27/27合肥市包河區(qū)2024年九年級《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、選擇題（共10小題）1.下面四個圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：一個平面圖形，繞一點旋轉(zhuǎn)，與自身完全重合．逐一進行判斷即可．【詳解】A、不是中心對稱圖形，不符合題意；B、是中心對稱圖形，符合題意；C、不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不是中心對稱圖形，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查中心對稱圖形．熟練掌握中心對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．2.已知點是外一點，且的半徑為，則的長可能為()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：若半徑為，點到圓心的距離為，則有當(dāng)時，點在圓外；當(dāng)時，點在圓上，當(dāng)時，點在圓內(nèi)．根據(jù)點在圓外，點到圓心的距離大于圓的半徑可對各選項進行判斷．【詳解】解：點是外一點，，的長可能為，故選：D．3.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么該反比例函數(shù)圖象也一定經(jīng)過點（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為，再由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到在反比例函數(shù)的圖象上的點橫縱坐標(biāo)的乘積一定為6，據(jù)此可得答案．【詳解】解：因為反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，所以反比例函數(shù)解析式為，因為反比例函數(shù)圖象上點橫縱坐標(biāo)一定滿足其解析式，所以在反比例函數(shù)的圖象上的點橫縱坐標(biāo)的乘積一定為6，所以四個選項中只有A選項中點符合此條件，故選：A．4.將拋物線沿著y軸向上平移1個單位后，所得新拋物線的表達(dá)式是()A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”即可求解．【詳解】解：將拋物線沿著y軸向上平移1個單位后，所得新拋物線的表達(dá)式是，故選：C．5.如圖，是的切線，M是切點，連結(jié)、．若，則度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得到的度數(shù)．此題主要考查了切線的性質(zhì)定理，熟練掌握切線垂直于過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因為是的切線，M是切點，所以，所以，因為，所以．故選：D6.若點，，都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)函數(shù)解析式的特點，確定其開口方向和對稱軸，根據(jù)開口向下的二次函數(shù)，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小即可得到答案．【詳解】解：因為二次函數(shù)解析式為，所以拋物線開口向下，對稱軸為直線，所以離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，因為點，，都在二次函數(shù)的圖象上，所以，故選：A．7.小明準(zhǔn)備畫一個二次函數(shù)的圖像，他首先列表（如下），但在填寫函數(shù)值時，不小心把其中一個蘸上了墨水（表中），那么這個被蘸上了墨水的函數(shù)值是（）x…-10123…y…3430…A.-1 B.3 C.4 D.0【答案】D【分析】利用拋物線的對稱性即可求出拋物線的對稱軸，再利用拋物線的對稱性即可求出結(jié)論．【詳解】解：由表格可知：拋物線過（0，3）、（2，3）、（3，0）所以拋物線的對稱軸為直線x==1而所以x=-1對應(yīng)的縱坐標(biāo)與x=3對應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，都是0所以這個被蘸上了墨水的函數(shù)值是0故選D．【點睛】此題考查的是拋物線對稱性的應(yīng)用，掌握利用拋物線的對稱性求對稱軸是解題關(guān)鍵．8.如圖，某零件的外徑為，用一個交叉卡鉗（）可測量零件的內(nèi)孔直徑．若，且量得，則零件的厚度x為（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出x的長．求出和相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算求出，再根據(jù)外徑的長度解答．解：因為，，所以，所以，所以，所以，因為外徑為，所以，所以．故選：C．9.在中，已知，，，那么的長等于()A.1 B.9 C. D.【答案】A【分析】本題考查解直角三角形，根據(jù)題意，表示出的正切即可解決問題．【詳解】解：在中，，又因為，，所以，解得．故選：A．10.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D、E都在小正方形頂點的位置上，連接、相交于點P，根據(jù)圖中提示添加的輔助線，可以得到的值等于（） B. C. D.【答案】B【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，過點B作于H，先證明，進而解直角三角形得到，，再證明得到，則，利用勾股定理求出，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點B作于H，因為，所以，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，故選：B．二、填空題（共5小題）11.拋物線的頂點坐標(biāo)為______．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的頂點式；根據(jù)拋物線的頂點式可直接得出答案．【詳解】解：拋物線的頂點坐標(biāo)為，故答案為：．12.已知，那么__．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)x＝5a，則y＝2a，代入原式即可求解.【詳解】解：因為，所以設(shè)x＝5a，則y＝2a，那么．故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例式用同一個未知數(shù)得出的值進而求解是解題關(guān)鍵．13.已知線段的長是，點P是線段的黃金分割點，則較長線段的長是___．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點的定義即可進行解答．【詳解】解：因為點P是線段的黃金分割點，線段的長是，線段為較長線段，所以，故答案為：．【點睛】本題考查的是黃金比例，解題的關(guān)鍵清楚黃金比例概念以及黃金分割比為．14.如圖，為半圓O的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點P在半圓上，斜邊過點B，一條直角邊交該半圓于點Q．若，則弧的長為___________．當(dāng)P點為弧三等分點時，扇形的面積為___________．【答案】①.②.或【分析】連接，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)弧長公式計算即可得到弧的長；分的長等于弧長的和的長等于弧長的兩種情況，求出扇形圓心角度數(shù)，根據(jù)扇形面積公式進行計算即可得到扇形的面積．【詳解】連接AQ，OQ，因為，所以，所以，因為，所以弧的長為．連接，當(dāng)?shù)拈L等于弧長的時，因為，所以，所以，所以扇形的面積為，當(dāng)?shù)拈L等于弧長的時，因為，所以，所以，所以扇形的面積為，故答案為：，或三、解答題共2小題，每小題8分，計16分。15計算：【答案】【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計算，先計算特殊角三角函數(shù)值和乘方，再根據(jù)實數(shù)的運算法則求解即可．【詳解】解：．16.如圖，等邊三角形△ACB的邊長為3，點P為BC上的一點，點D為AC上的一點，連接AP、PD，∠APD=60°．（1）求證：△ABP∽△PCD；（2）若PC=2，求CD的長．