第四章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1())eq\a\vs4\al(曲線運動)考綱要求考情分析運動的合成和分解Ⅱ1.命題規(guī)律運動的合成與分解、平拋運動的規(guī)律及其研究方法，圓周運動的角速度、線速度和向心加速度等是本章的命題熱點，題型有選擇題，也有計算題。2．考查熱點突出物理知識與現(xiàn)代科技、生產(chǎn)、生活的結(jié)合，與牛頓運動定律、機(jī)械能守恒定律等內(nèi)容綜合命題的可能性較大。拋體運動Ⅱ圓周運動的描述Ⅰ勻速圓周運動的向心力Ⅱ[說明]斜拋運動的計算不作要求。第18課時運動的合成與分解(雙基落實課)知識點一物體做曲線運動的條件與軌跡分析1．曲線運動(1)速度的方向：質(zhì)點在某一點的速度，沿曲線在這一點的切線方向。(2)運動的性質(zhì)：做曲線運動的物體，速度的方向時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動。(3)曲線運動的條件：物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線上。2．合外力方向與軌跡的關(guān)系物體做曲線運動的軌跡一定夾在合外力方向與速度方向之間，速度方向與軌跡相切，合外力方向指向軌跡的“凹”側(cè)。3．速率變化情況判斷(1)當(dāng)合外力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率增大。(2)當(dāng)合外力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率減小。(3)當(dāng)合外力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。[小題練通]1．(2018·南京、淮安高三模擬)在光滑水平面上運動的物體，受到水平恒力F作用后，沿曲線MN運動，速度方向改變了90°，如圖所示。則此過程中，物體受到的恒力可能是()A．F1 B．F2C．F3 D．F4解析：選C合外力的方向指向軌跡曲線的內(nèi)側(cè)，A項錯誤；若恒力為F2，把速度沿平行于F2和垂直于F2方向分解，垂直于F2方向的分速度不可能為零，B項錯誤；若恒力為F4，力與速度的方向相反，物體應(yīng)做勻減速直線運動，D項錯誤；只有F3可能是物體受到的恒力，C項正確。2．如圖所示為質(zhì)點做勻變速曲線運動軌跡的示意圖，且質(zhì)點運動到D點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則質(zhì)點從A點運動到E點的過程中，下列說法中正確的是()A．質(zhì)點經(jīng)過C點的速率比D點的大B．質(zhì)點經(jīng)過A點時的加速度方向與速度方向的夾角小于90°C．質(zhì)點經(jīng)過D點時的加速度比B點的大D．質(zhì)點從B點到E點的過程中加速度方向與速度方向的夾角先增大后減小解析：選A質(zhì)點做勻變速曲線運動，所以加速度大小不變，C錯誤；由于在D點速度方向與加速度方向垂直，則在A、B、C點時速度方向與加速度方向的夾角為鈍角，B錯誤；質(zhì)點由C點到D點速率減小，所以C點速率比D點大，A正確；質(zhì)點從B點到E點的過程中加速度方向與速度方向的夾角先減小后增大，D錯誤。(1)已知運動軌跡，可以判斷合力的大致方向，如圖所示。在電場中，經(jīng)常根據(jù)這一規(guī)律確定帶電粒子所受的電場力方向，進(jìn)而分析粒子的電性或場強(qiáng)方向。(2)運動軌跡在速度方向與合力方向所夾的區(qū)間，根據(jù)受力方向和速度方向可以判斷軌跡的大致彎曲方向。知識點二運動的合成與分解的應(yīng)用1．合運動與分運動的關(guān)系等時性合運動和分運動經(jīng)歷的時間相等，即同時開始、同時進(jìn)行、同時停止等效性各分運動的規(guī)律疊加起來與合運動的規(guī)律有完全相同的效果獨立性一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進(jìn)行，不受其他運動的影響2．合運動的性質(zhì)和軌跡的判斷(1)若合加速度不變，則為勻變速運動；若合加速度(大小或方向)變化，則為非勻變速運動。(2)若合加速度的方向與合初速度的方向在同一直線上，則為直線運動，否則為曲線運動。[小題練通]1．(2018·揚州檢測)在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上爬，同時人頂著直桿水平向右移動，以出發(fā)點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示。若猴子沿x軸和y軸方向運動的速度隨時間變化的圖像分別如圖甲、乙所示，則猴子在0～t0時間內(nèi)()A．做勻速運動B．做勻變速運動C．運動的軌跡可能如圖丙所示D．運動的軌跡可能如圖丁所示解析：選D猴子在x軸方向做勻速直線運動，加速度為零，合力為零；在y軸方向做變加速直線運動，加速度不恒定，合力不恒定，所以猴子所受的合力不恒定，一定做變速運動，故A、B項錯誤；曲線運動中合外力方向與速度方向不在同一直線上，而且指向軌跡曲線的內(nèi)側(cè)。由上分析結(jié)合題圖甲、乙可知，合力先沿y軸正方向，后沿y軸負(fù)方向，而與初速度不在同一直線上，則猴子做曲線運動，根據(jù)合力指向軌跡曲線的內(nèi)側(cè)可知，圖丁是可能的，故C項錯誤，D項正確。2．(2015·全國Ⅱ卷)由于衛(wèi)星的發(fā)射場不在赤道上，同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過調(diào)整再進(jìn)入地球同步軌道。當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上飛經(jīng)赤道上空時，發(fā)動機(jī)點火，給衛(wèi)星一附加速度，使衛(wèi)星沿同步軌道運行。已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3.1×103m/s，某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時的速度為1.55×103m/s，此時衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖所示，發(fā)動機(jī)給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為()A．西偏北方向，1.9×103m/sB．東偏南方向，1.9×103m/sC．西偏北方向，2.7×103m/sD．東偏南方向，2.7×103m/s解析：選B設(shè)當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上飛經(jīng)赤道上空與同步軌道高度相同的某點時，速度為v1，發(fā)動機(jī)給衛(wèi)星的附加速度為v2，該點在同步軌道上運行時的速度為v。三者關(guān)系如圖，由圖知附加速度方向為東偏南，由余弦定理知v22＝v12＋v2－2v1vcos30°，代入數(shù)據(jù)解得v2≈1.9×103m/s。選項B正確。“化曲為直”思想在運動的合成與分解中的應(yīng)用(1)分析運動的合成與分解問題時，要注意運動的分解方向，一般情況下按運動效果進(jìn)行分解，切記不可按分解力的思路來分解運動。(2)要注意分析物體在兩個分方向上的受力及運動規(guī)律，分別列式求解。(3)兩個分方向上的運動具有等時性，這常是處理運動的分解問題的關(guān)鍵點。知識點三小船渡河問題1．三種速度船在靜水中的速度v1、水流速度v2和船的實際運動速度v，其中v是v1與v2的合速度。2．三種情景(1)渡河時間最短船頭正對河岸時，渡河時間最短，tmin＝eq\f(d,v1)(d為河寬)。(2)渡河位移最短(v2<v1時)合速度垂直于河岸時，位移最短，xmin＝eq\a\vs4\al(d)。船頭指向上游，與河岸夾角為α，cosα＝eq\f(v2,v1)。(3)渡河位移最短(v2>v1時)合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。確定方法如下：如圖所示，以v2矢量末端為圓心，以v1矢量的大小為半徑畫弧，從v2矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向時位移最短。由圖可知sinθ＝eq\f(v1,v2)，最短位移xmin＝eq\f(d,sinθ)＝eq\f(v2,v1)d。[小題練通]1．(2018·南通、泰州高三模擬)小船橫渡一條兩岸平行的河流，水流速度與河岸平行，船相對于水的速度大小不變，船頭始終垂直指向河岸，小船的運動軌跡如圖中虛線所示。則小船在此過程中()A．做勻變速運動B．越接近河岸，水流速度越大C．所受合外力方向平行于河岸D．渡河的時間隨水流速度變化而改變解析：選C速度方向沿軌跡切線方向，設(shè)速度方向與垂直河岸方向的夾角為θ，有tanθ＝eq\f(v水,v船)，得出v水＝v船tanθ，渡河過程中θ先變大后變小，水流速度先變大后變小，B項錯誤；船速不變，渡河時間不變，D項錯誤；船速不變，垂直河岸方向沒有加速度，水流速度先變大后變小，加速度平行于河岸方向先向下游后向上游，則小船所受合外力方向平行于河岸，A項錯誤，C項正確。