2025年上海浦東新區二模數學試卷3.設圓C方程為x2+y2+4x-6y+10=0，則圓C的半徑為___________4.若f(x)=cos(3x)cosx+sin(3x)sinx，則函數y=f(x)的最小正周期為_____________．5.若關于x的方程x2-x+m=0的一個虛根的模為2，則實數m的值為_____________．6.設數列{an}為等差數列，其前n項和為Sn，已的展開式中，常數項為___________.8.設M(x,y)為拋物線y2=4x上任意一點，若x+2y+m的最小值為1，則m的值為_____________．9.李老師在整理建模小組10名學生的成績時不小心遺失了一位學生的成績，且剩余學生的成績數據如下：566777899，但李老師記得這名學生的成績恰好是本組學生成績的第25百分位數，則這10名學生的成績的方差為_____________．10.如圖，某建筑物OP垂直于地面，從地面點A處測得建筑物頂部P的仰角為30。，從地面點B處測得建米保留一位小數）第1頁/共5頁EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(→),b)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up5(→),b)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up5(→),b)則向量p與向量c夾角的最小值為___________用反三角表示）n①存在小于1013的正整數t，使得S2t+1=-1；②對任意的正整數k和m，都有S2m-S2k-1≤1．14.“a>b”是“lga>lgb”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件15.研究變量x，y得到一組成對數據(xi,yi),i=1,2,…,n，先進行一次線性回歸分析，接著增加一個數據(xn+1,yn+1)，其中再重新進行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是()A.變量x與變量y的相關性變強B.相關系數r的絕對值變小C.線性回歸方程y=x+EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(^),b)不變D.擬合誤差Q變大16.已知圓錐曲線Γ的對稱中心為原點O，若對于Γ上的任意一點A，均存在Γ上兩點B，C，使得原點O第2頁/共5頁到直線AB，AC和BC的距離都相等，則稱曲線Γ為“完美曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“完美曲線”；②存在雙曲線是“完美曲線”．下列判斷正確的是()A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題C.①②都是真命題D.①②都是假命題17.已知函數y=f(x)的表達式（1）若函數y=f(x)是奇函數，求實數a的值；（2）對任意實數x∈[-1,1]，不等式f(x)≤0恒成立，求實數a的取值范圍．18.如圖，四邊形ABCD為長方形，PA丄平面ABCD，AB=AP=2，AD=3．（1）若E、F分別是PB、CD的中點，求證：EF∥平面PAD；（2）邊BC上是否存在點G，使得直線PG與平面PAD所成的角的大小為30。？若存在，求BG長；若不存在，說明理由．19.為測試A、B兩款人工智能軟件解答數學問題的能力，將100道難度相當的數學試題從1到100編號后隨機分配給這兩款軟件測試．每道試題只被一款軟件解答一次，并記錄結果如下：試題類別A軟件B軟件測試試題數量正確解答的數量測試試題數量正確解答的數量幾何試題函數試題24（1）分別估計A軟件、B軟件能正確解答數學問題的概率；第3頁/共5頁（2）小浦準備用這兩款軟件來解決某次數學測試中的第12題（假設其難度和測試的100道題基本相同但該題內容還未知，從已往情況來看，該題是幾何題的概率為，是函數題的概率為．將頻率視為概率，試通過計算來說明小浦應該用哪款軟件解決這道試題？（3）小浦決定采用這兩款軟件解答6道類似試題，其中幾何、函數各3道，每道試題只用其中一款軟件解答一次．將頻率視為概率，小浦比較了這兩款軟件在解答幾何和函數題上的正確率，決定用表現較好的那款軟件解決其擅長的題型．用X1、X2分別表示這3道幾何試題與3道函數試題被正確解答的個數，求隨機變量X1+X2的數學期望和方差．20.