第八章第3講[A級基礎達標]1．有下列命題：①若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的無數條直線．其中真命題的個數是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】命題①l可以在平面α內，不正確；命題②直線a與平面α可以是相交關系，不正確；命題③a可以在平面α內，不正確；命題④正確．2．(2020年西安模擬)設α，β是兩個平面，直線a?α，則“a∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意，由a?α，a∥β不能推出α∥β，此時平面α與β可能相交；反過來，由α∥β，a?α，可得a∥β.綜上所述，“a∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．故選B．3．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能【答案】B【解析】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，因為AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因為過A1B1的平面與平面ABC交于DE.所以DE∥A1B1，所以DE∥AB4．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的結論的是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】B【解析】①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，所以平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.5．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，m⊥n，則n⊥α【答案】B【解析】若m∥α，n∥α，則m，n平行、相交或異面，A錯；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內任一直線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，C錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯．6．(2019年棗莊診斷)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′＝4，點E，F，G，H，M分別是邊AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中點，動點P在四邊形EFGH內部運動，并且始終有MP∥平面ACC′A′，則動點P的軌跡長度為()A．2 B．2πC．2eq\r(3) D．4【答案】D【解析】連接MF，FH，MH，因為M，F，H分別為BC，AB，A′B′的中點，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M與線段FH上任意一點的連線都平行于平面AA′C′C，所以點P的運動軌跡是線段FH，其長度為4.故選D．7．在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是______．【答案】平面ABD與平面ABC【解析】如圖，取CD的中點E.連接AE，BE，由于M，N分別是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分別過M，N，且EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因為AB?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.8．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF【答案】eq\r(2)【解析】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2).又E為AD中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC中點，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).9．(2019年南昌模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設M，N分別為PD，AD的中點．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積．【解析】(1)證明：因為M，N分別為PD，AD的中點，所以MN∥PA.因為MN?平面PAB，PA?平面PAB，所以MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因為CN?平面PAB，AB?平面PAB，所以CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，所以點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝eq\r(3).所以三棱錐P－ABM的體積V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是BC，CC1，C1D1，A1A的中點．(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.【證明】(1)如圖所示，取BB1的中點M，連接MH，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，所以HD1∥MC1.又因為MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中點O，連接EO，D1O，則OEeq\f(1,2)DC.又D1Geq\f(1,2)DC，所以OED1G，所以四邊形OEGD1是平行四邊形，所以GE∥D1O.又GE?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，又BF?平面B1D1H，HD1?平面B1D1H，所以BF∥平面B1D1H.又BD∥B1D1，BD?平面B1D1H，B1D1?平面B1D1H，所以BD∥平面B1D1H.又DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.[B級能力提升]11．(2019年成都模擬)已知直線a，b和平面α，下列說法中正確的是()A．若a∥α，b?α，則a∥bB．若a⊥α，b?α，則a⊥bC．若a，b與α所成的角相等，則a∥bD．若a∥α，b∥α，則a∥b【答案】B【解析】對于A，若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面，故A錯；對于B，利用線面垂直的性質，可知若a⊥α，b?α，則a⊥b，故B正確；對于C，若a，b與α所成的角相等，則a與b相交、平行或異面，故C錯；對于D，由a∥α，b∥α，則a，b之間的位置關系可以是相交、平行或異面，故D錯．12．如圖所示，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結論中，錯誤的是()eq\o(\s\up7(),\s\do5())A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°【答案】C【解析】因為截面PQMN是正方形，所以MN∥QP.又PQ?平面ABC，MN?平面ABC，則MN∥平面ABC，由線面平行的性質知MN∥AC.又MN?平面PQMN，AC?平面PQMN，則AC∥截面PQMN.同理可得，MQ∥BD，又MN⊥QM，則AC⊥BD，故A，B正確．又因為BD∥MQ，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45°，故D正確．13．已知E，F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1上的點，且AE＝eq\f(1,2)AB，AF＝eq\f(1,3)AA1，M，N分別為線段D1E和線段C1F上的點，則與平面ABCD平行的直線MN有()A．1條 B．3條C．6條 D．無數條【答案】D【解析】在線段A1F上任取一點H，過點H可以作與平面ABCD平行的平面α，顯然D1E，C1F都與這個平面α相交，連接兩個交點的直線必與平面ABCD平行，故滿足條件的直線MN有無數條．14．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝eq\f(π,3)，AC＝4，M為AA1的中點，點P為BM的中點，Q在線段CA1上，且A1Q＝3QC，則PQ的長度為________．【答案】eq\r(13)【解析】由題意知，AB＝8，過點P作PD∥AB交AA1于點D，連接DQ，則D為AM中點，PD＝eq\f(1,2)AB＝4.又因為eq\f(A1Q,QC)＝eq\f(A1D,AD)＝3，所以DQ∥AC，∠PDQ＝eq\f(π,3)，DQ＝eq\f(3,4)AC＝3.在△PDQ中，PQ＝eq\r(42＋32－2×4×3×cos\f(π,3))＝eq\r(13).15．如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1【答案】1【解析】設BC1∩B1C＝O，連接OD.因為A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD.因為四邊形BCC1B1是菱形，所以O為BC1的中點，所以D為A1C1的中點，則A1D∶DC16．(2019年河南八市聯考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分別為AD，PA的中點，點Q是BC上一個動點．(1)當Q是BC的中點時，求證：平面BEF∥平面PDQ；(2)當BD⊥FQ時，求eq\f(BQ,QC)的值．【解析】(1)證明：因為E，Q分別是AD，BC的中點，所以ED＝BQ，ED∥BQ，所以四邊形BEDQ是平行四邊形．所以BE∥DQ.又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ.所以BE∥平面PDQ.又F是PA的中點，所以EF∥PD.因為EF?平面PDQ，PD?平面PDQ，所以EF∥平面PDQ.因為BE∩EF＝E，BE?平面BEF，EF?平面BEF，所以平面BEF∥平面PDQ.(2)如圖，連接AQ，因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.因為BD⊥FQ，PA∩FQ＝F，PA?平面PAQ，FQ?平面PAQ，所以BD⊥平面PAQ.因為AQ?平面PAQ，所以AQ⊥BD.在矩形ABCD中，由AQ⊥BD得△AQB與△DBA相似，所以AB2＝AD×BQ.又AB＝1，AD＝2，所以BQ＝eq\f(1,2)，QC＝eq\f(3,2).所以eq\f(BQ,QC)＝eq\f(1,3).[C級創新突破]17．(多選題)(2020年青島月考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面ACD1平行的有A．直線A1B B．直線BB1C．平面A1DC1 D．平面A1BC1【答案】AD【解析】對于A，由于A1B∥D1C，且A1B?平面ACD1，可得直線A1B∥平面ACD1；對于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直線B1B不平行平面ACD1；對于C，由于A1D∩AD1，A1D?平面A1DC1，可得平面A1DC1不與平面ACD1平行；對于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B?平面A1BC1，可得平面A1BC1∥平面ACD18．(多選題)對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件中，可以判定α與β平行的條件有()A．存在平面γ，使得α，β都平行于γB．存在平面γ，使得α，β都垂直于γC．α內有不共線的三點到β的距離