二輪復習【中考沖刺】20222023年中考數學重要考點

名校模擬題分類匯編專題11

——二次函數與三角形綜合（重慶專用）

I.（2022秋?重慶沙坪壩?九年級重慶南開中學校考期末）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=

++c與百線交干點力（0,—4）,B（4,0）.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）點尸為直線48下方拋物線上的一動點，過點P作PM工/18交48于點M,過點P作y軸的平行線交無軸

于點N,求或PM+PN的最大值及此時點P的坐標；

（3）如圖2,將該拋物線先向左平移4個單位，再向上移3個單位，得到新拋物線V，新拋物線y'與y軸

交于點凡點M為y軸左側新拋物線（上一點，過M作用/7〃、軸交射線8尸于點N,連接M",當△FMN

為等腰三角形時，直接寫出所有符合條件的點M的橫坐標.

2.（2022秋.重慶.九年級重慶南開中學校考階段練習）如圖，拋物線y=-3與％軸交于A、

B兩點（點A在點8的左側），與），軸交于點C.點。在），軸E半軸上，直線A。：y=x+b與拋物線

交于點E.

⑴求線段8c的長度:

（2）如圖，點尸是線段AE上的動點，過點P作），軸的平行線交拋物線于點Q，求票的最大值；

⑶如圖，將拋物線y=*一扛-3向左平移4個單位長度，將△。&4沿直線BC平移，平移后的△DCA

記為在新拋物線的對稱軸上找一點M,當△AC'M是以點4為直角頂點的等腰直角三角形

時，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標.

3.（2022秋?重慶渝中?九年級重慶巴蜀中學校考階段練習）如圖，拋物線y=*+bx+c交工軸于A,

B兩點（4在B的左側），其中8（275,0）,與y軸交于點C（0,-4）.

（2）直線8。與），軸交于點。，且N"Q=30。，點M是拋物線上在第三象限的一動點，過加作MP/修

軸，交直線4。于點P,MQ_L3。于點Q,求心MQ+PQ的最大值及此時M點的坐標；

（3）將拋物線沿射線。8方向平移4個單位得到新拋物線新拋物線與原拋物線交于點&在新

拋物線A的對稱軸上確定一點尸，使得ABE/是以BE為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件

的點尸的坐標.

4.（2022春?重慶北倍.九年級西南大學附中校考期中）如圖1,拋物線y=a/+從:+c（aR0）與直

線y=-：工+4的交點分別位于x軸、y軸上的A3兩點，與x軸的另一交點為。（一2,0）.

（1）求拋物線的解析式；

⑵如圖2,連接BC,點P為AB上方拋物線上一動點，過點尸作PQ〃8。交AB于點Q,過點P作PR1x

軸交AB于點R,求△PQR周長最大值及此時點P的坐標；

⑶在（2）問條件下，當△PQR面積最大時，將△尸QR繞點A順時針旋轉〃。（0〈九V90）,當旋轉

過程中，PRJ.AB時，記此時三角形為APiQ/i，再將APWiRi沿直線A8進行翻折得到AP2Q2%，將

AP2Q24沿直線A8進行平移，在平移過程中，若點P2恰好在拋物線上，記此時的三角形為AP3Q3R3,

清直接寫出此時力的坐標.

5.(2022?重慶九龍坡?重慶實驗外國語學校校考三模)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+

族+2(aH0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,對稱軸交拋物線于點Q,交匯軸于點M.其

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接8C,在第一象限的拋物線上有一點P,且點P位于對稱軸右側，過P作PDJ_8c于

點。，PE_LMQ于點E,求正PD+PE的最大值及此時點P的坐標.

(3)將拋物線向右平移2個單位長度后得到新拋物線力,新拋物線必與原拋物線相交于點N,在新拋

物線力的對稱軸上有一點〃，點”為為與x正半軸的交點，若是以NH為腰的等腰三角形，

請直接寫出點〃的坐標，并寫出求解其中一個〃點的過程.

6.(2022?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考三模)如圖1,拋物線y=Q/+板+2(aH0)交x軸于點

做一1,0),點B(4,0),交)，軸于點C.連接8C,過點A作/W〃8c交拋物線于點。(異于點A).

