專題15分類討論思想在五種題型中的應用

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

1.假設結論成立；

2.找點：當所給定氏未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如不：

①當定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧,

若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐

標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；

②當定長為底邊時，根據尺規作圖作出定氏的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線

有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點

不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.

3.計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添

加輔線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質進行求解

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.設出所求點的坐標，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數式，如本題，設點F（l,f）,

△BCF三邊長為："=4+/，療=/+6/M0,BC=18；

2.找點：根據直角頂點的不確定性，分情況討論：

①當定長（已知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC）,分

別過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有

交點時，此交點即為符合條件的點；

②當定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交

點時，此交點即為符合條件的點.

3.計算：把圖形中的點的坐標用含有自變量的代數式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段

時，注意代數式的符號），再利用相似三角形得比例線段關系或利用勾股定理進行計算.

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

分類討論思想在不等式（組）中主要體現在含有字母系數的一元一次不等式（組）的解法問題，在

求其解集時要對字母進行分類討論。

對含字母系數的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數的取值范圍，要進行分類討論。

題型四、方程（組）和函數中的分類討論思想

在函數問題中,分類有兩種情況：?種是對概念進行分類,一種是分情況討論問題,對概念進行分

類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們全

面考察一個對象，得出可能的結論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學生來是比較

難掌握的一種數學思想方法，在對概念進行分類時，往往把握不住標準，不能堅持用同一個標準進

行分類，出現“重〃或“漏〃的現象，從而容易導致錯誤的發生

題型五、圓中的分類討論思想

由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉不變性，因此有不少題目會出現多解問

題。這類題目重在考查同學們對基礎知識的掌握與運用情況，它有利于培養同學們嚴謹周密的邏輯

思維能力。如果解題時考慮不嚴密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓

中解這類問題時，需要利用分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進行折疊或旋轉。

壓軸題預測

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

1.（2023?廣安）如圖，一次函數y="+為常數，女工0）的匆象與反比例函數），='（帆為常數，〃叱0）

的圖象在第一象限交于點，與x軸交于點8（-3,0）.

（1）求一次函數和反比例函數的解析式.

（2）點尸在x軸上，A/M是以?為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標.

2.（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線丁=-%2+以+。與x軸交于點4—1,0）、B,與），軸交于點CQ3）,直

線/是拋物線的對稱軸.

（I）求拋物線的函數解析式;

（2）在對稱軸/上是否存在點M,使AM4C為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點M的坐標;

若不存在，請說明理由.

3.12023?婺城區模擬）在矩形ABCZ）中，AB=4,AD=10,石是4）上的一點，且AE=2,M是直線反

上一點，射線ME交直線CD于點尸，EG_LME交直線3CF點G,連結MG、FG,直線FG交直線AD于

點N.

（1）①當點M為■中點時，求。尸與EG的長;

②求震的值.

(2)若AEGN為等腰三角形時，求滿足條件的AM的長.

D

4.：2023?濮陽縣模擬)在等腰直角三角形ABC中，NAC8=90°,4c=BC,點P為直線/W上一個動點,

繞點C將射線CP逆時針旋轉45。，交直線鉆于點Q.

在圖I中，將AAPC繞點C逆時針旋轉90。得到A/M/C,連接MQ,

VZACP+ZBCC=45°,ZACP=ZBCM,

:"MCQ=45o=/PCQ,

又CP=CM,CQ=CQ,

.?.APCQ三AMCQ.

請閱讀上述過程，并完成以下問題:

（1）得出APCQWAMCQ的依據是(填序號).

①SSS

②SAS

③A4S

?HL

(2)在以上條件下，如圖2,當點尸在線段84的延長線上時，求證：PQ，=AP?+BQL

(3)在等邊三角形力4c中，4c=2,點尸為射線84上一個動點，將射線CQ繞點C逆時針旋轉30°交直

線附于點Q,將AAPC繞點C逆時針旋轉60。得到MMC,連接MQ,當MMQ為直角三角形時，請直接

寫出AP的長.

