最值模型-將軍飲馬-專題訓(xùn)練三角形中的最值（將軍飲馬模型）問題在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認(rèn)識(shí)。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，希望大家全部學(xué)習(xí)完畢后再完成該專題訓(xùn)練?！窘忸}技巧】將軍飲馬模型圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)題型1:求兩條線段和最小值例1．（湖北江夏初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為_____．變式1．（甘肅西峰·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．變式2．（廣東新豐·八年級(jí)期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為12，，則周長的最小值是______．變式3．（湖北洪山·八年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．變式4．（江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)、，在直線上存在點(diǎn)，使得的值最小．解法：如圖1，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點(diǎn)、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．例2．（重慶初二月考）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．變式5．（山東青島九年級(jí)一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動(dòng)線段且PQ＝（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+QB最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）變式6．（廣東·深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動(dòng)線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．題型2:求兩條線段差最大值例3．（江蘇·無錫市江南中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130變式7．（福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．題型3:求三條（周長）最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問題）【模型圖示】要求：點(diǎn)位定點(diǎn)，在直線，上分別找點(diǎn)，，使周長（即）最小操作：分別作點(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)和，連結(jié)與直線，的交點(diǎn)為，，求長度通法：如上圖，一般會(huì)給一個(gè)特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），連結(jié)，，，由對稱性可求也為特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三邊關(guān)系求出要求：點(diǎn)，為定點(diǎn)，直線，上分別找，，使周長（即）小操作：分別作點(diǎn)，關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)和，連結(jié)與直線，的交點(diǎn)為，，例4．（上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60變式8．（安徽安慶·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．課后訓(xùn)練：1．（安徽九年級(jí)一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P，Q分別是BD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值為（）A．6 B．6 C．3 D．32．（河南七年級(jí)期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（安徽亳州·一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P，Q分別是BD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．34．（江西宜春·八年級(jí)期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（重慶大渡口·八年級(jí)期末）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線BC的左側(cè)有一點(diǎn)P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時(shí)，則______．6.（綿陽八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．70°7.（西湖區(qū)月考）如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現(xiàn)要在這條河上建一座橋．橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由．8．（山東濰坊·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是軸上的一條動(dòng)線段，且，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為______.9.如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC＝16，B到MN的距離BD＝10，CD＝8，點(diǎn)P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則|PA﹣PB|的最大值等于．10．（福建·莆田二中八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN＝30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為_____．11．（江蘇·無錫市東林中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°12．（全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______．13．（河北承德·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B在直線的同側(cè)，點(diǎn)A到的距離，點(diǎn)B到的距離，已知，P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為a，的最大值為b．（1）________；（2）________．14．（山東青島市·八年級(jí)期末）如圖，等邊（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，和交于點(diǎn)．（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時(shí)，；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且使最短．當(dāng)時(shí)，的最小值為多少？請直接寫出這個(gè)最小值，無需說明理由．15．（重慶八中八年級(jí)期中）閱讀理解.材料一：平面內(nèi)任意兩點(diǎn)，間的距離公式為：，特別地，當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)在軸或軸上，或者兩點(diǎn)所在直線平行于軸或軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可化簡為或；材料二：如圖1，點(diǎn)，在直線的兩側(cè)，在直線上找一點(diǎn)，使得的值最大．解題思路：如圖2，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接并延長，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)，之間的距離即為的最大值．請根據(jù)以上材料解決下列問題：（1）已知點(diǎn)，在平行于軸的直線上，點(diǎn)在一三象限的角平分線上，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，請?jiān)谥本€上找一點(diǎn)，使得最大，求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

最值模型-將軍飲馬-專題訓(xùn)練（解析版）題型1:求兩條線段和最小值例1．（湖北江夏初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為_____．【答案】【分析】作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根據(jù)勾股定理求出ED，即可得出答案．【解析】作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點(diǎn)P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．變式1．（甘肅西峰·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點(diǎn)E關(guān)于AD的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點(diǎn)，∴F是AB的中點(diǎn)，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．變式2．（廣東新豐·八年級(jí)期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為12，，則周長的最小值是______．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，∴當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD．變式3．（湖北洪山·八年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．