北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第一章《數(shù)列》全部教案

第一課時(shí)數(shù)列的概念

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：（1）理解數(shù)列及其有關(guān)概念；（2）了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式

寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)；（3）對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的通項(xiàng)公式。

2、過(guò)程與方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法

進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；（2）發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性學(xué)習(xí)；（3）理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：（1）.通過(guò)日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn).理論聯(lián)系實(shí)

際，激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)；

（2）.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

二、教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式.

三、教學(xué)方法：探究、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析

四、教學(xué)過(guò)程

（一）、揭示課題:今天開(kāi)始我們研究一個(gè)新課題.

先舉一個(gè)生活中的例子：場(chǎng)地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一

層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問(wèn)：最多可放多少層第

57層有多少根從第1層到第57層一共有多少根我們不能滿足于一層層的去數(shù)，而是要但

求如何去研究，找出一般規(guī)律.實(shí)際上我們要研究的是這樣的一列數(shù)

100,99,98,…,3,2,1,象這樣排好隊(duì)的數(shù)就是我們的研究對(duì)象一一數(shù)列.

（二）、推進(jìn)新課

[合作探究]

折紙問(wèn)題

師請(qǐng)同學(xué)們想一想，一張紙可以重復(fù)對(duì)折多少次請(qǐng)同學(xué)們隨便取一張紙?jiān)囋嚕▽W(xué)生們興趣

一定很濃

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了

師你知道這是為什么嗎我們?cè)O(shè)紙?jiān)瓉?lái)的厚度為1長(zhǎng)度單位，面積為1面積單位，隨依次折

的次數(shù)，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣

生隨著對(duì)折數(shù)厚度依次為：2,4,8,16,…，256,…；

隨著對(duì)折數(shù)面積依次為L(zhǎng)，5，…，」

24816256

生對(duì)折8次以后，紙的厚度為原來(lái)的256倍，其面積為原來(lái)的分1[]256式，再折下去太

困難了

師說(shuō)得很好，隨數(shù)學(xué)水平的提高，我們的思維會(huì)更加理性化.請(qǐng)同學(xué)們觀察上面我們列出

的這一列一列的數(shù)，看它們有何共同特點(diǎn)

生均是一列數(shù)

生還有一定次序

師它們的共同特點(diǎn)：都是有一定次序的一列數(shù)

［教師精講］

1.數(shù)列的定義：按一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列

注意：（1）數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序

不同，那么它們就是不同的數(shù)列；（2）定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同

一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)

2.數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或

首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第〃項(xiàng)，….同學(xué)們能舉例說(shuō)明嗎

生例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“2”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），“16”是

這個(gè)數(shù)列中的第4項(xiàng)

為表述方便給出幾個(gè)名稱：項(xiàng)--------數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

首項(xiàng)------其中數(shù)列的第一項(xiàng)也稱首項(xiàng).通項(xiàng)--------數(shù)列的第n項(xiàng)叫數(shù)列的通項(xiàng).

以上述兩個(gè)數(shù)列為例，讓學(xué)生練習(xí)指出某一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是多少，第二項(xiàng)是多少，指出某

一個(gè)數(shù)列的一些項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).由此可以看出，給定一個(gè)數(shù)列，應(yīng)能夠指明第一項(xiàng)是多少，第

二項(xiàng)是多少，……，每一項(xiàng)都是確定的，即指明項(xiàng)數(shù)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)就確定.所以數(shù)列中的每

一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與我們學(xué)過(guò)的函數(shù)有密切關(guān)系.

3.數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分:

有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列L2,3,4,5,6是有窮數(shù)列

無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6…是無(wú)窮數(shù)列

2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.遞減

數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列.擺動(dòng)

數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

請(qǐng)同學(xué)們觀察：課本的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列

生這六組數(shù)列分別是⑴遞增數(shù)列，（2）遞增數(shù)列，（3）常數(shù)數(shù)列，（4）遞減數(shù)列，（5）擺動(dòng)

數(shù)列，（6）1.遞增數(shù)列，2.遞減數(shù)列

4、通項(xiàng)公式法:如數(shù)列012,3,…的通項(xiàng)公式為即=閥+1冊(cè)獷）；

LU…的通項(xiàng)公式為外=e獷,1<n<3）；

1,a=—（we2/,）

234的通項(xiàng)公式為附；

數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第”項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的

一般表示.通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)

列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng).

例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式樂(lè)=2萬(wàn)N）,則限=2x100-1=199.

值得注意的是，正如一個(gè)函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公

式，即便有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式也未必唯一.

［知識(shí)拓展］

師你能說(shuō)出上述數(shù)列①中的256是這數(shù)列的第多少項(xiàng)能否寫出它的第〃項(xiàng)

生256是這數(shù)列的第8項(xiàng)，我能寫出它的第〃項(xiàng)，應(yīng)為4=2"

［例題剖析］

例1.根據(jù)下面數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式，寫出前5項(xiàng)：

(l)a?=—;(2)&=(一1)"?n

〃+1

師由通項(xiàng)公式定義可知，只要將通項(xiàng)公式中〃依次取1,2,3,4,5,即可得到數(shù)列的前

5項(xiàng)

生解：(1)ZFI,2,3,4,="—;a-2=—;&=—；&=—;a$=一

23456

(2)/7=1,2,3,4,=-1;a2=2;a3=~3;a=4;a5=~

師好！就這樣解

例2.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)3,5,7,9,11,???；(2)-,—,—,—,—,???；

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,…；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,

師這里只給出數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，哪位同學(xué)能寫出這些數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(給學(xué)生一定

的思考時(shí)間

生老師，我寫好了!

