試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,?2)A．1+2i B．1?2i2．已知命題p:?x≥0A．p和q均為真命題 B．p和?qC．?p和q均為真命題 D．?p和3．在△ABC中AB=2AC,∠BACA．3a?2b B．?2a4．甲、乙、丙、丁對(duì)某組數(shù)據(jù)（該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成）進(jìn)行分析，得到以下數(shù)字特征，則不能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12的是（

）A．甲：中位數(shù)為9，眾數(shù)為11 B．乙：中位數(shù)為9，極差為3C．丙：平均數(shù)為8，極差為4 D．丁：平均數(shù)為8，方差為35．已知函數(shù)fx=12xA．?∞,0 B．?1,06．高相同的圓柱與圓臺(tái)的體積分別為V1，V2，且圓柱的底面積是圓臺(tái)上、下底面積的等差中項(xiàng)，則V1與VA．V1>V2 B．V17．如圖，在高為16的圓柱型筒中，放置兩個(gè)半徑均為3的小球，兩個(gè)小球均與筒壁相切，且分別與兩底面相切，已知平面α與兩個(gè)小球也相切，平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓，則該橢圓的離心率為（

）A．13 B．12 C．348．已知函數(shù)fx=xx?1，gx=alnxA．1,e1e B．1,e二、多選題9．已知函數(shù)fx=sinx，A．函數(shù)y=fB．函數(shù)y=fxC．函數(shù)y=fD．函數(shù)y=fx10．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線C:y2=4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)P(m,1)m>1A．xB．延長(zhǎng)AO交直線x=?1于點(diǎn)C．|D．若PB平分∠A11．已知函數(shù)fx=2A．當(dāng)a=2時(shí)，fx在B．當(dāng)a>0時(shí)，fxC．若fx在0,D．當(dāng)a<0時(shí)，若函數(shù)F三、填空題12．已知tanα2=213．已知數(shù)列an中，1an+1?1=anan14．某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓弧（劣弧）沿著三角形的邊進(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）如圖，已知銳角△ABC外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿△ABC三邊翻折后交于點(diǎn)P.若AB=6，則四、解答題15．?dāng)?shù)列an是公比為12的等比數(shù)列，且1?a2(1)求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列?8log2an的前n16．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)抽題箱，兩抽題箱內(nèi)放有大小、質(zhì)量、顏色均相同的小球，且小球內(nèi)放有題目.已知甲箱內(nèi)有4個(gè)A類(lèi)題目的小球，5個(gè)B類(lèi)題目的小球，3個(gè)C類(lèi)題目的小球；乙箱內(nèi)有2個(gè)A類(lèi)題目的小球，2個(gè)B類(lèi)題目的小球，6個(gè)C類(lèi)題目的小球.(1)從甲箱、乙箱內(nèi)各隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記X表示抽取的小球內(nèi)放有B類(lèi)題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)先從甲箱內(nèi)抽取一個(gè)小球放入乙箱內(nèi)，再?gòu)囊蚁鋬?nèi)抽取一個(gè)小球，求這個(gè)小球內(nèi)放有A類(lèi)題目的概率.17．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓的圓周上，∠ABC=60(1)求證：AC(2)當(dāng)λ為何值時(shí)，平面ACP與平面AB18．已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镈，若?x0∈D，使得fx0=f(1)證明：mx(2)?x,y（ⅰ）若y=gx（ⅱ）若g3=019．已知直線l:x=my(1)當(dāng)n=(2)若直線l與圓O相切，證明：l與C的上下兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)T，且與圓O交于點(diǎn)M,N，與C的上下兩支交于點(diǎn)P,Q，從上到下依次為P,M,N,答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案DBBBCADDBCBCD題號(hào)11答案ACD1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及共軛復(fù)數(shù)的定義，可得答案.【詳解】由題意可得z=1?故選：D.2．B【分析】代入具體數(shù)值可判斷命題p和q的真假，即可得到?p和?【詳解】因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，x=?x當(dāng)x=1時(shí)，x2?1故選：B.3．