2．(2018·高安質(zhì)檢)如圖所示，兩次渡河時船相對水的速度大小和方向都不變。已知第一次實際航程為A至B，位移為x1，實際航速為v1，所用時間為t1。由于水速增大，第二次實際航程為A至C，位移為x2，實際航速為v2，所用時間為t2。則()A．t2>t1，v2＝eq\f(x2v1,x1) B．t2>t1，v2＝eq\f(x1v1,x2)C．t2＝t1，v2＝eq\f(x2v1,x1) D．t2＝t1，v2＝eq\f(x1v1,x2)解析：選C設(shè)河寬為d，船自身的速度為v，方向與河岸上游的夾角為θ，對垂直河岸的分運動，過河時間t＝eq\f(d,vsinθ)，則t1＝t2；對合運動，過河時間t＝eq\f(x1,v1)＝eq\f(x2,v2)，解得v2＝eq\f(v1x2,x1)，C正確。(1)解決小船渡河問題的關(guān)鍵是：正確區(qū)分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭所指方向的運動，是分運動，船的運動也就是船的實際運動，是合運動，一般情況下與船頭指向不共線。(2)應(yīng)用運動分解的基本方法，按實際效果分解，一般用平行四邊形定則沿水流方向和船頭指向分解。(3)渡河時間只與垂直河岸的船的分速度有關(guān)，與水流速度無關(guān)。(4)求最短渡河位移時，根據(jù)船速v船與水流速度v水的大小情況，用三角形定則求極限的方法處理。知識點四關(guān)聯(lián)速度問題1．問題特點：沿繩(或桿)方向的速度分量大小相等。2．思路與原則(1)思路①明確合速度→物體的實際運動速度v。②eq\a\vs4\al(明確分速度)eq\a\vs4\al(沿繩或桿的速度v1)eq\a\vs4\al(與繩或桿垂直的分速度v2。)(2)原則：v1與v2的合成遵循平行四邊形定則。3．解題方法把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。[小題練通]1．如圖所示，不計所有接觸面之間的摩擦，斜面固定，兩物體質(zhì)量分別為m1和m2，且m1<m2。若將m2從位置A由靜止釋放，當(dāng)落到位置B時，m2的速度為v2，且繩子與豎直方向的夾角為θ，則這時m1的速度大小v1等于()A．v2sinθ B.eq\f(v2,sinθ)C．v2cosθ D.eq\f(v2,cosθ)解析：選Cm2的實際運動情況是沿桿豎直下滑，這個實際運動是合運動，m1的速度與繩上各點沿繩子方向的速度大小相等，所以繩子的速度等于m1的速度v1，而m2的實際運動應(yīng)是合運動(沿桿向下)，合速度v2可由沿繩子方向的分速度和垂直于繩子的分速度來合成(即兩個實際運動效果)。因此v1跟v2的關(guān)系如圖所示，由圖可得m1的速度大小v1＝v2cosθ，C正確。2．如圖所示，長為L的直棒一端可繞固定軸O轉(zhuǎn)動，另一端擱在升降平臺上，平臺以速度v勻速上升，當(dāng)棒與豎直方向的夾角為α?xí)r，棒的角速度為()A.eq\f(vsinα,L)B.eq\f(v,Lsinα)C.eq\f(vcosα,L)D.eq\f(v,Lcosα)解析：選B由題圖可知，棒與平臺接觸點的實際運動即合運動，其速度方向是垂直于棒指向左上方，合速度沿豎直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝eq\f(v,Lsinα)。繩(桿)關(guān)聯(lián)問題的解題技巧(1)解題關(guān)鍵：找出合速度與分速度的關(guān)系是求解關(guān)聯(lián)問題的關(guān)鍵。(2)基本思路①先確定合速度的方向(物體實際運動方向)。②分析合運動所產(chǎn)生的實際效果：一方面使繩(桿)伸縮；另一方面使繩(桿)轉(zhuǎn)動。③確定兩個分速度的方向：沿繩(桿)方向的分速度和垂直繩(桿)方向的分速度，而沿繩(桿)方向的分速度大小相同。eq\a\vs4\al([課時達(dá)標(biāo)檢測])一、單項選擇題1．一個質(zhì)點受兩個互成銳角的恒力F1和F2作用，由靜止開始做勻加速直線運動，若運動過程中保持二力方向不變，但F1突然增大到F1＋ΔF，則質(zhì)點以后()A．繼續(xù)做勻變速直線運動B．在相等時間內(nèi)速度的變化一定相等C．可能做勻速直線運動D．可能做變加速曲線運動解析：選BF1、F2為恒力，物體從靜止開始做勻加速直線運動，F(xiàn)1突變后仍為恒力，合力仍為恒力，但合力的方向與速度方向不再共線，所以物體將做勻變速曲線運動，故A錯；由加速度的定義式a＝eq\f(Δv,Δt)知，在相等時間Δt內(nèi)Δv＝aΔt必相等，故B對；做勻速直線運動的條件是F合＝0，所以物體不可能做勻速直線運動，故C錯；由于F1突變后，F(xiàn)1＋ΔF和F2的合力仍為恒力，故加速度不可能變化，故D錯。2．(2018·蘇北三市一模)內(nèi)壁光滑的牛頓管抽成真空，現(xiàn)讓牛頓管豎直倒立，同時水平向右勻速移動，則管中羽毛的運動軌跡可能是()解析：選C羽毛在水平方向做勻速運動，在豎直方向做自由落體運動，加速度方向向下，根據(jù)合力方向指向軌跡曲線的凹側(cè)可知，羽毛的運動軌跡可能是C，故C正確。3.(2018·無錫模擬)如圖所示，豎直放置的兩端封閉的玻璃管中注滿清水，內(nèi)有一個紅蠟塊能在水中勻速上浮。在紅蠟塊從玻璃管的下端勻速上浮的同時，使玻璃管以速度v水平向右勻速運動。紅蠟塊由管口上升到頂端，所需時間為t。相對地面通過的路程為L，則下列說法正確的是()A．v增大時，t增大 B．v增大時，t減小C．v增大時，L增大 D．v增大時，L減小解析：選C紅蠟塊在水平方向上和豎直方向上都做勻速直線運動，在豎直方向上，t＝eq\f(d,v′)，管長不變，豎直方向上的分速度不變，根據(jù)合運動與分運動具有等時性，知紅蠟塊由管口到頂端的時間不變，v增大，水平方向上的位移增大，根據(jù)運動的合成，知紅蠟塊相對地面通過的路程L增大，故C項正確，A、B、D項錯誤。4．如圖所示，當(dāng)汽車靜止時，車內(nèi)乘客看到窗外雨滴沿豎直方向OE勻速運動。現(xiàn)從t＝0時，汽車由靜止開始做甲、乙兩種勻加速啟動，甲種狀態(tài)啟動后t1時刻，乘客看到雨滴從B處離開車窗，乙種狀態(tài)啟動后t2時刻，乘客看到雨滴從F處離開車窗，F(xiàn)為AB的中點。則t1∶t2為()A．2∶1 B．1∶eq\r(2)C．1∶eq\r(3) D．1∶(eq\r(2)－1)解析：選A雨滴在豎直方向的分運動為勻速直線運動，其速度大小相等，與水平方向的運動無關(guān)，故t1∶t2＝eq\f(AB,v)∶eq\f(AF,v)＝2∶1。A正確。5．如圖所示，水平面上固定一個與水平面夾角為θ的斜桿A，另一豎直桿B以速度v水平向左做勻速直線運動，則從兩桿開始相交到最后分離的過程中，兩桿交點P的速度方向和大小分別為()A．水平向左，大小為vB．豎直向上，大小為vtanθC．沿桿A斜向上，大小為eq\f(v,cosθ)D．沿桿A斜向上，大小為vcosθ解析：選C兩桿的交點P參與了兩個分運動，如圖所示，即水平向左的速度大小為v的勻速直線運動和沿桿B豎直向上的勻速運動，交點P的實際運動方向沿桿A斜向上，交點P的速度大小為vP＝eq\f(v,cosθ)，選項C正確。二、多項選擇題6．(2018·常州中學(xué)期中)如圖所示，人在岸上拉船，已知船的質(zhì)量為m，水的阻力恒為f，當(dāng)繩與水平面的夾角為θ時，船的速度為v，此時人的拉力大小為F，則此時()A．人拉繩行走的速度為vcosθB．人拉繩行走的速度為eq\f(v,cosθ)C．船的加速度為eq\f(Fcosθ－f,m)D．船的加速度為eq\f(F－f,m)解析：選AC船的速度產(chǎn)生了兩個效果：一是滑輪與船間的繩縮短，二是繩繞滑輪轉(zhuǎn)動，因此將船的速度進(jìn)行分解如圖所示，人拉繩行走的速度v人＝vcosθ，A對，B錯；繩對船的拉力等于人拉繩的力，即繩的拉力大小為F，與水平方向成θ角，因此Fcosθ－f＝ma，得a＝eq\f(Fcosθ－f,m)，C對，D錯。7．如圖，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船頭始終垂直河岸，從一側(cè)岸邊向?qū)Π缎旭偅〈能壽E是一個彎曲的“S”形，則()A．小船垂直河岸的速度大小恒定不變B．小船垂直河岸的速度大小先增大后減小C．與小船以出發(fā)時的速度勻速過河相比，過河時間長了D．與小船以出發(fā)時的速度勻速過河相比，過河時間短了解析：選BD小船在沿河岸的方向上隨河水做勻速直線運動，即在相同的時間間隔內(nèi)，沿河岸方向上的位移是相同的；在垂直河岸的方向上，在相等的時間間隔內(nèi)(參照小船沿河岸方向上的位移)，位移的變化量逐漸增大再逐漸減小，所以速度先增大后減?。灰蛑虚g那段時間垂直河岸方向的速度較大，所以與小船以出發(fā)時的速度勻速過河相比，過河時間短了，選項B、D正確。8．(2018·泰州測試)一質(zhì)點在xOy平面內(nèi)運動軌跡如圖所示，下列判斷正確的是()A．質(zhì)點沿x方向可能做勻速運動B．質(zhì)點沿y方向可能做變速運動C．若質(zhì)點沿y方向始終勻速運動，則x方向可能先加速后減速D．