第五章第1講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2019年濟(jì)寧期末)已知α＝－eq\f(35π,3)，則下列4個(gè)角中與角α終邊相同的是()A．eq\f(4π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3) D．－eq\f(π,3)【答案】C【解析】與α＝－eq\f(35π,3)終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(35π,3)＋2kπ，k∈Z)))).取k＝6時(shí)，β＝eq\f(π,3).所以與角α終邊相同的是eq\f(π,3).故選C．2．若α是第一象限的角，則eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一象限 B．第一象限或第二象限C．第一象限或第三象限 D．第一象限或第四象限【答案】C【解析】因?yàn)棣潦堑谝幌笙薜慕牵?kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則kπ＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,4).故eq\f(α,2)是第一象限或第三象限角．故選C．3．(2020年蕪湖月考)若角θ是第四象限角，則eq\f(3π,2)＋θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因?yàn)榻铅仁堑谒南笙藿牵裕璭q\f(π,2)＋2kπ＜θ＜2kπ(k∈Z)，則π＋2kπ＜eq\f(3π,2)＋θ＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，故eq\f(3π,2)＋θ是第三象限角．故選C．4．(2019年杭州期末)已知扇形中60°的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)是2cm，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弓形面積是()A．eq\f(π,3)－eq\r(3) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)－eq\r(3)【答案】D【解析】如圖所示，扇形中60°的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)是2cm，所以△AOB為等邊三角形，其面積為eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3).又扇形的面積為eq\f(1,6)×π×22＝eq\f(2π,3)，所以弓形面積為eq\f(2π,3)－eq\r(3).故選D．5．若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是()A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0【答案】B【解析】α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，所以A，C，D成立，B不成立．故選B．6．設(shè)a＝sineq\f(17π,4)，b＝coseq\f(π,5)，c＝taneq\f(4π,3)，用“＜”把a(bǔ)，b，c排序________．【答案】a＜b＜c【解析】a＝sineq\f(17π,4)＝sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＜b＝coseq\f(π,5)＜1＜c＝taneq\f(4π,3)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，所以a＜b＜c.7．(2019年本溪模擬)已知角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與射線y＝2x(x≤0)重合，則cosθ＝________.【答案】－eq\f(\r(5),5)【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與射線y＝2x(x≤0)重合，所以在終邊上取一點(diǎn)P(－1，－2)，則r＝|OP|＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5)，則cosθ＝－eq\f(1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5).8．(2020年白銀月考)已知扇形的圓心角為eq\f(3,2)，半徑為2，則圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】3【解析】扇形的圓心角為eq\f(3,2)，半徑為2，則圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝eq\f(3,2)×2＝3.9．(2020年寧波月考)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________.【答案】－8【解析】因?yàn)閟inθ＝eq\f(y,\r(42＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.10．已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．【解析】因?yàn)榻铅鹊慕K邊過(guò)點(diǎn)(x，－1)(x≠0)，所以tanθ＝－eq\f(1,x).又tanθ＝－x，所以x2＝1，所以x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝－eq\r(2).11．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大小；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB．【解析】設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))所以α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)方法一：因?yàn)?r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.所以圓心角α＝2，弦長(zhǎng)AB＝2sin1×2＝4sin1.方法二：因?yàn)?r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當(dāng)且僅當(dāng)r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.所以弦長(zhǎng)AB＝2sin1×2＝4sin1.[B級(jí)能力提升]12．(2020年長(zhǎng)春模擬)中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為S1，圓面中剩余部分的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為eq\f(\r(5)－1,2)時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為()A．(3－eq\r(5))π B．(eq\r(5)－1)πC．(eq\r(5)＋1)π D．(eq\r(5)－2)π【答案】A【解析】由題意知，S1與S2所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)S1與S2所在扇形圓心角分別為α，β，則eq\f(α,β)＝eq\f(\r(5)－1,2).又α＋β＝2π，解得α＝(3－eq\r(5))π.故選A．13．(2019年河南模擬)已知點(diǎn)(3，a)和(2a,4)分別在角β和角β－45°的終邊上，則實(shí)數(shù)a的值是()A．－1 B．6C．6或－1 D．6或1【答案】B【解析】當(dāng)a＜0時(shí)，兩個(gè)角的終邊落在了第四象限和第二象限，夾角不可能為45°，排除A和C．當(dāng)a＝1或a＝6時(shí)，如圖可知a＝1不合題意．故選B．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則sinβ＝________.【答案】eq\f(1,3)【解析】方法一：當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P1(2eq\r(2)，1)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(－2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時(shí)sinβ＝eq\f(1,3)；當(dāng)角α的終邊在第二象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P2(－2eq\r(2)，1)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時(shí)sinβ＝eq\f(1,3).綜合可得sinβ＝eq\f(1,3).方法二：令角α與角β均在區(qū)間(0，π)內(nèi)，故角α與角β互補(bǔ)，得sinβ＝sinα＝eq\f(1,3).方法三：由已知可得sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)(k∈Z)．15．在一塊頂角為120°、腰長(zhǎng)為2的等腰三角形厚鋼板廢料OAB中用電焊切割成扇形，現(xiàn)有如圖所示兩種方案，既要充分利用廢料，又要切割時(shí)間最短，哪一種方案最優(yōu)？【解析】因?yàn)椤鰽OB是頂角為120°、腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，所以A＝B＝30°＝eq\f(π,6)，AM＝BN＝1，AD＝2.方案一：扇形的弧長(zhǎng)＝2×eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，扇形的面積＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(π,6)＝eq\f(π,3).方案二：扇形的弧長(zhǎng)＝1×eq\f(2π,3)＝eq\f(2π,3)，扇形的面積＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).綜上，兩種方案中利用廢料面積相等，方案一中切割時(shí)間短．因此方案一最優(yōu)．[C級(jí)創(chuàng)新突破]16．(多選題)(2019年沾化區(qū)校級(jí)月考)已知α是第三象限角，則eq\f(α,2)可能是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BD【解析】因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵?kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第二象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第四象限角，故選BD．17．(多選題)已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，下列選項(xiàng)正確的有()A．圓的半徑為2 B．圓的半