寫出的所有可能值；(2)若具有性質(zhì)：①求證：；②求的值.11．設(shè)，若非空集合同時(shí)滿足以下4個(gè)條件，則稱是“無(wú)和劃分”:①；②；③，且中的最小元素大于中的最小元素；④，必有.(1)若，判斷是否是“無(wú)和劃分”，并說(shuō)明理由.(2)已知是“無(wú)和劃分”（）.①證明:對(duì)于任意，都有；②若存在，使得，記,證明：中的所有奇數(shù)都屬于.12．設(shè)集合，如果對(duì)于的每一個(gè)含有個(gè)元素的子集P，P中必有4個(gè)元素的和等于，稱正整數(shù)為集合的一個(gè)“相關(guān)數(shù)”.(1)當(dāng)時(shí)，判斷5和6是否為集合的“相關(guān)數(shù)”，說(shuō)明理由；(2)若為集合的“相