第一章反比例函數綜合素質評價一、選擇題(每題3分，共30分)1．在下列函數中，y是x的反比例函數的是()A．y＝2xB．y＝eq\f(x,2)C．y＝eq\f(2,x)D．y＝eq\f(2,x－1)2．已知雙曲線y＝eq\f(k,x)經過點(1，－2)，則下列說法錯誤的是()A．該雙曲線的表達式為y＝－eq\f(2,x)B．點(－1，2)在該雙曲線上C．該雙曲線位于第二、四象限D．當x<0時，y隨x增大而減小3．已知反比例函數y＝eq\f(k＋1,x)，當x>0時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是()A．k>－1B．k≥－1C．k<－1D．k≤－14．若點A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，4)都在反比例函數y＝eq\f(k2＋1,x)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關系是()A．x1<x2<x3B．x2<x3<x1C．x1<x3<x2D．x2<x1<x35．如圖，一次函數y＝ax＋b的圖象與反比例函數y＝eq\f(k,x)的圖象交于點A(2，3)，B(m，－2)，則不等式ax＋b>eq\f(k,x)的解集是()A．－3＜x＜0或x＞2B．x＜－3或0＜x＜2C．－2＜x＜0或x＞2D．－3＜x＜0或x＞36．如圖是反比例函數y＝eq\f(1,x)的圖象，點A(x，y)是反比例函數圖象上任意一點，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，則△AOB的面積是()A．1B．eq\f(1,2)C．2D．eq\f(3,2)7．[2025·濟南歷下區月考]如圖，直線y＝－x與雙曲線y＝eq\f(k,x)(k≠0)交于A，B兩點，已知OA＝3eq\r(2)，則雙曲線的表達式為()A．y＝eq\f(3,x)B．y＝－eq\f(3,x)C．y＝eq\f(9,x)D．y＝－eq\f(9,x)8．[2025·濟南市中區月考]函數y＝kx－k和y＝－eq\f(k2＋1,x)(k≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是()9.某種玻璃原材料需在0℃環境保存，取出后勻速加熱至600℃高溫后，停止加熱，玻璃原材料的溫度會逐漸降低至室溫(30℃)，加熱和降溫過程中可以對玻璃原材料進行加工，且加工的溫度要求不低于480℃.玻璃原材料的溫度y(℃)與時間x(min)的函數圖象如圖所示，降溫階段y與x成反比例函數關系，根據圖象信息，以下判斷正確的是()A．玻璃原材料的加熱速度為120℃/minB．玻璃原材料的降溫階段，y與x之間的函數關系式為y＝eq\f(600,x)C．能夠對玻璃原材料進行加工的時長為1.8minD．玻璃原材料從600℃降低至室溫30℃需要的時間為80min10．如圖，矩形ABCD的頂點D在反比例函數y＝eq\f(k,x)(x<0)的圖象上，頂點B，C在x軸上，對角線AC的延長線交y軸于點E，連接BE，若△BCE的面積是8，則k的值為()A．－4B．－8C．－16D．－20二、填空題(每題3分，共18分)11．若y是x的反比例函數，且當x＝2時，y＝7，則y與x之間的函數關系式是y＝________．12．[2024·北京]在平面直角坐標系xOy中，若函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象經過點(3，y1)和(－3，y2)，則y1＋y2的值是________．13．若反比例函數y＝(2k－1)x3k2－2k－1的圖象位于第二、四象限，則k的值是________．14．已知反比例函數y1＝eq\f(2,x)，y2＝－eq\f(3,x)，當1≤x≤3時，函數y1的最大值是a，函數y2的最大值是b，則ab＝________.15.在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強p(kPa)與汽缸內氣體的體積V(mL)成反比例關系，p關于V的函數圖象如圖所示．若壓強由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了________mL.16．