1.1.1菱形的性質

學習目標

了解菱形的基本性質，掌握其特征.

學習難點

掌握菱形的性質.

教學過程

一、復習

平行四邊形有何特征？如何識別一個四邊形是平行四邊形？

在學生思考、交流的過程中，老師適時進行指導.

二、創設問題情境，導入新知

出示可伸縮的衣帽架實物.

老師在演示的過程中提問：圖中的基本圖形你熟悉嗎？

學生大多回答是平行四邊形，讓一個同學用尺量出這個平行四邊形的鄰邊的長度（發現鄰邊

相等這個特性）接著老師告訴學生，這種鄰邊相等的平行四邊形，與一個角是直角的平行四邊形

一樣也是一種特殊的平行四邊形，這是今天我們要研究的課題.

教師板書：菱形.

那究竟什么是菱形呢？

學生在思考、交流中，老師適時地進行指導，把正確的定義板書在黑板上：一組鄰邊相等的

平行四邊形叫做菱形.

這里的“平行四邊形”不能寫成“四邊形”.“一組鄰邊相等的四邊形，不一定是菱形”.這

點務必加以強調.

如果要用四邊形下菱形的定義就應該是“四邊都相等的四邊形是菱形”.

三、學生動手操作

1.畫一個△ABC,取BC的中點M,把aABC繞著M,旋轉180°后得一個AA'B'C',AA#

B'C'與AABC拼成一個怎樣的圖形？（平行四邊形）那么菱形也可以看作什么樣的三角形通

過繞著那一邊的中點旋轉180，后與原三角形拼成的？

2.畫一個等腰AABC,取底邊BC中點M,把aABC繞著M旋轉180?°后的三角形與原三角形

拼成一個怎樣的圖形？(菱形)要說明它菱形，就應講出根據來.?請一個同學說出根據：“它是

鄰邊相等的平行四邊形”.如圖所示.

4令”

B

3.觀察圖，思考：

(1)圖中有哪些三角形是等腰三角形？

(2)圖中有哪些直角三角形？

在學生交流的基礎教師板書：

(1)AABC,Z\A'BC,△ACA，,△ABA，都是等腰三角形.

(2)AACM,△CMA',△ABM,ABMA,都是直角三角形.

讓學生想一想后繼續操作.

菱形是中心對稱圖形，這點大家是不會懷疑的，剛才的操作已經說明了這一點，?那么菱形

是不是軸對稱圖形呢？?大家都知道菱形可以把等腰三角形繞著底邊中點旋轉180°后所得的三

角形與原三角形拼成的.由于等腰三角形是軸對稱圖形，?所以我們也可以判斷出菱形也是軸對

稱圖形.

請大家想一想：

(1)直角△ACM,直角△CMA',直角△ABM,直角ABMA'的形狀、大小是否相同？

(2)如何用剪刀的辦法，得到一個菱形的紙片呢？如圖所示.

請大家按如下步驟操作：

(1)將一張矩形紙對折再對折；

(2)用尺在折后的矩形的一角上畫一條直線;

(3)用剪刀沿著這條線剪下，打開.你發現這是一個什么樣的圖形.

(?如果在另一角畫直線剪下的是兩個等腰三角形要拼起來才可完成上面的四邊形，究竟在

哪一角畫線，請思考后再動手.)

根據以上的操作與思考，你發現菱形它有哪些性質嗎？

教師讓學生用語言進行表達出來，用邊、角、對角線的順序來闡明.

教師板書：

菱形性質：

1邊)：對邊平行、四邊都相等.

(角):對角相等.

［對角線)：對角線互相垂直平分，且平分各內角.

由于菱形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的一切性質，上述的對邊平行、對邊相等、

對角相等、對角線互相平分，就是平行四邊形的性質，而鄰邊相等、對角線互相垂直，是它與平

行四邊形不同的特殊性質.上述的菱形性質是兩種性質的總和.

同時菱形還是軸對稱圖形，它的對稱軸有兩條，是兩條對角線所在的直線，它是中心對稱圖

形，其對稱中心，就是它兩條對角線的交點.

四、范例分析，加深理解

例2在菱形ABCD中，BAD=2/B.如圖所示.

試說明△ABC是等邊三角形.

學生觀察圖形并對照條件，進行思考、交流.

師生共同分析：

要說明△ABC是等邊三角形，可以從以下幾條入手:

(1)說明AB=BC二AC;

(2)說明NBAC二NACB=/ABC;

(3)說明AABC中，有兩個角都等于60°.

從第一條途徑出發：我們知道四邊形ABCD是菱形，即可獲得AB=BC,?現在只差AB=AC

或BC=AC.

要知道CB=AC,就要說明/ABC二/CAB;

要知道BA二AC,就要說明/ABC=/ACB.