5.（2023?武侯區校級模擬）如圖，在矩形A3CD中，AB=kBC（0<k<\）,將線段AB繞點A逆時針旋轉

a度（0<。<90）得到線段AE,過點E作AE的垂線交射線8于點”，交射線4）于?點M.

D

B'-------------fC

備用圖

［嘗試初探］

（1）當點M在4）延長線上運動時，㈤上與N4A柜始終相等，且AAEW與MDM始終相似，請說明理

由；

［深入探究］

（2）若k=L,隨著線段的旋轉，點”的位置也隨之發生變化，當C〃=?C。時，求tana的值;

24

［拓展延伸］

（3）連接￡D,當AEDM為等腰三角形時，求tana的值（用含攵的代數式表示）.

3

6.(2023?虹口區一模)如圖，在A48C中，AB=AC=1O,sin5=-,點D、石分別在邊胡、BC上,

5

滿足NC7)E=N4.點/是￡陀延長線上一點，且NECF=ZACD.

(1)當點。是4?的中點時，求tanNBC/)的值;

(2)如果力。=3,求式的值：

DE

(3)如果ABZ龍是等腰三角形，求3的長.

7.(2023?文成縣一模)如圖，點石，尸分別為矩形A8CD邊4),8上的點，以的為直徑作O交BF

于點G,且與0。相切，連結EG.

(1)若AE=EG,求證：AABE^AGBE.

(2)若/W=2,tanZEBF=-.

2

①求OE的長.

②連結AG,若AA3G是以AG為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的4c的長.

(3)連結CG,若CG的延長線經過點A,且旦)=EG,求生的值.

EF

8.(2023?涪城區模擬)如圖，已知：在AA8C中，ZC=90°,點P是8C邊上的動點，PD工BC交AB于D,

以PD為直徑的。分別交人戶于點石，F.

(1)求證：ZEFP=^EPB.

3

(2)若人4=20,sinB=-.

5

①當Z4P8=4NAP￡),求尸C的長.

②當4%方為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的A/%尸的腰長.

(3)若sinB=立，且。，尸，C在一條直線上，則OP與AC的比值為

9.（2023?河南模擬）如圖所示，在RlAABC中，NABC=90。，點O為射線AC上一動點，作々。

過點、B作BELBD,交DE于點E,連接CE.（點A、七在4。的兩側）

【問題發現】

（1）如圖1所示，若NA=45。時，AD.CE的數量關系為，直線4）、CE的夾角為；

【類比探究】

（2）如圖2所示，若NA=60。時，（1）中的結論是否成立，請說明理由；

【拓展延伸】

（3）若NA=30。，AC=2y/3,且A/加）是以AB為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段CE的長.

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

I.12022?大連模擬)如圖，RtAABC中，ZC=9O°,AC=3cm,BC=4cm，點P在邊AB上，過點尸作AB

的垂線與邊AC或8c相交于點D,將點。繞點尸順時針旋轉93。得點E，過點上作AB的垂線與邊AC或

8C相交于點尸.設AP的長為x(cm),四邊形。尸所的面積為y(a/).

(1)求AB的長；

(2)求)，關于x的函數解析式，并直接寫出自變量”的取值范圍.

(備用圖)

2.（2022?蓮池區校級二模）如圖，RtAABC中，NAC8=90。，AC=3,BC=4.動點2從點A出發，以

每秒3個單位長度的速度沿AC-CB-H4方向繞行AABC一周，與8c垂直的動直線/從AC開始.以每秒

1個單位長度的速度向右平移，分別交回,CB于D,E兩點.當點Q運動到點A時，直線/也停止運動，

設點P的運動時間為/秒.