2n

解：(l)a?=2z;+l；(2)a?=⑶一

(2H-1)(2H+1)

(4)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…，a=n+1+；

2

(5)將數(shù)列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,…，

師完全正確！這是由“數(shù)”給出數(shù)列的“式”的例子，解決的關(guān)鍵是要找出這列數(shù)呈現(xiàn)出

的規(guī)律性的東西，然后再通過(guò)歸納寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

(三)、學(xué)生課堂練習(xí)：課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4

補(bǔ)充題：已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是4=24-〃，那么(

是數(shù)列｛&,｝的一項(xiàng)是數(shù)列｛a“｝的一項(xiàng)

是數(shù)列｛&｝的一項(xiàng)是數(shù)列｛4｝的一項(xiàng)

分析：注意到30,44,66,90均比較小，可以寫出這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，如果這前幾項(xiàng)中出

現(xiàn)了這四個(gè)數(shù)中的某一個(gè)，則問(wèn)題就可以解決了.若出現(xiàn)的數(shù)比較大，還可以用解方程求正

整數(shù)解的方法加以解決答案：

點(diǎn)評(píng)：看一個(gè)數(shù)A是不是數(shù)列｛&｝中的某一項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上就是看能不能找出一個(gè)非零自然數(shù)n,

使得a=A

（四）、課堂小結(jié)：對(duì)于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)著重掌握數(shù)列及有關(guān)定義，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式求其任意一

項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)列的前A項(xiàng)求一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（五）、布置作業(yè)課本習(xí)題1TA組1、2、3、4o

五、教后反思：

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；理解

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；2、過(guò)程與方法：通過(guò)類比函數(shù)的思想了解數(shù)列的幾種簡(jiǎn)單的表示

方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；3、情態(tài)與價(jià)值：體會(huì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；借助函數(shù)

的背景和研究方法來(lái)研究有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，可以進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，培

養(yǎng)用已知去研究未知的能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)列的概念，探索并掌握數(shù)列的幾種間單的表示法（列表、圖象、通

項(xiàng)公式）。

難點(diǎn)：了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律找出可能的通項(xiàng)公式。

三、教學(xué)方法：講授法為主

四、教學(xué)過(guò)程

（一）、導(dǎo)入新課

師同學(xué)們，昨天我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義等內(nèi)容，哪位同學(xué)能談一

談什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式

生如果數(shù)列｛4｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做

這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

師你能舉例說(shuō)明嗎

生如數(shù)列0,1,2,3,…的通項(xiàng)公式為晶=療1(〃￡“

1,1,1的通項(xiàng)公式為a〃=l1

1,-，…的通項(xiàng)公式為a尸，a

234n

教師進(jìn)一步啟發(fā)上面數(shù)列a尸上1、沖上與函數(shù)/(x)=x-lj(x)=’有什么關(guān)系你能用圖象

nx

直觀表示這個(gè)數(shù)列嗎由此展開(kāi)本節(jié)新課。

(二)新知探究

1、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)，項(xiàng)數(shù)是其自變量，項(xiàng)是項(xiàng)數(shù)所對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集,或是正整數(shù)集的有限子集｛123,

于是我們研究數(shù)列就可借用函數(shù)的研究方法，用函數(shù)的觀點(diǎn)看待數(shù)列.

［合作探究］同學(xué)們看數(shù)列2,4,8,16,…，256,…①中項(xiàng)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

項(xiàng)24816

序號(hào)你能從中得到什么啟示

生數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集M(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)的函數(shù)

4=￡(〃)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)尸/1(x),如

果/U)(i=l、2、3、4…)有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列

f⑴，f(2),f(3),…,

師說(shuō)的很好.如果數(shù)列｛品｝的第〃項(xiàng)4與〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)

公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

［合作探究］師函數(shù)與數(shù)列的比較(由學(xué)生完成此表)：

函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))

定義域R或R的子集A'或它的有限子集｛1,2,

n\

解析式尸f(x)a?=Az?)

圖象點(diǎn)的集合一些離散的點(diǎn)的集合

師對(duì)于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對(duì)應(yīng)圖象，看來(lái)，數(shù)列也可根據(jù)其通項(xiàng)公

式來(lái)畫出其對(duì)應(yīng)圖象，下面同學(xué)們練習(xí)畫數(shù)列

4,5,6,7,8,9,10-;@1,-,-,-，…③的圖象

234

生根據(jù)這數(shù)列的通項(xiàng)公式畫出數(shù)列②、③的圖象為

師數(shù)列4,5,6,7,8,9,10,…②的圖象與我們學(xué)過(guò)的什么函數(shù)的圖象有關(guān)

生與我們學(xué)過(guò)的一次函數(shù)產(chǎn)x+3的圖象有關(guān).

師數(shù)列1,工，…③的圖象與我們學(xué)過(guò)的什么函數(shù)的圖象有關(guān)

234

生與我們學(xué)過(guò)的反比例函數(shù)y=L的圖象有關(guān).

X

師這兩數(shù)列的圖象有什么特點(diǎn)

生其特點(diǎn)為：它們都是一群孤立的點(diǎn).

生它們都位于y軸的右側(cè)，即特點(diǎn)為：它們都是一群孤立的，都位于y軸的右側(cè)的點(diǎn).

2、數(shù)列的表示法

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)的

表示法：列表法，圖象法，解析式法.相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法:

用力表示第一項(xiàng)，用“2表示第一項(xiàng)，……，用即表示第然項(xiàng)，依次寫出成為

(1)列舉法：%,。2，的，…，即，….簡(jiǎn)記為｛怎｝.