已知橢圓C1的方程為，右頂點為A，上頂點為B，橢圓C2的中心位于坐標原點，兩個橢圓的離心率相等．（1）若橢圓C2的方程是焦點在x軸上，求a的值；（2）設橢圓C2的焦點在x軸上，直線AB與C2相交于點C、D，若CD=3AB，求C2的標準方程；（3）設橢圓C2的焦點在y軸上，點P在C1上，點Q在C2上．若存在△APQ是等腰直角三角形，且AP=AQ，求C2的長軸的取值范圍．21.定義域為R的可導函數y=f(x)滿足，在曲線y=f(x)上存在三個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)，使得直線AC與曲線y=f(x)在點B處的切線平行（或重合若x1,x2,x3成等差數列，則稱f(x)為“等差函數”；若x1,x2,x3成等差數列且x1,x2,x3均為整數，則稱f(x)為“整數等差函數”．（1）設f(x)=x2+x，g(x)=sinx，分別判斷f(x)和g(x)是否為“整數等差函數”，直接寫出結論；若為“整數等差函數”，求實數m的最小值；（3）已知y=f(x)的導函數y=f’(x)在R上為增函數，且存在一個正常數T，使得對任意x∈R，f(x+T)=f’(x)成立，證明：f(x)為“等差函數”的充要條件是f(x)為常值函數．第4頁/共5頁第5頁/共5頁2025年上海浦東新區二模數學試卷【解析】【詳解】分析：不等式)<0，解一元二次不等式即可．∴不等式的解集為(0,2)，故答案為(0,2)．點睛：本題考查了分式不等式轉化為一元二次不等式的解法，屬于基礎題【答案】-2【解析】【分析】由平面向量垂直的坐標表示求解．故答案為：-2【答案】【解析】【分析】將圓C的方程化為標準方程，可得出圓C的半徑.第1頁/共22頁故答案為：.4.若f(x)=cos(3x)cosx+sin(3x)sinx，則函數y=f(x)的最小正周期為_____________．【答案】π【解析】【分析】利用兩角和差的余弦公式化簡，再利用周期公式求解.故最小正周期為.故答案為：π5.若關于x的方程x2—x+m=0的一個虛根的模為2，則實數m的值【答案】4【解析】【分析】設關于x的方程的兩根虛根為x1,x2，則x1x2=m且x1=x2，即可求出m的值，再代入檢驗.24=0有兩個不相等實數根，不符1×4<0，所以關于x的方程x2x+m=0有兩個虛根，符合題意；故答案為：4【解析】【分析】根據下標和性質及等差數列求和公式計算可得.第2頁/共22頁故答案為：17的展開式中，常數項為___________.【答案】-252【解析】【分析】用二項式定理即可.【詳解】根據二項式定理，第r+1項為由于是常數，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(5),1)故答案為：-252.8.設M(x,y)為拋物線y2=4x上任意一點，若x+2y+m的最小值為1，則m的值為_____________．【答案】5【解析】【分析】依題意可得則結合二次函數的性質計算可得.【詳解】因為M(x,y)為拋物線y2=4x上任意一點，所以x=，y∈R，所以當y=4時x+2y+m取得最小值m4，依題意可得m4=1，所以m=5.故答案為：59.李老師在整理建模小組10名學生的成績時不小心遺失了一位學生的成績，且剩余學生的成績數據如下：566777899，但李老師記得這名學生的成績恰好是本組學生成績的第25百分位數，則這第3頁/共22頁【解析】【分析】現根據百分位數得出該生的成績，再利用方差公式計算.【詳解】10×25%=2.5，則該學生的成績為從小到大排列的第3個，故該生的成績為6，則這10名學生的成績的平均數為故答案為：10.如圖，某建筑物OP垂直于地面，從地面點A處測得建筑物頂部P的仰角為30o，從地面點B處測得建米保留一位小數）【答案】66.4【解析】【分析】先在Rt△AOP和Rt△BOP中，根據仰角分別用建筑物高度OP表示出OA和OB，然后在VAOB中利用余弦定理建立關于OP的方程，最后求解方程得到OP的值.【詳解】在Rt△AOP中，已知從地面點A處測得建筑物頂部P的仰角為30o，即上PAO=30o.因為在Rt△BOP中，從地面點B處測得建筑物頂部P的仰角為45o，即上PBO=45o.