由于AD//BC,即可得到/DAB+/ABC=180",

故3NABC=180°,ZABC=60°.

那么/BAD=120°.

由于菱形對角線平分內角.

故NBAC=60",

即/BAC=/ABC=60°.

刃R么AB=AC.

這樣就可以得到4ABC是等邊三角形.

從笫二條途徑出發：就要從三個角入手，上面分析已得到：ZBAC=ZABC,由于BA=BC,

故/BAC=/BCA.

那么/BAC=ZABC=ZBCA.

這樣aABC是等邊三角形就可獲得說明，從第三條途徑出發，?第一條途徑分析中已獲得了.

解：由于四邊形ABCD是菱形，

所以AB=BC,AD//BC.

即/B+/BAD=180°,ZBAC=/BAC.

又/BAD=2/ABC.

所以3/ABC=180°,

即NABC=60°.

因為/BAC+ZBCA+ZABC=180°,

故/BAC+/BCA=120°.

刃卜么2/BAC=120

即NBAC=60°,ZBCA=60°.

因此三角形ABC為等邊三角形.

也可以說△ABC是一個角等于60°的等腰三角形，所以AABC為等邊三角形.

五、隨堂練習，鞏固新知

教材隨堂練習

六、全課小結，提高認識

1.菱形有哪些特征？它與矩形的特征有何異同點？

2.如何識別一個四邊形是菱形？

1.1.2菱形的判定

學習目標

1.經歷菱形的判定定理的發現過程。

2.掌握菱形的判定定理“四條邊相等的四邊形是菱形”。

3.掌握菱形的判定定理“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”。

4.通過運用菱形知識解決具體問題，提高分析能力和觀察能力.并根據平行四邊形、矩形、菱

形的從屬關系，向學生滲透集合思想.

學習難點

菱形的判定定理.

教學過程

㈠、復習引入

1、提問

菱形的定義和性質。

定義：一組鄰邊對應相等的平行四邊形叫做菱形。

性質：除具備一般平行四邊形的性質外，還具備四條邊相等，

對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角

判定一個四邊形是不是菱形可根據什么來判定？

定義，此外還有兩種判定方法，今天我們就要學習菱形的判定。（板書課題）

（二卜創設情境，引入新課

1、合作學習：

學生拿出準備好的長方形紙片，按圖的方法對折兩次，并沿（3）中的斜線剪開，展開剪下的部

分，猜想這個圖形是哪一種四邊形？一定是菱形嗎？為什么？

剪出的圖形四條邊都相等，根據這個條件首先證它是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，依定義即

知為菱形.

結論：菱形判定定理1:四邊都相等的四邊形是菱形（板書）

（三）、交流互動，探求新知

1、已知：如圖，在C7ABCD中，BD1AC,。為垂足。

求證：DABCD是菱形

啟發：在已知是平行四邊形的情況下，要證明是菱形，只要證明一組鄰邊相等。

證明：:四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AO=CO（平行四邊形的對角線互相平分）。

/BD1AC,

/.AD=CD

「.OABCD是菱形（菱形的定義）。

結論：菱形判定定理2:對角線互相叁直的平行四邊形是菱形。

2、猜想：對角線互相垂直平分的四邊形是不是菱形？

啟發：通過四個直角三角形的全等得到四條邊相等。

結論：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。

3、例2:如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線與AD,BC分別交于點E,F,求

證：四邊形AFCE是菱形。

啟發：已知對角線互相垂直，還需什么條件就能說明四邊形是菱形？

一說明是平行四邊形

證明：四邊形ABCD是矩形，

?,.AE/FC（矩形的定義）

.?.Z1=Z2

又「/AOEu/COF,AO=CO

/.△AOE^ACOF

/.EO=FO

二.四邊形AFCE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。

5C/EF1AC

二?四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）。

（四）、應用新知，鞏固練習

1、課本隨堂練習

2、思考題：如圖，Z\ABC中，/A=90°,/B的平分線交AC于D,AH、DF都垂直于BC,H、

F為垂足，求證：四邊形AEFD為菱形。

A

(五)、課堂小結，布置作業

1、本節的主要內容是：

菱形常用的判定方法歸納為(學生討論歸納后，由教師板書):

1).一組鄰邊相等的平行四邊形.

2).四條邊相等的四邊形.

3).對角線互相垂直的平行四邊形.

4).對角線互相垂直平分的四邊形

2、想一想：說明平行四邊形、矩形、菱形之間的區別與聯系.

1.2.1矩形的性質

學習目標：

(1)掌握矩形的的定義，理解矩形與平行四邊形的關系；

(2)理解并掌握矩形的性質定理;會用矩形的性質定理進行推導證明；

(3)會初步運用矩形的定義、性質來解決有關問題，進一步培養學生的分析能力.

