數學

貴州專版2025第二部分

貴州中考專題突破專題五二次函數綜合題欄目導航二次函數性質綜合題類型一二次函數幾何綜合題類型二二次函數性質綜合題(8年2考：2022·24，2019·24)類型一例1如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)經過點A(1，0)和點B(3，0)，與y軸相交于點C.(1)求此拋物線的表達式；典例精析典例精析解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)經過點A(1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C，∴y＝a(x－1)(x－3)＝ax2－4ax＋3a.∴3a＝3，即a＝1.∴拋物線表達式為y＝x2－4x＋3.已知拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)經過點A(1，0)和點B(3，0)，代入即可求解.(2)若P是直線BC下方的拋物線上一動點(不與點B，C重合)，過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，設點P的橫坐標為m.①用含有m的代數式表示線段PD的長；

∴直線BC表達式為：yBC＝－x＋3.設P(m，m2－4m＋3)，∵過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，∴D(m，－m＋3).∴PD＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m.②連接PB，PC，求△PBC的面積最大時點P的坐標.

①求出點C坐標及BC表達式，根據過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，即可用含m的代數式表示出點P和D的坐標，進而求解；②用含m的代數式表示出△PBC的面積，可得S是關于m的二次函數，即可求解.1.(2024畢節三模)如圖1，是一間學校體育場的遮陽棚截面圖，某校數學興趣小組學習二次函數后，受到該圖啟示設計了一個遮陽棚截面模型，它的截面圖是拋物線的一部分(如圖2所示)，拋物線的頂點在C處，對稱軸OC與橫梁AB相互垂直，且CO＝5，AB＝10.針對訓練(1)建立如圖2平面直角坐標系，求此拋物線的函數表達式；

(2)若為了使遮陽棚更加牢固，在遮陽棚內部設計了一個矩形框架(如圖2所示)，且DE∶EF＝4∶3，求EF的長；

(3)根據(1)中求解得到的函數表達式，若當p≤x≤p＋1時，函數的最大值與最小值的差為1，求p的值.

角度1

特殊三角形存在性問題1.求二次函數與等腰三角形(含等邊三角形)存在性問題中的動點坐標二次函數幾何綜合題(8年2考：2018·25，2017·25)類型二核心技法題目類型典型問題基本模型(找點)基本方法兩定一動已知點A，點B坐標，在x軸上取點C，使得△ABC是等腰三角形兩圓一線1.兩圓：分別以點A，B為圓心，以線段AB為半徑作圓，與x軸交點即為滿足條件的點C，有AB＝AC，BA＝BC2.一線：作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA＝CB代數法幾何法設點C坐標(m，0)，利用兩點間的距離公式表示三邊，借助三邊兩兩相等，分情況：①AB＝BC，②AB＝AC，③BC＝AC，列方程計算即可注意：需排除三點共線的情況構造直角三角形，利用勾股定理求解

注意：需排除三點共線的情況一定兩動先分析完整的動態過程，再抓住固定的角，在每一個象限內分情況討論，一種情況是定角作為底角，一種情況是定角作為頂角2.求二次函數與直角三角形存在性問題中的動點坐標題目類型典型問題基本模型(找點)基本方法兩定一動已知點A，點B的坐標，在x軸上找一點C，使得△ABC是直角三角形一圓兩線1.兩線：分別過點A，B作AB的垂線，垂線與x軸的交點即為所求的點C2.一圓：以線段AB為直徑作圓，圓與x軸的交點即為所求的點C代數法幾何法設點C的坐標為(m，0)，利用兩點間的距離公式表示三邊，借助勾股定理，分情況：①AB2＝AC2＋BC2，②AC2＝AB2＋BC2，③BC2＝AB2＋AC2，列方程，計算即可過銳角頂點向直角頂點所在的直線作垂線，構造相似或全等的直角三角形

兩動一定利用垂直構造直角三角形，找到固定的角，然后根據直角頂點或斜邊分類討論例2(2024眉山)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點A(－3，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，點D在拋物線上.(1)求該拋物線的表達式；

把A(－3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c求解即可.(2)當點D在第二象限內，且△ACD的面積為3時，求點D的坐標；

(3)在直線BC上是否存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

第一步：求出A(－3，0)，B(1，0)，直線BC表達式為y＝－3x＋3；第二步：設P(m，－3m＋3)，D(n，－n2－2n＋3)，過點P作PN⊥y軸于點N，過點D作DM⊥y軸于點M；第三步：分情況分別畫出圖形，根據等腰直角三角形性質和全等三角形判定與性質解答即可.2.(2024達州)如圖1，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點A(－3，0)和點B(1，0)，與y軸交于點C，D是拋物線的頂點.(1)求拋物線的表達式；針對訓練解：由題意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，解得a＝1，b＝2，∴拋物線的表達式為y＝x2＋2x－3.(2)如圖2，連接AC，DC，直線AC交拋物線的對稱軸于點M，若P是直線AC上方拋物線上一點，且S△PMC＝2S△DMC，求點P的坐標；解：由拋物線的表達式知，點C(0，－3)，D(－1，－4)，拋物線的對稱軸為直線x＝－1，過點D作直線DG∥AC交y軸于點G，在點C上方取點L使CL＝2CG，過點L作直線LP∥AC交拋物線于點P，則點P為所求點，如圖，由點A，C坐標，得直線AC的表達式為y＝－x－3.∵DG∥AC，∴直線DG的表達式為y＝－(x＋1)－4.∴點G(0，－5)，則CG＝5－3＝2，則CL＝4.∴點L的坐標為(0，1).∴直線LP的表達式為y＝－x＋1.聯立上式和拋物線的表達式，得x2＋2x－3＝－x＋1，解得x＝1或x＝－4.即點P(1，0)或(－4，5).(3)若N是拋物線對稱軸上位于點D上方的一動點，是否存在以點N，A，C為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

