專題39圖形的變化綜合測(cè)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題,滿分30分,每小題3分）

1.（3分）（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

的是（）

y><

a

【答案】B

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、不是中心對(duì)稱圖形,是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念,解題的關(guān)鍵是掌握：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱

軸,圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合.

2.（3分）（2023?江蘇南京-模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段48的兩個(gè)端點(diǎn)是

4（1,3）,8（2,1）.將線段48沿某一方向平移后，若點(diǎn)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一2,0）,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)

為（）

A.(—3,2)B.(—1,-3)C.(—1,-2)D.(0,—2)

【答案】C

【分析】由4(1,3)平移到4(-2,0)可知坐標(biāo)變化為：橫坐標(biāo)減3,縱坐標(biāo)減3,由此可得夕點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】由力(1,3)平移到4(-2,0)可知坐標(biāo)變化為：橫坐標(biāo)減3,縱坐標(biāo)減3,

???B'點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2-3=-1,縱坐標(biāo)為1-3=-2,

???B'點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,-2),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中的平移變換與坐標(biāo)變次之間的關(guān)系.熟練掌握以上知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

3.(3分)(2023?河南周口?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB=AB=5,其中點(diǎn)4在y軸匕點(diǎn)B到

%軸的距離為26，若將△04B繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到AOA'B',當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在％軸正半軸上時(shí)，

點(diǎn)，的坐標(biāo)為()

A.(8,4)B.(6,3@C.(y，Y)I).(2V5,3)

【答案】A

【分析】過點(diǎn)B作1y軸于M,過點(diǎn)4作4N1》軸于N,過B‘作B'M'10〃于M',先求出8M=瓜再證明△

BOM三4B'OM',得出OM'=OM=2?B'M'=BM=?再證明△B'OM'4ON,推出4N=4,ON=

8,從而求出點(diǎn)小的坐標(biāo).

【詳解】解：過點(diǎn)B作8M1y軸于M,過點(diǎn)4作4N±X釉于N,過8,作夕J.0d于M',

vOB=AB=5,

OM=AM,

???點(diǎn)B到x軸的距離為2倔

OM=2>/5,

???OA=4V5,BM=yJOB2-OM2=卜-(275)2=通,

???將△繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△

r

A0A=OA=4>/5,/.A!OB'=440B',

???￡BMO=乙B'M'O=90°,

:2BOM三△B'OM'(AAS),

:.OM'=OM=2>/5,B'M'=BM=瓜

???乙ONA，=LB'M'O=90°,LB'OM'=乙A'ON,

:心B'OM'SAA'ON,

.空_A'N_ON_pr.4y/5_A^_N__ON

**OB7-B'M'-OM7,~一"7F一市’

???AN=4,ON=8,

???A（8,4）,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考杳了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似

三角形的判定和性質(zhì)，掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中作出輔助線證明三角形全等是解題關(guān)鍵.

4.（3分）（2023?江蘇泰州-模擬預(yù)測(cè)）在由相同的小正方形組成的3X4的網(wǎng)格中，有3個(gè)小正方形已經(jīng)涂

黑，請(qǐng)你再涂黑一個(gè)小正方形，使法黑的四個(gè)小正方形中，其中兩個(gè)可以由另外兩個(gè)平移得到，則還需要涂黑

）

B.③或④C.⑤或⑥D(zhuǎn).①或⑨

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意可涂黑①和⑨，

涂黑①時(shí)，可將左上和左下兩個(gè)黑色正方形向右平移1個(gè)單位即可得；

涂黑⑨時(shí)，可將左上和左下兩個(gè)黑色正方形向右平移2個(gè)單位、再向下平移1個(gè)單位可得;

是平行投影.

7.（3分）（2023?山東淄博?一模）如圖，在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A8,C,D,E都在網(wǎng)格

的格則々ADC的正弦值為（）

【答案】D

【分析】本題考查了解直角三角形,先證明△ACD^△BCE,從而可得=乙BEC,然后在Rt△E”中，求

出sinzBEC的值，即可解答.