【答案】18【分析】首先明確要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知PM=PC，從而可得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC，PM=PC，∴M點(diǎn)為AB上一個(gè)固定點(diǎn)，則BM長度固定，∵△PMB周長=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴滿足PC+PB最小即可，顯然，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時(shí)，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，PC+PB=BC，∴△PMB周長最小值即為BC+BM，此時(shí)，作DS⊥AB于S點(diǎn)，DT⊥AC延長線于T點(diǎn)，AQ⊥BC延長線于Q點(diǎn)，由題意，AD為∠BAC的角平分線，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周長最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．變式4．（江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)、，在直線上存在點(diǎn)，使得的值最小．解法：如圖1，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點(diǎn)、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【答案】（1）；（2），圖和理由見解析【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′，連接A′E交BC于P，此時(shí)PA+PE的值最小．連接BA′，先根據(jù)勾股定理求出BA′的長，再判斷出∠A′BA=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：（1）如圖2所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′，連接A′E交BC于P，此時(shí)PA+PE的值最?。B接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中點(diǎn)，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案為：；（2）如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，則C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC為等邊三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值為C′N==．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．例2．（重慶初二月考）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．變式5．（2022.山東青島九年級(jí)一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動(dòng)線段且PQ＝（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+QB最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）【解答】解：作點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)B'（0，1），過點(diǎn)A作直線MN，使得MN平行于直線y＝x，并沿MN向下平移單位后得A'（2，0）連接A'B'交直線y＝x于點(diǎn)Q，如圖理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四邊形APQA'是平行四邊形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴當(dāng)A'Q+B'Q值最小時(shí)，AP+PQ+QB值最小根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即A'，Q，B'三點(diǎn)共線時(shí)A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直線A'B'的解析式y(tǒng)＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q點(diǎn)坐標(biāo)（，）故選：A．變式6．（廣東·深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動(dòng)線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．【答案】【解析】【分析】在y軸上取點(diǎn)E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到AB，作點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)A'，得到A'、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD+DE最小值為A'E的長，根據(jù)勾股定理求出A'E，即可得解；【詳解】解：如圖，在y軸上取點(diǎn)E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，作點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD+DE最小值為A'E的長，在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，∴C四邊形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱最短路線問題、勾股定理、位置與坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析作圖計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型2:求兩條線段差最大值例3．（江蘇·無錫市江南中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)，連接交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點(diǎn)，此時(shí)，由三角形三邊關(guān)系可知，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)最大，過點(diǎn)B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)，連接交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點(diǎn)，∵，，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，過點(diǎn)B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了最短線路問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系．變式7．（福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，∵E是邊的中點(diǎn)，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．題型3:求三條（周長）最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問題）【模型圖示】要求：點(diǎn)位定點(diǎn)，在直線，上分別找點(diǎn)，，使周長（即）最小操作：分別作點(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)和，連結(jié)與直線，的交點(diǎn)為，，求長度通法：如上圖，一般會(huì)給一個(gè)特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），連結(jié)，，，由對稱性可求也為特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三邊關(guān)系求出要求：點(diǎn)，為定點(diǎn)，直線，上分別找，，使周長（即）小操作：分別作點(diǎn)，關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)和，連結(jié)與直線，的交點(diǎn)為，，例4．（上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查軸對稱的性質(zhì)，最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．變式8．（安徽安慶·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對稱點(diǎn)A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對稱點(diǎn)A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，連接AM、AN，則此時(shí)△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對稱點(diǎn)為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練：1．（安徽九年級(jí)一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P，Q分別是BD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值為（）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，這樣AP＋PQ轉(zhuǎn)化為AP＋PE即可得出答案．【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當(dāng)AP＋PE＝AH時(shí)最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是作輔助線把PQ轉(zhuǎn)化到BD的另一側(cè)．2．（河南七年級(jí)期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，根據(jù)軸對稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短的定理可以得到CM+MN的最小值即為C點(diǎn)到AB的垂線段，因此根據(jù)面積公式可以得解．【詳解】解：如圖，作N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，連結(jié)N，與BD交于點(diǎn)O，過C作CE⊥AB于E，則∵BD平分∠ABC，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得CM+MN的最小值為，即C點(diǎn)到線段AB某點(diǎn)的連線，∴根據(jù)垂線段最短，CM+MN的最小值為C點(diǎn)到AB的垂線段CE的長度，∵△ABC的面積為10，∴，∴CE=5，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查軸反射的綜合運(yùn)用，熟練掌握軸反射的特征、兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短等性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（安徽亳州·一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P，Q分別是BD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，這樣AP＋PQ轉(zhuǎn)化為AP＋PE即可得出答案．