若質(zhì)點沿y方向始終勻速運動，則x方向可能先減速后加速解析：選BD質(zhì)點做曲線運動過程中合力指向軌跡凹側(cè)，則加速度大致指向軌跡凹側(cè)，由題圖可知：加速度方向指向弧內(nèi)，x方向有分加速度，所以x方向不可能勻速，y方向可能有分加速度，故質(zhì)點沿y方向可能做變速運動，A項錯誤，B項正確；質(zhì)點在x方向先沿正方向運動，后沿負(fù)方向運動，最終在x方向上的位移為零，若沿y方向始終勻速運動，則x方向不能一直加速，也不能先加速后減速，只可能先減速后反向加速，C項錯誤，D項正確。9．甲、乙兩船在同一河流中同時開始渡河，河水流速為v0，兩船在靜水中的速率均為v。甲、乙兩船船頭與河岸的夾角均為θ，如圖所示，已知甲船恰好能垂直到達(dá)河正對岸的A點，乙船到達(dá)河對岸的B點，A、B之間的距離為l。則下列判斷正確的是()A．甲、乙兩船同時到達(dá)對岸B．若僅是河水流速v0增大，則兩船的渡河時間都不變C．不論河水流速v0如何改變，只要適當(dāng)改變θ，甲船總能到達(dá)正對岸的A點D．若僅是河水流速v0增大，則兩船到達(dá)對岸時，兩船之間的距離仍然為l解析：選ABD甲、乙兩船在垂直河岸方向上的分速度大小相同，都為vsinθ，根據(jù)合運動與分運動具有等時性可得，兩船的渡河時間相同，且與河水流速v0無關(guān)，故A、B正確；將船速v正交分解，只有當(dāng)vcosθ＝v0，即船的合速度垂直指向?qū)Π稌r，船才能到達(dá)正對岸，故C錯誤；兩船到達(dá)對岸時，兩船之間的距離l＝l乙－l甲＝(vcosθ＋v0)t－(v0－vcosθ)t＝2vtcosθ，與v0無關(guān)，故D正確。第19課時拋體運動(雙基落實課)知識點一平拋運動的基本規(guī)律1．運動性質(zhì)加速度為g的勻變速曲線運動，軌跡是拋物線。2．基本規(guī)律(1)水平方向：做勻速直線運動，vx＝v0，x＝v0t。(2)豎直方向：做自由落體運動，vy＝gt，y＝eq\f(1,2)gt2。(3)合速度：v＝eq\r(vx2＋vy2)，方向與水平方向的夾角為α，則tanα＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)。(4)合位移：s＝eq\r(x2＋y2)，方向與水平方向的夾角為θ，則tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)。3．對規(guī)律的理解(1)飛行時間：由t＝eq\r(\f(2h,g))知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)。(2)水平射程：x＝v0eq\r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素?zé)o關(guān)。(3)落地速度：v＝eq\r(vx2＋vy2)＝eq\r(v02＋2gh)，落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關(guān)。(4)速度改變量：任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示。4．兩個重要推論(1)做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻任一位置處，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為α，位移方向與水平方向的夾角為θ，則tanα＝2tanθ。(2)做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖中A點為OB的中點。[小題練通]1．(多選)(人教教材改編題)為了驗證平拋運動的小球在豎直方向上做自由落體運動，用如圖所示的裝置進(jìn)行實驗。小錘打擊彈性金屬片后，A球水平拋出，同時B球被松開，自由下落，關(guān)于該實驗，下列說法中正確的有()A．兩球的質(zhì)量應(yīng)相等B．兩球應(yīng)同時落地C．應(yīng)改變裝置的高度，多次實驗D．實驗也能說明A球在水平方向上做勻速直線運動解析：選BC根據(jù)合運動與分運動的等時性和獨立性特點可知，兩球應(yīng)同時落地，為減小實驗誤差，應(yīng)改變裝置的高度，多次實驗，選項B、C正確；平拋運動的實驗與小球的質(zhì)量無關(guān)，選項A錯誤；此實驗只能說明A球在豎直方向做自由落體運動，選項D錯誤。2．一物體從某高度以初速度v0水平拋出，落地時速度大小為v，重力加速度為g，則它運動的時間為()A.eq\f(v－v0,g) B.eq\f(v－v0,2g)C.eq\f(v2－v02,2g) D.eq\f(\r(v2－v02),g)解析：選D物體平拋運動的時間t＝eq\f(vy,g)，由速度的合成與分解可知vy＝eq\r(v2－v02)，故t＝eq\f(vy,g)＝eq\f(\r(v2－v02),g)，D正確。分解思想在平拋運動中的應(yīng)用(1)解答平拋運動問題時，一般的方法是將平拋運動沿水平和豎直兩個方向分解，這樣分解的優(yōu)點是不用分解初速度，也不用分解加速度。(2)畫出速度(或位移)分解圖，通過幾何知識建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向間的關(guān)系，通過速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。知識點二多體平拋運動問題1．多體平拋運動問題是指多個物體在同一豎直平面內(nèi)平拋時所涉及的問題。2．三類常見的多體平拋運動(1)若兩物體同時從同一高度(或同一點)拋出，則兩物體始終在同一高度，二者間距只取決于兩物體的水平分運動。(2)若兩物體同時從不同高度拋出，則兩物體高度差始終與拋出點高度差相同，二者間距由兩物體的水平分運動和豎直高度差決定。(3)若兩物體從同一點先后拋出，兩物體豎直高度差隨時間均勻增大，二者間距取決于兩物體的水平分運動和豎直分運動。[小題練通]1．如圖所示，兩個小球從水平地面上方同一點O分別以初速度v1、v2水平拋出，落在地面上的位置分別是A、B，O′是O在地面上的豎直投影，且O′A∶AB＝1∶3。若不計空氣阻力，則兩小球()A．拋出的初速度大小之比為1∶4B．落地速度大小之比為1∶3C．落地速度與水平地面夾角的正切值之比為1∶3D．通過的位移大小之比為1∶eq\r(3)解析：選A兩小球的拋出高度相同，故下落時間相同，落地時的豎直分速度相同，兩小球的水平位移分別為O′A和O′B，故水平位移之比為1∶4，故由x＝vt可知兩小球拋出的初速度之比為1∶4，故A正確；由于未知兩小球的下落高度，故無法準(zhǔn)確求出落地時的豎直分速度，無法求得落地速度大小之比，故B錯誤；同理也無法求出位移大小之比，故D錯誤；設(shè)落地時速度方向與水平地面夾角為θ，tanθ＝eq\f(vy,vx)，因豎直分速度相等，而水平初速度之比為1∶4，故正切值之比為4∶1，故C錯誤。2．(2017·江蘇高考)如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時水平拋出，經(jīng)過時間t在空中相遇。若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則兩球從拋出到相遇經(jīng)過的時間為()A．tB.eq\f(\r(2),2)tC.eq\f(t,2)D.eq\f(t,4)解析：選C設(shè)兩球間的水平距離為L，第一次拋出的速度分別為v1、v2，由于小球拋出后在水平方向上做勻速直線運動，則從拋出到相遇經(jīng)過的時間t＝eq\f(L,v1＋v2)，若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則從拋出到相遇經(jīng)過的時間為t′＝eq\f(L,2v1＋v2)＝eq\f(t,2)，C項正確。(1)物體做平拋運動的時間由物體被拋出點的高度決定，而物體的水平位移由物體被拋出點的高度和物體的初速度共同決定。(2)兩條平拋運動軌跡的交點是兩物體的可能相遇處，兩物體要在此處相遇，必須同時到達(dá)此處。知識點三斜面上的平拋運動兩類模型解題方法方法應(yīng)用分解速度，構(gòu)建速度矢量三角形水平方向：vx＝v0豎直方向：vy＝gt合速度：v＝eq\r(vx2＋vy2)方向：tanθ＝eq\f(vx,vy)分解位移，構(gòu)建位移矢量三角形水平方向：x＝v0t豎直方向：y＝eq\f(1,2)gt2合位移：s＝eq\r(x2＋y2)方向：tanθ＝eq\f(y,x)[小題練通]1．(多選)(2018·南京模擬)如圖所示，A、B兩點分別是斜面的頂端、底端，C、D是斜面上的兩個點，LAC∶LCD∶LDB＝1∶3∶3，E點在B點正上方并與A點等高。從E點水平拋出質(zhì)量相等的兩個小球，球a落在C點，球b落在D點，球a和球b從拋出到落在斜面上的過程中(不計空氣阻力)()A．兩球運動時間之比為1∶2B．兩球拋出時初速度之比為4∶1C．兩球動能增加量之比為1∶2D．兩球重力做功之比為1∶3解析：選AB球a和球b下降的高度之比為1∶4，根據(jù)平拋運動中t＝eq\r(\f(2h,g))知，時間之比為1∶2，故A項正確；因為球a和球b的水平位移之比為2∶1，時間之比為1∶2，則初速度v0＝eq\f(x,t)之比為4∶1，故B項正確；根據(jù)動能定理知，兩球重力做功之比為1∶4，則動能增加量之比為1∶4，故C、D項錯誤。2．