(1)求拋物線的表達式；

(2)點夕是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PE〃y軸，交人。于點石，過點E作EG_LBC于點

G,連接PG,求△PEG面積的最大值及此時點。的坐標；

(3)如圖2,將拋物線y=。/+6久+29￥0)水平向右平移;個單位，得到新拋物線九，在力的對稱

4

軸上確定一點M,使得ABOM是以8。為腰的等腰三角形，請寫出所有符合條件的點M的坐標，并

任選其中一個點的坐標，寫出求解過程.

7.(2022?重慶.西南大學附中校考模擬預測)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=Q/+：%+c

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P為線段AC上方拋物線上一動點，過點P作PQ_Lx軸交AC于點Q,求PQ+等CQ的最大值

及此時點?的坐標；

(3)如圖2,將拋物線沿射線C4方向平移半個單位，得到新拋物線M是新拋物線y'的對稱軸上

一點,在(2)問的條件下，若A/1PM是以4P為腰的等腰三角形，請直接寫出符合條件的所有點M

的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來.

8.(2022?重慶?重慶巴蜀中學校考一模)如圖，拋物線丫=(^2+8工+3與工軸交于點人、點8(1,0),

與)，軸交于點C,直線y=x+3過點A和點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P點是位于直線AC上方拋物線上的動點，過尸點作x軸的垂線，分別與％軸、AC交于點。、點

3過點。作。尸〃山交八。于點〃，求“乜-的最大值及此時〃點的坐標；

(3)在(2)間取得最大值的情況下，將點P沿)，軸向下平移整個單位長度得到點P',將拋物線y=ax2+

bx+3沿著x軸向左平移1個單位長度得到拋物線y',將直線y=x+3沿著x軸向右平移9個單位

長度得到直線y〃.設拋物線y'與直線y〃的交點為M點、N點(M點在N點的左邊)，在)，軸上是否

存在點。使得A/QN是以PN為腰的等腰三角形.若存在，請直接寫出點Q的坐標.

9.(2022春?重慶?九年級重慶南開中學校考階段練習)如圖，拋物線y=。/+雙+2與1軸交于4

(-4,0)、B(2,0)兩點，與)，軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；

(2)如圖1,連接AC,BC,若點M是第二象限內拋物線上一點，過M作MNIly軸，交4C于點N,

過N作NDIIBC交x軸于點D，求MN—?ND的最大值及此時點M的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，當MN-^NO取最大值時，將拋物線、=。/+6%+2沿射線4。方

向平移3遙個單位，得到新拋物線新拋物線與y軸交于點K,P為)，軸右側新拋物線上一點，過

P作PQlly軸交射線MK于點Q,連接PK,當△PQK為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標.

10.(2022秋.重慶?九年級重慶巴蜀中學校考階段練習)如圖1,已知拋物線y=-；/+版+。經過

(I)求拋物線的解析式;

(2)如圖2,當點A位于x軸的上方，過點A作/1P1/B交直線y=+：于點尸，以AP,AB為鄰邊

構造矩形租8Q.求該矩形周長的最小值，并求出此時點A的坐標；

(3)如圖3,點M是A8的中點，將拋物線先向右平移2個單，‘立，再向上平移1個單位得到新的拋物

線.設新拋物線的頂點為。.點N是平移后的新拋物線上一動點.當以。、M、N為頂點的三角形

是等腰直角三角形時，直接寫出所有點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標過程寫出來.

11.(2022春?重慶?九年級重慶巴蜀中學校考階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+

bx+4與x軸交于點力(-6,0),8(4,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,點。與點C關于拋物線的對稱軸對稱，連接交)，軸于點G,作直線O。，點P為線段

8。上方的拋物線上任意一點，過點P作PE〃y軸交8。于點E,過點尸作PF1直線0。于點F.當

PE+^P/為最大時，求這個最大值及此時點〃的坐標；

(3)如圖2,連接BC、BD,將40CD繞點。順時針旋轉a(0。<a<90。)得到△0C7)',使得

將線段。。沿射線C'O平移得到。'D〃，連接AO',W,請問在平移過程中，是否存在△407)〃是以△

為直角邊的直角三角形，若存在，請直接寫出。〃的坐標，若不存在，請說明理由.