（1）當點夕在AC上運動時，過點P作分'_LOE于尸，

①當產莊時，求證：APDF^AEPC；

②設AWE的面積為S,用含，的代數式表示S,并求當/為何值時，S有最大值；

（2）當直線/等分的面積時求/的值，并判斷此時點尸落在A48C的哪條邊上；

（3）直接寫出叨=莊■時，的值.

3.(2022?濟南二模)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A坐標為(3,0),四邊形。43C為平

行四邊形，反比例函數y=K(x>0)的圖象經過點C,與邊交于點。，若OC=2五,ianNAOC=l.

(1)求反比例函數解析式；

(2)點P(a,0)是x軸上一動點，求|PC-77)|最大時”的值；

(3)連接6,在反比例函數圖象上是否存在點平面內是否存在點N,使得四邊形CUW為矩形，若

存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(2022?海口模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)，=加+法+3(〃/0)與y軸交于點C,與x軸交

于4-2,0)、8(4,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點M從A點出發，在線段相上以每秒3個單位長度的速度向5點運動，同時點N從4點出發，在線

段BC上以每秒2個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設AM3N

的面積為S,點M運動時間為，秒，試求S與/的函數關系，并求S的最大值；

(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻/,使AM8N為直角三角形？若存在，求出，的值；若不存在，

5.(2023?乳山市二模)過四邊形A8C￡＞的頂點A作射線AM,P為射線AW上一點，連接。P.將AP繞

點A順時針方向旋轉至AQ,記旋轉角/E4Q=a,連接BQ.

(1)【探究發現】如圖1,數學興趣小組探究發現，如果四邊形/WC。是正方形，且a=90。.無論點尸在

何處，總有BQ=OP,請證明這個結論.

(2)【類比遷移】如圖2,如果四邊形是菱形，NZM8=a=60°,15。，連接。Q.當PQ_L4Q,

=+時，求AP的長：

(3)【拓展應用】如圖3,如果四邊形A88是矩形，AD=6,A6=8,AM平分〃4C,a=90°.在

4

射線AQ上截取4?,使得AR=-AP.當APR?是直角三角形時，請直接寫出AP的長.

3

圖3備用圖

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

1.（2023?淄博）某古鎮為發展旅游產業，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉村振興，決定在“五一”期間

對團隊*旅游實行門票特價優惠活動，價格如下表:

購票人數用（人）1噫M5051即100心100

每人門票價（元）605040

，題中的團隊人數均不少于10人.

現有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于

50人.

（1）如果兩個團隊分別購票，一共應付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？

（2）如果兩個團隊聯合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節省的費用不少于1200元,

問甲團隊最少多少人？

2.（2021?商河縣校級模擬）閱讀下面材料，根據要求解答問題：求不等式（24-1）。+3）＞0的解集.

2x-1>02.v-l<0

解：根據“同號兩數相乘，積為正”可得：①成②

x+3>0/+3<0

解不等式組①得：解不等式組②得、＜-3.

二.穴等式（2X一1）。+3）＞0的解集為x＞,或xv-3.

2

請你仿照上述方法解決下列問題:

⑴求不等式（2x-3）（x+l）＜0的解集.

-x-1

⑵求不等式1一°的解集.

3.(2024?江門校級一模)先閱讀理解卜面的例題，再按要求解答下列問題：

例題：解一元二次不等式4>0.

解:vx2-4=(x+2)(x-2),

.?.9一4>0可化為(x+2)(x,2)>0.

由有理數的乘法法則”兩數相乘，同號得正”，得

(

①Ix+2>0，②1x+2<0，

U-2>0-[x-2<0

解不等式組①，得x>2,解不等式組②，得xv-2,

.?.。+2)(/-2)>0的解集為1>2或X<一2,即一元二次不等式/一4>0的解集為x>2或xv-2.

(1)一元二次不等式16>0的解集為—；

(2)分式不等式上>0的解集為—；

x-3

(3)解一元二次不等式2/一5工<0.

