最值模型-將軍飲馬-專題訓練三角形中的最值（將軍飲馬模型）問題在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生能力區分度最重要的地方，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。在解決幾何最值問題主要依據是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，希望大家全部學習完畢后再完成該專題訓練。【解題技巧】將軍飲馬模型圖形原理兩點之間線段最短兩點之間線段最短三角形三邊關系特征A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求AP+BP的最小值A，B為定點，l為定直線，MN為直線l上的一條動線段，求AM+BN的最小值A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值轉化作其中一個定點關于定直線l的對稱點先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個定點關于定直線l的對稱點作其中一個定點關于定直線l的對稱點題型1:求兩條線段和最小值例1．（湖北江夏初二月考）在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸上，點A的坐標為（4，0），∠AOB=30°，點E的坐標為（1，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PE的最小值為_____．變式1．（甘肅西峰·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．變式2．（廣東新豐·八年級期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是______．變式3．（湖北洪山·八年級期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．變式4．（江陰市敔山灣實驗學校八年級月考）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最小．解法：如圖1，作點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．例2．（重慶初二月考）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．變式5．（山東青島九年級一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝（Q在P的下方），當AP+PQ+QB最小時，Q點坐標為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）變式6．（廣東·深圳市福田區蓮花中學八年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．題型2:求兩條線段差最大值例3．（江蘇·無錫市江南中學八年級期末）如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130變式7．（福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．題型3:求三條（周長）最小值（雙動點問題）【模型圖示】要求：點位定點，在直線，上分別找點，，使周長（即）最小操作：分別作點關于直線，的對稱點和，連結與直線，的交點為，，求長度通法：如上圖，一般會給一個特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），連結，，，由對稱性可求也為特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三邊關系求出要求：點，為定點，直線，上分別找，，使周長（即）小操作：分別作點，關于直線，的對稱點和，連結與直線，的交點為，，例4．（上虞市初二月考）如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數是（）A．15 B．30 C．45 D．60變式8．（安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．課后訓練：1．（安徽九年級一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（）A．6 B．6 C．3 D．32．（河南七年級期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（安徽亳州·一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．34．（江西宜春·八年級期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點，交于點，點是直線上的一個動點，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（重慶大渡口·八年級期末）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內直線BC的左側有一點P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時，則______．6.（綿陽八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．70°7.（西湖區月考）如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現要在這條河上建一座橋．橋建在何處才能使從村莊A經過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由．8．（山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當取最小值時，點坐標為______.9.如圖，兩點A、B在直線MN外的同側，A到MN的距離AC＝16，B到MN的距離BD＝10，CD＝8，點P在直線MN上運動，則|PA﹣PB|的最大值等于．10．（福建·莆田二中八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數為_____．11．（江蘇·無錫市東林中學八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°12．（全國·八年級專題練習）如圖，，，AD是∠BAC內的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．13．（河北承德·八年級期末）如圖，點A，B在直線的同側，點A到的距離，點B到的距離，已知，P是直線上的一個動點，記的最小值為a，的最大值為b．（1）________；（2）________．14．（山東青島市·八年級期末）如圖，等邊（三邊相等，三個內角都是的三角形）的邊長為，動點和動點同時出發，分別以每秒的速度由向和由向運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設運動時間為，，和交于點．（1）在運動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時，；（3）若于點，點為上的點，且使最短．當時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．15．（重慶八中八年級期中）閱讀理解.材料一：平面內任意兩點，間的距離公式為：，特別地，當兩個點同時在軸或軸上，或者兩點所在直線平行于軸或軸時，兩點間的距離公式可化簡為或；材料二：如圖1，點，在直線的兩側，在直線上找一點，使得的值最大．解題思路：如圖2，作點關于直線的對稱點，連接并延長，交直線于點，則點，之間的距離即為的最大值．請根據以上材料解決下列問題：（1）已知點，在平行于軸的直線上，點在一三象限的角平分線上，，求點的坐標；（2）如圖3，在平面直角坐標系中，點，點，請在直線上找一點，使得最大，求出的最大值及此時點的坐標．