B【分析】根據(jù)正弦定理得到BD【詳解】由題意，AB=2AC根據(jù)正弦定理知ABsin∠結(jié)合∠BAD①②得ABA則AD即AB=?故選：B.4．B【分析】通過(guò)理解中位數(shù)，眾數(shù)，極差，平均數(shù)，方差的概念及相關(guān)知識(shí)，再對(duì)5個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行舉例假設(shè)分析，即可得到判斷.【詳解】對(duì)于A，中位數(shù)為9，眾數(shù)為11，說(shuō)明11至少有兩個(gè)數(shù)，不妨取兩個(gè)11，則由中位數(shù)可知另外兩個(gè)數(shù)肯定不超過(guò)9，故A能判斷這組數(shù)據(jù)都小于12，所以不能選A；對(duì)于B，中位數(shù)為9，極差為3，由于極差是5個(gè)數(shù)中最大與最小的差，由于該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成，所以不妨取4個(gè)9，1個(gè)12，這樣不能判斷該組數(shù)據(jù)一定小于12，故選B；對(duì)于C，平均數(shù)為8，極差為4，由于5個(gè)數(shù)都是整數(shù)，根據(jù)條件可知，這5個(gè)數(shù)中肯定最大數(shù)與最小數(shù)的差為4，則可知最大數(shù)肯定大于8，最小數(shù)肯定小于8，故最小數(shù)加4得最大數(shù)肯定小于12，從而能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12，故不能選C；對(duì)于D，平均數(shù)為8，方差為3，由方差公式可得s2若存在數(shù)12，則s=1故選：B.5．C【分析】作出函數(shù)y=fx與y【詳解】作出函數(shù)y=fx當(dāng)x≥1時(shí)，12x≤由圖象可知，此時(shí)解得x∈當(dāng)?1<x<1時(shí)，log它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,0，1,所以不等式fx≤1故選：C.6．A【分析】利用圓臺(tái)體積公式，結(jié)合等差中項(xiàng)，可通過(guò)基本不等式轉(zhuǎn)化到圓柱的體積即可得到判斷.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面積分別為S1，S2，圓柱的底面積為S，高為根據(jù)圓柱的底面積是圓臺(tái)上、下底面積的等差中項(xiàng)，∴S=1∴V故選：A.7．D【分析】作出截面圖，由圓柱高和球的半徑求出O1O2,O1F1,【詳解】設(shè)平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓Γ，如圖，作出圓柱過(guò)橢圓Γ的長(zhǎng)軸的截面圖，設(shè)長(zhǎng)軸A，B與兩圓的切點(diǎn)是F1,F2．連接O1過(guò)C作CD⊥O1O2，且則O1F1因?yàn)閳A柱的高為16，球的半徑是3，所以圓柱的底面半徑為3，O1根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知C是O1O2，AB的中點(diǎn)，故CO1=5，則C由題意得橢圓的短半軸長(zhǎng)b=3，所以半焦距長(zhǎng)c=故選：D．8．D【分析】將已知不等式變形為xx>axlnx，可得出exlnx>axlnx，令【詳解】由題意可知，對(duì)任意的x>0，fx>g因?yàn)閘nxx=xln令t=xlnx，其中由t′<0可得0<x<1由題意可得et當(dāng)t=0時(shí)，顯然該不等式成立，此時(shí)，當(dāng)t>0時(shí)，則a<ett，令由h′t<0可得0<所以，函數(shù)ht在0,1所以，a<當(dāng)?1e≤t<0時(shí)，則a>所以，函數(shù)ht在?1e綜上所述，?e1?1e故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1）?x∈D（2）?x∈D（3）?x∈D（4）?x∈D9．BC【分析】利用二倍角公式求y=fxgx的解析式，再求其周期即可判斷A的真假；根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求y【詳解】對(duì)于A，y=fx對(duì)于B，y=fx對(duì)于C，y=由x?π4=k對(duì)于D，y=由?π2≤x+π4又?π4,π4故選：BC.10．BCD【分析】根據(jù)題設(shè)和拋物線的性質(zhì)得到點(diǎn)F1,0，Ax1,1，將點(diǎn)Ax1,1代入拋物線C的方程得到x1，從而求出直線AB的方程，聯(lián)立直線AB和拋物線C得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)A和C，又結(jié)合直線OA和直線x=?【詳解】由題意可得拋物線焦點(diǎn)F1,0將Ax1,1代入C:y2=4則直線AB方程為y?0聯(lián)立y2=4xy=?將B4,y2代入C:y2所以AB由已知可得BQ//x軸，且B4又A14,1，所以直線令x=?1解得y=?4，即所以D,設(shè)直線PB的傾斜角為θ（θ∈0,π2），斜率為若PB平分∠ABQ，即所以tanα=tan2θ=2又k0=1故選：BCD11．