因為tan上將代入可得：22.10000=(4)OP2第4頁/共22頁故答案為：66.4.EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(→),b)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up5(→),b)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up5(→),b)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(→),b)則向量p與向量c夾角的最小值為___________用反三角表示）【解析】EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(→),b)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(→),b)求得x=y和再結合向量夾角得坐標表示即可求解.EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(→),b)(x,y,z)，EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(→),b)所以兩式相減可得：x=y，再代入第一個式子，可得：設向量與向量夾角為θ,4xxx7874xxx787第5頁/共22頁此時取得最大值48再由余弦函數的單調性可知θ的最小值為arccos，4故答案為n①存在小于1013的正整數t，使得S2t+1=-1；②對任意的正整數k和m，都有S2m-S2k-1≤1． 個．【答案】21012-1【解析】a2k+12k+2=0,k*，即可求數列個數，同時排除不滿足條件①的情況.對于①：存在小于1013的正整數t，使得S2t+1=-1，對于②：對任意的正整數k和m，都有S2m-S2k-1≤1，可知S2m-S2k-1為奇數，即S2m-S2k-1=1，綜上所述：對任意的正整數m，S2m=0.2k+12k+2=0,k第6頁/共22頁即a1,a2確定，a2k+1,a2k+2不相等，有2種可能，(a5,a6),...,(a2023,a2024),a2025均有2種可能，則滿足條件的數列共有個，又因為存在小于1013的正整數t，使得S2025綜上所述：符合題意的數列共有21012—1個.故答案為：21012—1.【答案】D【解析】【分析】由絕對值不等式確定結合Q，再由集合得交集、補集運算即可求解.}，所以故選：D14.“a>b”是“lga>lgb”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】第7頁/共22頁【分析】a>b不能保證a,b都是正值，推不出lga>lgb，反之則成立，即可求解.綜上，“a>b”是“lga>lgb”的必要不充分條件．故選：B15.研究變量x，y得到一組成對數據(xi,yi),i=1,2,…,n，先進行一次線性回歸分析，接著增加一個數據(xn+1,yn+1)，其中再重新進行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是()A.變量x與變量y的相關性變強B.相關系數r的絕對值變小C.線性回歸方程y=x+EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(^),b)不變D.擬合誤差Q變大【答案】C【解析】 【分析】設變量x，y的平均數分別為x，y，分析可知x=xn+1，y=yn+1.對于AB：根據相關系數的計算公式和性質分析判斷；對于CD：根據回歸方程和擬合誤差的性質分析判斷. 【詳解】設變量x，y的平均數分別為x，y，可知新數據的樣本中心點不變，仍為，對于AB：可得同理可得，則相關系數可知相關系數r的值不變，變量x與變量y的相關性不變，故AB錯誤；第8頁/共22頁對于C：因為且線性回歸方程過樣本中心點(x,y)，即EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(^),b),均不變，所以線性回歸方程y=x+EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(^),b)不變，故C正確；EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up3(·),y)可知殘差平方和不變，所以擬合誤差Q不變，故D錯誤；故選：C.16.已知圓錐曲線Γ的對稱中心為原點O，若對于Γ上的任意一點A，均存在Γ上兩點B，C，使得原點O到直線AB，AC和BC的距離都相等，則稱曲線Γ為“完美曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“完美曲線”；②存在雙曲線是“完美曲線”．