學習重難點：

掌握矩形的性質定理，會用性質定理進行有關的計算與證明

學習過程：

一、自主學習：

1、平行四邊形活動框架在變化過程中，何時平行四邊形的面積最大？這時這個平行四邊形的內

角是多少度？

》的評

2、矩形的定’人.中叫做矩形。

3、矩賬是特殊的平行四邊形，因此它具有平行四邊形的所有性質，還具有一般平行四邊形不具

有的特殊性質。

特殊性質:

定理1：

定理2:

二合乍探究:

1、與同伴合作證明定理1、定理2.

求證:

明:

2、小明同學在研究矩形的性質時發現，矩形488的對角線AC將矩形分成兩個全等的三角形,

在RtZ\ABC中，B。與AC之間存在特殊的大小關系。你知道是什么關系嗎？并說明理由。（互相

交流）

歸納：直角三角形斜邊上的中

入學以致用:

如圖，在矩形ABCD中，對角線相交于點O,ZAOD=120°,AB=2.5,求對角線的長。

三課堂檢測：

1、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（）

A.對角相等B.對邊相等

C.對角線相等D.對角線互相平分

2.矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,/AOB=60°,AB=4cm,則矩形的面積是

3.若矩形的一條角平分線分一邊為3cm和5cm兩部分，則矩形的周長為（）

A.22B.26C.22或26D.28

4、若一個直角三角形的兩條直角邊分別為5和12,則斜邊上的中線等于

5、若矩形的一條對角線與一邊的夾隹是40°,則兩條對角線相交所成的銳角是

1.2.2矩形的判定

學習目標：

1.能夠運用綜合法和嚴密的數學語言證明矩形的性質和判定定理以及其他相關結論；

2.經歷探索、猜測、證明的過程，發展學生的推理論證能力，培養學生找到解題思路的能力，使

學生進一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用。

學習重難點：能應用矩形定義、判定等知識，解決簡單的數學問題。

學習過程：

一、自主學習：

用幾何語言敘述矩形的性質:

邊：

角：

對角線：

二究：

【探究一】矩形的判定方法一：

1、根據矩形的定義，你怎樣判定一個四邊形是矩形？

2、用幾何語言敘述:

A

【探究二】矩形的判定方法二:

1、一個四邊形至少有幾個角是直角對，這個四邊形是矩形？說說你的理由。

已知：

AD

求證：四邊形ABCD是矩形。

證明：

2^歸納：B

3、用幾何語言敘述:

【探:究三】矩形的判定方法三:

1、如圖，在6BCD中，AC=BD,則四邊形ABCD為矩形嗎？請證明。

2、歸納：________________________________________________

3、用幾何語言敘述：

三、

0

BC

1.如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，請你添加一個條件，使它成為矩形，你添加的條件

兔____________________________

2.在數學活動課上，老師要求同學們判斷一個四邊形的門框是否為矩形，下面是某

合作學習小組的四位同學擬定的方案，其中正確的是（）

A.測量對角線是否相互平分B.測量兩組對邊是否分別相等

C.測量一組對角線是否垂直D.測量其內角是否有三個直角

3.已知：如圖，的四個內角的平分線分別相交于點石、F、G、H.求證：四邊形EFGH

是矩形.

1.3.1正方形的性質與判定（1）

教學目標

知識與技能：

了解正方形的有關概念，理解并掌握正方形的性質定理.

過程與方法：

經歷探索正方形有關性質的過程，在觀察中尋求新知，在探究中發展推理能力，逐步掌握說

理的基本方法.

情感態度與價值觀：

培養合情推理能力和探究習慣，體會平面幾何的內在價值.

重難點、關鍵

重點：探索正方形的性質定理.

照點：掌握正方形的性質的應用方法.

關鍵：把握正方形既是矩形又是菱形這一特性來學習本節課內容.

教學準備

教師準備：投影儀，制作投影片，補充本節課內容，矩形紙片，活動的菱形框架.

學生準備：復習平行四邊形、矩胖、菱形性質，預習本節課內容.

學法解析

1.認知起點：已積累了幾何中平行四邊形、矩形、菱形等知識，?在取得一定的經驗的基礎

上，認知正方形.

2.知漢線索：

/矩形\

知識線索：平行四邊形正方形3.學習方式：采用自導自主學習的

\/

菱形方法解決重點，突破難點.

教學過程

一、合作探究，導入新課

【顯示投影片】

顯示內容：展示生活中有關正方形的圖片，幻燈片（多幅）.