一個(gè)函數(shù)的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個(gè)數(shù)列，把它稱作圖示法.

(2)圖示法:啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù)正為橫坐標(biāo),

相應(yīng)的項(xiàng)即為縱坐標(biāo)，即以(乩%)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)(以前面提到的數(shù)

].—11—1???

列’2'3'4'為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M

坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在丁軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可

以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).有些函數(shù)可以用解析式來(lái)表示,

解析式反映了一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，類似地有一些數(shù)列的項(xiàng)能用其

項(xiàng)數(shù)的函數(shù)式表示出來(lái)，即aS這個(gè)函數(shù)式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）通項(xiàng)公式法:如數(shù)列0J23,…的通項(xiàng)公式為外="156獷）；

LU…的通項(xiàng)公式為許=15W，1?"也

1,a=—（weiV,）

234的通項(xiàng)公式為?；

數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第北項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的

一般表示.通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)

列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng).

例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式外=2"1伽已獷），則限=2x100-1=199.

值得注意的是，正如一個(gè)函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公

式，即便有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式也未必唯一.

除了以上三種表示法，某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式

來(lái)表示，叫做遞推公式.

（4）遞推公式法:如前面所舉的鋼管的例子，第花+1層鋼管數(shù)即+1與第〃層鋼管數(shù)怎的

關(guān)系是即+1=%-1,再給定陽(yáng)=1。0,便可依次求出各項(xiàng).再如數(shù)列中，

陽(yáng)=L怎+1=2即伽6獷），這個(gè)數(shù)列就是1,2,4,8,16,32,64,….

像這樣，如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的

關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式是數(shù)列所特有的表

示法，它包含兩個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可.可由學(xué)生舉例,

以檢驗(yàn)學(xué)生是否理解.

（三）、例題探析

例1、判斷下列無(wú)窮數(shù)列的增減性。⑴2,1,0,-1,…,3-n,???；,o

234n+1

學(xué)生探究交流，教師準(zhǔn)對(duì)問(wèn)題講評(píng)并引導(dǎo)學(xué)生歸納方法。【答案：（1）遞減數(shù)列；（2）遞增

數(shù)列】

例2、作出數(shù)列」」,」一,KK,（」）"，…的圖像，并分析數(shù)列的增減性。

248162

-——1——Y.......

2

----------------------------------------------------------?

012345

X

解析：如圖是這個(gè)數(shù)列的圖象，數(shù)列各項(xiàng)的值正負(fù)相司，表示數(shù)列的各點(diǎn)相對(duì)于橫軸上下

擺動(dòng)，它既不是遞增的，也不是遞減的。

（四）、學(xué)生練習(xí)：課本本節(jié)練習(xí)1、2

（五）、課堂小結(jié)：1、探究結(jié)論；2、數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系

（六）、作業(yè)布置：習(xí)題ITA組第5、6、7題

五、教后反思：

第三課時(shí)數(shù)列的概念

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞

推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與明的關(guān)系

2、過(guò)程與方法：經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)的感受及理解運(yùn)用的過(guò)程。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)

教學(xué)難點(diǎn)理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系

三、教學(xué)過(guò)程

I.課題導(dǎo)入

［復(fù)習(xí)引入］數(shù)列及有關(guān)定義

n.講授新課

數(shù)列的表示方法

1、通項(xiàng)公式法

如果數(shù)列｛%｝的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這

個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

如數(shù)列0,123,…的通項(xiàng)公式為%="1（"e獷）；

LU…的通項(xiàng)公式為獷，1"屋明

1,a.=—(?e27,)

234的通項(xiàng)公式為h公

2、圖象法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù)閥為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的

項(xiàng)即為縱坐標(biāo)，即以（冬%）為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列

‘5'號(hào)4'為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐

標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在丁軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可以

直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).

3、遞推公式法

知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活用其來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.

觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型.

模型一：自上而下：蠹

第1層鋼管數(shù)為4；即：1-4=1+3

第2層鋼管數(shù)為5；即：2-5=2+3

第3層鋼管數(shù)為6；即：3-6=3+3

第4層鋼管數(shù)為7；即：4?7=4+3

第5層鋼管數(shù)為8；即：5―8=5+3

第6層鋼管數(shù)為9；即：6。9=6+3

第7層鋼管數(shù)為10；即：7c10=7+3

若用%表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且4=〃+3（lWnW

7）運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快

捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便。

讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律）

模型二：上下層之間的關(guān)系

自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多l(xiāng)o

即以］=4；a2=5=4+1=tz,+1；%=6=5+1=々+1

依此類推：a,,=an_t+1（2WnW7）

對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要。

定義：

遞推公式：如果已知數(shù)列｛%｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)凡與它的前一項(xiàng)a,-（或前

n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式

遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。

如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89

遞推公式為：卬=3,4=5,4”=a,i+a?_2(3<n<8)

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)的表示

法：列表法，圖象法，解析式法.相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用

的表示第一項(xiàng)，用%表示第一項(xiàng)，……,用即表示第％項(xiàng)，依次寫出成為

4、列表法

旬,町,。3,…，即，….簡(jiǎn)記為｛%｝.

［范例講解］

q=1

例3設(shè)數(shù)列｛/｝滿足,I,八寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。

解：分析：題中已給出｛凡｝的第1項(xiàng)即/=1,遞推公式：+—

11o15X

解：據(jù)題意可知：a1=l,a,=lH=2,a3=1H——,a4=14=—,a5—

?,"a23tz335

［補(bǔ)充例題］

例4已知q=2,all+］=2an寫出前5項(xiàng)，并猜想明.