12.(2020春.重慶.九年級重慶八中校考階段練習)如圖，拋物線)，=4f-*+c與x軸交于A,3兩

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

（2）若點￡是拋物線上位于x軸下方的一點，且立4旗=248。，求E的坐標;

（3）若點P是），軸上一點，以尸、A、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，求P點的坐標.

13.（2022秋?重慶?九年級西南大學附中校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=Q嚴+bx+

C（Q。0）的圖象開口向上,對稱軸為直線x=土百，與x軸交于人、8兩點，其中〃點的坐標為（2g,0）,

與y軸交于點C，且08=。。，連接AC.

圖1

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖1,P為直線AC下方拋物線上一點，過點P作PEJ.X軸交直線AC于點區過點4作4F1/1C

交直線尸E于點F,若曾，求點尸的坐標；

（3）如圖2,點。是拋物線,y的頂點，將拋物線,，沿著射線AC平移得到〃為拋物線/的頂點，過

D'作D'Mlx軸于點M.在平移過程中，是否存在以。、》、M為頂點的三角形是等腰三角形？若

存在，直接寫出。'的坐標；若不存在，請說明理由.

14.（2022秋?重慶?九年級重慶八中校考期末）如圖，在平面直角坐標系xQy中，拋物線y=

2與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C.

(1)求點A的坐標；

(2)如圖1,連接AC,點。為線段AC下方拋物線上一動點，過點。作。￡〃丫軸交線段AC于E點，

連接EO,記△4DC的面積為&,△AE。的面積為S2,求工一52的最大值及此時點。的坐標；

(3)如圖2,將拋物線沿x軸向右平移個單位長度得到新拋物線，動點N在原拋物線的對稱軸上，點

M為新拋物線的頂點，當dAMN為以AM為腰的等腰三角形時，請直接寫出點N的坐標.

15.(2022秋?重慶九龍坡?九年級重慶實驗外國語學校校考期末)如圖1,在平面直角坐標系中，拋

物線y=一￥X2+§%+。與工軸交于點4和點兒與y軸交于點C(0,遮)，經過點C的直線與拋物線交

JO

于另?點E(4,m),點G為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D.

圖1圖2圖3

(1)求直線CE的解析式；

(2)如圖2,點。為直線CE上方拋物線上一動點，直線CE與“軸交于點P,連接PF,PC.當四邊形。CP/

的面積最大時，求點P的坐標以及四邊形。CPF面積的最大值.

(3)如圖3,連接CD,將(1)中拋物線沿射線DC平移得到新拋物線XV經過點D,y'的頂點為點M.在

新拋物線/上是否存在點N,使得AMG/V是以MG為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出點N的

坐標：若不存在，請說明理由.

16.(2021秋?重慶?九年級重慶南開中學校考階段練習)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線)，=-

V+bx+c與x軸交于點A(-V3,0),點6(2V3,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式以及點。的坐標；

(2)點P為直線8c上方拋物線上的一點，過。作尸。〃)，軸，交BC于點、D,作PE//AB交BC于E,

EF平分NPED并交PD于E求△PFE周長的最大值以及此時點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，當△PFE周長取得最大值時，過點乃作。軸尸點△PQE沿射線"

平移后得到△PDE，當以點M,D',￡為頂點的三角形是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標.

17.(2021秋?重慶?九年級重慶實驗外國語學校校考開學考試)己知，如圖直線％與直線%分別與％軸

(1)求直線。與直線。的解析式；

(2)點。是線段4?上的一動點，過點。作。E〃力C交8c于E,連接DC,當dCDE的面積最大時，求

點。的坐標；

(3)取在(2)中/COE的面積最大時的點D,在宜線。與直線，2上取點M、N,以點。、M、N為頂

點構成的4OMN能否構成等腰直角三角形，若能，請求出點M的坐標，若不能，請說明理由.

18.(2021春?重慶?九年級重慶實驗外國語學校校考階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線

y=-申3+2交x軸于A、8,交y軸于點C.

(1)求A/BC的面積;

(2)。為拋物線的頂點，連接BD,點尸為拋物線上點C、。之間一點，連接CP,DP,過點尸作PM//BD

交直線BC于點M,連接DM,求四邊形CPDM面積的最大值以及此時尸點的坐標：

(3)將拋物線沿射線BC方向平移3而個單位后得到新的拋物線y'=ax2+bx+c(aH0)),新拋物

線V與原拋物線的交點為E,在原拋物線上是否存在點Q,使得以從E,Q為頂點的三角形為直角

三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標：若不存在，請說明理由.