角度2

相似三角形的存在性問題核心技法題目類型典型問題基本方法“兩個定三角形”判定相似

設A(xA，yA)B(xByB)，C(xC，yC)已知一角相等，證相似等角分顯性和隱性，方法如下：①運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條邊，若是“相似”，對應邊成比例有兩種情況，分類求解；②利用定角定比結論，即確定的角，其三角函數值確定，巧用三角函數求解沒有角相等，證相似運用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊的長，看是否成比例.若成比例則相似，否則不相似題目類型典型問題基本方法“一定一動”兩三角形相似如圖，在拋物線上是否存在點P，使△AOC與△ACP相似

設A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，P(m，n)已知有一個角相等的情形①把動點坐標表示出來(用字母表示)；②讓形成相等的夾角的那兩邊對應成比例；③列出方程；④解方程，去掉不合題意的點未知是否有一角相等的情形①找特殊角：在定三角形中，先用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角尋找一個直角三角形，用銳角三角函數的方法得出特殊角的度數；②求(動)點坐標：在動點坐標用字母表示后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助特殊角為動點尋找一個直角三角形，求出動點坐標；③再驗證：驗證已知角的兩邊是否成比例例3如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋4交x軸于點A(－1，0)和B(4，0)，交y軸于點C.(1)求二次函數的表達式；典例精析典例精析

把A(－1，0)和B(4，0)代入拋物線表達式得出二元一次方程組求出a，b的值，即可得出二次函數的表達式.

證明△CBN∽△OBM，根據相似三角形的性質求解即可.(3)對稱軸交拋物線于點D，交BC交于點E，在對稱軸的右側有一動直線l垂直于x軸，交線段BC于點F，交拋物線于點P，動直線在沿x軸正方向移動到點B的過程中，是否存在點P，使得以點P，C，F為頂點的三角形與△DCE相似？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

3.(2024內江)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝－2x＋6的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交AB于點E.針對訓練(1)求這條拋物線所對應的函數表達式；

(2)是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；解：存在點D，使得△BDE和△ACE相似，設點D(t，－t2＋t＋6)，則E(t，－2t＋6)，C(t，0).∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t.∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.①如答圖1，當△ACE∽△BDE時，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC.∴點D縱坐標為6.∴－t2＋t＋6＝6.解得t＝0(舍去)或t＝1.∴D(1，6)；

(3)F是第一象限內拋物線上的動點(不與點D重合)，過點F作x軸的垂線交AB于點G，連接DF，當四邊形EGFD為菱形時，求點D的橫坐標.

角度3

特殊四邊形存在性問題核心技法題目類型典型問題基本模型基本方法三定一動已知平面內不共線的三點A，B，C(三定)，求一點D(一動)，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形分別過點A，B，C作對邊的平行線，三條平行線的交點均為所求點D1.以AC為對角線，平移BA至CD1，確定點D的坐標.2.以AB為對角線，平移CB至AD3確定點D的坐標.3.以BC為對角線，平移AC至BD2確定點D的坐標題目類型典型問題基本模型基本方法兩定兩動已知平面內的兩點A，B(兩定)，求坐標軸上的兩點C，D(兩動)，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形已知兩點A，B，求兩點C，D，題目中的C，D兩動點位置受特殊四邊形的條件約束.分兩種情況：如圖1，若以AB為一邊，根據題目約束條件，可將AB進行上下左右平移，找到適合條件的兩個點的坐標；如圖2，若以AB為對角線，找出AB的中點，旋轉AB尋找適合條件的兩個點的坐標1.利用平行四邊形對邊平行且相等，構造全等三角形解決.2.設點C(x，0)，點D(0，y)，利用平行四邊形對頂點的橫坐標之和相等，縱坐標之和也相等，列方程組解決注意：①探究菱形存在性問題時，一般會用到菱形對角線互相垂直平分、四邊相等的性質列關系式；②探究矩形存在性問題時，一般會用到對邊相等、對角線相等列關系式求解；或根據鄰邊互相垂直，利用勾股定理列關系式求解；③探究正方形存在性問題時，一般會用到正方形對角線互相垂直平分且相等的性質列式計算.例4(2024廣元)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：y＝－x2＋bx＋c經過點A(－3，－1)，與y軸交于點B(0，2).典例精析典例精析(1)求拋物線的函數表達式；

用待定系數法求函數的表達式即可.

(3)作拋物線F關于直線y＝－1上一點的對稱圖象F'，拋物線F與F'只有一個公共點E(點E在y軸右側)，G為直線AB上一點，H為拋物線F'對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標.解：由中心對稱可知，拋物線F與F'的公共點E為直線y＝－1與拋物線F的右交點，當－x2－2x＋2＝－1時，解得x＝－3(舍去)或x＝1.∴E(1，－1).∵拋物線F：y＝－x2－2x＋2的頂點坐標為(－1，3)，∴拋物線F'的頂點坐標為(3，－5).設G(m，m＋2)，當BE為平行四邊形的對角線時，m＋3＝1，解得m＝－2，∴G(－2，0)；當BG為平行四邊形的對角線時，m＝3＋1＝4，∴G(4，6)；當BH為平行四邊形的對角線時，m＋1＝3，解得m＝2，∴G(2，4)；綜上所述，G點坐標為(－2，0)或(4，6)或(2，4).第一步：由中心對稱可知，拋物線F與F'的公共點E為直線y＝－1與拋物線F的右交點，求出E(1，－1)，拋物線F'的頂點坐標為(3，－5)；第二步：設G(m，m＋2)，當BE為平行四邊形的對角線時，G(－2，0)；