如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象上，點B的坐標為(2，4)，則點E的坐標為____________．三、解答題(17～19題每題9分，20～22題每題10分，23題15分，共72分)17．已知反比例函數y＝－eq\f(5,3x).(1)寫出比例系數；(2)求當x＝－10時函數的值；(3)求當y＝2eq\f(1,2)時自變量x的值．18.已知反比例函數y＝eq\f(m－8,x)(m≠8)．(1)若函數圖象經過點A(－1，6)，求m的值；(2)若函數圖象位于第二、四象限，求m的取值范圍；(3)當x＞0時，y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．19.大約在兩千四百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成像的實驗，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端．”如圖，根據小孔成像的科學原理，當像距(小孔到像的距離)和物高(蠟燭火焰高度)不變時，火焰的像高y(單位：cm)是物距(小孔到蠟燭的距離)x(單位：cm)的反比例函數，當x＝6時，y＝2.(1)求y關于x的函數表達式．(2)若小孔到蠟燭的距離為4cm，求火焰的像高．(3)若火焰的像高不得超過3cm，求小孔到蠟燭的距離至少是多少厘米？20.為了預防“流感”，某學校對教室采用藥熏法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內空氣中的含藥量y(毫克/立方米)與藥物點燃后的時間x(分鐘)滿足如圖所示的一次函數關系，藥物點燃6分鐘后燃盡，藥物燃盡后，校醫每隔6分鐘測一次空氣中的含藥量，測得數據如下表：藥物點燃后的時間x/分鐘6121824空氣中的含藥量y/(毫克/立方米)12643(1)在如圖所示的平面直角坐標系中描出以表格中數據為坐標的各點；(2)觀察上述各點的分布規律，判斷它們是否在同一個反比例函數的圖象上，如果在同一個反比例函數的圖象上，求出這個反比例函數圖象所對應的函數表達式；如果不在同一個反比例函數的圖象上，請說明理由；(3)研究表明：空氣中每立方米的含藥量不低于8毫克，且持續4分鐘以上才能有效殺滅空氣中的病菌，應用上述發現的規律估算此次消毒能否有效殺滅空氣中的病菌．21．如圖，以原點O為頂點作正方形OABC，已知點C(0，3)，點A在x軸的正半軸上，直線y＝x－1與邊AB，OA分別交于點D，M.反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)的圖象過點D，與BC交于點N，連接MN.(1)求反比例函數的表達式；(2)若點P是直線DM上的動點，當CP＝MN時，求點P的坐標．22.如圖，直線y1＝－x＋4，y2＝eq\f(3,4)x＋b都與雙曲線y＝eq\f(k,x)(x>0)交于點A(1，n)，這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點．(1)求雙曲線的函數表達式；(2)根據圖象，直接寫出不等式eq\f(3,4)x＋b>eq\f(k,x)的解集；(3)若點P在x軸上，連接AP把△ABC的面積分成34兩部分，求此時點P的坐標．23.如圖①，某興趣小組計劃開墾一個面積為8m2的矩形地塊ABCD種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為am.【問題提出】小組內有同學提出這樣一個問題：若a＝10，能否圍出滿足條件的矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：設AB為xm，BC為ym．由矩形地塊的面積為8m2，得xy＝8，滿足條件的(x，y)可看作反比例函數y＝eq\f(8,x)的圖象在第一象限內點的坐標．由木欄總長為10m，得2x＋y＝10，滿足條件的(x，y)可看作一次函數y＝－2x＋10的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的(x，y)就可以看作兩個函數圖象交點的坐標．