最值模型-將軍飲馬-專題訓練（解析版）題型1:求兩條線段和最小值例1．（湖北江夏初二月考）在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸上，點A的坐標為（4，0），∠AOB=30°，點E的坐標為（1，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PE的最小值為_____．【答案】【分析】作A關于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根據勾股定理求出ED，即可得出答案．【解析】作A關于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵點A的坐標為（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，坐標與圖形性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理的應用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關鍵．變式1．（甘肅西峰·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點E關于AD的對稱點F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點E關于AD的對應點為點F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴F是AB的中點，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點睛】本題考查等邊三角形的性質和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質是本題的關鍵．變式2．（廣東新豐·八年級期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是______．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，∴當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三線合一定理，解題的關鍵在于能夠根據題意得到當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD．變式3．（湖北洪山·八年級期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．【答案】18【分析】首先明確要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，再根據翻折的性質可知PM=PC，從而可得滿足PC+PB最小即可，根據兩點之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：由翻折的性質可知，AM=AC，PM=PC，∴M點為AB上一個固定點，則BM長度固定，∵△PMB周長=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴滿足PC+PB最小即可，顯然，當P、B、C三點共線時，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時，P點與D點重合，PC+PB=BC，∴△PMB周長最小值即為BC+BM，此時，作DS⊥AB于S點，DT⊥AC延長線于T點，AQ⊥BC延長線于Q點，由題意，AD為∠BAC的角平分線，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周長最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18．【點睛】本題考查翻折的性質，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質，利用角平分線的性質進行推理求解，理解并熟練運用兩點之間線段最短是解題關鍵．變式4．（江陰市敔山灣實驗學校八年級月考）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最小．解法：如圖1，作點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【答案】（1）；（2），圖和理由見解析【分析】（1）作點A關于BC的對稱點A′，連接A′E交BC于P，此時PA+PE的值最小．連接BA′，先根據勾股定理求出BA′的長，再判斷出∠A′BA=90°，根據勾股定理即可得出結論；（2）作點C關于直線AB的對稱點C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，根據等邊三角形的性質解答．【詳解】解：（1）如圖2所示，作點A關于BC的對稱點A′，連接A′E交BC于P，此時PA+PE的值最小．連接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中點，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案為：；（2）如圖3，作點C關于直線AB的對稱點C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，則C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC為等邊三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值為C′N==．【點睛】本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質、含30°角的直角三角形的性質、垂線段最短，解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉化為數學模型，把兩條線段的和轉化為一條線段．例2．（重慶初二月考）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．變式5．（2022.山東青島九年級一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝（Q在P的下方），當AP+PQ+QB最小時，Q點坐標為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）【解答】解：作點B關于直線y＝x的對稱點B'（0，1），過點A作直線MN，使得MN平行于直線y＝x，并沿MN向下平移單位后得A'（2，0）連接A'B'交直線y＝x于點Q，如圖理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四邊形APQA'是平行四邊形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴當A'Q+B'Q值最小時，AP+PQ+QB值最小根據兩點之間線段最短，即A'，Q，B'三點共線時A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直線A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q點坐標（，）故選：A．變式6．（廣東·深圳市福田區蓮花中學八年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．【答案】【解析】【分析】在y軸上取點E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，根據勾股定理得到AB，作點A關于直線x＝1的對稱點A'，得到A'、E、D三點共線時，AD+DE最小值為A'E的長，根據勾股定理求出A'E，即可得解；【詳解】解：如圖，在y軸上取點E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，作點A關于直線x＝1的對稱點A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三點共線時，AD+DE最小值為A'E的長，在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，∴C四邊形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路線問題、勾股定理、位置與坐標，準確分析作圖計算是解題的關鍵．