19.(2021春?重慶?九年級重慶市巴川中學校校考階段練習)拋物線'=-12+m：+九與工軸交于4、

8兩點，與y軸交于。點，拋物線的對稱軸交x軸于點。，已知皿一1,0)，C(0,2)

(I)求拋物線的表達式；

(2)如圖1,點尸是線段8c上的一個動點，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q,當點P運動

到什么位置時，四邊形CDBQ的面積最大？求出四邊形CDBQ的最大面積及此時P點的坐標.

(3)如圖2,設拋物線的頂點為將拋物線沿射線CB方向以每秒遙個單位的速度平移f秒，平移

后的拋物線的頂點為M，，當是等腰三角形時，求I的值.

20.(2021春?重慶沙坪壩?九年級重慶一中校考階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁二夕2

?X■汶x軸于A、8兩點（點A在點8左側）.一次函數），=》+〃與拋物線交于4、。兩點，交），

（2）點￡是線段CQ上任意一點，過點E作￡〃_!_），軸于點F,過點￡作￡P_LAO交拋物線于點P.點

P位于直線人。下方，求心尸曰4七廠的最大值及相應的尸點坐標；

4

（3）將拋物線沿射線A。方向平移與個單位長度得到新拋物線丁,新拋物線與原拋物線交于點K."、

N是直線A。上兩動點（M在N的左側），滿足MN=3遍.是否存在以M、N、K為頂點的直角三角

形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由.

二輪復習【中考沖刺】2022?2023年中考數學重要考點

名校模擬題分類匯編專題11

——二次函數與三角形綜合(重慶專用)

1.(2022秋?重慶沙坪壩?九年級重慶南開中學校考期末)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y-

|x2+bx+c與直線48交于點4(0,-4),B(4,0).

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)點P為直線48卜.方拋物線上的一動點，過點P作PM148交88于點M,過點P作y軸的平行線交x軸

于點N,求+PN的最大值及此時點P的坐標；

(3)如圖2,將該拋物線先向左平移4個單位，再向上移3個單位，得到新拋物線y',新拋物線/與y軸

交于點F,點M為y軸左側新拋物線y'上一點，過M作用可〃丫軸交射線BF于點N,連接當△FMN

為等腰三角形時，直接寫出所有符合條件的點M的橫坐標.

【答案】(1)丫=：/一%-4

叫P&Y)

(3)符合條件點M的橫坐標分別為一5、-10,—［、一答

【分析1(I)用待定系數法把71(0,-4),B(4,0)代入y=：/+bx+cnnt.

(2)設直線48的解析式為y=kx+b,把4(0,-4),8(4,0)代入可得，求出直線的解析式為y二

x-4,求出PC=&PM,當m二決寸，&PM+PN最大值為*

(3)求出左平移4個單位，再向上移3個單位的函數表達式y'=：乃2+3%+3,把N/7,MN,MF表

示出來，分情況討論即可.

【詳解】(1)解：把4(0,-4),以物計弋入丫=:標+以+何得，

(—4=c

(0=8+4b+c'

解得c=-4,b=-1,

.*.y=-xz-x-4,

J2

(2)解：設直線4B的解析式為y=kx+b,

把4(0,-4),8(4,0)代入可得,

k=1,b=-4,

工直線力8的解析式為y=x-4,

設P(TH,g一加一4),則

PN=~~m2+m+4,

2

*：OA=OB,

：.WBA=45°,

，乙NCB=45°,

工乙MCP=45。，

又???PMSB,

/.PC=&PM,

把P點的橫坐標代入y=x-4可得，

y=TH-4,

C(771,TH—4)

:.PC=~~m2+2m,

2

2

:.&PM+PN=-m24-3m+4=-(m-1)+彳

當m=|時，&PM+PN最大值為與.此時，P(|,-y)

(3)把y=-％-4變成頂點式為y=1(x-I)2

???左平移4個單位，再向上移3個單位，

"'=)無+3乃一狎(=1+3%+3,

???/(0,3),

設過的直線解析式為y=kx+b,

把“0,3),^(今。計弋入得「。：(；。，解得匕=3,k=-：,

的直線解析式y=-^x+3,

設M+3a+3),M和N的橫坐標相同，把M的橫坐標代入y=-：％+3,

N(a,-qa+3),

??