(2018·蕪湖質(zhì)檢)將一小球以水平速度v0＝10m/s從O點向右拋出，經(jīng)eq\r(3)s小球恰好垂直落到斜面上的A點，不計空氣阻力，g＝10m/s2，B點是小球做自由落體運動在斜面上的落點，如圖所示，下列判斷正確的是()A．斜面的傾角是60°B．小球的拋出點距斜面的豎直高度約是15mC．若將小球以水平速度v0′＝5m/s向右拋出，它一定落在AB的中點P的上方D．若將小球以水平速度v0′＝5m/s向右拋出，它一定落在AB的中點P處解析：選C設(shè)斜面傾角為θ，對小球在A點的速度進(jìn)行分解有tanθ＝eq\f(v0,gt)，解得θ＝30°，A錯誤；小球距過A點水平面的距離為h＝eq\f(1,2)gt2＝15m，所以小球的拋出點距斜面的豎直高度一定大于15m，B錯誤；若小球的初速度為v0′＝5m/s，過A點做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10m/s拋出時的一半，延長小球運動的軌跡線，可知小球應(yīng)該落在P、A之間，C正確，D錯誤。3．(多選)如圖所示，一高度為h的光滑水平面與一傾角為θ的斜面連接，一小球以速度v從平面的右端P點向右水平拋出，則小球在空中運動的時間t()A．一定與v的大小有關(guān)B．一定與v的大小無關(guān)C．當(dāng)v大于eq\r(\f(gh,2))cotθ時，t與v無關(guān)D．當(dāng)v小于eq\r(\f(gh,2))cotθ時，t與v有關(guān)解析：選CD小球有可能落在斜面上，也有可能落在水平面上，可用臨界法求解，如果小球恰好落在斜面與水平面的交點處，則滿足hcotθ＝vt，h＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立可得v＝eq\r(\f(gh,2))cotθ。故當(dāng)v大于eq\r(\f(gh,2))cotθ時，小球落在水平面上，t＝eq\r(\f(2h,g))，即t與v無關(guān)；當(dāng)v小于eq\r(\f(gh,2))cotθ時，小球落在斜面上，x＝vt，y＝eq\f(1,2)gt2，eq\f(y,x)＝tanθ，聯(lián)立可得t＝eq\f(2vtanθ,g)，即t與v有關(guān)，故選項C、D正確。(1)物體從斜面上水平拋出后，當(dāng)其速度方向與斜面平行時，物體離斜面最遠(yuǎn)。(2)由推論tanα＝2tanθ知，物體落回斜面的速度方向取決于斜面傾角，與初速度的大小無關(guān)。知識點四斜拋運動1．定義將物體以初速度v0斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運動。2．運動性質(zhì)加速度為g的勻變速曲線運動，軌跡為拋物線。3．基本規(guī)律(以斜向上拋為例說明，如圖所示)(1)水平方向：做勻速直線運動，v0x＝v0cos_θ，x＝v0tcosθ。(2)豎直方向：做豎直上拋運動，v0y＝v0sin_θ，y＝v0tsinθ－eq\f(1,2)gt2。4．平拋運動和斜拋運動的相同點(1)都只受到重力作用，加速度相同，相等時間內(nèi)速度的變化量相同。(2)都是勻變速曲線運動，軌跡都是拋物線。(3)都采用“化曲為直”的運動的合成與分解的方法分析問題。[小題練通]1．(多選)如圖所示，從地面上同一位置拋出兩小球A、B，分別落在地面上的M、N點，兩球運動的最大高度相同?？諝庾枇Σ挥?，則()A．B的加速度比A的大B．B的飛行時間比A的長C．B在最高點的速度比A在最高點的大D．B在落地時的速度比A在落地時的大解析：選CD做拋體運動的物體只受重力作用，加速度都是重力加速度，A項錯誤；由于兩球上升時在豎直方向做的是豎直上拋運動，上升的高度相同，因此運動的時間相等，B項錯誤；由于水平方向都做勻速直線運動，且在相等時間內(nèi)B運動的水平位移大，因此B在水平方向的分速度大，在最高點時豎直分速度為零，因此最高點的速度等于水平分速度，則B在最高點的速度比A在最高點的大，C項正確；兩小球落地時在豎直方向的分速度相等，而B的水平分速度大，因此落地時B的速度大，D項正確。2．(多選)如圖所示，在水平地面上的A點以速度v1跟地面成θ角射出一彈丸，恰好以速度v2垂直穿入墻壁上的小孔B，下列有關(guān)說法正確的是()A．在B點以跟v2大小相等、方向相反的速度射出彈丸，它必定落在地面上的A點B．在B點以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出彈丸，它必定落在地面上的A點C．在B點以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出彈丸，它必定落在A點的左側(cè)D．在B點以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出彈丸，它必定落在A點的右側(cè)解析：選AC由題意知B點是彈丸斜拋運動的最高點，則v2與v1的水平分速度大小相等，且v2<v1，所以在B點以跟v2大小相等、方向相反的速度把彈丸向左射出的水平距離與從A點斜拋運動到B點的水平距離相等，所以能落回到A點，A正確；若在B點以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度水平射出，因為v1＞v2，彈丸在空中運動時間相等，所以會落到A點的左側(cè)，C正確。斜拋運動可以從最高點分段研究，后半段相當(dāng)于平拋運動，前半段相當(dāng)于反向的平拋運動，且兩段運動時間、位移和速度具有對稱性。eq\a\vs4\al([課時達(dá)標(biāo)檢測])一、單項選擇題1．如圖所示，光滑斜面固定在水平面上，第一次讓小球從斜面頂端A由靜止釋放，使小球沿斜面滑到底端B；第二次將小球從斜面頂端A沿水平方向拋出，使小球剛好落到斜面底端B。比較小球的兩次運動，下列說法正確的是()A．第二次小球運動經(jīng)歷時間更長B．第一次小球運動速度變化更快C．第二次小球到達(dá)B點的速度更大D．兩種情況小球到達(dá)B點的速度方向相同解析：選C設(shè)斜面傾角為θ，斜面長度為l，第一次小球的加速度為a＝gsinθ，第二次小球做平拋運動，加速度為g，則第二次小球運動速度變化更快，第一次運動的時間t＝eq\r(\f(2l,gsinθ))，第二次運動的時間t′＝eq\r(\f(2lsinθ,g))，所以第一次運動經(jīng)歷時間更長，選項A、B錯誤；第一次和第二次運動的過程中，都只有重力做功，可知運動過程中小球所受的合力做功相同，動能的變化量相同，但第二次初速度大于零，所以第二次小球到達(dá)B點的速度更大，選項C正確；小球第一次到達(dá)B點時速度沿斜面方向，第二次到達(dá)B點時速度不沿斜面方向，速度方向不同，選項D錯誤。2．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)高三模擬)某同學(xué)玩飛鏢游戲，先后將兩只飛鏢a、b由同一位置水平投出，已知飛鏢投出的初速度va>vb，不計空氣阻力，則兩支飛鏢插在豎直靶上的狀態(tài)(側(cè)視圖)可能是()解析：選A因va>vb，則根據(jù)t＝eq\f(x,v)可知ta<tb，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2可知，ha<hb，根據(jù)tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)，對于飛鏢a，時間短，初速度大，則tanθa＞tanθb，所以θa＞θb，故A正確。3．(2018·南昌模擬)如圖所示，從A點由靜止釋放一彈性小球，一段時間后與固定斜面上的B點發(fā)生碰撞，碰后小球速度大小不變，方向變?yōu)樗椒较?，又?jīng)過相同的時間落于地面上C點，不計空氣阻力，已知地面上D點位于B點正下方，B、D間的距離為h，則()A．A、B兩點間的距離為eq\f(h,2)B．A、B兩點間的距離為eq\f(h,3)C．C、D兩點間的距離為2hD．C、D兩點間的距離為eq\f(2\r(3),3)h解析：選CAB段小球自由下落，BC段小球做平拋運動，兩段時間相同，所以A、B兩點間距離與B、D兩點間距離相等，均為h，故A、B錯誤；BC段平拋運動的初速度v＝eq\r(2gh)，運動的時間t＝eq\r(\f(2h,g))，所以C、D兩點間距離x＝vt＝2h，故C正確，D錯誤。4．(2018·南京、鹽城、連云港高三模擬)小孩站在岸邊向湖面拋石子，三次的軌跡如圖所示，最高點在同一水平線上，忽略空氣阻力的影響，下列說法中正確的是()A．沿軌跡3運動的石子落水時速度最小B．沿軌跡3運動的石子在空中運動時間最長C．沿軌跡1運動的石子加速度最大D．三個石子在最高點時速度相等解析：選A在最高點將三次的運動一分為二，右側(cè)均為平拋運動，左側(cè)的逆運動也是平拋運動，平拋運動只受重力作用，mg＝ma，三次的加速度a均等于g，C項錯誤；平拋運動豎直方向的高度決定時間，h＝eq\f(1,2)gt2，則t1＝t2＝t3，B項錯誤；平拋運動水平方向的位移由高度和水平初速度共同決定，x＝v0t，結(jié)合題圖可得，三個石子在最高點時的速度大小關(guān)系為v01>v02>v03，D項錯誤；石子落水時的速度為v＝eq\r(v02＋gt2)，則v1>v2>v3，A項正確。5．(2018·淮安模擬)如圖所示，在水平地面上A、B兩點同時迎面拋出兩個物體，初速度分別為v1、v2，與水平方向所成角分別為30°、60°，兩物體恰好落到對方拋出點。