223

法一：卬=2〃2=2X2=2=2x2=2,觀察可得an-2"

法二：由a.+|=即巴」=2

an—q?2"T=2"

HL課堂練習(xí)：課本P36練習(xí)2

[補(bǔ)充練習(xí)]

1.根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式

(1)a]=0,an+l=an+(2n—1)(n￡N)；

(2)a}=1,an+l=-(neN)；

a,,+2

(3)a{=3,an+[=3a?—2(nGN).

2

解：(1)4=0,a2=1,%=4,a4=9,a5=16,an=(n—1);

2

(3)a1=3=l+2x3°,a2=7=l+2x3',a3=19=l+2x3,

4=55=1+2x3、%=163=1+2x3。，%=1+2?3”、

W.課時(shí)小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1.遞推公式及其用法；2.通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與

項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系.3.an的定義

及與n之間的關(guān)系

V.課后作業(yè)：習(xí)題組的第4、6題作業(yè)：P9第4題

四、教后反思:

第四課時(shí)§等差數(shù)列（一）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在

具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；體會(huì)等差數(shù)列

與一次函數(shù)的關(guān)系。

2.過(guò)程與方法:讓學(xué)生對(duì)日常生活中實(shí)際問(wèn)題分析，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，歸納抽象

出等差數(shù)列的概念；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，進(jìn)行等差

數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過(guò)程中，通過(guò)類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)

等差數(shù)列相應(yīng)問(wèn)題的研究。

3.情態(tài)與價(jià)值:培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

二、教學(xué)重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；會(huì)用公

式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。

教學(xué)難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。

三、學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題（數(shù)數(shù)問(wèn)題、座位問(wèn)題、鞋號(hào)問(wèn)題、儲(chǔ)蓄問(wèn)題）

概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式；可以用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）、創(chuàng)設(shè)情景

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長(zhǎng)、鞋號(hào)問(wèn)題、教育貸款、存款利息

等等這些大家以后會(huì)接觸得比較多的實(shí)際計(jì)算問(wèn)題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決。

今天我們就先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。

（二）新知探究

（I）、引導(dǎo)觀察數(shù)列：0,5,10,15,20,……①；48,53,58,63②

18,,13,,8,③；10072,10144,10216,10288,10360④

看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢（由學(xué)生討論、分析）

引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到：對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差

都等于5；對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；對(duì)于數(shù)列③,

從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于；對(duì)于數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一

項(xiàng)的差都等于72；

由學(xué)生歸納和概括出，以上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常

數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。

等差數(shù)列的概念:對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等

差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：

等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),

那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對(duì)于以上四組等差數(shù)列，它

們的公差依次是5,5,,72o

（II）、得出等差數(shù)列的定義：注意：從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。

1.名稱：等差數(shù)列，首項(xiàng)（4）,公差（”）；2.若d=°則該數(shù)列為常數(shù)列；

3.尋求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

由此歸納為%=4+（”1）”當(dāng)〃=1時(shí)卬=卬（成立）

注意：1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)；2如果通項(xiàng)公式是關(guān)于〃的一次函

數(shù)，則該數(shù)列成等差數(shù)列；

證明：若％=A〃+B=A（"-1）+A+B=（A+B）+（〃_1）A它是以A+8為首項(xiàng)，A為公

差的AP。

3公式中若4>0則數(shù)列遞增，d<0則數(shù)列遞減；

4圖象：一條直線上的一群孤立點(diǎn)得出通項(xiàng)公式：

以％為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列必"｝的通項(xiàng)公式為：=a,+（〃—D"；知等差數(shù)列

的首項(xiàng)為和公差d,那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)《，就可以表示。

選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（迭加法）：⑸｝是等差數(shù)列，所以4—h=乙

兩邊分別相加得所以an=al+（n-l）d

（迭代法）：伍"是等差數(shù)列，則有:

4=一］cl—。“_2+d+d=-2+2d—3+。+2d—。“_3+3d...=q+(〃—V)d

所以a〃=q+（〃-l）d

（三）、例題講解：注意在4=%+（"-1〃中〃，“"，卬，d四數(shù)中已知三個(gè)可以求出另

一個(gè)。

例1、（課本）判斷下面數(shù)列是否為等差數(shù)列.例2、已知數(shù)列首項(xiàng)與公差,求通項(xiàng)公式.

例3、（此題可以看成應(yīng)用題）已知數(shù)列的其中幾項(xiàng)，求其余各項(xiàng)

例4、已知數(shù)列其中兩項(xiàng),求通項(xiàng)公式.

a—+_b___

關(guān)于等差中項(xiàng)：如果兄4力成AP則—2

證明：設(shè)公差為〃，則人=。+4b=a+2d

a+b。+。+2d,

------=--------------=a+d=A

22

例5、在1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)必40使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列。

解一：?--l,a,b,c,7hXAP二6是-1與7的等差中項(xiàng)

什士Z=3

2“又是-1與3的等差中項(xiàng)2

c*=5

c又是1與7的等差中項(xiàng)2

解二：設(shè)4=-1%=7...7=-1+(5-1)1=1=2

，所求的數(shù)列為T,1,3,5,7

例6、已知是等差數(shù)列圖像上的兩點(diǎn).求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

畫出這個(gè)數(shù)列的圖像;判斷這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性.（解略）