CD=CE=V10,

AD=BE=5,

.\AACD^ABCE(SSS),

=乙BEC,

在Rt/iEFC中，F(xiàn)C=1,EC=V10,

??FC1V10

.?s\nz.BEC=—=-j==—,

CEyfio10

/.sinZ-ADC=—,

io

故選:D.

8.（3分）（2023?河南周口?統(tǒng)考一模）如圖,邊長為1的正六邊形力8CDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊48

在x軸正半軸上,頂點(diǎn)尸在y軸正半軸上，將正六邊形48CDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)90。,那么

經(jīng)過2023次旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（)

ED

C

AB

A-（-場(chǎng)）B.（一土-國C.D.(Ml)

【答案】c

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及它在坐標(biāo)系中的位置,求出點(diǎn)⑦的坐標(biāo),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律求

出旋轉(zhuǎn)2023次后頂點(diǎn)0的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：連接力D,8。，如圖,

在正六邊形4BC0E/中，AB=BC=CD=AF=1,/.FAB=/.ABC=乙BCD=120°,

：,LCBD=1(180°-乙BCD)=30°,Z-OAF=60°,/.BAD=Z,FAD=:乙FAB=60°,

：.LABD=/.ABC-LCBD=90°,

?LADB=30°,

：.AD=2AB=2,

:.BD=>JAD2-AB2=V3,

在Rt△AOF^,AF=1,^OAF=60°,

:.Z.OFA=30°,

OA=-AF=-

22t

:.OB+OA+AB=I，

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為(I，甸，

將正六邊形4BCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。,

???4次一個(gè)循環(huán),

???2023+4=505...3,

經(jīng)過2023次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)后得到的名的坐標(biāo)相同，

???過點(diǎn)名作。3P1》軸于匕

???"0。3+"。3。=90°,

由旋轉(zhuǎn)可知NP。％+乙DOR=90。,OD2=OD,

:."）OB=Z.PD3O,

：.LOBD/03Po（AAS）

:.D3P=OB=^fOP=BD=V3

丁點(diǎn)。3在第四象限，

???點(diǎn)。3的坐標(biāo)為（四，-|），

???經(jīng)過2023次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（舟-1）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)引起的坐標(biāo)變化規(guī)律問題，掌握正多邊形各邊相

等,各角相等的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),找出規(guī)律是解題的關(guān)健.

9.（3分）（2023?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,已知平行四邊形"CD,點(diǎn)￡為力。的中點(diǎn),4C與BE交于點(diǎn)

區(qū)連接DF，CE,^AB1AC,BEJ.CE,則tan乙DFE的值為（）

【答案】I）

【分析】如圖，取BC的中點(diǎn)Q連接4。、EO,作DHJLBE于耳設(shè)EF=a，證明△ECD是等邊三角形，求出

DH,尸，即可解決問題

【詳解】解：如圖，取BC的中點(diǎn)。，連接4。、E。，作OH_1.BE于〃設(shè)EF=a,

H

???Z.BAC=LBEC=90%BO=OC,

:.OA=OB=OC=OE,

小B、C、E四點(diǎn)共圓，

???AE||BC,

:.Z.EAC=乙ACB,

AB=EC,

AB=CE=CD,

???ABIICD,

???乙4co=Z-BAC=90。，

???AE=ED,

CE=DE=AE=CD,

是等邊三角形，

/.ABC=Z-CDE=60°,

:.乙FCB=乙FBC=30°,LFEA=LFAE=30°,

???EF=a,

則=V3a,

在雙△DE”中，

vZ.HED=30°,DE=y/3a,

DH=—a,EH=-a,

22

FW=|a,

anrrDH骨近

:.tanzz.DFF=—=

2a

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等邊三角形的判斷和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、勾股定理等

知識(shí),解題的關(guān)健是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

10.（3分）（2023?安徽合肥?校考三模）矩形48CD中48=4,BC=8,點(diǎn)E是邊8。上一動(dòng)點(diǎn)，沿4E翻折,

若點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)夕恰好落在矩形的對(duì)稱軸上,則折痕力E的氏是（）