【答案】（1）見解析（2）CD的長為【分析】（1）由等邊三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的結(jié)論△ABP∽△PCD可得，從而可以求出線段CD的長．【小問1詳解】證明：因為等邊三角形ABC，所以∠B=∠C=60°，因為∠APD=60°，所以∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，所以∠BAP=∠CPD，所以△ABP∽△PCD；【小問2詳解】解：等邊三角形邊長為3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，，所以，所以CD=．答：CD的長為．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ABP∽△PCD．四、解答題共2小題，每小題8分，計16分。17.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于和；（1）求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖像，直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為：；反比例函數(shù)的解析式為（2）或【分析】（1）將代入，求出的值，進而求出點的坐標(biāo)；將點和點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式求解即可；（2）根據(jù)圖像判斷即可；【小問1詳解】解：（1）將代入，得所以將代入，得，所以將、代入得：解得：故一次函數(shù)的解析式為：【小問2詳解】解：由圖像可知：當(dāng)時，當(dāng)時，故關(guān)于x的不等式的解集為：或【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)圖像與函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點都在網(wǎng)格的格點上，按要求解決下列問題．（1）畫出關(guān)于y軸的軸對稱圖形；（2）以點O為位似中心，在第一象限中出畫出，使得與位似，且相似比為．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】本題主要考查軸對稱及位似，熟練掌握軸對稱及位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）分別得出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點，然后連線即可；（2）由（1）及位似的性質(zhì)可進行作圖【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求．【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求．五、解答題共2小題，每小題10分，計20分。19.為弘揚我國傳統(tǒng)文化，合肥市一年一度的端午節(jié)龍舟賽在政務(wù)區(qū)天鵝湖舉行，小剛在天鵝湖北廣場點P處觀看500米直道競速賽，如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點A位于點P的南偏東方向上，終點B位于點P的南偏西方向上，米，求點P到賽道的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】米．【分析】過點作，垂足為，設(shè)米，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長，再根據(jù)米，列出關(guān)于的方程，進行計算即可解答．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作，垂足為，設(shè)米，在中，，所以（米），在中，，所以（米），因為米，所以，所以，所以，所以米，所以點到賽道的距離約為米．20.如圖，為的直徑，平分，點C、D都在上，過點D作，交的延長線于點E．（1）求證：是的切線．（2）延長交的延長線于點F．若，，則的長為．【答案】（1）見解析（2）6【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．（1）連結(jié)，如圖，先證明得到，再利用得到，然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系，先在中計算出，則，然后在中可計算出的長．掌握切線的判定方法，是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】證明：連結(jié)，如圖，因為平分，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以是的切線；【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，在中，因為，所以，所以，因為，所以，在中，因為，所以．故答案為：6．六、解答題共2小題，每小題12分，計24分。21.某景區(qū)紀(jì)念品超市以50元每個的價格新進一批工藝擺件，經(jīng)過一段時間的銷售發(fā)現(xiàn)日銷量（個）與單個售價（元）之間的函數(shù)關(guān)系如下圖．（景區(qū)規(guī)定任何商品的利潤率不得高于）（1）根據(jù)圖象，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）該超市要想每天獲得2400元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】（1）；（2）銷售單價應(yīng)定為70元；（3）銷售單價為90元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3200元【分析】（1）設(shè)y=kx+b，將點(60，140)，(70，120)代入即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）由題意得：利潤=單個利潤×日銷量，根據(jù)等量關(guān)系列方程，即可求解．（3）設(shè)每天獲得的利潤為W元，由題意得W與x的二次函數(shù)關(guān)系式，分析二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)（，為常數(shù)）將點，代入得，解得所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=?2x+260；（2）由題意得：，化簡得：，解得：，，因為，且，所以（舍去），答：銷售單價應(yīng)定為70元．（3）設(shè)每天獲得的利潤為元，由題意得，因為，拋物線開口向下，所以有最大值，當(dāng)時，，答：銷售單價為90元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3200元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，明確二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵.22.已知：如圖，在中，點D在邊上，，，與交于點F．（1）求證：；（2）連接，如果，求證∶．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）證明，即可得出；（2）先推導(dǎo)出，證明，得，即可證明進而得出結(jié)論．【小問1詳解】證明：，，，在和中，，所以，所以；【小問2詳解】證明：如圖：因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以．七、解答題共1小題，計14分。23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和，與y軸交于點C．（1）求這個拋物線的表達(dá)式；（2）如果點D是拋物線位于第三象限上一點，交x軸于點E，且E為的中點．①求D點坐標(biāo)；②點P在x軸上，如果，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①，②或【分析】（1）將點和代入，求出a和b的值即可；（2）①先求出點C的坐標(biāo)，設(shè)點D的坐標(biāo)為，根據(jù)點E為的中點可求出t的值，即可求出點D的坐標(biāo)；②分兩種情況進行討論，當(dāng)點P在點A左側(cè)時和當(dāng)點P在點A右側(cè)時，畫出輔助線，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可進行解答．【小問1詳解】解：將點和代入得：