4.(2022?泰安三模)某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價是荔枝味飲料每

瓶告價的？倍.4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷化：6000()瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味

4

飲料銷售額為280000元.

(1)求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價；

(2)五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味

飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的』；不多于桔子味飲料的2倍.桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲

2

料每瓶降價2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元?

題型四、方程（組）和函數中的分類討論思想

1.（2024?鐘樓區校級模擬）共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向3切-1（小〃的出行市場，現

有A,8兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費y（元）與騎行時間工（〃〃力）之間的對應關系，其中

A品牌收費方式對應力，8品牌的收費方式對應為，請根據相關信息，解答下列問題：

（1）說出圖中函數凹、乃的圖象交點產表示的實際意義：

（2）求y、力關于上的函數解析式；

（3）①如果小明每天早上需要騎行A品牌或8品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的

平均行駛速度均為300/〃/〃而，小明家到工廠的距離為9A7〃那么小明選擇—品牌共享電動車更省錢？（填

“A”或"8”）

②當x為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元？

y/元

x/min

2.（2023?西華縣三模）如圖1,拋物線），=一丁+加+°與工軸交于4、8兩點（點A在點區左邊），與），軸

交于點C.直線y=；x-2經過5、C兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點夕是拋物線上的一動點，過點。且垂直于X軸的直線與直線及x軸分別交于點O、M.設例（見0）.

①點夕在拋物線上運動，若點。恰為線段尸M的中點，求此時，〃的值；

②當點尸在拋物線上運動時，是否存在一點P,使ZPCB=ZACO.若存在，請直接寫出點P的坐標；若

不存在，請說明理由.

（圖1）備用圖

3.（2023?池州三模）在平面直角坐標系/Oy中，點（2,〃。和點（6,〃）在拋物線），=0￥2+公（〃<0）上.

（1）若m=4,fi=-12,求拋物線的解析式；

（2）已知點A（l,y）,8（4,必）在該拋物線上，且""7=0.

①比較片，%，0的大小，并說明理由;

②將線段沿水平方向平移得到線段A廳，若線段A廳與拋物線有交點，直接寫出點A，的橫坐標大的取值

范圍.

4.（2023?河北模擬）在平面直角坐標系中，拋物線），=6口-6）+13=0）的頂點為A,與*?軸相交于8、C

兩點（C點在8點的右側）.

（1）判斷點（0/）是否在拋物線），=辦5-6）+1（〃工0）上，并說明理由；

（2）若點A到x軸的距離為5,求a的值；

（3）若線段3C的長小于等于4,求a的取值范圍.

5.（2023?鹽城二模）已知點M（.』，y）,N（X2,%）在二次函數）'=。@一3）2+2（1/0）的圖象上，且滿足

x2-x1=5.

（1）如圖，若二次函數的圖象經過點（1,0）.

①求這個二次函數的表達式；

②若乂=必，此時二次函數圖象的頂點為點求NPWN的正切值；

③在M、N之間的二次函數圖象上的最低點的縱坐標為-6,請直接寫出此時點M、N的坐標；

（2）當司效k七時，二次函數的最大值與最小值的差為3,點M,N在對稱軸的異側，則a的取值范圍為

6.（2023?錦州）如圖，拋物線丫=-32+/?+?交x軸于點A（-l.O）和4,交y軸于點C（0,3百），頂點

為D.

（1）求拋物線的表達式：

（2）若點E在第一象限內對稱軸右側的拋物線上，四邊形OE花4的面積為76，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，若點尸是對稱軸上一點，點”是坐標平面內一點，在對稱軸右側的拋物線上是否

存在點G,使以點E,F,G,〃為頂點的四邊形是菱形，且H、G=60。，如果存在，請直接寫出點G的

7.（2024?肇東市模擬）綜合與實踐

如圖，二次函數)，=一丁+桁+c的圖象與X軸交于點A和3,點8的坐標是(4.0),與y軸交于點C(0.-3).點

■4

。在拋物線.上運動.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖2.當點。在第四象限的拋物線上運動時，連接以)，CD,BC,當ABC。的面積最大時，求點

D的坐標及A5CD的最大面積；

(3)當點￡在x軸上運動時，借助圖1探究以點勿，C,D,￡為頂點的四邊形是平行四邊形，并直接寫

出點石的坐標.