A.隨B.延C.4四或晅D,4魚或小

3333

【答案】C

【分析】分兩種情況,根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：分兩種情況：

①如圖1所示：

當(dāng)B'恰好在矩形的對(duì)稱軸MN上時(shí)，

又???力8=4,BC=8,

:.MN1AD,MN1BC,BN=AM=^BC=4,MN=AB=4,

由折疊的性質(zhì)得：AB'=AB=4,BE=B'E,

'：MBr=\!AB'2-AM2=V42-42=U,

???點(diǎn)房與點(diǎn)M重合，點(diǎn)E與點(diǎn)N重合，

：.AE=-JAB2+BE2=y/42+42=4y[2;

②如圖2所示：

當(dāng)夕恰好在矩形的對(duì)稱軸GH上時(shí),過夕作PQW8交力。于P,交BC于Q,

\pD

BE：QC

圖2

：,CH1AB,GH1CD,PB'=QB'=^AB=2,AP=BQ,PQ1AD,

??泗邊形4BCD是矩形，

AzB=90°,

由折疊的性質(zhì)得：AB'=AB=4,BE=B'E,

在Rt△APB'^,AP=\lAB'2-PB,2=V42-22=273,

：,BQ=AP=2y/3,

設(shè)BE=B'E=居則EQ=BQ-BE=2^3-x,

在Rt△ERG，EQ?+B'Q2=B'E2,

/.（2V3-X）2+22=X2,

解得：無=竽,即89二竽，

：.AE=>]AB2+BE2=a+（等j=殍；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)9恰好在矩形的對(duì)稱軸上時(shí),折痕4c的長是4或或?qū)W，

?5

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí);熟練掌握翻折變換和勾

股定理是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題,滿分18分,每小題3分）

11.（3分）（2023?廣西南寧-模擬預(yù)測(cè)）10個(gè)棱長為ycm的正方體擺放成如圖的形狀,則這個(gè)圖形的表面

積為cm2.

【答案】36y2

【分析】先畫出這個(gè)圖形的三視圖，從而可得上下面、前后面、左右面的小正方形的個(gè)數(shù)，再根據(jù)正方形的

面積公式即可得.

則這個(gè)圖形的表面積是(2X6+2X6+2X6)y2=36y2(cm2),

故答案為：36y2.

【點(diǎn)睛】本題考杳了求幾何體的表面積,正確畫出幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

12.(3分)(2023?廣東佛山?校考一模)如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)力的坐標(biāo)為(一2,0),點(diǎn)小點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，點(diǎn)P是平面上一點(diǎn),且滿足1PB,則線段PM的最小值為.

y\

?M

P.

~4~OBx

【答案】3

【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，作出以48為直徑作o0,連接OM與。。交于點(diǎn)P,此時(shí)FM的值最小,

再根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)求出OM的長即可解答.

【詳解】解?：如圖，以力8為直徑作O。,連接OM與。。交于點(diǎn)P,過點(diǎn)M作MD軸于點(diǎn)

此時(shí)滿足PA1PB,PM的值最小，

???點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)是(3,4),

???0M=V32+42=5,

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(一2,0),

：.0A=2,

：.0P=0A=2,

???PM=0M-OP=5-2=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考萱了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，準(zhǔn)確找到點(diǎn)，的位置是解

題的關(guān)鍵.

13.（3分）（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（4,3）,點(diǎn)在％軸的正半軸上,

且OA=85,將△048沿x軸向右平移得到△ECD,48與CE交于點(diǎn)F.若CF：EF=3：1,則點(diǎn)。的坐標(biāo)

【答案】(14,0)

【詳解】作4G1x軸于點(diǎn)G,由4(43)得G(4,0),由。4=AB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BG=OG=4,所以

8(8,0),由平移得力8||CD,ED=OB=8,所以普=蕓=：,則BD=6,即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(14,0).

ED匕卜1

【解答】解：如圖，作AGJL%軸于點(diǎn)G,

???4(4,3),

???6(4,0),

0A=AB,

???BG=OG=4,

???8(8,0),

由平移得48||CD,ED=OB=8.

