第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《勾股定理》專項(xiàng)測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、選擇題：1.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形的三邊長的是(

)A.2，4，6 B.4，6，8 C.3，4，5 D.4，5，62.如圖，從筆直的公路l旁一點(diǎn)P出發(fā)，向西走6km到達(dá)l；從P出發(fā)向北走6km也到達(dá)l.下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.從點(diǎn)P向北偏西45°走3km到達(dá)l

B.公路l的走向是南偏西45°

C.公路l的走向是北偏東45°

D.從點(diǎn)P向北走3km后，再向西走3km到達(dá)l

3.有四個(gè)三角形，分別滿足下列條件：(1)一個(gè)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和；(2)三個(gè)內(nèi)角之比為3：4：5；(3)三邊之比為5：12：13；(4)三邊長分別為5，24，25.其中直角三角形有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4.如圖，貨車卸貨時(shí)支架側(cè)面是Rt△ABC，其中∠ACB?=90°，已知AB=2.5m，AC=2m，則BC的長為(

)

A.1.5m B.2m C.2.5m D.3m5.我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問題：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何？”問題大意：如圖，在△ABC中，AB=13里，BC=14里，AC=15里，則△ABC的面積是(

)

A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里6.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=?8，則Rt△ABC的斜邊AB上的高CD的長是(

)

A.365 B.245 C.9 7.如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是(

)A.31+π

B.32

C.8.如圖，在長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm.把長方形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，則AF的長為(

)A.254cm

B.152cm

C.9.如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2=c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù).某同學(xué)將探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知A.47 B.62 C.79 D.98二、填空題：10.如圖所示的象棋盤中，各個(gè)小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為

．11.《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣(xuān)，一宣有半謂之欘(z?ú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘=112宣(其中，1矩=90°)．

問題：圖(1)為中國古代一種強(qiáng)弩圖，圖(2)為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若∠A=1矩，∠B=1欘，則∠C=______度.12.利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a=4，b=2，則矩形ABCD的面積是

．

13.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab=8，小正方形的面積為9，則大正方形的面積為______．

14.一只螞蟻從棱長為4cm正方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它的最短路線的長是______cm．

15.如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm.若一只螞蟻從點(diǎn)P開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q，則螞蟻爬行的最短路徑長為

16.如圖，這是一個(gè)臺(tái)階的示意圖，每一層臺(tái)階的高是20cm、長是50cm、寬是40cm，一只螞蟻沿臺(tái)階從點(diǎn)A出發(fā)爬到點(diǎn)B，其爬行的最短線路的長度是

．

17.古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長度是_______________．

18.如圖，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑2m，那么梯子的底端向外滑動(dòng)______米.

19.圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于點(diǎn)C，BC=0.5尺，B′C=2尺.則AC的長度為______尺.

20.如圖，學(xué)校操場邊上有一塊四邊形空地ABCD，該空地的陰影部分需要綠化，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，∠ADC=∠DAE=∠DCE=90°，CD=8m，AD=6m，BC=24m，AB=26m，那么需要綠化部分的面積為______．

21.如圖，用6個(gè)邊長為1的小正方形構(gòu)造的網(wǎng)格圖，角α，β的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則∠α+∠β=

．

三、解答題：22.某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側(cè)選定C，D兩個(gè)觀測點(diǎn)，如圖.測得AC長為322km，CD長為34(2+6)km，BD長為32km，∠ACD=60°，∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面內(nèi))．23.如圖，折疊長方形紙片ABCD的一邊，使點(diǎn)D落在BC邊的D′處，AE是折痕．已知AB=6cm，BC=10cm，求CE的長．

24.在本節(jié)“史海漫游”中，提到丟番圖的一個(gè)結(jié)論：設(shè)m>n，m，n都是正整數(shù)，(m2?(1)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論當(dāng)m=3，n=2時(shí)是正確的；(2)證明丟番圖結(jié)論的正確性．25.如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且AB=5，BD=3，AD=4，且△ABC的周長為18，求AC的長和△ABC的面積．26.如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．

(1)求A，C兩港之間的距離(結(jié)果保留到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732)；

(2)確定C港在A港的什么方向．27.一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，

(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？

(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？

28.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別表示∠A，∠B，∠C的對邊．

(1)如圖1，已知a=7，c=25，求b．(2)如圖2，已知c=25，a:b=4:3，求a，b．29.勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．

(1)①請敘述勾股定理；

②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；(以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件)