下列判斷正確的是()A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題C.①②都是真命題D.①②都是假命題【答案】A【解析】【分析】對于命題①,通過考慮以原點為圓心的圓與橢圓上直線的位置關系來判斷；對于命題②,通過取雙曲線頂點，分析以原點為圓心的圓與雙曲線相關直線的位置關系來判斷.【詳解】判斷命題①:已知過橢圓上任意一點A作以原點為圓心的圓的切線，分別交橢圓于B，C兩點，連接BC.根據直線與圓的位置關系，當BC與圓相切時，滿足給定條件.當BC與圓相交時，因為圓的圓心是固定的原點，我們可以通過縮小圓的半徑，使得圓逐漸靠近BC，直到BC與圓相切；同理，當BC與圓相離時，擴大圓的半徑，也能使圓靠近BC直至相切.所以從直線與圓位置關系的動態調整角度可知，一定能找到合適的圓半徑使得BC與圓相切，故①正確.第9頁/共22頁判斷命題②:當A在雙曲線頂點時，過A作圓的切線，交雙曲線于另外兩點B，C.由雙曲線的性質可知，雙曲線在頂點附近的形狀特點決定了，過頂點作圓的切線與雙曲線相交得到的線段BC，其整體位置與以原點為圓心的圓是相離的.這是因為雙曲線的漸近線性質以及頂點處的曲線走向，使得從頂點出發的切線與雙曲線相交形成的線段不會與圓相切，所以②不正確.故選：A.第10頁/共22頁17.已知函數的表達式（1）若函數y=f(x)是奇函數，求實數a的值；（2）對任意實數x∈[1,1]，不等式f(x)≤0恒成立，求實數a的取值范圍．【解析】【分析】（1）根據奇函數的定義，即可求解答案；（2）根據分離參數轉化為利用單調性求函數的最值，即可求解答案.【小問1詳解】所以【小問2詳解】]，不等式f(x)≤0恒成立，即2因為x118.如圖，四邊形ABCD為長方形，PA丄平面ABCD，AB=AP=2，AD=3．第11頁/共22頁（1）若E、F分別是PB、CD的中點，求證：EF∥平面PAD；（2）邊BC上是否存在點G，使得直線PG與平面PAD所成的角的大小為30O？若存在，求BG長；若不存在，說明理由．存在【解析】【分析】（1）法一：幾何法：取AP中點G，連接EG、DG，通過EF//DG，即可求證；法二：向（2）法一：幾何法：作GH丄AD，垂足為H，連接PH，確定直線PG與平面PAD所成的角為上GPH，進而可求解；法二：向量法：由線面夾角公式求解即可.【小問1詳解】法一：取AP中點M，連接EM、DM，∵ME//AB，DF//AB，∴ME//DF，∴四邊形DFEM為平行四邊形，∴EF//DM，第12頁/共22頁∵DMC平面PDA，EF在平面PDA外，∴EF//平面PDA法二：如圖建立空間直角坐標，則D(3,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0→易知平面PAD的一個法向量n=(0,1,0)且EF在平面PDA外∴EF//平面PDA【小問2詳解】法一：作GH丄AD，垂足為H，連接PH，∵PA丄平面ABCD，GH在平面ABCD內，∴PA丄GH，又AD,PA為平面PAD內兩條相交直線，∴直線PG與平面PAD所成的角為上GPH=30O，第13頁/共22頁,∴邊BC上存在點G，使得直線PG與平面PAD所成的角為30O，BG=2.→易知平面PAD的一個法向量n=(0,1,0)，解得：，∴邊BC上存在點G，使得直線PG與平面PAD所成的角為30O，BG=2.19.為測試A、B兩款人工智能軟件解答數學問題的能力，將100道難度相當的數學試題從1到100編號后隨機分配給這兩款軟件測試．每道試題只被一款軟件解答一次，并記錄結果如下：試題類別A軟件B軟件測試試題數量正確解答的數量測試試題數量正確解答的數量幾何試題函數試題24（1）分別估計A軟件、B軟件能正確解答數學問題的概率；（2）小浦準備用這兩款軟件來解決某次數學測試中的第12題（假設其難度和測試的100道題基本相同但該題內容還未知，從已往情況來看，該題是幾何題的概率為，是函數題的概率為．將頻率視為概率，試通過計算來說明小浦應該用哪款軟件解決這道試題？（3）小浦決定采用這兩款軟件解答6道類似試題，其中幾何、函數各3道，每道試題只用其中一款軟件解答一次．將頻率視為概率，小浦比較了這兩款軟件在解答幾何和函數題上的正確率，決定用表現較好的那第14頁/共22頁款軟件解決其擅長的題型．用X1、X2分別表示這3道幾何試題與3道函數試題被正確解答的個數，求隨機變量X1+X2的數學期望和方差．【答案】（1）A軟件、B軟件能正確解答數學問題的概率分別為（2）應該使用B軟件來解決這道試題.