.NF=--4a,

MN=|——|a2|?

MF=a?+ga2+3a)2=-al+$a+3)2

I、當NF=MN時，-：a=|一弓。一3標|，

解得：%=—5,a2=0(舍云)，a3=-10,

M2(-10,23)

Ik當NF=MF時，-：Q=-QJ1+GQ+3)2

整理得：4a2+48a4-135=0,

915

當a=V時，M（W）.N（一遍）

當a=—￡時，M（—￡，—N（—￡,胃），此時M、N重合，不合題意，舍去，

IH、當MN=MF時，一?Q-[a2=_Qji+CQ+3）2

整理得：；a=-竺

44

解得Q=-不

當。=譚時，M（卷，黑，

綜上所述：符合條件的點M有四個，其橫坐標分別為-5、-10,

【點睛】此題考食了二次函數的綜合問題，解題關鍵是熟悉二次困數的基本性質、待定系數法、線

段表示方法.

2.（2022秋?重慶?九年級重慶南開中學校考階段練習）如圖，拋物線y=；/一；％一3與x軸交于A、

24

B兩點（點A在點8的左側），與），軸交于點C.點D在），軸E半軸上，直線4。：y=x+b與拋物線

交于點E.

(1)求線段BC的長度;

(2)如圖，點P是線段46上的動點，過點P作)，軸的平行線交拋物線于點Q,求震的最大值:

(3)如圖，將拋物線y=_3向左平移4個單位長度，籽△4沿直線BC平移，平移后的△DCA

記為△。七在新拋物線的對稱軸上找一點M,當△AC'M是以點4為直角頂點的等腰直角三角形

時，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標.

【答案】⑴3遍

嚙

⑶叭一3,3)或(一3,-2)

【分析】(1)分別求出B、C點的坐標，再求BC的長即可；

(2)設P(t,t+4)(-4<t<14),可求PQ=-92+'+7,CD=7,則嘗=一白("5/+萼,

84CD5656

當。=5時,察有最大值左

CD56

(3)求出平移后的拋物線的解析式，設M(—3,m),由題意可得AM=5,設△力CD沿x軸向左平移2a

個單位長度，則沿y軸向下平移Q個單位長度，則4(-4-2a,-a),C'(-2a,-3-a),再由

7(-4-2a+3)2+(m+a)2=5①，J(3—2a尸+(丁+3+十產=5魚②，聯立①@可得；或

｛；;二g，即可求M(-3,3)或(一3,-2).

【詳解】(1)解：令y=0,則*/一：工一3二0,

解得％=6或%=-4,

???A(-4,0),B(6,0),

令％=0,則x=-3,

???C(0,-3),

BC=3V5：

(2)將點力(-4,0)代入y=x+b,

，-4+匕=0,

解得匕=4,

y—x+4,

???D(0,4),

y=x+4

-121

｛yV——x—x—Vd

J84

解明蠢4端"

???E(14,18),

設P(￡,t+4)(-4<t<14),

PQ〃y軸，

Q(*[2一%-3),

...PQ=t+4_(12_*3)=一*+*7,

???CD=7,

???--t2+—1+1=--(t-5)2+—,

CD562856k756

.?.當t=5時，出有最大值之

CD56

(3)???y=_J.%―3=一±(%_i)2一竺，

Z848k78

???平移后的拋物線解析式為y=-

o8

???拋物線的對稱軸為％=-3,

設

v/1(-4,0),C(0,-3),

???AC=5,

A'Cf=5,

???△A'C'M是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，

??.AM=5,

設44CD沿工軸向左平移2a個單位長度，則沿y軸向下平移a個單位長度，

?*"A'(^—4—2a,~a),Cr(-2a,-3-a)?

???，(一4-2a+3乃+(m+a)?=5①，CM=V(3-2a)24-(m4-3+a)2,

???CM=垃AC,

J(3-2a尸+(卜+3+。尸=5或②,

聯立①②可得｛；二;或｛;二1g，

M(-3,3)或(一3,-2).

【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，等腰直角三角形的性

質，函數圖象平移的性質是解題的關鍵.

