高中數(shù)學(xué)常用公式

一、集合

1.集合的運算符號：交集“n”，并集“u”補集“c”子集”

2.非空集合的子集個數(shù)：2"(〃是指該集合元素的個數(shù))

3.空集的符號為0

二、函數(shù)

1.定義域(整式型：xeR；分式型：分母工0；零次幕型：底數(shù)N0；對數(shù)型：真數(shù)〉0；

根式型：被開方數(shù)20)

2.偶函數(shù)：/(%)=/(-%)奇函數(shù)：/(x)+/(-x)=0

在計算時：偶函數(shù)常用：/(I)=/(-I)

奇函數(shù)常用：/(0)=0或/(1)+/(-1)=0

3.單調(diào)增函數(shù)：當(dāng)在x遞增，y也遞增；當(dāng)x在遞減，y也遞減

單調(diào)減函數(shù)：與增函數(shù)相反

n

4.指數(shù)函數(shù)計算：am-an=am+n；(心)"="蕾"=赤；a°=l

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：y=。*；當(dāng)。＞1時，＞=優(yōu)為增函數(shù)；

當(dāng)0＜。＜1時，＞=優(yōu)為減函數(shù)

指數(shù)函數(shù)必過定點(0,1)

in

m

5.對數(shù)函數(shù)計算：log；=1；log“=0；loga+loga"=log/；log/'-log/=logj；

log/'=〃log/；log/"=-log/"

n

對數(shù)的性質(zhì)：y-logH'；當(dāng)0＜。＜1時，y=108,：為減函數(shù).當(dāng)4＞1時，y=logr/

為增函數(shù)

對數(shù)函數(shù)必過定點(1,0)

6.暴函數(shù)：y-xa

7.函數(shù)的零點：①y=/(x)的零點指/(x)=0

②y=f(x)在(a,份內(nèi)有零點；貝!J/(a)?/(1)<0

三、三角函數(shù)

sin

①計算：sin?a+cos2a=1；------=tan，

cos。

②正負(fù)符號判斷：“一全正，二正弦，三切，四余弦”

③和差公式：sin(a±￡)=sinasin￡士cosasinp

cos@±/?)=COSQCOS/干sinasin0

,,c、tana±tan/

tan(a±/?)=----------------

1+tana?tan0

④二倍角公式:

sin2a=2sina?cosa；cos2a=2cos26z-l=l-2sin2cr=cos2a-sin?a

小、2tana

tan(2a)=-----------

1-tana

⑤特殊角

0°30°45°60°90°120°135°150°180°

sin￡

V2旦V3

021620

~TT~TV

cos\_

V3V2_V|

1202-2-1

T~T

tan

V3V3-出

01不存在-1_也0

-T

⑥誘導(dǎo)公式口訣“奇變，偶不變；符號看象限J

⑦如何將三角函數(shù)化為/(x)=Asin(Ma+°)；利用三角函數(shù)相關(guān)的公式

三看：一看平方：sin2a=—(l-cos2cif);cos2a=—(l+cos2a)

22

二看乘積：sina,cosa=—sin2a

2

三看加減：asina±bcosa=yla2-^b2sin(a±(p)

b

其中tan(p=

aI刎"十

6

特別強調(diào)當(dāng)a<0時：asina+Z7cosc+〃sin(a±0)

⑧三角函數(shù)y=Asin（皿x+0）的性質(zhì):

TTTT…乃…3)

⑴單調(diào)增減區(qū)間：2卜兀---2k"——t2k兀4—,2ZTT4---I

2222

IT

⑵對稱軸方程：x=k7r+—；對稱中心：（k冗,0）

2

2"T[TT

⑶周期：T=-r-7-④'max時，x=2Z;r+—;ymin時：x=2k兀——

M22

T

⑸值域：[-AA]⑥記死：兩條相鄰對稱軸之間距離為萬

T

兩條相鄰對稱中心距離為一

2

9.由圖像求y=Asin（wx+g）,三步：第一步：由圖找到振幅A

In

第二步：由圖找到周期T,然后由T=求出卬具體值

第三步：代“特殊點”利用特殊角求出9的值

W.y=Asin(wx+(p)㈣自力日勒.個？位.>y=Asin5v(x±a)+o]

n.y=Asinwx―1何變.成.>y=Asin(wx+0)平移義個單位

w

四、正余弦定理

cihc

①邊與角之間的轉(zhuǎn)化：用正弦定理_-=2H；—L=2R；」一二2R

sinAsinBsinC

a=2RsinA,0=2RsinB,c=2RsinC(把邊轉(zhuǎn)化為角)

sinA=—，sinB=—,sinC=—(把角轉(zhuǎn)化成邊)

2R2R2R

夾邊2+夾邊2-對邊2

②余弦定理:cos。=

2夾邊.夾邊

③面積公式:—absmC=—bcsmA=—acsinB

222

④誘導(dǎo)公式：sin(A+8)=sinCcos(A+B)--cosC

五、向量

—>—>—>—>—>—>

①a=（X］，X）6=（12,>2）則4+8=（X|+工2，必+）2），。一。=（%—/，/一火）

—>—>T

〃?/?=X]?12+%%=ab-cos3

②同=+y；a2=\c^=xf+〃向量同理

③。與b的夾角公式：cos'=----

加+y；&+￡

->—>—>—>

?aLb^>a?b-或者=。

0aJ_Z?=%|X2+X%

⑤allb或者與。共線xy-

anx,x2-210

⑥固土卬q=yl（Aa+wb）2

⑦單位向量指“模"為1：|a|=1貝必為單位向量

六、數(shù)列

①后一項減去前一項的值為一個常數(shù)：an-a,i=d

②后一項除以前一項的值為一個常數(shù)：d=q

%

③等差數(shù)列通項公式：。”=6+（〃-1卜等比數(shù)列通項公式：a“=a@i

(q+a“)x〃_〃〃,〃(/?T),

④等差數(shù)列求和公式:-rlClx?Cl

2*2

等比數(shù)列求和公式：s“=

「q

⑤S"T"-1=%且％=邑

2

⑥等差數(shù)列中項公式：2a,等比數(shù)列中項公式：a,,=an+l?an_,

a,+a,+a....+a?b,+b^...+b?