【活動方略】

教師活動：操作投影儀，邊展示圖片，邊提出下面的問題：

1.同學們觀察顯示的圖片后，有什么聯想？正方形四條邊有什么關系？?四個角呢？

2.正方形是矩形嗎？是菱形嗎？為什么？

3.正方形具有哪些性質呢？

學生活動：觀察屏幕上所展示的生活中的正方形圖片.進行聯想.易知：1.?正方形四條邊

都相等（小學已學過）；正方形四個角都是直角（小學學過）.

實驗活動：教師拿出矩形按左圖折疊.然后展開，讓學生發現：只要矩形一組鄰邊相等，這樣的

矩形就是正方形；同樣，教師拿出活動菱形框架，運動中讓學生發現：只要菱形有一個內角為90”，

這樣的特殊菱形也是正方形.

教師活動：組織學生聯想正方形還具有哪些性質，板書畫出一個正方形，如下圖:

學生活動：觀察、聯想到它是矩形，所以具有矩形的所有性質；它又是菱形，所以它又具有

菱形的一切性質，歸納如下：

正方形定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

正方形性質：

（1）邊的性質：對邊平行，四條邊都相等.

（2）角的性質：四個角都是直角.

(3)對角線的性質：兩條對角線互相垂直平分且相等，?每條對角線平分一組對角.

(4)對稱性：是軸對稱圖形，有四條對稱軸.

【設計意圖】采用合作交流、發現、歸納的方式來解決重點問，突破難點.

二、實踐應用，探究新知

【課堂演練】(投影顯示)

演練題1:如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于O,MN//AB,?且

分別與OA、OB相交于M、N.

求證：(1)BM=CN;(2)BM1CN.

思路點撥：本是證明BM=CN,根據正方形性質，可以證明BM、CN所在△BOM與△CON

是否全等.(2)在(1)的塞礎上完成，欲證BM_LCN.只需證/5+/CMG=90°就可以了.

【活動方略】

教師活動：操作投影儀.組織學生演練，巡視，關注“學困生”；等待大部分學生練習做完

之后，再請兩位學生上臺演示，交流.

學生活動：課堂演練，相互討論，解決演練題的問.

證：(1)?二.四邊形ABCD是正方形，

/.ZCOB=ZBOM=90°,OC=OBo

,/MN#AB,/.Z1=Z2,ZABO=Z3,

又「/I=?/ABO=45°,/.Z2=Z3:/.OM=ON,

「.△CON@△BOM,.\BM=CN.

(2)由(1)知△BOM?94CON,

.*.Z4=Z5,Z4+ZBMO=90°,

Z5+ZBMC=90°,ZCGM=90°,/.BM1CN.

演練題2:已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在AD邊上，且AE二一AD,F為AB的中點,

4

求證：aCEF是直角三角形.

思路點撥：本要證/EFC=90°,從已知條件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解

決問題.這里應用到正方形性質.

【活動方略】

教師活動：用投影儀顯示演練2,?組織學生應用正方形和勾股逆定理分析解析，并請同學上

講臺分析思路，板演.

學生活動：先獨立分析，找到證明思路是利用勾股定理的逆定理解決問題.

證明：設AB=4a,在正方形ABCD中，DC=BC=4a,AF=FB=2a,AE=a,DE=3a.

-.*/B=ZA=ZD=90°,由勾股定理得：

EF2+CF2=(AE2+AF2)+(CB2+BF2)=(a2+4a2)+(16a2+4a2)=25a2,

CE2=CD2+DE2=(4a)2+(3a)2=25a2,

.-.EF24-CF2=CE2.

由勾股定理的逆定理可知4CEF是直角三角形.

【設計意圖】補充兩道關于正方形性質應用的演練，提高學生的應用能力.

三、課堂總結，發展潛能

【問題提出】

正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關系？與同學們討論、交流，并用列表和

框圖表示出來.

1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質（投影顯示）

邊角對角線

平行四邊形

矩形

菱形

正方形

2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

平行四邊形

矩形

菱形

正方形

1.3.2正方形的性質與判定（2）

教學目標：

1、知道正方形的判定方法，會運用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件進行有關的論

證和計算.

2、經歷探究正方形判定條件的過程，發展學生初步的綜合推理能力，主動探究的學習習慣，逐

步掌握說理的基本方法.

3、理解特殊的平行四邊形之間的內在聯系，培養學生辯證看問題的觀點.

教學重點：掌握正方形的判定條件.

教學難點：合理恰當地利用特殊平行四邊形的判定進行有關的論證和計算.

教學過程：

一、創設問情景，引入新課

我們學習了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關系？請

填入下圖中.

定義依相垂直

四邊相等若和_?

對角線互相垂直，平分一

通過填寫讓學生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特

殊的菱形，還是特殊的平行四邊形；而正方形、矩形、菱

形都是平行四邊形；矩形、菱形都是特殊的平行四邊形.