題型2:求兩條線段差最大值例3．（江蘇·無錫市江南中學八年級期末）如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關系可知，故當點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，∵，，，∴，，，在中，根據勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點，∵，，∴當點P運動到點時，最大，過點B作，則，∴，在中，根據勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點睛】本題考查了最短線路問題和勾股定理，解題的關鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關系．變式7．（福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當點P與點A重合時，CP-PE=CE，進而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動點，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當點P與點A重合時，CP-PE=CE，∵E是邊的中點，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質，三角形三邊長關系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關鍵．題型3:求三條（周長）最小值（雙動點問題）【模型圖示】要求：點位定點，在直線，上分別找點，，使周長（即）最小操作：分別作點關于直線，的對稱點和，連結與直線，的交點為，，求長度通法：如上圖，一般會給一個特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），連結，，，由對稱性可求也為特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三邊關系求出要求：點，為定點，直線，上分別找，，使周長（即）小操作：分別作點，關于直線，的對稱點和，連結與直線，的交點為，，例4．（上虞市初二月考）如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結果．【解析】分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．【點睛】此題考查軸對稱的性質，最短路線問題，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握軸對稱的性質，證明三角形是等邊三角形是解題的關鍵．變式8．（安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點A關于BC、CD的對稱點A1、A2，根據軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，利用三角形的內角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據軸對稱的性質和角的和差關系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點A關于BC、CD的對稱點A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，連接AM、AN，則此時△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點A關于BC、CD的對稱點為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉化為兩點間線段最短問題是解決本題的關鍵．課后訓練：1．（安徽九年級一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，這樣AP＋PQ轉化為AP＋PE即可得出答案．【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當AP＋PE＝AH時最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．【點睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關鍵是作輔助線把PQ轉化到BD的另一側．2．（河南七年級期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作N關于BD的對稱點，根據軸對稱性質、兩點之間線段最短和垂線段最短的定理可以得到CM+MN的最小值即為C點到AB的垂線段，因此根據面積公式可以得解．【詳解】解：如圖，作N關于BD的對稱點，連結N，與BD交于點O，過C作CE⊥AB于E，則∵BD平分∠ABC，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，∴根據兩點之間線段最短可得CM+MN的最小值為，即C點到線段AB某點的連線，∴根據垂線段最短，CM+MN的最小值為C點到AB的垂線段CE的長度，∵△ABC的面積為10，∴，∴CE=5，故選B．【點睛】本題考查軸反射的綜合運用，熟練掌握軸反射的特征、兩點之間線段最短及垂線段最短等性質是解題關鍵．3．（安徽亳州·一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，這樣AP＋PQ轉化為AP＋PE即可得出答案．【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當AP＋PE＝AH時最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．【點睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關鍵是作輔助線把PQ轉化到BD的另一側．4．（江西宜春·八年級期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點，交于點，點是直線上的一個動點，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由條件可得點A是點C冠以ED的對稱點，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在點P運動的過程中，P與E重合時有最小值．【詳解】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴PC+PB=PA+PB，∵P運動的過程中，P與E重合時有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故選：A【點睛】本題主要考查動點最短路徑問題，結合對稱，尋找對稱點，判斷最值狀態是解題的關鍵．5．（重慶大渡口·八年級期末）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內直線BC的左側有一點P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時，則______．【答案】12【分析】如圖1中，過點P作PH⊥BC于點H．求出PH＝2，推出點P在BC的中垂線上運動，由翻折變換的性質可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出當A，B，P′共線時，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設BC的中垂線交AC于點M，交AB于點N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解決問題．