第十二講期權的二叉樹模型1《金融工程》主要內容2

第一節

二叉樹模型簡介

第二節

單步二叉樹模型

第三節

多步二叉樹模型

第四節

二叉樹模型的實際應用34

第一節

二叉樹模型簡介

引言51979年，J.C.Cox,S.A.Ross&M.Rubin–stein將二叉樹模型用于期權定價中，迄今為止，這種模型已經成為金融界最基本的期權定價方法之一。AB1E0E1E3E2B0C0D0C1D1C2D2D3E4一、二叉樹模型的基本假設6市場無摩檫（無交易費用和稅收)市場是無套利的無風險利率為常數，可以無限制以無風險利率借貸允許賣空下一期的股票價格只取兩種可能的值。二、二叉樹模型的特點7模型相對簡單容易理解風險中性定價與無套利定價的關系容易解釋期權動態套期保值的思想一種期權定價的數值方法對歐式期權的定價與Black-Scholes公式的定價近似；為美式期權定價提供了便利；除了為期權定價還可以做別的；8

第二節

單步二叉樹模型單期二叉樹9

例12.1假設一種不支付紅利股票目前的市價為20元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是22元，要么是18元。假設現在的無風險年利率等于10%（連續復利），現在我們要找出一份3個月期協議價格為21元的該股票歐式看漲期權的價值。10（一）構造無風險組合定價期權建立一個包含衍生品頭寸和基礎資產頭寸的無風險的資產組合。若數量適當，基礎資產的贏利就會與衍生品的虧損相抵，瞬間無風險。無風險組合的收益率等于無風險利率。一.單期二叉樹的無套利定價分析11構建一個由一單位看漲期權空頭和Δ單位的標的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權到期時無風險，Δ必須滿足下式：

22D–118D22Δ

－1=18ΔΔ=0.25分析12該無風險組合的現值應為：由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為20元，因此：

13二.單期二叉樹的風險中性定價風險中性定價思想在風險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P，則得：P=0.6266這樣，根據風險中性定價原理，我們就可以給出該期權的價值：14在風險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P，則得：P=0.6266這樣，根據風險中性定價原理，我們就可以給出該期權的價值：風險中性定價思想三、推廣到一般情形15假設一個無紅利支付的股票，當前時刻t股票價格為S，基于該股票的某個期權的價值是f，期權的有效期是T，在這個有效期內，股票價格或者上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。當股票價格上升到Su時，我們假設期權的收益為fu，如果股票的價格下降到Sd時，期權的收益為fd。一般的例子（一）無套利定價法的思路16首先，構造一個由Δ股股票多頭和一個期權空頭組成的證券組合，使得該組合為無風險組合，即：Su

D–?uSdD–?d由此計算出該組合為無風險時的Δ值。17如果無風險利率用r表示，則該無風險組合的現值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而構造該組合的成本是SΔ-f，在沒有套利機會的條件下，兩者必須相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT

，所以其中：（一）無套利定價法的思路啟示18（1）計算公式中沒有出現股票實際上漲或下跌的概率；(2)公式中沒有描述投資者對于風險偏好程度的變量，說明可以被任何態度的投資者接受(3)期權價值僅與當前股價、未來股價波動性有關；（4）P，1-p在無套利市場中滿足概率的性質，稱為風險中性概率（risknerutralProbability）。(5)風險中性概率只依賴于股票價格的波動性和無風險收益（二）風險中性定價的思路19假定風險中性世界中股票的上升概率為P，由于股票未來期望值按無風險利率貼現的現值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得：所以fufdfSu

SdSP1-P20（三）風險中性與套利定價內在統一的數學原理資產定價的基本定理：無套利假設等價于存在對未來不確定狀態的某一等價概率測度，使得每一種金融資產對該等價概率測度的期望收益都等于無風險證券的收益率表明了無套利定價與風險中性定價的關系單期二叉樹——練習21練習：求歐式看跌期權的價值，X=21T=3個月，r=0.1$18$22$20四、歐美式期權的單步二叉樹定價22美式期權的單期定價針對美式期權，需要考慮提前執行的價值與不提前執行的價值哪一個是最優的，因此即使在單步的二叉樹下美式與歐式的估值也是不同的美式看跌期權X=22的價值為：2歐式看跌期權X=22的價值為：1.46$18$22$2023總結：歐式期權的單期定價：美式期權的單期定價：24

第三節

多步二叉樹模型一、兩期二叉樹模型25股價的變化如圖： 每個步長為3個月，u=1.1，d=0.9，r=12%試計算執行價為X=21的歐式看漲的價值20221824.219.816.2（一）無套利定價—復制期權26通過股票和無風險資產組合，復制1單位期權產品的損益。思考：當二叉樹步數增加時，delta是否會變化？27201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFB點處的delta值：A點處的delta值：結論：不同時期不同股價獲得完全保值需要的股票數量是不同的，因此，現實的套期保值策略是一個動態調整的過程。兩步二叉樹的套利策略28如果這里實際的期權報價$1，套利策略是什么？最終獲得的無風險利潤是多少？策略0時刻：賣空0.51份股票，買入1份期權，將剩余收入0.51*20-1=9.2元存入銀行。1時刻：a)股價上升為22，繼續賣空0.22份股票（=0.73-0.51）,將所得收入0.22*22=4.84存入銀行

a1)2時刻，股價為24.2，平倉所有頭寸，獲益：9.2*exp(0.12*0.5)+4.84*exp(0.12*0.25)+max(24.2-21,0)-24.2*(0.51+0.22)=0.29

a2)2時刻，股價為19.8，平倉所有頭寸，獲益：9.2*exp(0.12*0.5)+4.84*exp(0.12*0.25)-19.8*0.73=0.31時刻：b)股價下降為18，平倉0.51份股票空頭（=0-0.51）,借入0.51*18=9.18元

b1)2時刻，無論股價為19.8還是16.2，都不執行，獲益為：9.2*exp(0.12*0.5)-9.18*exp(0.12*0.25)=0.31即：無論漲跌，套利收益近似為：（1.2823-1）*exp(0.12*0.5)=0.30啟示：多步二叉樹模型下期權的套保問題31由兩步二叉樹的套利定價法知：Delta(D)為下一步期權價值變化與股票價值變化的比值，這個比值是在變動的，因此期權套保需要動態調整股票頭寸，對于單步二叉樹：Delta(D)