例7、一個(gè)木制梯形架的上、下兩底邊分別為33,75,把梯形的兩腰各6等分，用平行木

條連接各對(duì)應(yīng)分點(diǎn)，構(gòu)成梯形架的各級(jí)，試計(jì)算梯形架中間各級(jí)的寬度。

分析：記梯形架自上而下各級(jí)寬度所構(gòu)成的數(shù)列為，則由梯形中位線的性質(zhì)，易知每相鄰

三項(xiàng)均成等差數(shù)列，從而成等差數(shù)列。解略

（五）、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)

（六）、練習(xí)：P13練習(xí)1、2、3

（七）、作業(yè)：習(xí)題1——2A組5、6、7

五、教后反思：

第五課時(shí)§

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：（1）明確等差中項(xiàng)的概念；（2）進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推

導(dǎo)公式，能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)；（3）能用圖象與通項(xiàng)公式的關(guān)系解

決某些問(wèn)題。

2、過(guò)程與方法：（1）通過(guò)等差數(shù)列的圖象的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；

通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透方程思想；（2）發(fā)揮學(xué)生的主體作用，講練相結(jié)合，

作好探究性學(xué)習(xí)；（3）理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀（1）通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)

在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)；（2）通過(guò)體驗(yàn)等差數(shù)列的性質(zhì)的奧秘,

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)

題。

三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合

四、教學(xué)過(guò)程

（一）、導(dǎo)入新課

師同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，哪位同學(xué)能回憶

一下什么樣的數(shù)列叫等差數(shù)列

生我回答，一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，

即a“-a,T=d（〃22,nGN*）,這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（通

常用字母“d”表示

師對(duì)，我再找同學(xué)說(shuō)一說(shuō)等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式的內(nèi)容是什么

生1等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式應(yīng)是a尸&+（止1）d

生2等差數(shù)列｛4｝還有兩種通項(xiàng)公式：&=&,+（/r-ffl）d或amp/qlp、q是常數(shù)

師好！剛才兩位同學(xué)說(shuō)得很好，由上面的兩個(gè)公式我們還可以得到下面幾種計(jì)算公差d的

公式：①畫agg；②幺；③d=&二%.你能理解與記憶它們嗎

n-\n-m

生3公式②d=4二色與③］：組二以記憶規(guī)律是項(xiàng)的值的差比上項(xiàng)數(shù)之間的差（下標(biāo)之

n—1n—m

差

［合作探究］探究?jī)?nèi)容：如果我們?cè)跀?shù)a與數(shù)8中間插入一個(gè)數(shù)兒使三個(gè)數(shù)a,b成

等差數(shù)列，那么數(shù)/應(yīng)滿足什么樣的條件呢

師本題在這里要求的是什么

生當(dāng)然是要用a,8來(lái)表示數(shù)4

師對(duì)，但你能根據(jù)什么知識(shí)求如何求誰(shuí)能回答

生由定義可得力-年64即4=3幼

2

反之，若A=3把，則力-于64

2

由此可以得A=色吆。a,46成等差數(shù)列

2

（二）、推進(jìn)新課

我們來(lái)給出等差中項(xiàng)的概念：若a,A,，成等差數(shù)列，那么/叫做a與6的等差中項(xiàng)

根據(jù)我們前面的探究不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)

除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)

如數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項(xiàng)，也是1和9的等差中項(xiàng)

9是7和11的等差中項(xiàng)，也是5和13的等差中項(xiàng)

［方法引導(dǎo)］等差中項(xiàng)及其應(yīng)用問(wèn)題的解法關(guān)鍵在于抓住a,A,6成等差數(shù)列2A=a+b,

以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量間的等量關(guān)系或直接由a,A,8間的關(guān)系證得a,A,8成

等差數(shù)列

［合作探究］

師在等差數(shù)列｛4｝中，d為公差，若以n,p,qGN且方產(chǎn)Fq，那么這些項(xiàng)與項(xiàng)之間有何種

等量關(guān)系呢

生我得到了一種關(guān)系為+a尸a〃+a“

師能把你的發(fā)現(xiàn)過(guò)程說(shuō)一下嗎

生受等差中項(xiàng)的啟發(fā)，我發(fā)現(xiàn)a2+&=a+a5,ai+a6=a：；+a7

從而可得在一等差數(shù)列中，若研ZF/7+q,則&+a=%+/

師你所得的這關(guān)系是歸納出來(lái)的，歸納有利于發(fā)現(xiàn)，這很好，但歸納不能算是證明！我們

是否可以對(duì)這歸納的結(jié)論加以證明呢

生我能給出證明，只要運(yùn)用通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項(xiàng)為a，則

a計(jì)aka計(jì)(nr1)cha\+(/7-1)d=2a、+(/n-公d

{

ap+a1,=ai+(/?-l)o=2a1+(/rt-?-2)d

因?yàn)槲覀冇醒袪t加q,所以上面兩式的右邊相等，所以為,+4=%+/

師好極了！由此我們的一個(gè)重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)中，與首末兩項(xiàng)

等距離的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的和.另外，在等差數(shù)列中，若研爐加q,則上面兩式的右

邊相等，所以%+%

同樣地，我們還有：若研爐2口則a/a〃=2az，這也是等差中項(xiàng)的內(nèi)容

師注意：由a+a,尸劣+為推不出研小加q,同學(xué)們可舉例說(shuō)明嗎

生我舉常數(shù)列就可以說(shuō)明了

師舉得好!這說(shuō)明在等差數(shù)列中，a+a產(chǎn)品+%是研小W成立的必要不充分條件.