.DB_CF_3

"'EB~'EF~V

BD=-ED=-x8=6,

44

OD=OB+BD=14,

???D(14,0),

故答案為：（14,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)等知識(shí)，正確

理解和運(yùn)用平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）（2023?吉林?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，484。=90°,AC=3,AB=4,BC=5,CD平

分乙4CR,如果點(diǎn)8點(diǎn)0分別為CD,4C上的動(dòng)點(diǎn),那么4P+PQ的最小值是.

【答案】y

［分析】本題考查軸對(duì)稱求最短距離,熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法,角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式

是解題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)力作4E1BC交于E點(diǎn)、,交OC于P點(diǎn),過點(diǎn)P作尸Q1相交于Q點(diǎn),此時(shí)AP+PQ的值最小,再由三角形的面

稅求出2c邊上的高即為所求.

【詳解】解：過點(diǎn)4作力E_LBC交于E點(diǎn)，交。。于P點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ1HC交于Q點(diǎn)，

???CD平分4ACB,

：?PE=PQ,

：.AP+PQ=AP+PE=AE,

此時(shí)4P+PQ的值最小，

因?yàn)樾氖?BC2,

故448C是直角三角形，

故△的面積=-x3x4=-x5x/lE,

22

12

???<￡1=?

???4P+PQ的值最小為孩，

5

故答案為:

V3-

15.（3分）（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC,zF=90。,，為48邊上的一點(diǎn),將48c。沿CO翻

折，得到△B'CD.連接AB'MB'IIBC,若AB=8,tanzDCB'=則夕到71c邊上的距離為.

【分析】本題考查折疊軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形，解直角三角形，三角形的面積公式，掌握折疊的性質(zhì)和直

角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵；

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得BC=B'C,乙BCD=乙B'CD,BB'1CD,利用相似三角形和｛8=8,tanzDCBz=即

可求出A*,BC,進(jìn)而求出4a利用三角形面積即可求出答案；

【詳解】解：過點(diǎn)垂足為機(jī)連接8夕，

由折疊得，BC=B'C,乙BCD=乙B'CD,BB'1CD,

vAB'WBC,

:.乙ABC=乙BAB'=90。，

又???乙ABB'+乙B'BC=90°=乙B'BC+乙BCD,

乙BCD=乙4BB',

ABCD~△ABB',

ED41

=tanz5CD=—=

??正?

：,AB'=-AB=-x8=4=BM,

22

設(shè)BD=a,則BC=B'C=2a,MC=2a-4,

在Rt△B'MC中，由勾股定理得，

B'M2+MC2=B'C2,

82+(2Q-4)2=(2a)2,

解得Q=5,

：?BC=2a=10,

在ABC中，

AC=y/AB2+BC2=V824-102=2聞，

設(shè)點(diǎn)B'到4c的距離為h,由448'C的面積得，

即4x8=2聞九，

回

:.h,=-1-6----,

41

故答案為：粵.

41

16.（3分）（2023?上海虹口-統(tǒng)考一模）如圖，在^ABC中，AB=AC=5,tanfi=二,點(diǎn)必在邊BC上，BM=3,

4

點(diǎn)V是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，連接用乂將48MN沿直線MN翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)夕處,聯(lián)結(jié)8'C,如果B'CIIAB,那么

8N的長是.

【答案】6

［分析】本題主要考查了三角形折疊與解直角三角形,過"點(diǎn)作MG1BCFM1AB,AH1BC垂足分別為

F、G、H,由力B=AC=5,tanB=求出AH=3,BH=CH=4,FM=BM?sin4B=-,MG=CM-

45

sin乙=3,得出尸、M、夕三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可得尸N=”'?tan—B'N=￡，再求出B產(chǎn)FM

tanzfi

由BN=BF+FN=6解題.