問答32遠期合約的套期保值和期權的套期保值策略中，你看到什么差別？為何會產生這樣的差別？二叉樹作為一種數值方法，我們實際應用中可能需要用上百步甚至上千步去估值，你愿意用上述分析方式利用三步以上的二叉樹為期權合約定價嗎？（二）兩步二叉樹的風險中性定價33步驟：1.利用單步股價的變化確定風險中性概率2.利用衍生產品到期損益倒推定價，如果為美式期權在每一步做最優執行時刻的判斷。34201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF歐式看漲期權的風險中性定價風險中性概率：（三）歐式期權的二叉樹定價35歐式看跌期權的定價：201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEFX=21 （四）美式期權的二叉樹定價36美式看跌期權的定價：201.2686221824.2019.81.216.24.80.40493ABCDEF>1.0591=pX=21

練習：試計算美式看漲期權的價格，并比較美式看漲期權與歐式看漲期權間的關系。兩期二叉樹模型與delta動態保值37總結：歐式期權的二期定價：總結：美式期權的二期定價二、股票價格的多期二叉樹模型38SSuSdSu2Sd2SudSu3Su4Su2dSud2Sd3Sd4Sud3Su3dSu2d2類似地可以通過倒推方式計算期權的價值主要內容39總結：歐式期權的多期定價：美式期權的多期定價：三步二叉樹模型下期權的定價40例：假設標的資產為不付紅利股票,其當前市場價為100元,無風險連續復利為5%，u=1.1,d=0.9,二叉樹步長為1年，試計算該股票3年期的，協議價格為105元的歐式看漲期權的價值。100110901219981133.1108.989.172.9Pu=0.76,Pd=0.24股價的二叉樹歐式期權的價值4211.8715.852.0221.122.81028.13.900歐式看漲期權價值為11.8743

第四節

二叉樹模型的實際應用一、更實際的二叉樹（CRR二叉樹）44若到期時只有兩種狀態，可用單步二叉樹模擬：SuSdSP1-P45若到期時只有三種狀態，可用兩步二叉樹模擬：SSuSdSu2SudSd2ABCDEF46若到期時有n+1種狀態，可用n步二叉樹模擬：SSuSdSd2SudSun-1SunSdn-1SdnSudn-1Sun-1dSu247歐美式期權的定價定價過程通常采用倒推定價法首先得到每個結點的資產價格，然后在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結構圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權定價值得注意的是，如果是美式期權，就要在樹型結構的每一個結點上，比較在本時刻提前執行期權和繼續再持有到下一個時刻再執行期權，選擇其中價值較大者作為本結點的期權價值。歐美式期權的定價48例12.10：

假設標的資產為不付紅利股票,其當前市場價為100元,波動率為每年20%，無風險連續復利為10%，該股票6個月期的美式看跌期權協議價格為95元。1）求該期權的價值。2）求相同條款下美式看跌、歐式看漲、歐式看跌的價值參見歐美式期權二叉樹定價.xls二、考慮紅利率資產的二叉樹模型

49Foroptionsonstockindices,currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofp50TheProbabilityofanUpMove51二叉樹可以用于：1)期權定價：歐式、美式期權、路徑依賴期權（如回望期權、障礙期權、亞式期權等）;2)含權債券定價：可轉債；3）敏感度分析4)信用風險度量：如公司債定價，CDS定價等；5）利率建模三、二叉樹的其他應用（一）回望期權（lookbackoption）52固定執行價浮動執行價二叉樹模型下回望期權的定價53S=100，d=0.9，u=1.1，執行價格X=105，無風險連續利率r=5%，利用3步二叉樹計算到期日為3年的固定執行價的歐式回望看漲期權的價格。股價二叉樹54Pu=0.76,Pd=0.24110901219981100133.1108.989.172.999108.989.1108.989.1回望期權的二叉樹5513.7818.422.0423.974.762.82028.116553.9000執行價為105的回望看漲期權價值為13.78（二）二叉樹為路徑依賴產品的改進56如此復雜的二叉樹在計算機上是不可實現的，降低計算復雜度的方法是改進二叉樹模型。參見：1）《期權、期貨及其他衍生產品》第20章，20.4節；2）《金融工程學》，鄭振龍（第一版），第8章3）Hull,J.,andA.,White(1993).EfficientproceduresforvaluingEuropeanandAmericanpath-dependentoptions,JournalofDerivatives,1,21-31.本章計算要求571）能夠利用至少3步的二叉樹模型為任何已知損益公式的產品定價；2）能夠對兩步二叉樹模型下，價格不合理的期權給出套利策略實現的全過程。例12.12（一個理財產品的估值）582012年12月，農銀匯理公司推出一款結構化專戶產品，僅針對100萬元以上的客戶，產品的封閉期為12個月。產品收益為：一年后客