如圖②，反比例函數y＝eq\f(8,x)(x>0)的圖象與直線l：y＝－2x＋10的交點坐標為(1，8)和________，因此當木欄總長為10m時，能圍出滿足條件的矩形地塊，此時AB＝1m，BC＝8m或AB＝________m，BC＝________m.(1)根據小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】(2)若a＝5，能否圍出滿足條件的矩形地塊？請仿照小穎的方法說明理由．【問題延伸】當木欄總長為am時，小穎建立了一次函數y＝－2x＋a，發現直線y＝－2x＋a可以看作直線y＝－2x通過平移得到，在平移過程中，當過點(2，4)時，直線y＝－2x＋a與反比例函數y＝eq\f(8,x)(x>0)的圖象有唯一交點．(3)請在圖②中畫出過點(2，4)的直線y＝－2x＋a，并求出a的值．【拓展應用】小穎從以上探究中發現“能否圍成滿足條件的矩形地塊問題”可以轉化為“y＝－2x＋a與y＝eq\f(8,x)的圖象在第一象限內交點的存在問題”．(4)若要圍出滿足條件的矩形地塊，且AB和BC的長均不小于1m，請直接寫出a的取值范圍．

答案一、1.C2.D3.C4．C【點撥】已知反比例函數表達式為y＝eq\f(k2＋1,x)，∵k2＋1>0，∴反比例函數圖象位于第一、三象限，且在每個象限中，y隨x的增大而減小，如圖所示，由圖可得x1<x3<x2，故選C.5．A【點撥】∵點A(2，3)在反比例函數y＝eq\f(k,x)的圖象上，∴k＝6.∴反比例函數的表達式為y＝eq\f(6,x).又∵點B(m，－2)在反比例函數y＝eq\f(6,x)的圖象上，∴m＝－3.∴B(－3，－2)．由題圖可知，當ax＋b＞eq\f(k,x)時，－3＜x＜0或x＞2.6．B【點撥】∵點A的坐標為(x，y)，∴OB＝|x|，AB＝|y|.∵點A為反比例函數y＝eq\f(1,x)的圖象上一點，∴xy＝1，∴S△AOB＝eq\f(1,2)AB·OB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2).故選B.7．D【點撥】過點A作AC⊥x軸于點C，∵直線y＝－x與雙曲線y＝eq\f(k,x)(k≠0)交于A，B兩點，∴設A(n，－n)，則OC＝n，CA＝n.∵OA＝3eq\r(2)，∴eq\r(n2＋n2)＝3eq\r(2)，解得n＝3(負值已舍去)．∴A(3，－3)，則－3＝eq\f(k,3)，解得k＝－9，∴y＝－eq\f(9,x).8．A【點撥】反比例函數y＝－eq\f(k2＋1,x)(k≠0)中，∵－(k2＋1)<0，∴反比例函數圖象位于第二、四象限，選項C、D不符合題意；一次函數y＝kx－k(k≠0)中，當k>0時，－k<0，則一次函數的圖象不經過第二象限，選項A符合題意；當k<0時，－k>0，則一次函數的圖象不經過第三象限，選項B不符合題意．故選A.9．C【點撥】玻璃原材料的加熱速度為600÷4＝150(℃/min)，故A選項不正確；設玻璃原材料的降溫階段，y與x之間的函數關系式為y＝eq\f(k,x)，把(4，600)代入，得k＝2400，∴玻璃原材料的降溫階段，y與x之間的函數關系式為y＝eq\f(2400,x)，故B選項不正確；設玻璃原材料的加熱階段，y與x之間的函數關系式為y＝k1x，把(4，600)代入，得k1＝150，∴玻璃原材料的加熱階段，y與x之間的函數關系式為y＝150x，將y＝480代入y＝150x，得x＝3.2，將y＝480代入y＝eq\f(2400,x)，得x＝5，5－3.2＝1.8(min)，∴能夠對玻璃原材料進行加工的時長為1.8min，故C選項正確；將y＝30代入y＝eq\f(2400,x)，得x＝80，80－4＝76(min)，∴玻璃原材料從600℃降低至室溫30℃需要的時間為76min，故D選項不正確．10．C【點撥】設D(a，b)，則OC＝－a，CD＝b.在矩形ABCD中，AB＝CD＝b.∵點D在反比例函數圖象上，∴k＝ab.易得AB∥OE，∴易得△ABC∽△EOC，∴eq\f(AB,OE)＝eq\f(BC,OC)，即BC·OE＝AB·OC＝－ab.∵△BCE的面積是8，∴eq\f(1,2)BC·OE＝－eq\f(1,2)ab＝8，∴ab＝－16，即k＝－16.故選C.