⑦求和公式：“分組求和~落差求和一等比求和

“裂項相消”

“錯位相減”

七、統(tǒng)計以概率：

①眾數(shù)指"出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)”中傳數(shù)指“從小排到大的中間那個數(shù)”

22

②方差.V=—［（%）-X）+（X2-%）+...+（%?-X）］

n~

標(biāo)準(zhǔn)方差：7?

③概率=鬻=頻率；需X組距=頻率

各組頻率之和=1

④極差：max-min=極差

⑤學(xué)會認(rèn)莖葉圖

⑥分層抽樣：第一步求出各組的比例第二步用樣本總數(shù)x比例=分組頻數(shù)

⑦回歸方程

.2起/廠欖義._一

b=-^--------------,a=y-bx,

當(dāng)i>0時，x與y正相關(guān)

當(dāng)Z<0時，x與y負(fù)相關(guān)

(a+b+c+d)(ad-be)2

⑧22；二聯(lián)表

(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)

總

ab

Cd

總

八、命題

①原命題：否命題（條件和結(jié)論都否定）；逆命題（條件和結(jié)論互換位置）；

逆否命題（將逆命題進行否定）

②“或"nv“且"nc“非”np

一真全真J一假全假J真假互換J

③則A是B充分不必要

A衛(wèi)B則A是B的必要不充分

A=6則A是B的充要條件

④全稱量詞：符號：V存在量詞：符號m

“V"與"3"相互否定，“所有”“存在”

九、導(dǎo)數(shù)

①基本函數(shù)求導(dǎo)：(屐")'=加?力"1；(lnf)--(x>0)；(力'=靖(本身)

X

c=0(常數(shù)求導(dǎo)=0)；(sinx)=cosx；(cosx)=-sinx

②乘法求導(dǎo)：[/(x)?g(x)]'=f(x)-g(x)+g(x>/(x)；

除法求導(dǎo)./(X)=/(x)g(x)-g'(x)/(x)

八'g(x)g2(x)

③復(fù)合求導(dǎo)：/=8'(尤)./%(刈->這個公式記題型

④斜率％=/(%)切線方程：y-y()=k(x-Xo)

⑤在x=a處取極值=>f(a)=0

⑥求單調(diào)區(qū)間：令八x)〉0求單調(diào)增區(qū)間.令八龍)<0,求減區(qū)間

⑦求極值方法：第一步，求導(dǎo)函數(shù)第二步：求單調(diào)區(qū)間第三步：作圖由圖

求極值。

⑧求最值方法：同求極值方法一樣，最后一步由給定區(qū)間取舍求最值

十、解析幾何

1、直線(1)直線斜率&=tane；k=上二五;女=—4

%!-x2B

(2)直線的方程：點斜式：y-%=女。-/)；斜截式：y=Zx+b

截距式：—+—=l(a#0,h0)—'般式：Ax+8y+c=0

ab

(3)兩條直線位置關(guān)系：/]〃/2=&]=攵2且々。匕2；

I[2=4?網(wǎng)=T或者入出+^^2=0

(4)距離公式：點到直線距離公式：時+5%+q

U2+B2

兩點間距離公式d=，(一—-1+以-城

兩條平行直線間的距離4=IGYI

A2+B2

(5)直線恒過定點：(記題型)

(6)直線與坐標(biāo)圍成三角形面積S=g|aM|(a,b指截距)

(7)求兩條直線的交點：聯(lián)立方程組

(8)點關(guān)于直線對稱：圖形

公式：一&江上=一1,A?正二+6?衛(wèi)&+C=0；

Bx2-xl22

2、圓

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)+(y-b)=r2圓心:―);半徑:r

DF

一般：x2+y2+Dx+Ey+F=0圓心(---,---)

22

7D2+E2-4F

r--------------。＞0)

2

參數(shù)方程："=參數(shù)方程-求最值

y=/7+rsin9

(2)圓與直線的位置關(guān)系

弦長公式：(皙+儲二,

圖形:

相切：產(chǎn)。+d

圖形:

相離：廠<叱+劭0+'1圖形:

7A2+B2

(3)圓與圓位置關(guān)系(記題型)

3、橢圓和雙曲線

①橢圓指一個動點到兩個定點之間距離為2a(a>0)

雙曲線是指一個動點到兩個定點之差為±2a(a>0)

②橢圓和雙曲線的基本性質(zhì)

(1)橢圓的長軸：2a，a為長半軸，短軸2。，匕為短半軸

橢圓的焦距為：2cc為半焦距

(2)雙曲線的實軸：2a,。為實半軸；虛軸：2b,b為虛半軸

雙曲線的焦距為：2cc為半焦距

(3)橢圓的Z,仇c"的等量關(guān)系：a2=b2+c2

雙曲線的"a,。,c"的等量關(guān)系：c2=b2+a2

(4)橢圓和雙曲線的離心率公式：e=￡