(2)①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有______個(gè)；

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；

(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問題：(結(jié)果可用含參考答案1.【答案】C

【解析】解：A、2+4=6，故不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；

B、42+62≠82，故不是直角三角形，故不符合題意；

C、32+42=522.【答案】A

【解析】解：如圖，

由題意可得△PAB是腰長6km的等腰直角三角形，

則AB=62km，

則PC=32km，

則從點(diǎn)P向北偏西45°走32km到達(dá)l，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

則公路l的走向是南偏西45°或北偏東45°，選項(xiàng)B，C正確；

則從點(diǎn)P向北走3km后，再向西走3km到達(dá)l，選項(xiàng)D正確．3.【答案】B

【解析】解：(1)∵一個(gè)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和，

∴這個(gè)角=12×180°=90°，是直角三角形；

(2)三個(gè)內(nèi)角之比為3：4：5，

∴最大的角=53+4+5×180°=512×180°<90°，是銳角三角形；

(3)設(shè)三邊分別為5k，12k，13k，

則(5k)2+(12k)2=25k2+144k2=169k2=(13k)2，是直角三角形；

(4)∵52+242=25+576=601≠4.【答案】A

【解析】解：如圖所示：在Rt△ABC中，

BC2=AB2?AC25.【答案】C

【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x里，則CD=(14?x)里，在Rt△ABD中，AD在Rt△ADC中，AD∴13132解得x=5，在Rt△ABD中，AD=132∴△ABC的面積=12BC故選：C．6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查的是勾股定理、三角形的面積計(jì)算，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．

【解答】

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，

根據(jù)勾股定理可得AB=10，

△ABC的面積=12×BC×AC=7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查勾股定理.要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解，然后考慮另一種情況就是螞蟻在圓柱體上方走直徑這一情況，最后比較可得結(jié)果．

【解答】

解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點(diǎn)A、C的最短距

離為線段AC的長，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC的長，

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=1.5π，

所以AC=34+π22，

所以最短路徑為38.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了翻折變換，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵．

由折疊的性質(zhì)可得AE=AB=8cm，CE=BC=AD=6cm，∠E=∠B=90°，由“AAS”可證△CEF≌△ADF，可得CF=AF，由勾股定理可求AF的長．

【解答】

解：∵把長方形紙片沿直線AC折疊，

∴AE=AB=8cm，CE=BC=AD=6cm，∠E=∠B=90°，

在△CEF和△ADF中，

∠CFE=∠AFD∠E=∠D=90°CE=AD,

∴△CEF≌△ADF(AAS)，

∴CF=AF，

∵AF2=DF2+AD2，

∴AF2=(8?AF9.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了勾股數(shù)，數(shù)式規(guī)律問題，滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．

依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a=n+12?1，b=2n+1，c=n+12+1，(n為正整數(shù))，進(jìn)而得出x+y的值．

【解答】

解：由題可得，3=22?1，4=2×2，5=22+1，

8=32?1，6=2×3，10=32+1，

15=42?1，8=2×4，17=42+1，

24=52?1，10.【答案】2【解析】【分析】

本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

【解答】

解：如圖，第一步到①，第二步到②，落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為12+12=11.【答案】22.5

【解析】解：∵1宣=12矩，1欘=112宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，

∴∠A=90°，∠B=112×12×90°=67.5°，

∴∠C=180°?90°?∠B=180°?90°?67.5°=22.5°，

故答案為：22.5．12.【答案】16

【解析】解：設(shè)小正方形的邊長為x，

∵a=4，b=2，

∴BD=2+4=6，

在Rt△BCD中，DC2+BC2=DB2，

即(4+x)2+(x+2)2=62，

整理得，x2+6x?8=0，所以x2+6x=8，

而矩形的面積=(x+4)(x+2)=x213.【答案】25

【解析】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a?b，

∵每一個(gè)直角三角形的面積為：12ab=12×8=4，

∴大正方形的面積為：4×12ab+(a?b)2=16+9=2514.【答案】4【解析】解：∵展開后由勾股定理得：AB2=42+(4+4)2=80，

∴AB=45．

故答案為：415.【答案】13cm

【解析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，先得到長方體側(cè)面展開圖，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：長方體側(cè)面展開圖如圖所示．由題意，得PA=2+4+2+4=12cm，QA=5cm在Rt?PQA中，PQ∴PQ=13cm．故答案為：13cm．16.【答案】130cm

【解析】展開成平面圖形，根據(jù)勾股定理，即可求解，本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)之間線段最短．【詳解】解：將臺(tái)階展開成平面圖形．在Rt?ABC中，AC=50cm，BC=120cm，AB=其爬行的最短長度AB=130cm

