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文檔簡介

2025屆江西省于都縣三中高三教學質量檢測試題數學試題試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.12.已知菱形的邊長為2,,則()A.4 B.6 C. D.3.在中,,,,點,分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.94.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.5.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.6.設是虛數單位,,,則()A. B. C.1 D.27.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.已知函數的最大值為,若存在實數,使得對任意實數總有成立,則的最小值為()A. B. C. D.9.根據黨中央關于“精準”脫貧的要求,我市某農業經濟部門派四位專家對三個縣區進行調研,每個縣區至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為()A. B. C. D.10.已知是虛數單位,則()A. B. C. D.11.已知函數,若不等式對任意的恒成立,則實數k的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知圓:,圓:,點、分別是圓、圓上的動點,為軸上的動點,則的最大值是()A. B.9 C.7 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在邊長為的菱形中,點在菱形所在的平面內.若,則_____.14.四面體中,底面,,,則四面體的外接球的表面積為______15.已知函數,(其中e為自然對數的底數),若關于x的方程恰有5個相異的實根,則實數a的取值范圍為________.16.設函數,若對于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,則實數a的取值范圍是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,求的面積的最大值.18.(12分)已知函數,,若存在實數使成立,求實數的取值范圍.19.(12分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.20.(12分)設數列,的各項都是正數,為數列的前n項和,且對任意,都有,,,(e是自然對數的底數).(1)求數列,的通項公式;(2)求數列的前n項和.21.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,,是線段的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)設數列是等差數列,其前項和為,且,.(1)求數列的通項公式;(2)證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】試題分析:設,由題意,顯然時不符合題意,故,則,可得:,當且僅當時取等號,故選C.考點:1.拋物線的簡單幾何性質;2.均值不等式.【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程,均值不等式的靈活運用,屬于中檔題.解題時一定要注意分析條件,根據條件,利用向量的運算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號是否成立,否則易出問題.2.B【解析】

根據菱形中的邊角關系,利用余弦定理和數量積公式,即可求出結果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點睛】本題主要考查了平面向量的數量積和余弦定理的應用問題,屬于基礎題..3.B【解析】

根據題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結果.【詳解】根據題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數量積運算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡單題目.4.A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數乘運算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A【點睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運算法則等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想,屬于基礎題.5.B【解析】

選B.考點:圓心坐標6.C【解析】

由,可得,通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解:,,解得:.故選:C.【點睛】本題考查了復數的運算,考查了復數相等的涵義.對于復數的運算類問題,易錯點是把當成進行運算.7.D【解析】

過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.8.B【解析】

根據三角函數的兩角和差公式得到,進而可以得到函數的最值,區間(m,n)長度要大于等于半個周期,最終得到結果.【詳解】函數則函數的最大值為2,存在實數,使得對任意實數總有成立,則區間(m,n)長度要大于等于半個周期,即故答案為:B.【點睛】這個題目考查了三角函數的兩角和差的正余弦公式的應用,以及三角函數的圖像的性質的應用,題目比較綜合.9.A【解析】

每個縣區至少派一位專家,基本事件總數,甲,乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數,由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區進行調研,每個縣區至少派一位專家基本事件總數:甲,乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數:甲,乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為:本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.10.B【解析】

根據復數的乘法運算法則,直接計算,即可得出結果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復數的乘法,熟記運算法則即可,屬于基礎題型.11.A【解析】

先求出函數在處的切線方程,在同一直角坐標系內畫出函數和的圖象,利用數形結合進行求解即可.【詳解】當時,,所以函數在處的切線方程為:,令,它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內畫出函數和的圖象如下圖的所示:利用數形結合思想可知:不等式對任意的恒成立,則實數k的取值范圍是.故選:A【點睛】本題考查了利用數形結合思想解決不等式恒成立問題,考查了導數的應用,屬于中檔題.12.B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關于軸的對稱點,,故的最大值為,故選B.考點:圓與圓的位置關系及其判定.【思路點睛】先根據兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

以菱形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系,再設,根據求出的坐標,進而求得即可.【詳解】解:連接設交于點以點為原點,分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則:設得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,.故答案為:.【點睛】本題主要考查了建立平面直角坐標系求解向量數量積的有關問題,屬于中檔題.14.【解析】

由題意畫出圖形,補形為長方體,求其對角線長,可得四面體外接球的半徑,則表面積可求.【詳解】解:如圖,在四面體中,底面,,,可得,補形為長方體,則過一個頂點的三條棱長分別為1,1,,則長方體的對角線長為,則三棱錐的外接球的半徑為1.其表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,補形是關鍵,屬于中檔題.15.【解析】

作出圖象,求出方程的根,分類討論的正負,數形結合即可.【詳解】當時,令,解得,所以當時,,則單調遞增,當時,,則單調遞減,當時,單調遞減,且,作出函數的圖象如圖:(1)當時,方程整理得,只有2個根,不滿足條件;(2)若,則當時,方程整理得,則,,此時各有1解,故當時,方程整理得,有1解同時有2解,即需,,因為(2),故此時滿足題意;或有2解同時有1解,則需,由(1)可知不成立;或有3解同時有0解,根據圖象不存在此種情況,或有0解同時有3解,則,解得,故,(3)若,顯然當時,和均無解,當時,和無解,不符合題意.綜上:的范圍是,故答案為:,【點睛】本題主要考查了函數零點與函數圖象的關系,考查利用導數研究函數的單調性,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,屬于中檔題.16.【解析】試題分析:由題意得函數在[2,上單調遞增,當時在[2,上單調遞增;當時在上單調遞增;在上單調遞減,因此實數a的取值范圍是考點:函數單調性三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】(1),,所以,所以,,,,.(2)由余弦定理得.,,當且僅當時取等,.所以的面積的最大值為.【點睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.18.【解析】試題分析:先將問題“存在實數使成立”轉化為“求函數的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析:存在實數使成立,等價于的最大值大于,因為,由柯西不等式:,所以,當且僅當時取“”,故常數的取值范圍是.考點:柯西不等式即運用和轉化與化歸的數學思想的運用.19.詳見解析【解析】

選擇①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再計算邊上的高.選擇②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求邊上的高.選擇③,利用余弦定理列方程求出,再計算邊上的高.【詳解】選擇①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇②,在中,由正弦定理得,又因為,所以,即;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.【點睛】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形,屬于中檔題.20.(1),(2)【解析】

(1)當時,,與作差可得,即可得到數列是首項為1,公差為1的等差數列,即可求解;對取自然對數,則,即是以1為首項,以2為公比的等比數列,即可求解;(2)由(1)可得,再利用錯位相減法求解即可.【詳解】解:(1)因為,,①當時,,解得;當時,有,②由①②得,,又,所以,即數列是首項為1,公差為1的等差數列,故,又因為,且,取自然對數得,所以,又因為,所以是以1為首項,以2為公比的等比數列,所以,即(2)由(1)知,,所以,③,④③減去④得:,所以【點睛】本題考查由與的關系求通項公式,考查錯位相減法求數列的和.21.(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)取中點為,根據幾何關系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,.如下圖所示:因為,分別是線段和的中點,所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因為,,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為,且平面,故可以為原點,的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,如

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