二、11.eq\f(14,x)12.013.014.eq\f(1,2)【點撥】∵對于y1＝eq\f(2,x)，當1≤x≤3時，函數y1隨x的增大而減小，最大值為a，∴當x＝1時，y1＝2＝a.∵對于y2＝－eq\f(3,x)，當1≤x≤3時，函數y2隨x的增大而增大，最大值為b，∴當x＝3時，y2＝－1＝b.∴ab＝2－1＝eq\f(1,2).15．2016．(4，2)【點撥】∵點B(2，4)在反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象上，∴4＝eq\f(k,2)，∴k＝2×4＝8，∴反比例函數的表達式為y＝eq\f(8,x).∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝ED.又∵點E在反比例函數圖象上，∴設Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(8,a)))，則OD＝a，ED＝eq\f(8,a).易知OA＝2，∴AD＝a－2＝ED＝eq\f(8,a)，∴a2－2a＝8，解得a1＝4，a2＝－2.∵a>0，∴a＝4，∴E(4，2)．三、17.【解】(1)由反比例函數y＝－eq\f(5,3x)可知比例系數為－eq\f(5,3).(2)把x＝－10代入y＝－eq\f(5,3x)，得y＝－eq\f(5,3×(－10))＝eq\f(1,6).(3)把y＝2eq\f(1,2)代入y＝－eq\f(5,3x)，得eq\f(5,2)＝－eq\f(5,3x)，解得x＝－eq\f(2,3).18．【解】(1)∵函數圖象經過點A(－1，6)，∴m－8＝－1×6＝－6，∴m＝2.(2)∵函數圖象位于第二、四象限，∴m－8＜0，解得m＜8.∴m的取值范圍是m＜8.(3)∵當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴m－8＞0，解得m＞8.∴m的取值范圍是m＞8.19．【解】(1)由題意設y關于x的函數表達式為y＝eq\f(k,x)，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y關于x的函數表達式為y＝eq\f(12,x).(2)把x＝4代入y＝eq\f(12,x)，得y＝3，∴火焰的像高為3cm.(3)當y≤3時，即eq\f(12,x)≤3，∵x>0，∴3x≥12，解得x≥4.答：小孔到蠟燭的距離至少是4cm.20．【解】(1)如圖所示．(2)觀察各點的分布規律，易得它們在同一個反比例函數的圖象上．設反比例函數的表達式為y＝eq\f(k,x)，把點(6，12)的坐標代入，得k＝12×6＝72，∴這個反比例函數的表達式為y＝eq\f(72,x).(3)易得一次函數表達式為y＝2x(0≤x≤6)，把y＝8代入y＝2x，得8＝2x，∴x＝4.把y＝8代入y＝eq\f(72,x)，得eq\f(72,x)＝8，∴x＝9.∵9－4＝5(分鐘)＞4分鐘，∴此次消毒能有效殺滅空氣中的病菌．21．【解】(1)∵C(0，3)，∴OC＝3.∵四邊形OABC是正方形，∴OA＝OC＝3.∵點M，D在直線y＝x－1上，∴易得點M(1，0)，D(3，2)．∵點D在y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)的圖象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函數的表達式為y＝eq\f(6,x)(x>0)．(2)設P(a，a－1)．對于y＝eq\f(6,x)，當y＝3時，x＝2，∴N(2，3)．又∵M(1，0)，∴MN2＝(2－1)2＋32＝10.∵CP＝MN，∴CP2＝MN2，∴a2＋(a－1－3)2＝10，整理，得a2－4a＋3＝0，解得a1＝1，a2＝3.∴P(1，0)或(3，2)．22．【解】(1)將點A(1，n)的坐標代入y1＝－x＋4，得n＝－1＋4＝3，∴A(1，3)．將點A(1，3)的坐標代入y＝eq\f(k,x)，得3＝eq\f(k,1)，解得k＝3.∴雙曲線的函數表達式為y＝eq\f(3,x).(2)結合圖象可知，不等式eq\f(3,4)x＋b>eq\f(k,x)的解集為x>1.(3)對于y1＝－x＋4，令y1＝0，得0＝－x＋4，解得x＝4，∴B(4，0)．將點A(1，3)的坐標代入y2＝eq\f(