兩物體在空中運動的時間分別為t1、t2，不計空氣阻力。則()A．v1＝v2B．t1＝t2C．兩物體在空中可能相遇D．兩物體位于同一豎直線時，一定在AB中點的左側(cè)解析：選A題述運動過程，物體在水平方向上做勻速直線運動，故有v1cos30°t1＝v2cos60°t2，在豎直方向上做豎直上拋運動，所以t1＝eq\f(2v1sin30°,g)，t2＝eq\f(2v2sin60°,g)，聯(lián)立可得v1＝v2，t1<t2，A項正確，B項錯誤；兩物體在豎直方向上一個分速度大，一個分速度小，又是同時拋出，所以兩者不可能同時到達(dá)同一高度，即兩者不可能相遇，C項錯誤；兩物體位于同一豎直線時，由于運動時間相同，而A物體的水平分速度較大，所以A物體走過的水平位移大于B球的，所以一定在AB中點的右側(cè)，D項錯誤。二、多項選擇題6．(2018·武漢武昌區(qū)調(diào)研)在水平路面上做勻速直線運動的小車上有一個固定的豎直桿，其上的三個光滑水平支架上有三個完全相同的小球A、B、C，它們離地的高度分別為3h、2h和h。當(dāng)小車遇到障礙物M時，立即停下來，三個小球同時從支架上水平拋出，落到水平路面上的第一落點分別是a、b、c點，如圖所示。不計空氣阻力，則下列說法正確的是()A．三個小球從平拋至落地的時間之比tA∶tB∶tC＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1B．三個小球從平拋至落地的時間之比tA∶tB∶tC＝3∶2∶1C．三個小球落點的間距之比L1∶L2＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)D．三個小球落點的間距之比L1∶L2＝1∶1解析：選AC由題意可知，A、B、C三個小球下落高度之比為3∶2∶1，由于豎直方向上做自由落體運動，由t＝eq\r(\f(2h,g))可知，三個小球從平拋至落地的時間之比為eq\r(3)∶eq\r(2)∶1，A正確，B錯誤；由水平方向上做勻速直線運動可得，A、B、C三個小球的水平位移之比為eq\r(3)∶eq\r(2)∶1，因此由題圖可知L1∶L2＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)，C正確，D錯誤。7．如圖所示，相距為l的兩小球A、B位于同一高度h(l、h均為定值)。將A向B水平拋出的同時，B自由下落。A、B與地面碰撞前后，水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反。不計空氣阻力及小球與地面碰撞的時間，則()A．A、B在第一次落地前能否相碰，取決于A的初速度B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不會相碰C．A、B不可能運動到最高處相碰D．A、B一定能相碰解析：選ADA、B兩個小球在豎直方向上均做自由落體運動，兩球落地之后在豎直方向上均做豎直上拋運動，在同一時刻始終處于同一高度上，A球在水平方向上始終做勻速直線運動，所以A、B一定能相碰，且相碰時所處的豎直位置無限制，D正確，B、C錯誤；A球第一次落地所用時間t＝eq\r(\f(2h,g))，水平位移l＝vt，只要A球的初速度v＞eq\f(l,t)＝leq\r(\f(g,2h))，A、B就可以在第一次落地之前相碰，A正確。8．(2018·石家莊模擬)如圖所示，一固定斜面傾角為θ，將小球A從斜面頂端以速率v0水平向右拋出，擊中了斜面上的P點；將小球B從空中某點以相同速率v0水平向左拋出，恰好垂直斜面擊中Q點。不計空氣阻力，重力加速度為g，下列說法正確的是()A．若小球A在擊中P點時速度方向與水平方向所夾銳角為φ，則tanθ＝2tanφB．若小球A在擊中P點時速度方向與水平方向所夾銳角為φ，則tanφ＝2tanθC．小球A、B在空中運動的時間比為2tan2θ∶1D．小球A、B在空中運動的時間比為tan2θ∶1解析：選BC由題圖可知，斜面的傾角θ等于小球A落在斜面上時的位移與水平方向的夾角，由平拋運動推論可知：tanφ＝2tanθ，選項A錯誤，B正確；設(shè)小球A在空中運動的時間為t1，小球B在空中運動的時間為t2，則由平拋運動的規(guī)律可得：tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt12,v0t1)，tanθ＝eq\f(v0,gt2)，則eq\f(t1,t2)＝eq\f(2tan2θ,1)，選項C正確，D錯誤。9.如圖所示，A、B兩質(zhì)點以相同的水平速度v0拋出，A在豎直面內(nèi)運動，落地點為P1，B沿光滑斜面運動，落地點為P2，不計空氣阻力，比較P1、P2在x軸方向上距拋出點的遠(yuǎn)近關(guān)系及落地瞬時速度的大小關(guān)系，則()A．P1較近 B．P1、P2一樣遠(yuǎn)C．A落地時速率大 D．A、B落地時速率一樣大解析：選AD設(shè)A、B兩質(zhì)點在豎直方向的高度均為h，質(zhì)點A做平拋運動，則xA＝v0eq\r(\f(2h,g))，vyA＝geq\r(\f(2h,g))，vA＝eq\r(v02＋vyA2)，質(zhì)點B做類平拋運動，則xB＝v0eq\r(\f(2h,gsin2θ))(θ為斜面傾角)，vyB＝gsinθeq\r(\f(2h,gsin2θ))＝geq\r(\f(2h,g))，vB＝eq\r(v02＋vyB2)，解以上各式得xA<xB，vA＝vB，選項A、D正確，B、C錯誤。第20課時圓周運動的描述(雙基落實課)知識點一圓周運動的基本概念1．描述圓周運動的物理量定義和意義公式和單位線速度(1)描述物體沿圓周運動快慢的物理量(v)(2)是矢量，方向和半徑垂直，和圓周相切(1)v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)(2)單位：m/s角速度(1)描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量(ω)(2)矢量，中學(xué)不研究其方向(1)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)(2)單位：rad/s周期和轉(zhuǎn)速(1)周期是物體沿圓周運動一圈的時間(T)(2)轉(zhuǎn)速是物體在單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(n)，也叫頻率(f)(1)T＝eq\f(2πr,v)，單位：s(2)f＝eq\f(1,T)，單位：eq\a\vs4\al(Hz)(3)n的單位：r/s、r/min向心加速度(1)描述速度eq\o(□,\s\up1(10))方向變化快慢的物理量(an)(2)矢量，方向指向eq\o(□,\s\up1(11))圓心(1)an＝eq\f(v2,r)＝ω2r(2)單位：m/s2相互關(guān)系(1)v＝ωr＝eq\f(2πr,T)＝2πrf(2)an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2r,T2)＝4π2f2r＝ωv2．勻速圓周運動(1)定義：物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，這種運動叫做勻速圓周運動。(2)性質(zhì)：向心加速度大小不變，方向總是指向圓心的變加速曲線運動。3．非勻速圓周運動(1)定義：物體沿著圓周運動，但線速度大小發(fā)生變化。(2)合力的作用：①合力沿速度方向的分量Ft產(chǎn)生切向加速度，F(xiàn)t＝mat，它只改變速度的大小。②合力沿半徑方向的分量Fn產(chǎn)生向心加速度，F(xiàn)n＝man，它只改變速度的方向。[小題練通]1．(多選)(粵教教材改編題)如圖為甲、乙兩球做勻速圓周運動時向心加速度隨半徑變化的關(guān)系圖線，甲圖線為雙曲線的一支，乙圖線為直線。由圖像可以知道()A．甲球運動時，線速度的大小保持不變B．甲球運動時，角速度的大小保持不變C．乙球運動時，線速度的大小保持不變D．乙球運動時，角速度的大小保持不變解析：選AD由題圖可知，甲圖線中a與r成反比，則由向心加速度公式a＝eq\f(v2,r)可知，甲球的線速度大小不變，根據(jù)v＝rω知，隨r變化角速度變化，故A正確，B錯誤；乙圖線中a與r成正比，則由向心加速度公式a＝ω2r可知，乙球運動的角速度保持不變，根據(jù)v＝rω知，隨r變化線速度變化，故C錯誤，D正確。2．(多選)質(zhì)點做勻速圓周運動，則()A．在任何相等的時間里，質(zhì)點的位移都相同B．在任何相等的時間里，質(zhì)點通過的路程都相等C．在任何相等的時間里，連接質(zhì)點和圓心的半徑轉(zhuǎn)過的角度都相等D．在任何相等的時間里，質(zhì)點運動的平均速度都相同解析：選BC由勻速圓周運動的定義知，B、C正確；位移和平均速度是矢量，其方向不同，A、D錯誤。3．(多選)一質(zhì)點做勻速圓周運動，其線速度大小為4m/s，轉(zhuǎn)動周期為2s，則()A．角速度為0.5rad/s B．轉(zhuǎn)速為0.5r/sC．軌跡半徑為eq\f(4,π)m D．加速度大小為4πm/s2解析：選BCD角速度為ω＝eq\f(2π,T)＝πrad/s，A錯誤；轉(zhuǎn)速為n＝eq\f(ω,2π)＝0.5r/s，B正確；半徑r＝eq\f(v,ω)＝eq\f(4,π)m，C正確；向心加速度大小為an＝eq\f(v2,r)＝4πm/s2，D正確。