1、怎樣判斷一個四邊形是矩形。

2、怎樣判斷一個四邊形是菱形。

3、怎樣判斷一個四邊形是平行四邊形？

4、怎樣判斷一個平行四邊形是矩形、菱形？

議一議：你有什么方法判定一個四邊多是正方形？

三個角是直角?

定義

四

形二、講授新課

_事4A平行四邊形—工?正彘

邊二個判定定理寸角線f1.探索正方形的判定條件：

學生活動：四人一組進行討論研究，老師巡

回其間，進行引導、質疑、解惑，通過分析

與討論，師生共同總結出判定一個四邊形是正方形的基本方法.

(1)直接用正方形的定義判定，即先判定一個四邊形是平行四邊形，若這個平行四邊形有一個

角是直角，并且有一組鄰邊相等，那么就可以判定這個平行四邊形是正方形；

(2)先判定一個四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形，那么這個四邊形是正方形；

(3)先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形，那么這個四邊形是正方形.

后兩種判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基礎.這三個

方法還可寫成：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形

是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形.

上述三種判定條件是判定四邊形是正方形的一般方法，可當作判定定理用，但由于判定平行四邊

形、矩形、菱形的方法各異，所給出的條件各不相同，所以判定一個四邊形是不是正方形的具體

條件也相應可作變化，在應用時要仔細辨別后才可以作出判斷

2.正方形判定條件的應用

【例1】判斷下列命題是真命還是假金題？并說明理由.

(1)四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形；

(2)四個角相等且對角線互相垂直的四邊形是正方形；

(3)對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；

(4)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；

(5)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

師生共析：

(1)是真命，.因為四條邊相等的四邊形是菱形，又四個角相等，根據四邊形內角和定理知每個

角為90°,所以由有一個角是直角的菱形是正方形可以判定此命題是真命.

(2)真命題，由.四個角相等可知母個角都是直角，是矩形，由對角線互相垂直下判定這個矩形

是菱形，所以根據是矩形又是菱形的四邊形是正方形，可判定其為真.

(3)假命，對角線平分的四邊形是平行四邊形，對角線垂直的四邊形是菱形，所以它不一定是

正方形.如下圖，滿足AO二CO,BO=DO且AC_LBD但四邊形ABCD不是正方形.

(4)假命題，它可能是任意四邊形.如上圖，AC1BD且AC二BD,但四邊形ABCD不是正方形.

(5)真命。

方法一：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線垂直

的平行四邊形是菱形，所以是矩形又是菱形的四邊形是正方形.可判定其為真.

方法二：對角線平分平行四■透形?

一4菱形I

對角線垂直

]—?正方形

平行四邊形

—?矩形

對角線相等

方法三：由對角線互相垂直平分可知是菱形，由對角線平分且相等可知是矩形，而既是菱

形又是矩形的四邊形就是正方形.

總結：通過辨析，掌握判定正方形的各種方法和思路，從題中所給各種不同條件出發，尋找命成

立的判定依據，以便靈活應用.

【補充例題】如下圖，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且/EAF=45°,試說明

EF=BE+DF.

師生共析：要證EF=BE+DF,如果能將DF移到EB延長線或將BE移到FD延

長線上，然后就能證明兩線段長度相等。此時可依靠全等三角形來解決.

像這種在EB上補上DF或在FD補上BE的方法叫做補短法.

解：將AADF旋轉到△ABC,則△ADFZZXABG

/.AF=AG,ZADF=/BAG,DF=BG

■/ZEAF=45°且四邊形是正方形，/.ZADF+ZBAE=45°,

ZGAB+ZBAE=45°,即/GAE=45°,/.AAEF^AAEG(SAS),

/.EF二EG=EB+BG=EB+DF。

討論：你能從一張彩色紙中剪出一個正方形嗎？說出你的做法.

你怎么檢驗它是一個正方形呢？小組討論一下.

三、隨堂練習

教材P24隨堂練習

通過練習進一步鞏固正方形的判定方去的應用.

四、課時小結

師生共同總結，歸納得出正方形的判定方法，同時展示下圖，通過直觀感受進一步加深理解正方

形判定方法的應用.