［例題剖析］

【例1】在等差數(shù)列｛4｝中，若&+a=9,&=7,求其”國(guó)

師在等差數(shù)列中通常如何求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)

生1在通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式來(lái)求這一項(xiàng)

生2而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意

兩項(xiàng)（知道任意兩項(xiàng)就知道公差，這在前面已研究過(guò)了

生3本題中，只已知一項(xiàng)和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式入手

師好，我們下面來(lái)解，請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來(lái)解一解，誰(shuí)來(lái)解

生4因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以旬+備=國(guó)+@333=9-^=9-

所以可得d=a-ai=7-

又因?yàn)閍=國(guó)+（9-4）0fc7+5X5=32,所以我們求出了&=2,西

【例2］（課本例2）某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為元/煬,起步價(jià)為10元，即最初的4千米（不

含4千米）計(jì)費(fèi)10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14癡處的目的地，且一路暢通，等

候時(shí)間為0,需要支付多少元的車費(fèi)

師本題是一道實(shí)際應(yīng)用題，它所涉及到的是什么知識(shí)方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題

生這個(gè)實(shí)際應(yīng)用題可化歸為等差數(shù)列問(wèn)題來(lái)解決

師為什么

生根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4版時(shí)，每增加1km,乘客需要支付元.

所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列來(lái)進(jìn)行計(jì)算車費(fèi)

師這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是多少

生分別是，

師好，大家計(jì)算一下本題的結(jié)果是多少

生需要支付車費(fèi)元

（教師按課本例題的解答示范格式

評(píng)述：本例是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，做此題的目的是讓大家學(xué)會(huì)從

實(shí)際問(wèn)題中抽象出等差數(shù)列的模型，用等差數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題

(三)、課堂練習(xí)

1.在等差數(shù)列｛aj中，⑴若a5=a,aio=6,求45

解：由等差數(shù)列EJ知2&()=&+&5,即2爐a+&5,所以aiS=2b-a

(2)若ai+a^/n,求a5+a6

解：等差數(shù)列｛2｝中，懸+a=a+。8=卬

⑶若25=6,續(xù)=15,求al4

解：由等差數(shù)列⑸得如a+(8-5)d即15=6+34所以d從而

ai4=a5+(14-5)d

(4)已知al+a2+---+a5=30,桀+且7+…+&()=80,求au+a^…+且屹的值

解：等差數(shù)列｛2｝中，因?yàn)?/p>

所以2a6=ai+a“，2a7=az+ai2從而(a“+ai2+*“+ai5)+(ai+a?+???+a5)=2(a+a7+???+aio

因此有(a“+&2+…+&5)=2(a+a:+…+句0)-3+必+…+。5)=2X80-

2.讓學(xué)生完成課本練習(xí)2、3、4。教師對(duì)學(xué)生的完成情況作出小結(jié)與評(píng)價(jià)。

［方法引導(dǎo)］此類問(wèn)題的解題的關(guān)鍵在于靈活地運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，因此，首先要熟練

掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，其次要注意各基本量之間的關(guān)系及其它們的取值范圍

(四)、課堂小結(jié)

師通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識(shí)有何體會(huì)

生通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，明確等差中項(xiàng)的概念;進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì).

（讓學(xué)生自己來(lái)總結(jié)，將所學(xué)的知識(shí)，結(jié)合獲取知識(shí)的過(guò)程與方法，進(jìn)行回顧與反思，從而

達(dá)到三維目標(biāo)的整合，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語(yǔ)言表達(dá)能力

（五）、布置作業(yè)課本習(xí)題1-2A組9,B組1

預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本下節(jié)內(nèi)容；預(yù)習(xí)提綱：①等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式；②等差數(shù)列前〃項(xiàng)和

的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

五、教后反思：

第六課時(shí)§等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）

一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：掌握等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式及其獲取思路；會(huì)用等差數(shù)列

的前〃項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前〃項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題。2、過(guò)程與方法：通過(guò)公式的推導(dǎo)

和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾乃季S規(guī)律，初步形成認(rèn)識(shí)問(wèn)

題、解決問(wèn)題的一般思路和方法；通過(guò)公式推導(dǎo)的過(guò)程教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣

闊性的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維水平。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)

學(xué)中的對(duì)稱美，通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣，樹

立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感。

二、教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題。

三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合

四、教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

教師出示投影膠片1:

印度泰姬陵ajMahal）是世界七大建筑奇跡之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印

度古代建筑史上的經(jīng)典之作，這個(gè)古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風(fēng)格，是

印度伊斯蘭教文化的象征陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕.傳說(shuō)當(dāng)時(shí)陵寢中有一

個(gè)等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（如下圖），奢華之程度，

可見(jiàn)一斑.你知道這個(gè)圖案中一共有多少顆寶石嗎（這問(wèn)題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮

短了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離，引領(lǐng)學(xué)生步入探討高斯算法的階段）

生只要計(jì)算出1+2+3+-+100的結(jié)果就是這些寶石的總數(shù)

師對(duì)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求這100個(gè)數(shù)的和.怎樣求這100個(gè)數(shù)的和呢這里還有一段故事

教師出示投影膠片2：

高斯是偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，高斯十歲時(shí)，有一次老師出了一道題目，老師說(shuō)：

“現(xiàn)在給大家出道題目：過(guò)了兩分鐘，正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…

算得不亦樂(lè)乎時(shí)，高斯站起來(lái)回答說(shuō)：

教師問(wèn)：“你是如何算出答案的

高斯回答說(shuō)：因?yàn)?+100=101；2+99=101；…；50+51=101,所以101X50=5050.