圖1圖2

8.(2023?扶余市二模)如圖,拋物線>=汰+市+c與x軸交于點4(1,0),8(5,0),頂點為尸.

(1)求該拋物線的解析式，并直接寫出點尸的坐標：

(2)如圖，把原拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線工軸上方的部

分記作圖形M，在圖形M中，回答：

①點A,3之間的函數圖象所對應的函數解析式為一:

②當;領k4時，求y的取值范圍；

③當/倭上〃?+2,且m>3時.，若最高點與最低點的縱坐標的差為?，直接寫出”的值.

9.(2024?南丹縣一模)如圖，拋物線〉1=加+法+?與x軸交于點4-3,0)，點4，點。是拋物線y的頂

點，過點。作X軸的垂線，垂足為點C（-1,0）.

（1）求拋物線y所對應的函數解析式；

（2）如圖1,點M是拋物線y上一點，旦位于k軸上方，橫坐標為m,連接MC,

若NMCB=ZDAC,求，〃的值；

（3）如圖2,將拋物線x平移后得到頂點為8的拋物線乃.點尸為拋物線y上的一個動點，過點?作），軸

的平行線，交拋物線為于點Q，過點。作x軸的平行線，交拋物線匕于點R.當以點尸，Q,R為頂點的

三角形與A4CD全等時，請直接寫出點P的坐標.

10.（2022?長春二模）在平面直角坐標系中，拋物線），=/一2〃a+〃/與），軸的交點為4,過點A作直線/垂

直于y軸.

（1）求拋物線的對稱軸（用含〃?的式子表示）：

（2）將拋物線在），軸右側的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點MU，,），N（X2,y2）

為圖形G上任意兩點.

①當〃?=0時，若王＜々，判斷）1與內的大小關系，并說明理由；

②若對于4x7=m+\,都有,＞、2，求/〃的取值范圍；

（3）當圖象G與直線y=〃?+2恰好有3個公共點時，直接寫出機的取值范圍.

題型五、圓中的分類討論思想

1.（2（）23?花都區一模）如圖1,已知NMAN=60。，在射線AM、AN上分別截取點8、C,使AB=AC=8.

備用圖

（2）如圖2,以BC為直徑在BC的上方作一個半圓,點。為半圓上的一個動點，連接4）交BC于點石

①當時，求4）的長.

②在線段AC上取?點尸，連接所交4）于點G,若BF=AE,當點。在半圓AC上從點B運動到點C時

求點G經過的路徑長.

2.（2023?裕華區二模）如圖1,平行四邊形44co中，AD=2&,DC=4y/3,N0=6O。，點M在4c延

長線上且CW=8,石尸為半圓。的直徑且在_LBW,FE=6,如圖2,點石從點M處沿MB方向運動,

帶動半圓O向左平移，每秒百個單位長度，當點產與點。重合時停止平移，如圖3,停止平移后半圓O立

即繞點E逆時針旋轉，每秒轉動5。，點尸落在直線AC上時，停止運動，運動時間為f秒.

圖3

(2)如圖2,當半圓O與"t邊相切于點尸，求的長;

(3)如圖3,當半圓O過點C,EF與DC邊交于點Q,

①求硬平移和旋轉過程中掃過的面積;

②求CQ的長;

(4)直接寫出半圓O與平行四邊形A4C。的邊相切時，的值.(參考數據：sin35°=—,tan35°=

3

3.(2022?順平縣二模)如圖1,將半徑為2的。剪掉一個60。的扇形之后，得到扇形八OB,將扇形人04

放置在數軸上，使點〃與原點重合且04垂直于數軸，然后將圖形沿數軸正方向滾動，直至點A落在數軸上

時停止滾動.記優弧回與數軸的切點為點P.過點A作直線/平行于數軸，當/與弧有兩個公共點時,

記另一個公共點為點C,將直線/繞點C順時針旋轉60°,得到直線/〃，交數軸于點Q.