書設計:

2.1.1認識一元二次方程（一）

課題2.1.1認識一元二次方程課型新授課

1.要求學生會根據具體問題列出一元二次方程。通過“未鋪地建區域有多寬”，

“梯子的底端滑動多少米”等問題的提出，讓學生列出方程，體會方程的模

教學目標型思想，培養學生把文字敘述的問題轉換成數學語言的能力。

2.通過教師的講解和引導，使學生抽象出一元二次方程的概念，培養學生歸

納分析的能力。

教學重點一元二次方程的概念

教學難點如何把實際問題轉化為數學方程

本課通過豐富的實例：未鋪地卷區域有多寬、梯子的底端滑動多少米，讓學

生觀察、歸納出一元二次方程的有關概念，并從中體會方程的模型思想。學

學情分析生在以前的學習中已經了解了方程的概念，但對于一元二次方程沒有深入的

理解。通過本節課的學習，應該讓學生進一步體會一元二次方程也是刻畫現

實世界的一個有效數學模型。

教學后記

教學內容及過程

教師活動學生活動

一、通過實例引入新課

1.在開始新的一個單元的時候，要向學生1.認真聽講，對本單元（一元二次方程）有了

講清楚本單元的主要內容和總體目標，這一個較好的總體認識，為新的內容的學習作好

樣可以讓學生對本單元的內容做到整體把準備。

握和概覽。2.進入良好的學習狀態，在教師的引導下順

2.進人本單元的第一節：認識一元二次方利進入到新課的學習中，新穎的標題也引起了

程？板書課題，明確本節課的中心任務。學生的興趣；

3.播放“未鋪地毯區域有多寬”的課件，3.很有興趣地觀看課件，對“未鋪地空區域

說明題目的條件和要求，課件要求制作得有多寬”的問題產生了很強的探究的欲望，但

精美并且可以清楚得顯示出各個量之間的大部分學生不知道如何找到解決問題的方法，

關系。新的任務與原來的認知結構發生沖突。

4.給學生時間思考：如何明確并用數學式4.對照圖形(示意圖)認真思考，找到各個元

子表示出題目中的各個量？素的數量關系。

5.讓學生回答他們的答案是什么，給予點5.回答：長為8—2x。寬為5—2x,根據題意

評，讓學生核對答案，可以以學生舉手示可得方程(8—2x)(5—2x)=18。

意的方式掌握全班的情況。6.正整數是學生最熟悉的內容，五個連續整

6.繼續進行下二個問題：板書P31的等式，數的性質引發了學生的興趣和探究的欲望，受

提出問題：你還能找到其他的五個連續整到前面題目的啟發，可能會想到可以通過設未

數，使前三個數的平方和等于后兩個數的知數列方程來求解。

平方和嗎？8.回答老師的問題；做對的同學舉手示意，

8.讓學生說出自己的答案，點評，其他學方便老師掌握情況。

生核對自己的答案。可以以學生舉手示意9.對于這個問題學生也很感興趣，有的猜測

的方式掌握全班的情況。可能梯子底端滑動的距離和梯子頂端滑動的

9.簡單點評上面兩個問題的解答情況，轉距離一樣，都是1米，但不能充分說明。

入下一個問題。播放“梯子的底端滑動多

少米”的課件，說明題意，課件制作得要10.不知道1米對不對，到底是多少米，產生

求可以清楚看出滑動的線段。了想一探究竟的欲望，為后面的學習做好了心

10.設置懸念：有的同，學猜測是1米，到理準備。按照老師的要求，比較順利地把填空

底是多少，我們后面來看一看。為后續學題補充完整。

習做好鋪墊。11.回答老師的問題，基本正確，做對的同學

11.讓學生說出他們的答案，點訐，其他舉手示意，方便老師掌握情況。

學生核對自己的答案；可以以學生舉手示12.受到老師的表揚和鼓勵，自信心及學習的

意的方式掌握全班的情況。興趣都大增，以很好的狀態投入到下面的學習

12.肯定學生的表現：大家自己的探索已中。

經很好地打開了第二章“一元二次方程”1.觀察三個方程的特點，但因為問題的指向

的大門，相信同學們這一章會學得很好。性不是很明確，因此有些茫然。2.得到啟發，

二、一元二次方程的概念從未知數的個數、未知數的最高次數出發觀察

1.板書剛剛得到的三個方程，讓學生觀察它們的共性，容易看出它們都只有一個未知

它們有什么共同的特點？數，最高次數是2。

2.給學生必要的提示：我們曾經學習了一3.回答：都只含有一個未知數，未知數的最

元一次方程，同學們可以類比著它的要點高次數是2。

來看看這些方程有什么特點。4.繼續觀察三個方程的特點，容易看出它們

3.讓學生用自己的語言回答這三個方程有都是整式方程，把式子展開，經過移項、合并

什么共性。同類項等化成相似形式的式子，經過交流學生

4.肯定學生的回答，讓學生繼續觀察它們認識得更加清楚。

還有沒有其他的共性?比如：從整式和分式5.回答：都是整式方程，并且都可以化成一

的角度，展開整理后的形式的角度。可以個二次加一個一次再加一個常數的形式。

讓司桌兩個進行交流。6.聽取老師的點評和說明，進一步理清自己

5.讓學生用自己的語言陳述他們的新發的思路。

現。7.認真體會老師的思路，老師是如何總結抽

6.允許學生用自己的語言表述，對學生的象概括的。記下一元二次方程的要點和定義。

