第二章導數及其應用基礎檢測卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數的導數，根據導數與0的關系得出減區間.【詳解】函數的定義域為，，令，則單調遞減區間為.故選：B2．若曲線在點處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由切線與直線垂直可得切線斜率為2，再對曲線求導，根據導數的幾何意義結合條件即得.【詳解】直線的斜率為，由題設知：在處的切線的斜率為，而，∴，可得.故選：C.3．一個質點沿直線運動，位移（單位：）與時間（單位：）之間的關系，則質點在時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導數求得正確答案.【詳解】.故選：B4．設函數，當自變量x由改變到時，函數的改變量為（

）A． B． C． D．都不對【答案】C【分析】由函數增量的定義寫出的表達式即可.【詳解】由題意知：.故選：C5．函數的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數的幾何意義，結合函數的圖象，即可判斷選項.【詳解】由函數的圖象可知：當時，單調遞增，且增速變緩慢，，表示直線的斜率，根據導數的幾何意義可知，，故選：B6．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求導后代入求解即可.【詳解】對兩邊同時求導，得，令，得.故選：C7．已知函數，其導函數記為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據給定條件，變形函數并求出，再探討導函數的奇偶性作答.【詳解】函數定義域為，令，則的定義域為，，又，故是奇函數，所以，故，所以.故選：B.8．已知函數的導函數為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，對等式兩邊求導，再令，求出，從而求得的值【詳解】因為，所以，令，則，，則，所以.故選：A.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得09．下列求導運算正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】AC【分析】根據求導公式依次判定選項即可得到答案.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：AC10．函數的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用分類討論及函數的單調性與導數的關系，結合函數的性質即可求解.【詳解】由題意可知，函數的定義域為，當時，，函數在上單調遞增，故B正確；當時，，，所以在上單調遞增，故D正確；當時，當時，；當時，；故A正確；C錯誤.故選：ABD.11．如圖是導函數的圖象，則下列說法正確的是（

）A．為函數的單調遞減區間B．為函數的單調遞增區間C．函數在處取得極大值D．函數在處取得極小值【答案】AC【分析】對于AB選項，利用函數的單調性和導數的正負關系進行判斷；對于CD選項，利用函數的極值點的定義判斷.【詳解】由圖象可知，時，，所以為函數的單調遞減區間，故A正確；由圖象可知，時，，所以為函數的單調遞減區間，故B錯誤；由圖象可知，，且當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故函數在處取得極大值，故C正確；由圖象可知，，故不是函數的極值點，故D錯誤，故選：AC.三．填空題本題共3小題，每小題5分，共15分12．若上的可導函數在處滿足，則．【答案】6【分析】導數的定義可得答案.【詳解】，則.故答案為：.13．已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍．【答案】【分析】由題意，即，構造函數，利用導數求出最大值即可.【詳解】存在，使得可得，構造函數，其中，則，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，則，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.故答案為：.14．設函數，若的兩個極值點為，且，則實數a的值為.【答案】9【分析】由題意得，進一步結合韋達定理以及即可求解.【詳解】，由已知，從而，所以，經驗證此時，符合題意.故答案為：9.四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步15．（13分）已知函數.(1)求這個函數的導數；(2)求這個函數的圖像在點處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據導數的運算法則計算可得；（2）求出切線的斜率，再利用點斜式計算可得.【詳解】（1）因為，所以，即；（2）因為點在切線上，且，所以切線方程為，即.16．（15分）已知函數且在處取得極值.(1)求a，b的值；(2)求函數在的最大值與最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用來求得的值.（2）結合（1）求得在區間上的最值，由此確定正確結論.【詳解】（1），依題意，解得.，所以在區間上遞增；在區間上遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值，符合題意.（2），，由（1）知，在區間上的最大值為，最小值為.17．（5分）已知函數．(1)當時，求函數的單調區間；(2)若，不等式在上存在實數解，求實數的取值范圍．【答案】(1)單調增區間為，單調減區間為(2)【分析】（1）根據導函數的正負判斷函數的遞增遞減區間即得；（2）通過代入不等式整理成在上存在實數解問題，故可轉化成求函數在得最小值問題，計算即得.【詳解】（1）當時，，∴，由，得，由，得，所以函數的單調增區間為，單調減區間為；（2）原條件等價于：在上存在實數解．化為在上存在實數解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數解．18．（17分）（1）求函數的最值．（2）求函數（是自然對數的底數）的最值．（3）已知a為常數，求函數的最大值．【答案】（1）最小值；最大值；（2）最大值為，無最小值；（3）答案見解析【分析】（1）（2）求導判單調性求得最值；（3）求導，分，，三種情況判單調性求最大值【詳解】（1），令，由，解得或．當變化時，，的變化情況如下表：＋－＋由表可知，當時，有最小值；當時，有最大值（2）由題意知的定義域為R．，令，解得當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．故函數的最大值為，無最小值．（3）．若,則，函數單調遞減，∴當時，有最大值．若，則令，解得．∵，∴只考慮的情況．①若，即，（如下表所示）則當時，有最大值②若，即，則當時，，函數在區間上單調遞增，∴當時，有最大值綜上可知，當，時，有最大值；當，時，有最大值當，時，有最大值．19．（17分）若函數同時滿足下列兩個條件，則稱在上具有性質．①在上的導數存在；②在上的導數存在，且（其中）恒成立．(1)判斷函數在區間上是否具有性質？并說明理由．(2)設、均為實常數，若奇函數在處取得極值，是否存在實數，使得在區間上具有性質？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(3)設且，對于任意的，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)函數在區間上具有性質；(2)存在實數，使得在區間上具有性質，的取值范圍是；(3)的最大值為.【分析】（1）令，按照題目所給定義，求出和，并判斷是否恒成立即可；（2）先利用為奇函數且在處取得極值求出實數，的值，再按照題目所給定義，求出，即可求出的取值范圍；（3）分離參數得，構造函數，通過的最小值，即可確定正整數的最大值.【詳解】（1）令，，則，，，，當時，恒成立，∴函數在區間上具有性質；（2）∵，∴，∵在處取得極值，且為奇函數，∴在處也取得極值，∴，解得，∴，，當時，令，解得；令，解得；故在單調遞減，在單調遞增，滿足在處取得極值，∴，當時，恒成立，∴存在實數，使在區間上恒成立，∴存在實數，使得在區間上具有性質，的