3.(2022秋?重慶渝中?九年級重慶巴蜀中學校考階段練習)如圖，拋物線尸〃2+b"c交x軸于4

6

B兩點(A在8的左側)，其中8(26，0),與y軸交于點C(0,-4).

y

(i)求拋物線的解析式：

(2)直線8。與)，軸交于點。，且N/WD=30。，點M是拋物線上在第三象限的一動點，過M作

軸，交直線BO于點P,MQ_L3O于點Q,求V5MQ+PQ的最大值及此時M點的坐標；

(3)將拋物線沿射線。B方向平移4個單位得到新拋物線w，新拋物線“與原拋物線交于點E,在新

拋物線X的對稱軸上確定一點F，使得ABE尸是以BE為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件

的點尸的坐標.

【答案】⑴尸那+4%-4：

63

⑵V5MQ+PQ有最大值16,此時M(-2VJ,-4)；

⑶F點坐標為(V5,，闞岳卓)或(岳*?)或(岳(?).

【分析】(1)用待定系數法求函數的解析式即可；

(2)在△PQM中，求出/PMQ=30。，貝i」0MQ+PQ=2PM,求出尸M的最大值時即可求解；

(3)求出平移后的函數解析式尸:①逐上興再求出點員-6,-；),設分兩種情況討論：當

8斤8/時和當8斤Eb時，根據邊長相等列出方程求出機的值即可.

(1)

解：將8(275,0)0(0,-4)代入y=:/+b%+c得:

6

.(c=-4

??(2+2>/3Z>+c=0

-c=-4

解得卜_&，

D=-

3

：.y=^x2+^-x-4i

63

(2)

???NA8O=30。，MP〃)，軸，

/.ZMPQ=60°,

VMQXBD,

ZPMQ=30°,

???MQ=WMP,PQ=；PM、

：?6MQ+PQ=2PM,

,??08=20,NDBO=30。,

A0D=2,

，。（0,2）,

設直線BD的解析式為產近+/3

ib=2

l2V3k+b=0

b=2

解得:IT

/.y=-yx+2,

設（￡,92+當匕4）,則尸（彳?￡+2）

o33

61x/31,2A/31廠2

??.PM=_—1+2--129--1+4=--12--r+6=--(t+2V3)+8

363636

???當t=?2VJ時，rMff最大值8

??MMQ+PQ=2PM,

，當t=-2V5時，6MQ+PQ有最大值16,此時M(-2VJ,-4)；

(3)

F點坐標為（V5,字）或（6,-手）或（6,-；+”）或（6,-；-綃）.理由如下:

???拋物線沿射線方向平移4個單位，

???拋物線沿x軸正方向移動25個單位，沿），軸向下平移2個單位，

拋物線乃的解析式為尸弟-拘24

當!’-?%-6=1/+?無_4時，x=-V3,

6363

L9

???新拋物線的對稱軸為直線x=V5,,設尸(6，加)，

18992

22

BE2=-^F=3+m\EF=12+(m+-),

當BE=8/時，?=3+而，

初犯師而

解得m1=—,血2=---,

.廠AA77一廠VT77

—~)或(百,—~)；

當BE=EF時，詈=12+(m+\)：

喇旦巾-94ml9一9g

解得：mi-?m2-

.??/，*寫）或（VM.等）

綜上所述：/點坐標為（6，手）或（岳苧）或（岳9組）或（V5,；W）.

【點睛】本題考杳二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，直角三角形的性質，

等腰三角形的性質，分類討論是解題的關犍

4.（2022春?重慶北暗?九年級西南大學附中校考期中）如圖1,拋物線y=。/+6%+<:（。*0）與直

線y=一：無+4的交點分別位干x軸、），軸卜的兩點.與x軸的另一交點為。（一2,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2,連接BC,點尸為A8上方拋物線上?動點,過點P作PQHBC交AB于點Q,過點P作戶R1x

軸交4B于點R,求△尸QR周長最大值及此時點尸的坐標；

（3）在（2）問條件下，當APQR面積最大時，將APQR繞點A順時針旋轉"。（0V幾<90）,當旋轉

過程中，PRJ■力8時，記此時三角形為APiQiRi，再將APiQiRi沿直線A6進行翻折得到AP2Q2R2,將

AP2Q2&沿直線A4進行平移，在平移過程中，若點P?恰好在拋物線上，記此時的三角形為AP3Q3R3,

請直接寫出此時尸3的坐標.