5

【詳解】解：過必點(diǎn)作MG_L夕。,產(chǎn)時(shí)1力8,4"18（；垂足分別為八G、H,

Vtanfi=、AH1BC

：.BH=CH=4x

'：AB=AC=5,AH2+BH2=AB2,

???(3x)2+(4為2=52,解得％=i,

：.AH=3,BH=CH=4,

：.sinB=1,

':B'C||AB,

LB=乙BCB',

;BM=3,

=5,

：.FM=BM-sinzfi=3x1

MG=CM?s\x\/.BCB'=5x1=3,

*：MB=MB'=3,

：,MG=MB',即3'與G點(diǎn)重合，

???F、M、夕三點(diǎn)在同一直線上，

QOA

:?FB'=FM+MG="3=爭(zhēng)

由折疊可知；乙FB'N=乙8,

???FN=FB'，tan乙~B'N=—x-=—.

--F-M-=一9.-3=—12,

tanzF545

：?BN=BF+FN=三+三=6,

故答案為6

【點(diǎn)睛】本題涉及了解二角形、折疊性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理等，解題關(guān)鍵是通過計(jì)算點(diǎn)"到"C

的距離等于BM得出?、M、夕三點(diǎn)在同一直線上.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)

和點(diǎn)戶均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上.

（1）將4A8C向右平移4個(gè)單位長度,再向上平移2個(gè)單位長度，畫出平移后的△&B1G;

⑵將448。以。點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△A2B2C2,畫出△482Q；

（3）在（2）的條件下，若48的中點(diǎn)為Q,試求Q點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶身

【分析】（D根據(jù)平移的規(guī)律得到從B、。三點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)從、G，再順次連接即可；

⑵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的規(guī)律得到小B、C三點(diǎn)以P點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)必、％、Q，再順次連接即可;

（3）連接PQ.由勾股定理得PQ的長度，再根據(jù)弧長公式求出答案即可.

此題考查了平移和旋轉(zhuǎn)的作圖、弧長公式等知識(shí),準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：如圖所示,△48iG即為所求.

4

⑵如圖所示，△42々。2即為所求.

（3）連接PQ.由勾股定理得PQ=442+12=g,

???點(diǎn)Q所經(jīng)過的路徑長為丹察=孚7T.

180N

18.（6分）（2023?陜西西安-校考模擬預(yù)測(cè)）問題提出:

⑴如圖1,有公共端點(diǎn)的兩條線段。力,OB,且04=4,。8=5則4B最大值為_;最小值為______.

（2）問題探究：如圖2,已知乙4。8=30°,其內(nèi)部有一點(diǎn)P,OP=6,在乙408的兩邊分別有C,。兩點(diǎn)（不同于

點(diǎn)0）.使4PCZ）的周長最小,請(qǐng)畫d草圖,并求出△PCD周長的最小值：

（3）問題解決：開發(fā)商準(zhǔn)備對(duì)一塊正方形土地進(jìn)行綠化,要求綠化帶從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)到對(duì)角線上一點(diǎn),再到

兩邊上一點(diǎn),最后阿I到出發(fā)點(diǎn)，如圖3,正方形48co的邊長為400米,在對(duì)角線4C上有一固定點(diǎn)G,且CG=

34G,在4D,OC上取兩點(diǎn)凡E,準(zhǔn)備從B到G到F到E再到8修一條綠化帶（綠化帶寬忽略不計(jì)），能否設(shè)計(jì)出最

短綠化帶，若能請(qǐng)計(jì)算出綠化帶最短長度，若不能說明理由.

【答案】（1）9;1

（2）圖見解析,△PCO周長的最小值為6

⑶100（g+VTU）米

【分析】（1）設(shè)。8的兩端點(diǎn)固定，則點(diǎn)A在以點(diǎn)。為圓心,半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，畫出圖形，即可得到結(jié)論；

（2）分別作點(diǎn)P關(guān)于。小0B的對(duì)稱點(diǎn)M、N,連接MN,交040B于C、D,根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)求

解即可；

⑶分別作正方形力BCD關(guān)于CD和,4。對(duì)稱的正方形為8iCD和482c2。,連接為E,AC2,作點(diǎn)G關(guān)于4D的對(duì)稱

點(diǎn)Q,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)a，E,F,G四點(diǎn)共線時(shí),BXE+EF+FG］取最小值,即此時(shí)綠化帶長度

最短，作GH1于點(diǎn)兒作GJ1從當(dāng)交其延長線于點(diǎn)/,交于點(diǎn)K,利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求

解即可.

