試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學年第二學期杭州市高三年級教學質量檢測數學試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區域（黑色邊框）內作答，超出答題區域的作答無效！3．考試結束，只需上交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，，則（

）A．2 B．0 C． D．3．若等比數列滿足，，則數列的公比等于（

）A．或 B．或 C． D．4．已知數據，，…，的方差，則（

）A． B． C． D．5．已知，為任意正數，若恒成立，則（

）A． B． C． D．6．定義“真指數”（為自然對數的底數），則（

）A． B． C． D．7．設函數是奇函數.若函數，，則（

）A．27 B．28 C．29 D．308．若，，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9．已知復數（是虛數單位），則（

）A． B． C． D．10．設函數，則（

）A．是偶函數 B．C．在區間上單調遞增 D．為的極小值點11．設曲線，直線與曲線的交點的可能個數的集合記為，則（

）A． B．C． D．若，則且三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線在點處的切線方程是.13．已知是單位圓，正三角形的頂點，在上，則的最大值為.14．甲、乙、丙三人分別從2個不同的數中隨機選擇若干個數（可以不選），分別構成集合，，，記中元素的個數為，則的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關聯性，調查100人購買情況，得到如下列聯表：新能源汽車A款新能源汽車B款總計男性5010女性251540總計25100(1)求，；(2)根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為選購該新能源汽車的款式與性別有關聯？(3)假設用樣本估計總體，用頻率估計概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨立.若從購買者中隨機抽取3人，設被抽取的3人中購買了B款車的人數為，求的數學期望.附：，.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87916．已知函數（）.(1)若，求的極小值；(2)當時，求的單調遞增區間；(3)當時，設的極大值為，求證：.17．在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動點.(1)設，（ⅰ）證明：平面；（ⅱ）求三棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，點，過的直線交于，兩點，過，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點，.(1)求的方程；(2)記，的縱坐標分別為，，當時，求直線的斜率；(3)設為軸上一點，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點的坐標.19．設，，…，是1，2，…，（且）的一個排列.數列滿足為，，（）的中位數，規定，.將中的所有取值構成的集合記為.(1)當時，求和；(2)求中所有元素之和的最大值；(3)求中元素個數的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【解析】略2．C【解析】略3．C【解析】略4．D【解析】略5．A【解析】略6．C【解析】略7．B【分析】根據奇函數定義可得，再利用賦值法由代入計算可得結果.【詳解】由函數是奇函數可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：B8．A【分析】將平方，結合可得，結合選項逐個判斷即可.【詳解】將平方得，結合可得，即，即，即，故CD錯誤又，故A對，B錯；故選：A9．ABC【解析】略10．BD【分析】根據函數的定義域即可判斷A,根據對數的性質即可求解B，求導，根據上導數的正負即可求解C，根據單調性即可由極值點的定義求解D.【詳解】的定義域為，故為非奇非偶函數，故A錯誤，由于，且，故當時，，此時，當時，，此時，當時，，因此，B正確，對于C,，當時，，此時，因此在單調遞減，故C錯誤，對于D，，當時，，故，當時，，此時，因此在單調遞減，在單調遞增，為的極小值點，D正確，故選：BD11．ACD【解析】略12．【分析】應用導數的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由題設，則切線斜率，又，得，所以曲線在點處的切線方程是，所以切線方程為.故答案為：13．2【解析】略14．【分析】根據已知一個元素被某人選中的概率為且相互獨立，應用獨立乘法公式及對立事件的概率求法得兩個元素均未被三人選中的概率為，最后應用對立事件的概率求法即可得.【詳解】設兩個不同數為，一個元素被某人選中的概率為且相互獨立，所以一個元素被甲乙丙三人都選中的概率為，由中元素的個數，表示至少一個元素被三人選中，而兩個元素均未被三人選中的概率為，所以的概率為.故答案為：15．(1)，；(2)與性別有關(3)【詳解】（1），；（2）零假設為：選購新能源汽車的款式與性別無關聯.根據列聯表中的數據，可得，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，可以認為選購車的款式與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；（3）隨機抽取1人購買B款車的概率為，的可能取值有0，1，2，3，依題意服從，.因此，.16．(1)(2)和(3)證明見解析【詳解】由題意知.（1）若，則，所以.令，得.所以在單調遞減，在單調遞增，所以的極小值等于.（2）因為，所以，由，即，解得或.故的單調增區間為和.（3）當時，的極大值等于；當時，，無極大值；當時，由題意得，的極大值等于，令，所以，因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以故，綜上所述，.17．(1)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）(2)【詳解】（1）（ⅰ）因為，，所以，所以.又因為，所以平面.（ⅱ）.（2）如圖，建立以為原點的空間直角坐標系，設二面角的平面角為，則，，，.所以.平面的法向量為.設直線與平面所成角為，則.設，設，所以，（當且僅當，即時取等號），即.直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18．(1)(2)-1(3)【詳解】（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）設直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯立，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設，因為.因為，.所以，當時，為定值.所以.19．(1)，(2)(3)答案見解析【詳解】（1）當時，1，2，3無論按何種順序排列，中位數只能是2，故.當時，在1，2，3，4中任取3個數：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，中位數只能為2或3，所以.（2）顯然，不存在使得或，故中所有元素的和，且當時，有.此時成立.（3）注意到對于任意，，記中元素個數的最小值為，由（1）可知，，.考慮的情形：對于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作為中位數；不妨，考慮三元素組，，，至少產生2個不同的中位數.①若此時中位數為，，不妨，則，.所以三元組將產生新的中位數，所以；②若此時的中位數為，，則，，.若，則三元組產生新的中位數；若，則三元組產生新的中位數.所以.③同理可知，若此時中位數為，；，也有；所以，，.下面證明：.比較下面兩個數列：（ⅰ），，…，，，.（ⅱ），，…，，，，，，.其中，，…，和，，…，具有相同的大小順序.因此，這兩個數列的前個三元數組所對應的中位數個數相同.因此，只需要比較數列（ⅰ）中三元組，和數列（ⅱ）