ACD【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求三角形面積判斷A；對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷B；對(duì)于C，將問(wèn)題化為在0,+∞上2a≤?2【詳解】對(duì)于A，由題設(shè)f′則f′1=所以fx在x=1切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為45,0，與y所以fx在x=1對(duì)于B，由題設(shè)f′x=當(dāng)x→0時(shí)，f′x趨向于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)所以存在x0∈0所以當(dāng)0<x<x0時(shí)，f對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)fx在0則在0,+∞上f令gx=?易知0<x<e12時(shí)，所以gx在0,e所以gx所以2a≤?對(duì)于D，函數(shù)Fx即2xlnx令gx=?2ln令hx=2lnx則存在x0∈5易知0<x<x0時(shí)，h則gx在0,x則gx當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)x→0時(shí)，gx所以a=?2lnx故D正確.故選：ACD.12．45【分析】根據(jù)二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出.【詳解】因?yàn)閠anα所以sinα故答案為：4513．1【分析】由1an+1?【詳解】由1an+∴1an∴1∴a∴bn=∴S故答案為：114．34/0.75【分析】第一空：由正弦定理求得sin∠ACB=34【詳解】設(shè)外接圓半徑為R，則R=由正弦定理，可知AB即sin∠ACB=又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即AP⊥B所以cos∠設(shè)∠C則∠P由于AC:A由余弦定理知cosθ設(shè)AD,CE,BF為三角形的三條高，由于∠E故∠E則得∠A所以PC同理可得PB所以PA故答案為：34；23【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于：涉及到三角形垂心的性質(zhì)的應(yīng)用，解答時(shí)要能靈活地結(jié)合垂心性質(zhì)尋找角之間的關(guān)系，應(yīng)用正余弦定理，解決問(wèn)題.15．(1)a(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.（2）利用裂項(xiàng)相消求和求解即可.【詳解】（1）依題可得：1?即：1?解得a1所以an（2）證明：設(shè)bn則Sn所以1S116．(1)分布列見(jiàn)解析，37(2)7【分析】（1）求出甲、乙箱內(nèi)抽取一個(gè)小球，且小球內(nèi)放有B類(lèi)題目的概率和小球內(nèi)沒(méi)有B類(lèi)題目的概率，分析知，X的可能取值為0,1,2，求出隨機(jī)變量（2）設(shè)事件D=“從乙箱內(nèi)抽取一個(gè)小球，且小球內(nèi)放有A類(lèi)題目”，設(shè)事件A,B,C分別是從甲箱中取出A【詳解】（1）從甲箱內(nèi)抽取一個(gè)小球，且小球內(nèi)放有B類(lèi)題目的概率為512小球內(nèi)沒(méi)有B類(lèi)題目的概率為1?從乙箱內(nèi)抽取一個(gè)小球，且小球內(nèi)放有B類(lèi)題目的概率為15小球內(nèi)沒(méi)有B類(lèi)題目的概率為1?X的可能取值為0,則PXPXPX所以X的分布列為X012P791EX（2）設(shè)事件D=“從乙箱內(nèi)抽取一個(gè)小球，且小球內(nèi)放有A設(shè)事件A,B,C分別是從甲箱中取出A類(lèi)題目的小球，則P=417．(1)證明見(jiàn)解析；(2)λ=13【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)有BP⊥A（2）若O為AB的中點(diǎn)，即為半圓的圓心，作Oz⊥面ABC，在面A【詳解】（1）由BP⊥平面ABC，AC又點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓的圓周上，則B由BP∩BC=B且都在面由BD?面PB（2）若O為AB的中點(diǎn)，即為半圓的圓心，作Oz⊥面ABC由∠ABC=60故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系O?xy由CD=λCP所以AD=(3?若m=(x,y,z則m?AD=(n?AD=(所以|cos整理得|2λ?14λ218．(1)證明見(jiàn)解析(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)定義令m?x=（2）（ⅰ）根據(jù)hx+2hy+gx?gy=32x+y【詳解】（1）由m?x=m解得x=0，所以所以mx（2）令y=x，有3代回原式，有g(shù)x所以gx=?（ⅰ）y=若y=gx所以c所以函數(shù)y=判別式Δ=4c不妨設(shè)x1<x2，所以函數(shù)y=xg所以函數(shù)y=（ⅱ）若g3=0，則c欲證3gx令Fx令F′x=0，得x=2，所以所以Fx≤F當(dāng)且僅當(dāng)x=即3g【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟:（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)hx（3）利用導(dǎo)數(shù)研究hx（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．19．(1)10(2)證明見(jiàn)解