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得A軟件、B軟件能正確解答數學問題的概率；（2）利用全概率公式計算出A、B軟件分別能解答對第12題的概率，比較大小后可得出結論；（3）利用二項分布的期望公式和方差公式可求出隨機變量X1、X2的期望和方差，由題意可知X1、X2相互獨立，可得出E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)，D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)，即可得出答案.【小問1詳解】記A、B軟件能正確解答數學問題的概率為p1和p2，結合題中數據以及古典概型的概率公式可得.【小問2詳解】記“A軟件能正確解答這道題”為事件E，“B軟件能正確解答這道題”為事件F，“該題為幾何題”為事件G.由全概率公式可得因為P(F)>P(E)，所以B軟件能夠正確解決這道試題的概率更大，故小浦應該使用B軟件來解決這道試題.【小問3詳解】幾何試題用A軟件解答，函數試題用B軟件解答.第15頁/共22頁由二項分布的期望公式可得由二項分布的方差公式可得因為X1、X2相互獨立，則20.已知橢圓C1的方程為，右頂點為A，上頂點為B，橢圓C2的中心位于坐標原點，兩個橢圓的離心率相等．a22a（1）若橢圓C2的方程是x+y=1(a>0)，焦點在x軸上，求a22a（2）設橢圓C2的焦點在x軸上，直線AB與C2相交于點C、D，若CD=3AB，求C2的標準方程；（3）設橢圓C2的焦點在y軸上，點P在C1上，點Q在C2上．若存在△APQ是等腰直角三角形，且AP=AQ，求C2的長軸的取值范圍．（3）2,6【解析】【分析】（1）運用離心率公式計算即可；直曲聯立，運用弦長公式得到CD，求出λ=15即可；（3）先設出C2的方程，因為有AP丄AQ且AP|2=AQ|2的條件，所以任取C1上一點P(x0,y0)（不與點A重合算出|AP|2和直線的斜率kAP.接著設出點Q的坐標，算出|AQ|2.由于AP丄AQ，得出直線AQ方程，進而得到xQ—與kAP、yQ的關系.結合AP|2=AQ|2以及曲線方程進一步求解λ,最后得到長軸取值范圍即可.第16頁/共22頁【小問1詳解】由題，橢圓C1的離心率為，橢圓C2的離心率為，【小問2詳解】,0【小問3詳解】由題，設C2的方程為3x2+y2=λ(λ>0)，由題意，AP丄AQ且AP2=AQ2，任取C1上一點P(x0,y0)（不與點A重合則AP2=(x0-)2+yEQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up3(2),0)，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up1(2),Q)直線AQ的方程為故xQ-=-kAPyQ，第17頁/共22頁EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up1(2),Q)由對稱性，不妨設yQ=x0-y3，代回直線AQ方程可解得Q(-y0,x0-)，x02+3y02)+12-2(x0+P(x0,y0)為C1上任一點，所以xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(2),0)+3yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(2),0)=3為定值，化簡得λ=15-2(x0+3y0).設x0(x0,y0為C1上任一點，即有解.21.定義域為R的可導函數y=f(x)滿足，在曲線y=f(x)上存在三個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)，使得直線AC與曲線y=f(x)在點B處的切線平行（或重合若x1,x2,x3成等差數列，則稱f(x)為“等差函數”；若x1,x2,x3成等差數列且x1,x2,x3均為整數，則稱f(x)為“整數等差函數”．（1）設f(x)=x2+x，g(x)=sinx，分別判斷f(x)和g(x)是否為“整數等差函數”，直接寫出結論；若為“整數等差函數”，求實數m的最小值；第18頁/共22頁（3）已知y=f(x)的導函數y=f’(x)在R上為增函數，且存在一個正常數T，使得對任意x∈R，f(x+T)=f’(x)成立，證明：f(x)為“等差函數”的充要條件是f(x)為常值函數．【答案】（1）g(x)不是“整數等差函數”，f(x)是“