判斷勻速圓周運動中a、v、ω、r、n、T之間是否成正比或反比關(guān)系時，首先要明確不變量，再結(jié)合關(guān)系式進(jìn)行判斷，用到了控制變量法。知識點二幾類常見的傳動裝置1．傳動裝置的分類主要有四種：(1)同軸傳動如圖甲所示；(2)皮帶傳動如圖乙所示；(3)齒輪傳動如圖丙所示；(4)摩擦傳動如圖丁所示。2．傳動裝置的特點(1)同軸傳動：固定在一起共軸轉(zhuǎn)動的物體上各點角速度相同。(2)皮帶傳動、齒輪傳動和摩擦傳動：皮帶(或齒輪)傳動和不打滑的摩擦傳動的兩輪邊緣上各點線速度大小相等。[小題練通]1．(人教教材改編題)如圖是自行車傳動裝置的示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的大齒輪，Ⅱ是半徑為r2的小齒輪，Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為nr/s，則自行車前進(jìn)的速度為()A.eq\f(πnr1r3,r2) B.eq\f(πnr2r3,r1)C.eq\f(2πnr2r3,r1) D.eq\f(2πnr1r3,r2)解析：選D因為要計算自行車前進(jìn)的速度，即后輪Ⅲ邊緣上的線速度的大小，根據(jù)題意知：輪Ⅰ和輪Ⅱ邊緣上的線速度的大小相等，根據(jù)v＝rω可知：r1ω1＝r2ω2，已知ω1＝ω＝2πn，則輪Ⅱ的角速度ω2＝eq\f(r1,r2)ω，因為輪Ⅱ和后輪Ⅲ共軸，所以轉(zhuǎn)動的角速度相等，即ω3＝ω2，根據(jù)v＝rω可知，v3＝r3ω3＝eq\f(ωr1r3,r2)＝eq\f(2πnr1r3,r2)，D正確。2．(2016·上海高考)風(fēng)速儀結(jié)構(gòu)如圖(a)所示。光源發(fā)出的光經(jīng)光纖傳輸，被探測器接收，當(dāng)風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)時，通過齒輪帶動凸輪圓盤旋轉(zhuǎn)，當(dāng)圓盤上的凸輪經(jīng)過透鏡系統(tǒng)時光被擋住。已知風(fēng)輪葉片轉(zhuǎn)動半徑為r，每轉(zhuǎn)動n圈帶動凸輪圓盤轉(zhuǎn)動一圈。若某段時間Δt內(nèi)探測器接收到的光強(qiáng)隨時間變化關(guān)系如圖(b)所示，則該時間段內(nèi)風(fēng)輪葉片()A．轉(zhuǎn)速逐漸減小，平均速率為eq\f(4πnr,Δt)B．轉(zhuǎn)速逐漸減小，平均速率為eq\f(8πnr,Δt)C．轉(zhuǎn)速逐漸增大，平均速率為eq\f(4πnr,Δt)D．轉(zhuǎn)速逐漸增大，平均速率為eq\f(8πnr,Δt)解析：選B根據(jù)題意，從題圖(b)可以看出，在Δt時間內(nèi)，探測器接收到光的時間在增長，凸輪圓盤的擋光時間也在增長，可以確定圓盤凸輪的轉(zhuǎn)速在減小，則風(fēng)輪葉片轉(zhuǎn)速逐漸減?。辉讦時間內(nèi)可以看出有4次擋光，即凸輪圓盤轉(zhuǎn)動4周，則風(fēng)輪葉片轉(zhuǎn)動了4n周，風(fēng)輪葉片轉(zhuǎn)過的弧長為l＝4n×2πr，葉片轉(zhuǎn)動平均速率為：v＝eq\f(8πnr,Δt)，故選項B正確。知識點三向心力的理解和計算1．向心力的來源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一個向心力。2．向心力的確定(1)確定圓周運動的軌道所在的平面，確定圓心的位置。(2)分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力，就是向心力。3．向心力的公式Fn＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝mr·eq\f(4π2,T2)＝mr·4π2f2＝mωv。4．勻速圓周運動的條件當(dāng)物體所受的合外力大小恒定，且始終與速度方向垂直時，物體做勻速圓周運動，此時向心力由物體所受合外力提供。[小題練通]1.(2018·河北廊坊聯(lián)考)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的圓筒內(nèi)壁上有一物體隨圓筒一起轉(zhuǎn)動而未滑動。當(dāng)圓筒的角速度逐漸增大時(物體不滑動)，下列說法正確的是()A．物體所受彈力增大，摩擦力也增大B．物體所受彈力增大，摩擦力減小C．物體所受彈力和摩擦力都減小D．物體所受彈力增大，摩擦力不變解析：選D物體隨圓筒一起轉(zhuǎn)動時，受到三個力的作用：重力G、筒壁對它的彈力FN和筒壁對它的摩擦力f(如圖所示)。其中G和f是一對平衡力，筒壁對它的彈力FN提供它做圓周運動的向心力。當(dāng)圓筒轉(zhuǎn)動時，不管其角速度為多大，只要物體隨圓筒一起轉(zhuǎn)動而未滑動，則物體所受的摩擦力f大小就等于其重力。而根據(jù)向心力公式得FN＝mrω2，當(dāng)角速度ω增大時，F(xiàn)N也增大，選項D正確。2．(2018·通州模擬)如圖所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐筒，其軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動。有一個質(zhì)量為m的小球A緊貼著筒內(nèi)壁在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，筒口半徑和筒高分別為R和H，小球A所在的高度為筒高的一半。已知重力加速度為g，則()A．小球A做勻速圓周運動的角速度ω＝eq\f(\r(2gH),R)B．小球A受到重力、支持力和向心力三個力作用C．小球A受到的合力大小為eq\f(mgR,H)D．小球A受到的合力方向垂直于筒壁斜向上解析：選A小球A受到重力、支持力兩個力作用，合力(提供向心力)的方向水平且指向轉(zhuǎn)軸，則mgtanθ＝mω2r(θ為圓錐筒內(nèi)壁傾角)，半徑r＝eq\f(R,2)，tanθ＝eq\f(H,R)，解得ω＝eq\f(\r(2gH),R)，A正確，B、C、D錯誤。求解圓周運動問題必須進(jìn)行的三類分析幾何分析目的是確定圓周運動的圓心、半徑等運動分析目的是確定圓周運動的線速度、角速度、向心加速度等受力分析目的是通過力的合成與分解，表示出物體做圓周運動時，外界所提供的向心力知識點四離心運動1．定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運動。2．本質(zhì)：做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢。3．受力特點F為實際提供的向心力當(dāng)F＝mω2r時，做勻速圓周運動當(dāng)F＝0時，沿圓周切線方向飛出當(dāng)F＜mω2r時，逐漸遠(yuǎn)離圓心當(dāng)F>mω2r時，做近心運動[小題練通]1．(多選)如圖所示，洗衣機(jī)的脫水筒采用帶動衣物旋轉(zhuǎn)的方式脫水，下列說法中正確的是()A．脫水過程中，衣物是緊貼筒壁的B．水會從筒中甩出是因為水滴受到的向心力很大的緣故C．加快脫水筒轉(zhuǎn)動角速度，脫水效果會更好D．靠近中心的衣物的脫水效果不如周邊的衣物的脫水效果好解析：選ACD水滴依附衣物的附著力是一定的，當(dāng)水滴因做圓周運動所需的向心力大于該附著力時，水會從筒中甩出，B錯誤；脫水過程中，衣物做離心運動而甩向筒壁，A正確；角速度增大，水滴所需向心力增大，脫水效果更好，C正確；周邊的衣物上的水滴因圓周運動的半徑R更大，在ω一定時，所需向心力比靠近中心衣物的大，脫水效果更好，D正確。2．(多選)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩個物體A和B，它們與盤間的動摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，燒斷細(xì)線，兩物體的運動情況是()A．物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動B．物體A發(fā)生滑動，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)C．兩物體仍隨圓盤一起做圓周運動，不發(fā)生滑動D．兩物體均沿半徑方向滑動，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)解析：選AB當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛要發(fā)生滑動時，A靠細(xì)線的拉力與圓盤的最大靜摩擦力的合力提供向心力做勻速圓周運動，所以燒斷細(xì)線后，A所受最大靜摩擦力不足以提供其做圓周運動所需要的向心力，A要與圓盤發(fā)生相對滑動，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)，但是B所需要的向心力小于B的最大靜摩擦力，所以B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，故C、D錯誤，A、B正確。物體做離心運動，不是因為受到離心力作用，而是合力不足以提供物體做圓周運動所需要的向心力導(dǎo)致的，近心運動則是合力大于所需向心力導(dǎo)致的。