【詳解】(1)解：如圖，設(shè)。8的兩端點(diǎn)固定，則點(diǎn)4在以點(diǎn)。為圓心,半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng),

???48的最大值為=4+5=9,最小值為=5-4=1,

故答案為：9,1;

(2)解：如圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、0B的對(duì)稱點(diǎn)M、N,連接MN,交。小。8于C、D,則△PCD的周長最小,

連接。M、ON,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，OM=OP=6,ON=OP=6,CP=CM,DP=DN,乙MON=2Z.AOB=60°,

△MON為等邊三角形，

???MN=6,

A△PCO的周長=PC+CD+DP=CM+CD+DN=MN=6;

⑶解：如圖，分別作正方形關(guān)于CO和40對(duì)稱的正方形4181c。和AWC2。，連接勺&AC2，作點(diǎn)G關(guān)于

710的對(duì)稱點(diǎn)Gi,在力。2上,且C2Gl=3/lGi,

BE+EF+FG=BiE+EF+FGlf

???G是定點(diǎn)，

???8G的長度不變，

???當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng),E,F,G]四點(diǎn)共線時(shí),B]E+EF+時(shí)取最小值，即此時(shí)綠化帶長度最短,

作GH1AB于點(diǎn)H,

AHG48C,

???CG=3AG,正方形48C0的邊長為400,

.竺_竺_工

''~BC~~AC~

:.GH=100,

???BH=400-100=300,

.?.在Rt△BHG,BG=y/BH2+GH2=V3002+1002=100^10,

作GJ1AB1交其延長線于點(diǎn)/,交于點(diǎn)K,

G]C2K?△24c2D,

C2Gl=34Gi，

.QGi_處_3

??C2A~AD~4f

:.GJ=G2K=300,

:.AJ=KD=400-300=100,

BJ=400+100=500,GJ=400+300=700,

.?.在Rt△BJGi中，BA=+G/2=V5002+7002=100V74,

???四邊形BE”的周長BE+EF+FG+BG的最小值為100（g+JTU）,即綠化帶的最短長度為100（g+

g）米.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)-最短路徑問題，共端點(diǎn)兩條線段為定長問題,等邊三角形的判定和性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

19.(8分)(2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題)將一副直角三角板DOE與40c疊放在一起，如圖1,Z0=

90。,乙4=30°,ZF=45°,0D>0C.在兩三角板所在平面內(nèi)，將三角板DOE繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。(0。<

a<90。)度到DiOEi位置，使。DiIIAC,如圖2.

圖1圖2圖3

⑴求a的值；

(2)如圖3,繼續(xù)將三角板DOE繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Zf落在AC邊上點(diǎn)均處,點(diǎn)〃落在點(diǎn)Q處.設(shè)場(chǎng)。2

交0D1于點(diǎn)G,0E］交AC于點(diǎn)〃若點(diǎn)6是第。2的中點(diǎn),試判斷四邊形2G的形狀,并說明理由.

【答案】(1)30°

(2)正方形，見解析

【分析】(1)確定旋轉(zhuǎn)角a=z.AODlt結(jié)合。5IIIC,乙4=30°,計(jì)算即可.

(2)先證明四邊形OH&G是矩形,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合?組鄰邊相等的矩形是正方形證明即

可.

【詳解】(1)根據(jù)題意，得旋轉(zhuǎn)角1二44。5，

VODiIIACtLA=30°,

：,AAOD1=NA=30°,

故a=30°.