師這個(gè)故事告訴我們什么信息高斯是采用了什么方法來(lái)巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢

生高斯用的是首尾配對(duì)相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=“=50+51=101,有50個(gè)

101,所以

師對(duì)，高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組，第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)

數(shù)一組，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，…，每組數(shù)的和

均相等，都等于101,50個(gè)101就等于5050了高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，

迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果。作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些

簡(jiǎn)單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西

師問(wèn)：數(shù)列1,2,3,…，100是什么數(shù)列而求這一百個(gè)數(shù)的和1+2+3+…+100相當(dāng)于什么

生這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，1+2+3+…+100這個(gè)式子實(shí)質(zhì)上是求這數(shù)列的前100項(xiàng)的和.

師對(duì)，這節(jié)課我們就來(lái)研究等差數(shù)列的前〃項(xiàng)的和的問(wèn)題

（二”推進(jìn)新課［合作探究］

師我們?cè)倩氐角懊娴挠《忍┘Я甑牧陮嬛械牡冗吶切螆D案中，在圖中我們?nèi)∠碌?層到

第21層，得到右圖，則圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢

生這是求“1+2+3+…+21”奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的和的問(wèn)題，高斯的方法不能用了.要是偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)求

和就好首尾配成對(duì)了

師高斯的這種“首尾配對(duì)”的算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況求和，適用于偶數(shù)個(gè)項(xiàng)，我們

是否有簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢

生有!我用幾何的方法，將這個(gè)全等三角形倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形.平行四邊形中的

每行寶石的個(gè)數(shù)均為22個(gè)，共21行.則三角形中的寶石個(gè)數(shù)就是色21-21

2

師妙得很!這種方法不需分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況就可以求和，真是太好了！我將他的幾何法寫

成式子就是：1+2+3+…+21,21+20+19+…+1,對(duì)齊相加（其中下第二行的式子與

第一行的式子恰好是倒序這實(shí)質(zhì)上就是我們數(shù)學(xué)中一種求和的重要方法一一“倒序相

加法

現(xiàn)在我將求和問(wèn)題一般化：（1）求1到n的正整數(shù)之和，即求1+2+3+…+（廳1）+〃.（注：這

問(wèn)題在前面思路的引導(dǎo)下可由學(xué)生輕松解決如何求等差數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)的和S?

生1對(duì)于問(wèn)題（2）,我這樣來(lái)求：因?yàn)镾尸5?=3?+3?-1+-+a2+a）,再將兩

式相加，因?yàn)橛械炔顢?shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)：若研爐。則&,+a=%+&,所以

S/（.+?〃）（（

"-2

生2對(duì)于問(wèn)題（2）,我是這樣來(lái)求的：因?yàn)镾尸ai+（a[+4+3+2由+3+3中+…+

[a+（zrl）Xd],

所以S〃=z?a+[1+2+3+…+（/rT）]d=nat+^^—―d即S“=z?a+M^—―d.（II

22

[教師精講]兩位同學(xué)的推導(dǎo)過(guò)程都很精彩，一位同學(xué)是用“倒序相加法”，后一位同

學(xué)用的是基本量來(lái)轉(zhuǎn)化為用我們前面求得的結(jié)論，并且我們得到了等差數(shù)列前〃項(xiàng)求和的

兩種不同的公式.這兩種求和公式都很重要,都稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.其中公式（I）

是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式（上底+下底）X高+2相類比，這里的上底

是等差數(shù)列的首項(xiàng)4，下底是第n項(xiàng)2,高是項(xiàng)數(shù)n,有利于我們的記憶

［方法引導(dǎo)］師如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)國(guó)，項(xiàng)數(shù)為〃，第A項(xiàng)為4,則求這數(shù)列的前〃

項(xiàng)和用公式(I)來(lái)進(jìn)行，若已知首項(xiàng)a,項(xiàng)數(shù)為〃，公差"，則求這數(shù)列的前〃項(xiàng)和用公式

(H)來(lái)進(jìn)行

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量

生每個(gè)公式中都是5個(gè)量

師如果我們用方程思想去看這兩個(gè)求和公式，你會(huì)有何種想法

生已知其中的三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量(知三求二

師當(dāng)公差扶。時(shí)，等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“可表示為n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，且

這二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的2倍就是公差

［知識(shí)應(yīng)用］【例1】(直接代公式)計(jì)算：

(D1+2+3+…+〃；(2)1+3+5+…+(2/7-1)；(3)2+4+6+…+2〃；

(4)1-2+3-4+5-6+-+(2/r-l)-2/2

(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式)請(qǐng)同學(xué)們先完成⑴?(3),并請(qǐng)一位同

學(xué)回答

生(1)1+2+3+…+爐?+1)；(2)1+3+5+…+(2個(gè)1)=+=n；

22

⑶2+4+6+…+2小〃⑵"2)

2

師第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)是否為等差數(shù)列能否直接運(yùn)用S“公式求解若不能，那應(yīng)如何解

答(小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答

生(4)中的數(shù)列共有2〃項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開(kāi)，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，

所以原式=[1+3+5+…+(2zrl)]-(2+4+6+…+2〃)=//-〃(Z;+1)=-A

生上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為T,故可得另一解法：原式

=(-1)+(-1)+(-1)+…+(T)=-77

師很好！在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會(huì)尋找到好的方法.注意在運(yùn)用求和

公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會(huì)引起錯(cuò)解

【例2】(課本例分析：這是一道實(shí)際應(yīng)用題目，同學(xué)們先認(rèn)真閱讀此題，理解題意.