eq\a\vs4\al([課時達(dá)標(biāo)檢測])一、單項選擇題1．(2018·鹽城高三期中)在一個大型游戲中，水平轉(zhuǎn)盤上距轉(zhuǎn)軸不同位置站有不同的人，轉(zhuǎn)盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動。設(shè)人與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力與人的質(zhì)量成正比，且比例系數(shù)相同。關(guān)于轉(zhuǎn)盤上的人，下列說法中正確的是()A．角速度一定相同 B．摩擦力一定相同C．一定同時開始滑動 D．向心加速度一定相同解析：選A不同的人隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動，角速度相同，故A正確；摩擦力提供人隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動所需要的向心力，故f＝mω2r，由于質(zhì)量不同，半徑不同，故摩擦力不一定相同，故B錯誤；根據(jù)kmg＝mω2r可知，kg＝ω2r，因半徑不同，故開始滑動時的角速度不同，故不同時滑動，故C錯誤；根據(jù)牛頓第二定律可知，向心加速度為a＝ω2r，由于半徑不同，向心加速度不同，故D錯誤。2．某同學(xué)設(shè)計了一種能自動拐彎的輪子。如圖所示，兩等高、等距的軌道a、b固定于水平桌面上，當(dāng)裝有這種輪子的小車在軌道上運行到達(dá)彎道略微偏向軌道外側(cè)時，會順利實現(xiàn)拐彎而不會出軌。下列截面圖所示的輪子中，能實現(xiàn)這一功能的是()解析：選A當(dāng)該小車在軌道上運行到達(dá)彎道略微偏向軌道外側(cè)時，由于慣性，內(nèi)側(cè)輪高度略降低，外側(cè)輪高度略升高，軌道對小車的支持力偏向軌道內(nèi)側(cè)，與重力的合力提供向心力，從而順利拐彎，故A正確；當(dāng)該小車在軌道上運行到達(dá)彎道略微偏向軌道外側(cè)時，由于慣性，內(nèi)側(cè)輪高度略升高，外側(cè)輪高度略降低，軌道對小車的支持力偏向軌道外側(cè)，小車會發(fā)生側(cè)翻，故B錯誤；當(dāng)該小車在軌道上運行到達(dá)彎道略微偏向軌道外側(cè)時，由于慣性，內(nèi)側(cè)輪高度略升高，外側(cè)輪高度也是略升高，軌道對小車的支持力豎直向上，不會順利實現(xiàn)拐彎，故C錯誤；當(dāng)該小車在軌道上運行到達(dá)彎道略微偏向軌道外側(cè)時，沒有外力提供向心力，由于慣性，小車會出軌，故D錯誤。3．(2018·成都質(zhì)檢)光盤驅(qū)動器讀取數(shù)據(jù)的某種方式可簡化為以下模式，在讀取內(nèi)環(huán)數(shù)據(jù)時，以恒定角速度的方式讀取，而在讀取外環(huán)數(shù)據(jù)時，以恒定線速度的方式讀取。如圖所示，設(shè)內(nèi)環(huán)內(nèi)邊緣半徑為R1，內(nèi)環(huán)外邊緣半徑為R2，外環(huán)外邊緣半徑為R3。A、B、C分別為各邊緣線上的點。則讀取內(nèi)環(huán)上A點時，A點的向心加速度大小和讀取外環(huán)上C點時，C點的向心加速度大小之比為()A.eq\f(R12,R2R3) B.eq\f(R22,R1R3)C.eq\f(R2R3,R12) D.eq\f(R1R3,R22)解析：選D根據(jù)題意可知，A、B兩點角速度相同，由a＝ω2r，可知aA∶aB＝R1∶R2①；B、C兩點線速度相同，由a＝eq\f(v2,r)，可知aB∶aC＝R3∶R2②；由①×②可得aA∶aC＝R1R3∶R22，D項正確。4．(2013·江蘇高考)如圖所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上。不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動時，下列說法正確的是()A．A的速度比B的大B．A與B的向心加速度大小相等C．懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小解析：選DA、B兩個座椅都繞中心軸做勻速圓周運動，角速度相等，由于B的半徑大，由v＝rω可知，B的速度大，A項錯誤；由a＝rω2可知，B的向心加速度大，B項錯誤；由F＝mrω2可知，B受到的向心力大，而向心力是由纜繩拉力的水平分力提供的，即Tsinθ＝mrω2，而豎直方向Tcosθ＝mg，因此，tanθ＝eq\f(rω2,g)，因此懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角不等，C項錯誤；半徑大的θ大，由Tcosθ＝mg可知，對應(yīng)的拉力就大，D項正確。5．(2018·鄭州質(zhì)檢)如圖所示，兩個用相同材料制成的靠摩擦轉(zhuǎn)動的輪A和B水平放置，兩輪半徑RA＝2RB。當(dāng)主動輪A勻速轉(zhuǎn)動時，在A輪邊緣上放置的小木塊恰能相對靜止在A輪邊緣上。若將小木塊放在B輪上，欲使小木塊相對B輪也靜止，則小木塊距B輪轉(zhuǎn)動軸的最大距離為()A.eq\f(RB,4) B.eq\f(RB,3)C.eq\f(RB,2) D．RB解析：選C由題圖可知，當(dāng)主動輪A勻速轉(zhuǎn)動時，A、B兩輪邊緣上的線速度大小相同，由ω＝eq\f(v,R)，得eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(RB,RA)＝eq\f(1,2)。由于小木塊恰能在A輪邊緣靜止，則由靜摩擦力提供的向心力達(dá)最大值μmg，故μmg＝mωA2RA①，設(shè)放在B輪上能使小木塊相對靜止的距B輪轉(zhuǎn)動軸的最大距離為r，則向心力由最大靜摩擦力提供，故μmg＝mωB2r②，因A、B材料相同，故小木塊與A、B間的動摩擦因數(shù)相同，①、②式左邊相等，故mωA2RA＝mωB2r，得r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ωA,ωB)))2RA＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2RA＝eq\f(RA,4)＝eq\f(RB,2)，C正確。二、多項選擇題6．(2018·蘇北四市期中)某同學(xué)為體會并探究與向心力相關(guān)的因素，做了如圖所示的小實驗：手通過細(xì)繩使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動。下列說法正確的是()A．若保持周期不變，減小繩長，則繩的拉力將增大B．若保持周期不變，增大繩長，則繩的拉力將增大C．若保持繩長不變，增大小球的角速度，則繩的拉力將增大D．若保持繩長不變，增大小球的周期，則繩的拉力將增大解析：選BC根據(jù)F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R可知，若保持周期不變，增大繩長，則繩的拉力將增大；若保持繩長不變，增大小球的周期，則繩的拉力將減小，選項B正確，A、D錯誤；根據(jù)F＝mω2R可知，若保持繩長不變，增大小球的角速度，則繩的拉力將增大，選項C正確。7．(2013·全國Ⅱ卷)公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶。如圖，某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速率為vc時，汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢。則在該彎道處()A．路面外側(cè)高內(nèi)側(cè)低B．車速只要低于vc，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動C．車速雖然高于vc，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側(cè)滑動D．當(dāng)路面結(jié)冰時，與未結(jié)冰時相比，vc的值變小解析：選AC汽車以速率vc轉(zhuǎn)彎，需要指向內(nèi)側(cè)的向心力，汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢，說明此處公路內(nèi)側(cè)較低外側(cè)較高，選項A正確；車速只要低于vc，車輛便有向內(nèi)側(cè)滑動的趨勢，但不一定向內(nèi)側(cè)滑動，選項B錯誤；車速雖然高于vc，由于車輪與地面有摩擦力，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側(cè)滑動，選項C正確；根據(jù)題述，汽車以速率vc轉(zhuǎn)彎，需要指向內(nèi)側(cè)的向心力，汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢，沒有受到摩擦力，所以當(dāng)路面結(jié)冰時，與未結(jié)冰時相比，轉(zhuǎn)彎時vc的值不變，選項D錯誤。8．如圖所示，一位同學(xué)玩飛鏢游戲。圓盤最上端有一P點，飛鏢拋出時與P點等高，且距離P點為L。