(2)根據(jù)題意，得旋轉(zhuǎn)角a="I。。】，

IIAC,乙4=30。，

???4月。。1=4人=30°,

*：0E2=OD2,GE2=GD2,LE2OD2=90°,

:?乙E20G=45°./-E2G0=90°,OG=泊%=GE2=GD2

：.LE2OA=15°,

?:應(yīng)ODi=90。"20G=45°,

:?乙E?OEi=45°,

：.LAOEX=Z-E2OE1+乙E20A=45°+15°=60°,

：.LAHO=180°-60°-30°=90°,

，四邊形0〃&G是矩形，

f

：OG=GE2,

???四邊形O，E2G是正方形.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判斷,正方形的判斷,等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判斷，

正方形的判斷，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.（8分）（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）巢湖姥山島上的文峰塔始建于明崇禎年間，是廣大游客游覽巢湖的必經(jīng)

之地.某數(shù)學(xué)測(cè)繪社團(tuán)想要測(cè)量文峰塔的高度.如圖，在點(diǎn)C處測(cè)得文峰塔43的塔頂A的仰角為19.5。,行駛

210米到達(dá)岸邊D,測(cè)得塔底3與。之間的斜坡8D的坡角為23.5。,斜坡的長度為280米.求文峰塔A8的高

度.（結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù)：sinl9.5°?0.33,cosl9.5°?0.94,tanl9.5°?0.35,sin23.5°?

0.40,cos23.5°?0.92,tan23.5°?0.43）

【答案】52米

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.延長力8交于點(diǎn)民

在8DE中，根據(jù)三:角函數(shù)的定義,求得DE,8E的長,從而得到CE的長,然后在Rt△ACE中,根據(jù)三角函數(shù)

的定義,可求得力E的長，由此即得答案.

【詳解】延長工3交CD于點(diǎn)E,貝必EJ.CD,

在Rt△BDE中,DE=BD?cos^BDE=280-cos23.5°?257.6（米）,

BE=BD?sin乙BDE=280-sin23.5°?112（米）,

CE=CD+DE=210+257.6=467.6（米），

在Rt△ACE中，AE=CE?tan^ACE?467.6x0.35?163.7（米），

:.AB=AE-BE=163.7-112*52（米）.

答：文峰塔A8的高度約為52米.

21.（8分）（2023?江蘇無錫?模擬預(yù)測(cè)）如圖是由一些棱長均為1個(gè)單位長度的小正方體組合成的簡(jiǎn)單兒

何體.

主視圖左視圖

(2)若給該幾何體露在外面的面(不含底圖)都噴上紅漆，則需要噴漆的面積是二

(3)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變,則最多可以再添加一塊小正方

體.

【答案】(1)見詳解;

⑵27;

(3)3.

【分析】(1)根據(jù)三視圖的概念求解可得；

(2)將主視圖、左視圖分別乘2的面積，加上俯視圖的面積即可得解；

(3)若使該幾何體主視圖和左視圖不變，只可在底層添加方塊,可以添加3塊小正方體.

【詳解】(1)如圖所示：

主視圖左視圖

⑵解:(7X2I4X2)X(1X1)I5X(1X1)

=14+8+5

=27

故答案為:27.

(3)若使該幾何體主視圖和左視圖不變,可在最底層從右數(shù)第一至三列的第一行各添加一個(gè),添加3塊小正

方體.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫三視圖,解題的關(guān)鍵是掌握在畫圖時(shí)?定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來,

看得見的輪廓線都化成實(shí)線,看不見的畫成虛線,不能漏掉.本題畫幾何體的三視圖時(shí)應(yīng)注意小正方體的數(shù)

目及位置.

22.(8分)(2023?湖北恩施-校考模擬預(yù)測(cè))如圖，小華在晚上曰路燈4c走向路燈BD.當(dāng)他走到點(diǎn)〃時(shí)，

發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈4C的底部；當(dāng)他向前再步行12/〃到達(dá)點(diǎn)。時(shí),發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部

剛好接觸到路燈80的底部.已知小華的身高是1.6m,兩個(gè)路燈的高度都是9.6m,且4P=QB.

C

G

48一

(1)標(biāo)出小華站在P處時(shí),在路燈71。下的影子.

(2)求兩個(gè)路燈之間的距離.

⑶當(dāng)小華走到路燈8。的底部時(shí)，池在路燈AC下的影長是多少？

【答案】(1)畫圖見解析

(2)兩路燈的距離為18m;

(3)當(dāng)他走到路燈8D時(shí)，他在路燈4c下的影長是3.6m.

