第十一章第3講[A級基礎達標]1．有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，任意兩人不能同一個方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是()A．互斥非對立事件 B．對立事件C．相互獨立事件 D．以上都不對【答案】A2．(2020年武漢模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.8 B．0.6C．0.35 D．0.2【答案】C【解析】依題意，事件“抽到的不是一等品”的對立事件為事件A，所以事件“抽到的不是一等品”的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.故選C．3．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率為eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡【答案】A4．拋擲一枚均勻的骰子(骰子的六個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點)一次，觀察擲出向上的點數(shù)，設事件A為擲出向上為偶數(shù)點，事件B為擲出向上為3點，則P(A∪B)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)【答案】B5．擲一個骰子的試驗，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若eq\x\to(B)表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)【答案】C【解析】擲一個骰子的試驗有6種可能結果．依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).因為eq\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件，所以事件A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).6．從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事件中，是對立事件的是________．【答案】③【解析】從1,2，…，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三種互斥事件，所以只有③中的兩個事件才是對立的．7．(2019年重慶期中)甲、乙兩人下中國象棋，兩人和棋的概率為eq\f(1,3)，甲獲勝的概率為eq\f(1,2)，則甲輸棋的概率是________．【答案】eq\f(1,6)【解析】因為甲和乙下成和棋的概率為eq\f(1,3)，甲獲勝的概率為eq\f(1,2)，所以甲輸棋的概率p＝1－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).8．某班選派5人參加學校舉行的數(shù)學競賽，獲獎的人數(shù)及其概率如下：獲獎人數(shù)012345概率0.10.16xy0.2z(1)若獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，求x的值；(2)若獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值．【解析】記事件“在競賽中，有k人獲獎”為Ak(k∈N，k≤5)，則事件Ak彼此互斥．(1)因為獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，所以P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由獲獎人數(shù)最少3人的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.[B級能力提升]9．設事件A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，則A，B之間的關系一定為()A．兩個任意事件 B．互斥事件C．非互斥事件 D．對立事件【答案】B【解析】因為P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B)，所以A，B之間的關系一定為互斥事件．10．(2019年衡陽八中一模)若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))【答案】D【解析】由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).11．一只袋子中裝有7個紅球，3個綠球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，則至少取得一個紅球的概率為________．【答案】eq\f(14,15)【解析】由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(14,15).12．已知從A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分鐘)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．【解析】(1)共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用頻率估計概率，可得所求概率為eq\f(44,100)＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得所求各頻率為所用時間(分鐘)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)記事件A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站；事件B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，故甲應選擇L1.P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，故乙應選擇L2.[C級創(chuàng)新突破]13．(多選題)(2020年葫蘆島模擬)中國籃球職業(yè)聯(lián)賽(CBA)中，某籃球運動員在最近一次參加的比賽中的得分情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是()A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55【答案】ABC【解析】記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，由古典概型得P(A)＝eq\f(55,100)＝0.55，故A正確；P(B)＝eq\f(18,100)＝0.18，故B正確；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.18＝0.27，故C正確；P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.