故答案為：130cm．17.【答案】25

【解析】【分析】

本題考查了平面展開最短路徑問題.立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個(gè)直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出．

【解答】

解：如下圖，

一條直角邊(即枯木的高)長20尺，

另一條直角邊長5×3=15(尺)，

因此葛藤長為202+152=25(尺)18.【答案】2

【解析】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10米，AC=8米，

由勾股定理得BC=102?82=6(米)，

在Rt△A′CB′中，∠C=90°，A′B′=AB=10米，CA′=6米，

由勾股定理得CB′=102?62=8(米)，

∴BB′=B′C?BC=8?6=2(米)，

∴底端將水平滑動(dòng)2米．

故答案為：2．

已知AB，AC，在Rt△ACB中即可計(jì)算BC，梯子的頂端下滑219.【答案】3.75

【解析】解：設(shè)AC的長度為x尺，則AB′=AB=(x+0.5)尺，

在Rt△AB′C中，由勾股定理得：AC2+B′C2=AB′2，

即x2+22=(x+0.5)2，

解得：x=3.75，

即AC的長度為3.75尺，

20.【答案】96m【解析】解：連接AC，

∵∠ADC=∠DAE=∠DCE=90°，

∴四邊形ADCE是矩形，

∴CD=AE=8m，AD=CE=6m，

在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=62+82=10(m)；

∵AC2+BC2=10221.【答案】45°

【解析】【分析】

本題考查了勾股定理及逆定理，勾股定理列式求出EB2、BC2、EC2，然后利用勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)解答即可．

根據(jù)勾股定理列式求出EB2、BC2、EC2，然后利用勾股定理逆定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答，可得答案．

【解答】

解：如圖，

由勾股定理得，

EB2=12+22=5，

EC2=12+22=5，

BC22.【答案】解：(1)過A作AE⊥CD于E，如圖所示：

則∠AEC=∠AED=90°，

∵∠ACD=60°，

∴∠CAE=90°?60°=30°，

∴CE=12AC=342km，AE=3CE=346km，

∴DE=CD?CE=34(2+6)?342=346km，

∴AE=DE，【解析】(1)過A作AE⊥CD于E，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得CE=12AC=342(km)，AE=3CE=346(km)，再證AE=DE，即可求解；

(2)由23.【答案】解：∵四邊形ABCD為長方形，

∴AD=BC=10cm，DC=AB=6cm，

∠B=∠C=∠D=90°，

又∵△AD′E是由△ADE折疊得到，

∴AD′=AD=10cm，D′E=DE，∠AD′E=∠D=90°，

在Rt△ABD′中，由勾股定理得BD′=102?62=8cm，

∴CD′=2cm，

設(shè)CE=xcm，則D′E=DE=(6?x)cm，

在Rt△D′CE中，

D′E2=EC2【解析】本題考查了折疊的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系．

由四邊形ABCD為長方形，AB=6cm，BC=10cm，即可求得AD與AB的長，又由折疊的性質(zhì)，即可得AD′=AD，然后在Rt△ABD′中，利用勾股定理求得BD′的長，即可得CD′的長，然后設(shè)CE=xcm，在Rt△D′CE中，由勾股定理即可得方程：(6?x)2=24.【答案】【小題1】解：當(dāng)m=3，n=2時(shí)，m2?n2=5∵52+【小題2】證明：∵m>n，m，n都是正整數(shù)，∴m2?n2，2mn‘∵(m2?n2∴(m∴當(dāng)m>n，m，n都是正整數(shù)時(shí)，(m

【解析】1.

見答案

2.

見答案25.【答案】解：∵32+42=52，

∴BD2+AD2=AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵△ABC的周長為18，

∴AC+CD=18?5?3=10，

設(shè)CD=x，則AC=10?x，

在Rt△ADC中，AD2=AC2?CD【解析】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形周長和面積的計(jì)算.熟練掌握勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理及其逆定理是解決問題的關(guān)鍵．

通過計(jì)算得出BD2+AD2=AB2，由勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，26.【答案】解：(1)由題意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，

∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，

∴∠ABQ=30°，

∴∠ABC=90°．

∵AB=BC=10，

∴AC=AB2+BC2=102≈14.1(km)．

答：A、C兩地之間的距離為14.1km．

(2)由(1)知，△ABC為等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，【解析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，是基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡單．

(1)由題意得∠ABC=90°，由勾股定理，從而得出AC的長；

(2)由∠CAM=60°?45°=15°，則C點(diǎn)在A點(diǎn)北偏東15°的方向上．27.【