你能發(fā)現(xiàn)其中的一些有用信息嗎

生由題意我發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的模型，這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是500,記為公差為50,記

為d,而從2001年到2010年應(yīng)為十年，所以這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10.再用公式就可以算

出來(lái)了

師這位同學(xué)說(shuō)得很對(duì)，下面我們來(lái)完成此題的解答.(按課本解答示范格式

【例3】(課本例2)已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由此

可以確定求其前〃項(xiàng)和的公式嗎分析：若要確定其前〃項(xiàng)求和公式，則必須確定什么

生必須要確定首項(xiàng)a與公差d

師首項(xiàng)與公差現(xiàn)在都未知，那么應(yīng)如何來(lái)確定

生由已知條件，我們已知了這個(gè)等差數(shù)列中的S?,與于是可從中獲得兩個(gè)關(guān)于國(guó)和d

的關(guān)系式，組成方程組便可從中求得解答見(jiàn)課本

師通過(guò)上面例題3我們發(fā)現(xiàn)了在以上兩個(gè)公式中，有5個(gè)變量.已知三個(gè)變量，可利用構(gòu)

造方程或方程組求另外兩個(gè)變量(知三求二).運(yùn)用方程思想來(lái)解決問(wèn)題

［合作探究］師請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本例3,閱讀后我們來(lái)互相進(jìn)行交流給出一定的時(shí)間

讓學(xué)生對(duì)本題加以理解

師本題是給出了一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和的式子，來(lái)判斷它是否是等差數(shù)列.解題的出發(fā)點(diǎn)是

什么

生從所給的和的公式出發(fā)去求出通項(xiàng)

師對(duì)的，通項(xiàng)與前〃項(xiàng)的和公式有何種關(guān)系生當(dāng)爐1時(shí),a尸S”而當(dāng)〃>1時(shí)，a〃=S〃-Sg

師回答的真好！由S”的定義可知，當(dāng)爐1時(shí),S尸a；當(dāng)心2時(shí)，A=S“-SE即a“=SG

S?-S小(〃22).這種已知數(shù)列的S,,來(lái)確定數(shù)列通項(xiàng)的方法對(duì)任意數(shù)列都是可行的.本題用這

方法求出的通項(xiàng)4=2廳1，我們從中知它是等差數(shù)列，這時(shí)當(dāng)小1也是滿足的，但是不是

2

所有已知S.求為的問(wèn)題都能使?fàn)t1時(shí)，a戶S.-Sz滿足呢請(qǐng)同學(xué)們?cè)賮?lái)探究一下課本第51

頁(yè)的探究問(wèn)題

生1這題中當(dāng)n=\時(shí)，Si=a產(chǎn)加如r；當(dāng)時(shí)，a,=S?-S,rl=2pn-p^-q,由nrl代入的結(jié)果

為p^q,要使n=l時(shí)也適合，必須有r

生2當(dāng)尸0時(shí)，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)r#0時(shí)，這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列

生3這里的0工0也是必要的，若葉0,則當(dāng)〃22時(shí)，a=S?-S柿=如八則變?yōu)槌?shù)列了，

rWO也還是等差數(shù)列

師如果一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0,且是關(guān)于〃的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一

定是等差數(shù)列，從而使我們能從數(shù)列的前A項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征上來(lái)認(rèn)識(shí)等差數(shù)列.實(shí)質(zhì)上

等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中皆無(wú)常數(shù)項(xiàng)

(三)、課堂練習(xí)：等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項(xiàng)的和是54

(學(xué)生板演解：設(shè)題中的等差數(shù)列為{4},前〃項(xiàng)和為S,,則

^1=-10,(1=■(~6)~(-10)=4,S〃

由公式可得TO加迎二2解之,得外=9,色=-3(舍去所以等差數(shù)列TO,-6,-2,

2

2…前9項(xiàng)的和是教師對(duì)學(xué)生的解答給出評(píng)價(jià)

(四)、課堂小結(jié)：師同學(xué)們，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容

生①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：$出*2②等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：

2

cn(n-i)d

S“=叫+--

師通過(guò)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們從中體會(huì)到哪些數(shù)學(xué)的思想方法

生①通過(guò)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)我們了解了數(shù)學(xué)中一種求和的重要方法

-“倒序相加法”。②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三個(gè)變量，可利用構(gòu)造

方程或方程組求另外兩個(gè)變量

師本節(jié)課我們通過(guò)探究還得到了等差數(shù)列的性質(zhì)中的什么內(nèi)容

生如果一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式中的常數(shù)項(xiàng)為0,且是關(guān)于A的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列

一定是等差數(shù)列，否則這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列，從而使我們能從數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的

結(jié)構(gòu)特征上來(lái)認(rèn)識(shí)等差數(shù)列

（五）、布置作業(yè)：課本習(xí)題廠2A組11、12、13B組3

五、教學(xué)反思：

第七課時(shí)§

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：（1）進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式；（2）了解等差

數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問(wèn)題；（3）會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)

和的公式研究S”的最值。2、過(guò)程與方法：（1）經(jīng)歷公式應(yīng)用的過(guò)程，形成認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決

問(wèn)題的一般思路和方法；（2）學(xué)會(huì)其常用的數(shù)學(xué)方法和體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的思

維水平的發(fā)展。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次

感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)

題，并數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題。

二、教學(xué)重點(diǎn)熟練掌握等差數(shù)列的求和公式教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用求和公式解決問(wèn)題

三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合

四、教學(xué)過(guò)