當(dāng)飛鏢以初速度v0垂直盤面瞄準(zhǔn)P點拋出的同時，圓盤繞經(jīng)過盤心O點的水平軸在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動。忽略空氣阻力，重力加速度為g，若飛鏢恰好擊中P點，則()A．飛鏢擊中P點所需的時間為eq\f(L,v0)B．圓盤的半徑可能為eq\f(gL2,2v02)C．圓盤轉(zhuǎn)動角速度的最小值為eq\f(2πv0,L)D．P點隨圓盤轉(zhuǎn)動的線速度可能為eq\f(5πg(shù)L,4v0)解析：選AD飛鏢水平拋出做平拋運動，在水平方向做勻速直線運動，因此t＝eq\f(L,v0)，故A正確；飛鏢擊中P點時，P點恰好在圓盤最下方，則2r＝eq\f(1,2)gt2，解得圓盤的半徑r＝eq\f(gL2,4v02)，故B錯誤；飛鏢擊中P點，則P點轉(zhuǎn)過的角度滿足θ＝ωt＝π＋2kπ(k＝0,1,2，…)，故ω＝eq\f(θ,t)＝eq\f(2k＋1πv0,L)，則圓盤轉(zhuǎn)動角速度的最小值為eq\f(πv0,L)，故C錯誤；P點隨圓盤轉(zhuǎn)動的線速度為v＝ωr＝eq\f(2k＋1πv0,L)·eq\f(gL2,4v02)＝eq\f(2k＋1πg(shù)L,4v0)，當(dāng)k＝2時，v＝eq\f(5πg(shù)L,4v0)，故D正確。9．(2018·無錫一模)如圖所示，粗糙水平圓盤上，質(zhì)量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤一起做勻速圓周運動。設(shè)物體間最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，則下列說法正確的是()A．B的向心力是A的2倍B．圓盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍C．A有沿半徑向外滑動的趨勢，B有沿半徑向內(nèi)滑動的趨勢D．增大圓盤轉(zhuǎn)速，發(fā)現(xiàn)A、B一起相對圓盤滑動，則A、B之間的動摩擦因數(shù)大于B與圓盤之間的動摩擦因數(shù)解析：選BD根據(jù)Fn＝mω2r知，A、B向心力大小相等，A項錯誤；A的向心力由B對A的靜摩擦力提供，B的向心力由圓盤對B的指向圓心的靜摩擦力和A對B的背離圓心的靜摩擦力提供，B項正確；A、B都是有沿半徑向外滑動的趨勢，C項錯誤；A、B一起相對圓盤滑動，說明A、B間未達(dá)到最大靜摩擦力，而圓盤和B之間已經(jīng)達(dá)到最大靜摩擦力，則A、B之間的動摩擦因數(shù)大于B與圓盤之間的，D項正確。第21課時曲線運動規(guī)律的綜合應(yīng)用(題型研究課)(一)水平面內(nèi)的圓周運動題型1水平面內(nèi)勻速圓周運動的動力學(xué)分析題型簡述此類問題相對簡單，物體所受合外力充當(dāng)向心力，合外力大小不變，方向總是指向圓心。方法突破(1)選擇做勻速圓周運動的物體作為研究對象。(2)分析物體受力情況，其合外力提供向心力。(3)由Fn＝meq\f(v2,r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＝mω2r＝m\f(4π2r,T2)))列方程求解。[例1]如圖所示，內(nèi)壁光滑的彎曲鋼管固定在天花板上，一根結(jié)實的細(xì)繩穿過鋼管，兩端分別拴著一個小球A和B。小球A和B的質(zhì)量之比eq\f(mA,mB)＝eq\f(1,2)。當(dāng)小球A在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時，小球A到管口的細(xì)繩長為l，此時小球B恰好處于平衡狀態(tài)。鋼管內(nèi)徑的粗細(xì)不計，重力加速度為g。求：(1)拴著小球A的細(xì)繩與豎直方向的夾角θ；(2)小球A轉(zhuǎn)動的周期。[解析](1)設(shè)細(xì)繩的拉力為F，小球B處于平衡狀態(tài)，有F＝mBg在豎直方向上，小球A處于平衡狀態(tài)，有Fcosθ＝mAg解得cosθ＝eq\f(mA,mB)＝eq\f(1,2)所以拴著小球A的細(xì)繩與豎直方向的夾角θ＝60°。(2)對于小球A，細(xì)繩拉力的水平分量提供圓周運動的向心力，有Fsinθ＝mAeq\f(v2,r)r＝lsinθ解得小球A的線速度為v＝eq\r(\f(3,2)gl)又T＝eq\f(2πr,v)則小球A轉(zhuǎn)動的周期T＝πeq\r(\f(2l,g))。[答案](1)60°(2)πeq\r(\f(2l,g))題型2水平面內(nèi)圓周運動與平拋運動的綜合問題題型簡述此類問題往往是物體先做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，后做平拋運動，有時還要結(jié)合能量關(guān)系分析求解，多以選擇題或計算題形式考查。方法突破(1)明確水平面內(nèi)做勻速圓周運動的向心力來源，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列方程。(2)平拋運動一般是沿水平方向和豎直方向分解速度或位移。(3)速度是聯(lián)系前后兩個過程的關(guān)鍵物理量，前一個過程的末速度是后一個過程的初速度。[例2](2018·廈門質(zhì)檢)如圖所示，置于圓形水平轉(zhuǎn)臺邊緣的小物塊隨轉(zhuǎn)臺加速轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到某一數(shù)值時，物塊恰好滑離轉(zhuǎn)臺開始做平拋運動。現(xiàn)測得轉(zhuǎn)臺半徑R＝0.5m，離水平地面的高度H＝0.8m，物塊平拋落地過程水平位移的大小s＝0.4m。設(shè)物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2。求：(1)物塊做平拋運動的初速度大小v0；(2)物塊與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)μ。[解析](1)設(shè)物塊做平拋運動所用時間為t，豎直方向有H＝eq\f(1,2)gt2水平方向有s＝v0t解得v0＝seq\r(\f(g,2H))＝1m/s。(2)物塊恰好離開轉(zhuǎn)臺時，最大靜摩擦力提供向心力，有μmg＝meq\f(v02,R)解得μ＝eq\f(v02,gR)＝0.2。[答案](1)1m/s(2)0.2(二)豎直面內(nèi)的圓周運動1．輕繩模型和輕桿模型概述在豎直平面內(nèi)做圓周運動的物體，運動至軌道最高點時的受力情況可分為兩類：一是無支撐(如球與繩連接，沿內(nèi)軌道的“過山車”等)，稱為“輕繩模型”；二是有支撐(如球與桿連接，小球在彎管內(nèi)運動等)，稱為“輕桿模型”。2．兩類模型對比輕繩模型輕桿模型情景圖示彈力特征彈力可能向下，也可能等于零彈力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意圖力學(xué)方程mg＋FT＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)臨界特征FT＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)v＝0，即F向＝0，此時FN＝mgv＝eq\r(gr)的意義物體能否過最高點的臨界點FN表現(xiàn)為拉力還是支持力的臨界點模型1輕繩模型[例1](2018·福州質(zhì)檢)如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根輕繩的拉力大小為()A.eq\r(3)mg B．.eq\f(4,3)eq\r(3)mgC．3mg D．2eq\r(3)mg[解析]由題圖可知，小球在運動過程中，A、B兩點與小球所在位置構(gòu)成等邊三角形，由此可知，小球做圓周運動的半徑R＝L·sin60°＝eq\f(\r(3),2)L，兩根輕繩與小球運動半徑方向間的夾角為30°，由題意，小球在最高點的速率為v時，mg＝meq\f(v2,R)，當(dāng)小球在最高點的速率為2v時，應(yīng)有：F＋mg＝meq\f(2v2,R)，可解得：F＝3mg。由2FTcos30°＝F，可得每根輕繩的拉力大小均為FT＝eq\r(3)mg，A項正確。[答案]A模型2輕桿模型[例2]如圖所示，輕桿長為3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力。忽略空氣阻力。則球B在最高點時()A．球B的速度為零B．球A的速度大小為eq\r(2gL)C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg[解析]球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝meq\f(vB2,2L)，解得vB＝eq\r(2gL)，故A錯誤；由于球A、B的角速度相等，則球A的速度大小vA＝eq\f(1,2)eq\r(2gL)，故B錯誤；球B在最高點時，對桿無作用力，此時球A所受重力和桿的作用力的合力提供向心力，有F－mg＝meq\f(vA2,L)，解得：F＝1.5mg，則水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg，故C正確，D錯誤。[答案