【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當(dāng)AP＋PE＝AH時(shí)最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是作輔助線把PQ轉(zhuǎn)化到BD的另一側(cè)．4．（江西宜春·八年級(jí)期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由條件可得點(diǎn)A是點(diǎn)C冠以ED的對稱點(diǎn)，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P與E重合時(shí)有最小值．【詳解】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴PC+PB=PA+PB，∵P運(yùn)動(dòng)的過程中，P與E重合時(shí)有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)最短路徑問題，結(jié)合對稱，尋找對稱點(diǎn)，判斷最值狀態(tài)是解題的關(guān)鍵．5．（重慶大渡口·八年級(jí)期末）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線BC的左側(cè)有一點(diǎn)P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時(shí)，則______．【答案】12【分析】如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．求出PH＝2，推出點(diǎn)P在BC的中垂線上運(yùn)動(dòng)，由翻折變換的性質(zhì)可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出當(dāng)A，B，P′共線時(shí)，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解決問題．【詳解】解：如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2，∴點(diǎn)P在BC的中垂線上運(yùn)動(dòng)，由翻折變換的性質(zhì)可知，BP＝BP′，∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，∴當(dāng)A，B，P′共線時(shí)，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．6.（綿陽八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，進(jìn)而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【答案】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．7.（西湖區(qū)月考）如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現(xiàn)要在這條河上建一座橋．橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由．【分析】先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D，即可得出答案．【答案】解：如圖，先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D，CD就是所求的橋的位置．理由：由作圖過程可知，四邊形ACDA′為平行四邊形，AD平移至A′C即可得到線段A′B，兩點(diǎn)之間，線段最短，由于河寬不變，CD即為橋．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖﹣平移變換以及利用軸對稱解決最短路徑問題，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．（山東濰坊·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是軸上的一條動(dòng)線段，且，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為______.【答案】【分析】如圖把點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位得到E（1，1），作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，此時(shí)AP+PQ+QB的值最小，求出直線BF的解析式，即可解決問題．【詳解】解：如圖把點(diǎn)4向右平移1個(gè)單位得到E（1，1），作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，此時(shí)4P+PQ+QB的值最小.設(shè)最小BF的解析式為y=kx+b，則有解得∴直線BF的解析式為y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案為（2，0）.【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短問題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對稱解決最短問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決交點(diǎn)問題，屬于中考?？碱}型9.如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC＝16，B到MN的距離BD＝10，CD＝8，點(diǎn)P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則|PA﹣PB|的最大值等于．【解答】解：延長AB交MN于點(diǎn)P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)時(shí)，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，過點(diǎn)B作BE⊥AC，則BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案為：10．10．（福建·莆田二中八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN＝30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為_____．【答案】15°##15度【分析】作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，先證明△BCD是等邊三角形，從而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，進(jìn)而求得∠CDP＝15°，據(jù)軸對稱性可得∠CBP的度數(shù)．【詳解】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，，且△BCD是等邊三角形，∴由等邊三角形的軸對稱性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短線路問題等知識(shí)，明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關(guān)鍵．11．（江蘇·無錫市東林中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)E、F在CD上時(shí)，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時(shí)周長最小，根據(jù)CD=4可得出△COD是等邊三角形，進(jìn)而可求出α的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時(shí)，△PEF的周長最?。B接OC，OD，PE，PF．∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．12．（全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______．【答案】5【分析】作點(diǎn)關(guān)于射線的對稱點(diǎn)，連接、、B'P．則，，是等邊三角形，在中，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最大值，即為5．所以的最大值是5．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于射線的對稱點(diǎn)，連接、，B'P．則，，，．∵，∴，∴是等邊三角形，∴，在中，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最大值，即為5．∴的最大值是5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段之差的最小值問題，正確作出點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（河北承德·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B在直線的同側(cè)，點(diǎn)A到的距離，點(diǎn)B到的距離，已知，P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為a，的最大值為b．（1）________；（2）________．【答案】

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A，連接AB交直線MN于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作直線AE⊥BD的延長線于點(diǎn)E，再根據(jù)勾股定理求出AB的長就是PA＋PB的最小值；延長AB交MN于點(diǎn)P，此時(shí)PA?PB＝AB，由三角形三邊關(guān)系可知AB＞|PA?PB|，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)|PA?PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的長就是|PA?PB|的最大值．進(jìn)一步代入求得答案即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A，連接AB交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．過點(diǎn)A作直線AE⊥BD的延長線于點(diǎn)E，則線段AB