【分析】(1)連接CM并延長與48交于點(diǎn)A；從而可得答案；

⑵如圖，先證明△APM八ABD,利用相似比可得AP=即得題=)區(qū)則+12+\AB=AB,從

6666

而可得答案；

⑶如圖，他在路燈立下的影子為BN,證明△NBM八NAC,利用相似三角形的性質(zhì)得探=?然后利用

比例性質(zhì)求出3N即可.

【詳解】⑴解：如圖，連接CM并延長與AB交于點(diǎn)A；線段PK即為小華站在△處時(shí)，在路燈工C下的影子

(2)如圖,

D

VPMIIBD,

AAAPM-△ABD,

,APPMa..AP1.6

??-----一,即一=一,

ABBDAB9.6

：,AP=^AB,

?：QB=AP,

：.BQ=-AB,

6

而ZIPPQ+BQ=AB,

：.-AB+12+^AB=AB,

66

：.AB=18.

答：兩路燈的距離為18m;

(3)如圖，他在路燈AC下的影子為BN,

圖2

：,ANBMNAC,

：,—=—,即一^一=—,解得BN=3.6.

ANACBN+189.6

答：當(dāng)他走到路燈8。時(shí),他在路燈AC下的影長是3.6m.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，投影的含義，要求學(xué)生能艱據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)圖形，能判定出相似三角

形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解次求線段長的問題等，菰含r數(shù)

形結(jié)合的思想方法.

23.（8分）（2023?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，黃老師給出如下問題：在仆ABC^,AB=

AC：Z.BAC=a,點(diǎn)〃和點(diǎn)8位于直線力C異側(cè)，且乙4DC+/.ABC=90°.

【問題初探】

（1）當(dāng)a=60。時(shí)，求證：AD2+CD2=BD2.

數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)經(jīng)過討論得出下面的解題思路并解決了這個(gè)問題.

解題思路：如圖2,將線段4D繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到線段4E,連接BE,DE.易證△4DE是等邊三角形,

易證CD=BE,將線段4。，BD,CO之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段ED,BD,BE之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)解決完上述問題后，感悟了此題的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)現(xiàn)此題還有不同位置的情況,請(qǐng)你解

答

②如圖3,點(diǎn)〃不在8。的延長線上時(shí),連接8D,求證：AD2+CD2=BD2.

圖3

【類比探究】

數(shù)學(xué)活動(dòng)小組還有同學(xué)提出將其角度變化進(jìn)行變式，請(qǐng)你解答.

（2）當(dāng)a=90。時(shí)，

①發(fā)現(xiàn)點(diǎn)〃在8c的延長線上時(shí)，點(diǎn)〃與點(diǎn)C重合（不需要證明）.

②如圖4,點(diǎn)〃不在的延長線上時(shí),連接8D,判斷（1）②中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請(qǐng)加以證明；若不

成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論并說明理由.

圖4

【拓展提升】

黃老師在此基礎(chǔ)上提出了下面的問題，請(qǐng)你解答.

(3)當(dāng)a=60°,點(diǎn)〃不在?的延長線上時(shí)，連接80,若"=3,CD=3百,求的長.

備用圖1備用圖2

【答案】⑴②,證明見解析；⑵②不成立,2AD2+CD2=8。2；⑶8D的長為6或3近

【分析】⑴②將線段力。繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到線段AE,連接BE,DE,證明△力8。是等邊三角形,得

4BAE=^CAD,證明△ABE^△ACD,可得BE=CD,證明NBED=90°,根據(jù)勾股定理可得結(jié)論：

⑵將線段4D繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9。。,得到線段力E,連接BE,DE.由旋轉(zhuǎn)得/-AED=^ADE=45°,V2AD=

DE,證明△ABE三△ACD,得BE=CD,證明々BED=90°,根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；

根據(jù)題意知點(diǎn)〃有兩處,如圖3,過點(diǎn)C作CE1AD,交04的延長線于點(diǎn)E、證4