（1）當點A落在數軸上時，其對應數軸上的實數為一；

（2）當直線/經過圓心O時，線段PQ的長度為—；

（3）當CQ與扇形所在圓相切于圓的左側時，求弦AC的長及點Q對應數軸上的實數;

（4）直接寫出整個運動過程中長度的最大值.

備用圖

4.（2022?永嘉縣三模）如圖，在平面直角坐標系中，直線），=-：為+6分別交/軸，y軸于點A,B,以回

為直徑構造圓，點。在80運動，點D在CA上，8交04于點P,且CO=OA.

(1)求C。的長.

(2)求證：OP=PD.

(3)CE//OA,交圓于另一點E,連結QE.若△C/小為等腰三角形，求所有滿足條件的點P的坐標.

5.(2022?溫州模擬)如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標為點8的坐標為(3,0),以為

直徑的M與)，軸的正半軸交于點C.點尸是劣弧8C上的一動點.

(1)求sinZABC的值.

(2)當APCA中有一-邊是BP的兩倍時，求相應人P的長.

(3)如圖2,以4c為邊向上作等邊△C/3O,線段MO分別交4C和8C于點，，N.連結OP,HP.點、P

在運動過程中，力尸與〃尸存在一定的數量關系.

【探究】當點P與點N重合時，求把的值；

DP

【探究二】猜想：當點產與點N不重合時，【探究一】的結論是否仍然成立.若成立，給出證明：若不成立，

請說明理由.

專題15分類討論思想在五種題型中的應用

壓軸地密押

通用的解題思路：

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

1.假設結論成立；

2.找點：當所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如工：

①當定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，

若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐

標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；

②當定長為底邊時，根據尺規作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線

有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點

不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.

3.計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添

加輔線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質進行求解

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.設出所求點的坐標，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數式，如本題，設點F（l,f）,

△BCF三邊長為：臚=4+#,^=/+6A10,BC=18；

2.找點：根據更角頂點的不確定性，分情況討論：

①當定長（已知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC）,分別

過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有交

點時，此交點即為符合條件的點；

②當定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交

點時，此交點即為符合條件的點.

3.計算：把圖形中的點的坐標用含有自變量的代數式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段

時，注意代數式的符號），再利用相似三角形得比例線段關系或利用勾股定理進行計算.

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

分類討論思想在不等式（組）中主要體現在含有字母系數的一元一次不等式（組）的解法問題，在

求其解集時要對字母進行分類討論。

對含字母系數的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數的取值范圍，要進行分類討論。

題型四、方程（組）和函數中的分類討論思想

在函數問題中，分類有兩種情況：種是對概念進行分類，種是分情況討論問題，對概念進行分

類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們全

面考察一個對象，得出可能的結論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學生來是比較

難掌握的一種數學思想方法，在對概念進行分類時，往往把握不住標準，不能堅持用同一個標準進

行分類，出現“重〃或“漏〃的現象，從而容易導致錯誤的發生

題型五、圓中的分類討論思想

由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉不變性，因此有不少題目會出現多解問

題。這類題目重在考杳同學們對基礎知識的掌握與運用情況，它有利于培養同學們嚴謹周密的邏輯

思維能力。如果解題時考慮不嚴密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓

中解這類問題時，需要利川分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進行折疊或旋轉。

壓軸摩預測

題型一：等腰三角形中的分類討論思想

1.（2023?廣安）如圖，一次函數為常數，上*0）的到象與反比例函數,~三為常數，

的圖象在第一象限交于點4Q/）,與'軸交于點8（一3?0）.