回答要善于引導，讓學生的認識更清楚。8.認真聽講，掌握一般的一元二次方程的形

7.對學生所說的各個情況進行總結，尤其式和二次項系數不為。的要點，清楚二次項、

注意學生容易漏掉的二次項系數不為0的一次項、常數項以及二次項和一次項系數的含

要點，給出一元二次方程的要點和定義。義。

8.給出一般的一元二次方程的形式，強調9.順利指出三個方程的二次項、一次項、常

二次項系數不為0的要點，說明二次項、數項以及二次項、一次項的系數。

一次項、常數項和二次項以及一次項系數10.總結本節內容，記下作業。

的含義。

9.讓學生指出三個方程的二次項、一次項

常數項和二次項、一次項的系數。

10.復習總結，布置作業。

板書設計：

一、一元二次方程的概念

_二、例題

三、練習

一元二次方程(二)

課題2.1.2認識一元二次方程(二)課型新授課

1.探索一元二次方程的解或近似解；

教學目標2.培養學生的估算意識和能力；

3.經歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發展估算意識和能力.

教學重點探索一元二次方程的解或近似解.

教學難點培養學生的估算意識和能力.

教學方法分組討論法

教學后記

教學內容及過程學生活動

一、創設現實情境，引入新課回答下列問題：什么叫一元二次方

前面我們通過實例建立了一元二次方程，并通過程？它的一般形式是什么？一般形

觀察歸納出一元二次方程的有關概念，大家回憶式：ax2+bx+c=0(a0)

一下。2、指出下列方程的二次項系數，一

二、教室地面的寬x(m)滿足方程次項系數及常數項。

估算教室未鋪地建區域的寬(1)2x2—x+l=0(2)—x2+l=0

教室未鋪地毯區域的寬x(m),滿足方程(8-(3)x2—x=0(4)—^3x2=0

2x)(5—2x)=18,(8—2x)(5—2x；=18,

你能求出X嗎？即222-13x十11=0.

(l)x可能小于。嗎？說說你的理由；X不可能小注:x>o,

于0,因為X表示區域的寬.度。8—2x>0,

(2)x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？為什么？5—2x>0.

(3)完成下表從左至右分別11,4.75,0,—4,—7,-

9

x00.511.522.5區域寬度1米，另，因8—2x比5—2x

(8-2x)(5-2x)多3,將18分解為6X3,8—2x=6,x=l

(4)你知道教室未鋪地空區域的寬x(m)是多少(x十6/十72=102,

嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴交流。

即x2十12x-15=0.

三、梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程

所以1VxV2.

(X+6)2+72=102

x的整數部分是1,

也就是x?+12x—15=0

所以x的整數部分是1,十分位是1.

(：)小明認為底端也滑動了1m,他的說法正確

嗎？為什么？

X00.511.52

(2)底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m

X2+12-8.5.2

嗎？為什么？-15-213

x—15755

(3)你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？

所以1<X<1.5

(4)x的整數部分是幾？十分位是幾？

進一步計算

注意：(1)估算的精度不適過高。［2)計算時提倡

X1.11.21.31.4

使用計算器。

x2+l

四、課堂練習

2x一-0.590.842.293.76

課本P34隨堂練習

15

五個連續整數，前三個數的平方和等于后兩個數

所以l.l<x<1.2

的平方和，你能求出這五個整數分別是多少嗎？

因此x的整數部分是1,十分位是1

五、課時小結

本節課我們通過解決實際問題，探索了一元二次

方程的解或近似解，并了解了近似計算的重要思

想——“夾逼”思想.

六、課后作業

板書設計：

一、教室地面的寬x(m),滿足方程(8-

2xX5-2x)=18

二、梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程

——

(x■⑹的勺正

三、練習

nnJ、A

2.2用配方法求解一元二次方程

學習內容：配方法

學習目標：

1、會用開方法解形如(x+m產=〃(〃N0)的方程，理解配方法；

2、會用配方法解二次項系數為1,一次項系數為偶數的一元二次方程；

3、體會轉化的數學思想方法.

學習重點：

利用配方法解一元二次方程.

學習難點：

把一元二次方程通過配方轉化為(x十m)2=n(n20)的形式.

