第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年湖北省黃岡市黃梅縣育才高級中學高考數學模擬試卷（三）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?3≤x≤2}，B={x|x2+x?2>0}，則A∩B=A.(1,2] B.(?2,1)

C.[?3,?2)∪(1,2] D.(?∞,?2)∪(1,+∞)2.已知復數z滿足(3?i)z=4+3i3，則|z|=(

)A.52 B.102 C.3.已知隨機變量X～N(5,σ2)，且P(3<x<7)=m，P(4<x<6)=n，則P(3<x<6)的值為A.m+n2 B.n?m2 C.1?m24.已知向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示.若網格紙上小正方形的邊長為1，則(c?a)A.24

B.18

C.?18

D.?245.已知拋物線E：y2=8x的焦點為F，準線為l，與x軸平行的直線與l和E分別交于A，B兩點，且∠AFB=60°，則|AB|=(

)A.43 B.42 C.6.已知0<α<π,0<β<π2，且sinα+cosα=2105，A.3 B.2 C.13 D.7.已知實數a，b滿足32b?a+43a=1A.log32 B.2log32 8.在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a?bb=sinCsinA+sinB，則tanAtanBA.(0,1) B.(1,3) C.(1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.C9029+C9128+?+C99=39

B.若10.已知函數f(x)=sinωx?sin2(ωxA.若f(x)的最小正周期為π，則f(x)的圖象關于點(?5π8,?0)對稱

B.若f(x)的圖象關于直線x=π2對稱，則ω的值可能為52

C.若將f(x)的圖象向左平移π3個單位長度后得到的函數是偶函數，則ω的最小值為34

D.11.在平面直角坐標系xOy中，已知點P(x0,y0)A.E的圖象關于原點對稱

B.|OP|≥1

C.E上有無數個整點(整點指橫、縱坐標均為整數的點)

D.|x0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數f(x)=4x?1,x≥2ax+3,x<2，在R上單調遞增，則13.在梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=2，AD=CD=CB=1，將△ACD沿AC折起，連接BD，得到三棱錐D?ABC，則三棱錐D?ABC體積的最大值為

，此時該三棱錐的外接球的表面積為

．14.已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，左頂點為A，點P為E的右支上的一點，直線PF被圓O：x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

C?at?GPT(恰匹題)(全名：C?at?Generative?Pre?trained?Transformer)，是OPENAI研發的聊天機器人程序.C?at?GPT是人工智能技術驅動的自然語言處理工具，它能夠通過理解和學習人類的語言來進行對話，還能根據聊天的上下文進行互動，真正像人類一樣來聊天交流，甚至能完成撰寫郵件、視頻腳本、文案、翻譯、代碼，寫論文等任務.為了了解是否喜歡該程序與年齡有關聯，從某社區使用過該程序的人群中隨機抽取了400名居民進行調查，得到如下的2×2列聯表：青年非青年合計喜歡18040220不喜歡12060180合計300100400(1)依據小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否認為是否喜歡該程序與年齡有關聯？

(2)從抽取出的青年中按照是否喜歡該程序采用分層抽樣的方法隨機抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人做進一步調查，記隨機變量X為這3人中喜歡該程序的人數，求X的分布列和數學期望．

參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)α0.050.010.0050.001x3.8416.6357.87910.82816.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=BC=AA1=2，A1B=17.(本小題15分)

已知函數f(x)=axlnx(a≠0)．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若a=1，求證：f(x)>?5x2+2x?18.(本小題17分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，且過點(?3,32)．

(1)求E的方程；

(2)過點F且不垂直于坐標軸的直線l交E于M，N兩點，記E在M，N兩點處的切線交于點P．

(Ⅰ)試判斷點P的橫坐標是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由；19.(本小題17分)

若數列{cn}共有m(m∈N?,m≥3)項，且對任意的i(i∈N?,i≤m)，都有cicm+1?i=S(S為常數，且S>0)，則稱數列{cn}是S關于m的一個積對稱數列.已知數列{an}是S關于m的一個積對稱數列．

(1)若m=5，a1=1，a2=2，a3=4，求a4和a5的值；參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.BC

11.BD

12.(0,?113.312

14.85或815.解：(1)零假設H0：是否喜歡該程序與年齡關聯，

則χ2=400×(180×60?40×120)2(180+40)×(120+60)×(180+120)×(40+60)=40033≈12.121>10.828=x0.001，

依據小概率值α=0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為是否喜歡該程序與年齡有關聯；

(2)由分層抽樣的定義可知，抽取的5人中喜歡該程序的人數為5×180180+120=3人，

所以不喜歡該程序的人數為2人，

X123P331所以E(X)=1×316.解：(1)證明：取AC的中點O，連接A1O，OB，

如圖所示，

因為AB=AC=BC=2，O是AC的中點，

所以BO⊥AC，且BO=3，

又平面ACC1A1⊥平面ABC，

且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，

所以BO⊥平面ACC1A1，

又A1O?平面ACC1A1，所以BO⊥A1O，

由A1B=6,?BO=3，得A1O=3，

因為AO=1,?AA1=2,?A1O=3，所以AA12=AO2+A1O2，所以AC⊥A1O，

又AC⊥BO，A1O∩BO=O，A1O，BO?平面A1OB，所以AC⊥平面A1OB，

又A1B?平面A1OB，所以AC⊥A1B，

又在三棱柱A1B1C1中，AB=AA1=2，

所以四邊形ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，

又AB1∩AC=A，A17.解：(1)f(x)=axlnx，

由題意知f′(x)=a(1+lnx)，

當a>0時，令f′(x)>0，解得x>1e，令f′(x)<0，解得0<x<1e，

所以f(x)在(0,?1e)上單調遞減，在(1e,+∞)上單調增；

當a<0時，令f′(x)>0，解得0<x<1e，令f′(x)<0，解得x>1e，

所以f(x)在(0,?1e)上單調遞增，在(1e,+∞)上單調遞減，

綜上，當a>0時，f(x)在(0,?1e)上單調遞減，在(1e,+∞)上單調增；

當a<0時，f(x)在(0,?1e)上單調遞增，在(1e,+∞)上單調遞減，

(2)證明：若a=1，f(x)=xlnx，f′(x)=1+lnx，

當x∈(0,1e)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(1e,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

所以f(x)的最小值為f(1e)=?1e．

設函數?(x)=?5x2+2x?35=?5(x?15)2?25，

根據二次函數的性質可知，?(x)在(0,+∞)上的最大值為?(15)=?25<?1e．

故f(x)>?5x2+2x?35．

18.解：(1)由題意：已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，

且過點(?3,32)．

知(?3)2a2+(32)2b2=1a2=b2+1，解得a=2,?b=3，

所以E的方程為x24+y23=1．

(2)設直線MN的方程為y=k(x?1)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

19.解：(1)由題意：若數列{cn}共有m(m∈N?,m≥3)項，

且對任意的i(i∈N?,i≤m)，都有cicm+1?i=