（1）求一次函數和反比例函數的解析式.

（2）點P在'軸上，是以，旬為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標.

【分析】（1）把點，4、B的坐標分別代入一次函數解析式，列出關于土、”的方程組，通過解方程組求得

它們的值；然后將點X的坐標代入反比例函數解析式，求得加的值即可；

（2）設尸（&°）,利用兩點間的距離公式和勾股定理以及=列出方程，借助于方程求解即可.

1=.+?

【解答】解：（1）將4Q。"）、3（7.0）分別代入一次函數‘一'+得

t9

4

9

-U+-=0

4

4

解得“=3

故,4(1.3)

V=

將其代入反比例函數<,得

上=3

I

解得桁=3.

393

故一次函數的解析式為'‘=一了’'口,反比例函數的解析式為‘=一；；

（2）由（1）知，"QJ）、5（-3。，則域上，3。4'?5.

設PS.O）,

當，"二,4P時，5二+3,

解得。=5或。=-3（舍去）.

故P（5.0）；

當，"二PB時，y-3-M.

解得a--8或a―2.

故P（T0）或Q0）

綜上所述，符合條件的點P的坐標為：（，<））或（一&°）或（工（））.

【點評】本題屬于反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法求得一次函數和反比例函數解析式，勾股定

理以及等腰三角形的性質，此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用.

2.（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線+?「與?'軸交于點4-L°）、B,與）軸交于點。（。尸），直

線,是拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）在對稱軸/上是否存在點A1,使&U4C為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點,”的坐標；

若不存在，請說明理由.

y

A

【分析】（i）運用待定系數法確定函數解析式即可;

（2）由于沒有指明等腰的底邊，所以需要分類討論：ACAC-CM,AAf=CAf,運用兩

點間距離的求法列出相應的方程，通過解方程求得答案.

-1-A+c■0

【解答】解：（1）把點4T?（））、點C（0.3）分別代入期得c■3

6-2

解得。3.

故該拋物線解析式為：￡??”.工.3

（2）由（1）知，該拋物線解析式為：F'T1.2*.3.

X=------=1

則該拋物線的對稱軸為直線T<2.

故設

,.>4（-1,0）點C（OJ）,

/./ic2=io,41/=4+/,3J2

①若<C=/tM時，10=4+M,

解得加二土卡.

.?點M的坐標為（L⑷或（1.一向；

②若,4C=C”時，1。?1?（“3》，

解得加=0或桁=6,

.點M的坐標為（L0）或0.6）.

當點”的坐標為（L6時，點乂、C、A/共線,

.?點A/的坐標為（1?°）；

③當4A,=C"時，4*小/=1+（加—3「，

解得加=1,

點M的坐標為（“）.

綜上所述，符合條件的點A1的坐標為在6）或（1「卡）或（L0）或（1」）.

【點評】本題屬于二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法確定函數解析式，兩點間的距離公式，等腰

三角形的性質，解題過程中，需要對等腰三角形的底邊或腰進行分類討論，以防漏解.

3.12023?婺城區模擬）在矩形-MC。中，,必=4,<0=10,E是,4。上的一點，旦.4￡=2,Af是直線,S

上一點，射線A/F交直線于點尸，NG1AZEt交直線8c于點G,連結AQ、FG,直線/G交直線.4。

于點M

（1）①當點”為,43中點時，求。尸與8G的長；

MG

②求行的值.

（2）若AEGV為等腰三角形時，求滿足條件的4”的長.