【詳解】解：如圖1中，過點P作PH⊥BC于點H．∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2，∴點P在BC的中垂線上運動，由翻折變換的性質可知，BP＝BP′，∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，∴當A，B，P′共線時，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設BC的中垂線交AC于點M，交AB于點N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案為：12．【點睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是正確尋找點P的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．6.（綿陽八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】據要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，進而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【答案】解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故選：B．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出E，F的位置是解題關鍵．7.（西湖區月考）如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現要在這條河上建一座橋．橋建在何處才能使從村莊A經過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由．【分析】先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點就是點C，過點C作CD垂直河岸，交另一河岸于點D，即可得出答案．【答案】解：如圖，先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點就是點C，過點C作CD垂直河岸，交另一河岸于點D，CD就是所求的橋的位置．理由：由作圖過程可知，四邊形ACDA′為平行四邊形，AD平移至A′C即可得到線段A′B，兩點之間，線段最短，由于河寬不變，CD即為橋．【點睛】本題考查的是作圖﹣平移變換以及利用軸對稱解決最短路徑問題，熟知圖形平移不變性的性質是解答此題的關鍵．8．（山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當取最小值時，點坐標為______.【答案】【分析】如圖把點A向右平移1個單位得到E（1，1），作點E關于x軸的對稱點F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點即為點Q，此時AP+PQ+QB的值最小，求出直線BF的解析式，即可解決問題．【詳解】解：如圖把點4向右平移1個單位得到E（1，1），作點E關于x軸的對稱點F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點即為點Q，此時4P+PQ+QB的值最小.設最小BF的解析式為y=kx+b，則有解得∴直線BF的解析式為y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案為（2，0）.【點睛】本題考查軸對稱最短問題、坐標與圖形的性質、一次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，學會構建一次函數解決交點問題，屬于中考常考題型9.如圖，兩點A、B在直線MN外的同側，A到MN的距離AC＝16，B到MN的距離BD＝10，CD＝8，點P在直線MN上運動，則|PA﹣PB|的最大值等于．【解答】解：延長AB交MN于點P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴當點P運動到P′點時，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，過點B作BE⊥AC，則BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案為：10．10．（福建·莆田二中八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數為_____．【答案】15°##15度【分析】作點B關于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，先證明△BCD是等邊三角形，從而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，進而求得∠CDP＝15°，據軸對稱性可得∠CBP的度數．【詳解】如圖，作點B關于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，∵點B與點D是關于MN的對稱點，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵點B與點D是關于MN的對稱點，，且△BCD是等邊三角形，∴由等邊三角形的軸對稱性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15°．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質，軸對稱最短線路問題等知識，明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關鍵．11．（江蘇·無錫市東林中學八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時周長最小，根據CD=4可得出△COD是等邊三角形，進而可求出α的度數．【詳解】解：如圖，作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最小．連接OC，OD，PE，PF．∵點P與點C關于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉化為一條線段，運用三角形三邊關系解決．12．（全國·八年級專題練習）如圖，，，AD是∠BAC內的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．【答案】5【分析】作點關于射線的對稱點，連接、、B'P．則，，是等邊三角形，在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．所以的最大值是5．【詳解】解：如圖，作點關于射線的對稱點，連接、，B'P．則，，，．∵，∴，∴是等邊三角形，∴，在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．∴的最大值是5．故答案為：5．【點睛】本題考查了線段之差的最小值問題，正確作出點B的對稱點是解題的關鍵．13．（河北承德·八年級期末）如圖，點A，B在直線的同側，點A到的距離，點B到的距離，已知，P是直線上的一個動點，記的最小值為a，的最大值為b．（1）________；（2）________．【答案】

【分析】作點A關于直線MN的對稱點A，連接AB交直線MN于點P，過點A作直線AE⊥BD的延長線于點E，再根據勾股定理求出AB的長就是PA＋PB的最小值；延長AB交MN于點P，此時PA?PB＝AB，由三角形三邊關系可知AB＞|PA?PB|，故當點P運動到P點時|PA?PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的長就是|PA?PB|的最大值．進一步代入求得答案即可．【詳解】解：如圖，作點A關于直線MN的對稱點A，連接AB交直線MN于點P，則點P即為所求點．過點A作直線AE⊥BD的延長線于點E，則線段AB