學習過程：

一、復習舊知，引入新課

1、解下列方程：

(1)X2=4(2)(X+3)2=9

2、什么是完全平方式？

利用公式計算：

1

(1)(x+6)2(2)(x--)2

注意：它們的常數項等于一次項系數一半的平方。

3、解方程：(梯子滑動問題)

X2+12X-15=0

目的：以三種不同類型的題目引導學生逐步深入地思考，通過前兩個問題，引導學生復習開平方

和完全平方公式，通過后一個問題的回答讓學生進一步體會上節課中用估計法解一元二次方程較

麻煩，激發學生的求知欲，為學習后面配方法作好鋪墊。

二、探究新知

1、嘗試練習:

(1)如果一個正方形的邊長增加3cm后，它的面積變為64cm之，則原來的正方形的邊長

為o若變化后的面積為48cm2呢？(小組合作交流)

(2)你會解下列一元二次方程嗎？(獨立練習)

2

x=5;(x+2>=5;x2+i2x+36=0

目的：讓學生初步體會開方法在解一元二次方程中的應用，為后面學習配方法作好鋪墊.

2、填上適當的數，使下列等式成立。(選4個學生口答)

(1)x2+12x十一(x十6)2

(2)x2-12x+—(x—)2

(3)x2+8x+=(x+)2

問題：上面等式的左邊常數項和一次項系數有什么關系？對于形如產+所的式子如何配成完全

平方式？(小組合作交流)

目的：配方法的關鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的特征，在此通過幾個填

空題，使學生能夠用語言敘述并充分理解左邊填的是“一次項系數一半的平方”，右邊填的是“一

次項系數的一半”，進一步復習鞏固完全平方式中常數項與一次項系數的關系，為后面學習掌握

配方法解一元二次方程做好充分的準備。

3、例題講解：

例1：解方程：x2+8x—9=0

分析：先把它變成(x+m)2=n(n>0)的形式再用直接開平方法求解c

解：移項，得：X2+8X=9

配方，得：X2+8X+42=9+42(兩邊同時加上一次項系數一半的平方)

即：("4)2=25

開平方，得：x+4=±5

即：x4-4=5,或x+4=—5

所以：xi=l,x2=—9

例2:解決梯子底部滑動問題：x2+12x-15=0(仿照例1,學生獨立解決)

解：移項得X2+12X=15,

兩邊同時加上62得,X24-12X+62=15+36,即（X+6>=51

兩邊開平方，得x+6=土

所以：再=V51-6,x2=—V51—6，但因為x表示梯子底部滑動的距離所以/=-J釘-6不

合題意舍去。

答：梯子底部滑動了（J燈-6）米。

提出問題：用這種方法解一元二次方程的思路是什么？其關鍵又是什么？（小組合作交流）

目的：通過對例1和例2的講解，規電配方法解一元二次方程的過程，讓學生充分理解掌握用配

方法解一元二次方程的基本思路及關鍵是將方程轉化成（x+a）?=〃（〃之0）形式，同時通過例2

提醒學生注意：有的方程雖然有兩個不同的解，但在處理實際問題時要根據實際意義檢驗結果的

合理性，對結果進行取舍。由于此問題在情境引入時出現過，因此也達到前后呼應的目的。最后

由問題“用這種方法解一元二次方程的思路是什么？”引出配方法的定義。

三、課堂練習，鞏固提高

用配方法解下列方程：

1.x2-10x+25=7;

2.x2+6x=l.

目的：通過練習，使學生基本都能用配方法解二次項系數為1、一次項系數為偶數的一元二次方

程，加深學生對“用配方法解簡單一元二次方程”的理解。

四、課堂小結

這節課我們研究了一元二次方程的解去：

⑴直接開平方法.

⑵配方法.

2.3用公式法求解一元二次方程

教學目標

（一）教學知識點

1.一元二次方程的求根公式的推導；

2.會用求根公式解一元二次方程.

（二）能力訓練要求

1.通過公式推導，加強推理技能訓練，進一步發展邏輯思維能力；

2.會用公式法解簡單的數字系數的一元二次方程.

（三）情感與價值觀要求

通過運用公式法解一元二次方程的訓練，提高學生的運算能力，養成良好的運算習慣.

教學重點

一元二次方程的求根公式

教學難點

求根公式的條件：b2-4ac>0

教學方法

話練相結合

教具準備

投影片五張

第一張：復習練習

第二張：試一試

第三張：小亮的推導過程

第四張：求根公式

第五張：例題

教學過程

I.巧設現實情景，引入課題

［師］我們前面學習了一元二次方程的解法.下面來做一練習以鞏固其解法.

1.用配方法解方程2X2?7X+3=0.

［生甲］解：2X2-7X+3=0,

73

兩邊都除以2,得x25-x+］=0.

73

移項，得；X2-2X=-2,

7737

配方，得、2個+（一1）2=?5+（?：）2.

兩邊分別開平方，得

75

X-4=土1

75_L,

即x-4=4或x-4=4.

］_