【分析】（1）①過點G作明于點”，易得⑷3=GH=2,為等腰直角三角形

-。即=一出，=46，進而得到八。后尸為等腰直角三角形，DF=a?=8,由EGJ.A怎可推出-Gm=49,

則AGJ8H為等腰直角三角形，HG=/H=4y/i；

②過點G作GAJ..4"于點穴，易得KG=J4B=4,D￡=8,易證AAGE,AKGE^DEF,得到

EM1G￡41…，KM-taiqFG=—=1

-——=-=-lan』GM=---

~GE2,E尸82,于是GE2,EF2,進而可得』

(ai^lFG=—=1

由等角加同角相等得二）佃F=%°,在R3FGM中,FG2；

AM21

(2)易得得到"84,設4丫="，則8"=4-〃，DF=4a.CF=4+4<J,易訐

BGA/cACFG,根據相似三角形的性質可求得8G=%+2,CG=8-%,再分三種情況討論：（I）當

NG=M7時，過點G作GP1AD于點P,則4P=BG=%+2,履=四,進而求出PN=PE=2a,EN=4a,

DNDF

DN=8-4",再利用平行線分線段成比例得到M一方，以此建立方程求解即可；（H）當EN=NG時，

過點H作笈0，3C于點0,則，NEG=U七尻」4=呢=2,，4=片0=4,進而求出。G=為，由平

行線的性質得到」、￡G=5窕，于是-EGQ-NGE,由等角的余角相等得-0R；=』FG,則

（811￡0尸G=tsii_EFG=_=—

2月。，以此建立方程求解即可；（IH）當及V=EG時，則/EVG=5GV,由平

行線的性質可得上及VG=Z5GC,于是』GN二5GC,由等先的余角相等得」FG=-C/G,進而得到

tmx^CFG=Um5FG=1=—

2CF,以此建立方程求解即可.

【解答】解：（1）①當點M為，”中點時，如圖，過點G作GH_LTO于點H,

則.GHA一90,

,.,四邊形4BC0為矩形，

.-4=」=90。，

四邊形為矩形，

AB=GH=2,

???點A/為,43的中點，

仙=3"=2,

AE-2,

.,仙=.4￡=2,DE=AD-A￡=8,

，AW為等腰直角三角形，，4E.”=4S,

_DEF=_?/=4夕，

為等腰直角三角形，=°￡=8,

???EGl\fEf

_.MG=90\

-GEH=W,

為等腰直角三角形，BG-CGH75,

。尸=8,￡G=4^;

②如圖，過點G作GK1.M于點火,

貝lj人工；.484,

a.,AE-2,

，切?=8,

EG1ME,

一4及“十_AXG=9(r,"GR+*G=90Q,-燈G+=90。,

一位M=_KGE=_DEF,

..^AEM^AKOE,AKGE^ADEF,

EAf.AEEAf21

：.~GE~~KGt即方■一丁3,

GEKGGB4I

EF~DEt即EF~2,

tmJGA/=—=1(ailJR;=—=1

GE2,EF2,

:」GM=』FG,

?/一EG尸+一E陽=90°,

」G八」GM=90—即尸二%。，

.?ta>^rro=—=i

FG2：

(2)?,一4￡”=二。月產，工&/=UDF=90°,

WEMADEF,

.iMABAAf2\

/.DF~DEf即DF-8-4,

設AM-a,則BM=4-a,DF=4。，

CF=CD+DF=4+4d,

由(1)②可知，」行尸=%°,

UGM+_CGF=90°,

_CFG+"GF=9(r,

/.』G\I=_CFG,

,」=_C=90\

^BGM^&CFG,

BG8A/GMBG4-a1

..CFCGFG,g[j4+4nCG1,

BG=2a^2,CG=8-2^,

(I)當=時，如圖，過點G作GP,dZ)于點尸,

則/P=SG=2zi-2,PE=PN,

..PN=Pb=AP-AE=2a,

.EN2,

DN=DR-BN=R…,

AVBC,

DNDF8-4a4a

CGCF,即8—2zi4-4〃,

解得：q=T+#,E=T-3（舍去）,

=V5-i.

(II)當EN=NG時，如圖，過點￡作笈。18(7于點0,

則ZA?Gr=^.N