【答案】（l）y=-g/+gx+4

（2）aPQR周長最大值為竺薩，此時點尸（|彳）

/3+2n14后、1/3-2遍1,4布、

（3）P3（F—，---丁）或（一^，--+—）

【分析】（1）由直線y=-+%+4與x軸、），軸分別交于4、B兩點，可先求出點A,B的坐標，再將

A,B,C三點坐標代入拋物線解析式即可得出結論；

（2）過點。作QMLPR于點M,可得，AOBCsAMPQ,AOBAS^MRQ,進而可得△PQR的周長

為PQ+QR+PR,設點P的橫坐標為，，表達PR的長，利用二次函數的性質可得出其最大值，進而可

得出結論；

（3）過點P作x軸的垂線，過點R作x軸的平行線交于點N,則△RP/NS/\84。，所以RP/：PW：

RN=BA：OA：OB=5：3：4,將△P/Q/R/沿直線48進行翻折得到△PzQWz，可得點R是P/,巴的中

點，進而可得P2的坐標；由平移可得P2P3〃AB,所以直線P2尸3的解析式，聯立一次函數與拋物線

的解析式，可得出。3的坐標.

（1）

由題意可知，直線y=—：x+4與x軸、），軸分別交于A、8兩點，

*5

?"（3,0）,B（0,4）,

將A（3,0）,B（0,4）,C（-2,0）代入拋物線廣加+bx+c（"（）），

9a+3b+c=0

得，c=4

4a—2b+c=0

解得〈b-

3

、c=3

，拋物線的解析式為：y=+4.

(2)

由(1)知0C=2,OB=4,Q4=3,

如圖，過點Q作QM_LPR于點M,

，NBOC=NQMP=90。,

VBC/7PQ,PR〃y軸,

AZOBC=ZQPR,

AAOBC^AMPQ,

：.OC；OB=MQ；PM=2；4；

???PR〃y軸，

???NOBA=NQRP,

/.△OBA^AMRQ,

：,OB：OA=MR：QM=4：3,

設QM=3m,貝I]PM=2QM=6m,RM=4〃i,

:.QR=5in,QP=3店m,PR=\0m,

AAPQR的周長為PQ+QR+PR=15m+3V5m=(15+3追加=竺祥「死

若求△PQ/?的周長的最大值，求出刊？的最大值即可；

設點P的橫坐標為3貝斤(。-“2+?+4),R?,_(+4),

2,2,,4、22c2,3、)3

P/?=--12+-1+4--14-4)=--12+2t=--(t--)2+

.??當時，PR的最大值為支

此時點PG，9,△PQR周長最大值竺爭乂t=竺薩

(3)

由(2)設QM=3m,貝ijPM=2QM=6m,RM=4〃i,

:,QR=5m,QP=3\[5m,PR=\0m,

AAPQR的面積為2PRXQM=-PRx—PR=-PR2

2233

若求△PQR的面積的最大值，求出尸R的最大值即可；

由⑵可知當r=|時，PR的最大值為去

此時點P(|1)，則R(1,2),PR-*

將△PQR繞點R順時針旋轉〃。（0V〃<90）,當旋轉過程中，PR_LAB時，記此時三角形為△PQR/,

過點尸作x軸的垂線，過點R作x軸的平行線交于點N,

貝SRPiNs/XBAO,

ARPI：PiN：RN=BA：OA：OB=5：3：4,

：.P,N=-,RN上,

105

，嗚，汾

???將AP/Q/Q沿直線AB進行翻折得到△PzQzR?，

，點R是P/,P2的中點，

,??。2舄，》

???由平移的性質可知，P22〃AB,

工直線P2P3的解析式：y=-lx+l?

令一］x+|=-1x2+|x+4,

解得比=學或X=手.

."（手，->竽）或古乎,W+竽）.

【點睛】本題考查了二次函數的解析式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，平行四

邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知待定系數法求得二次函數的解析

式.

5.（2022?重慶九龍坡?重慶實驗外國語學校校考三模）如圖I,在平面直角坐標系中，拋物線y=QM+

立+2（“工0）與不軸交于4B兩點，與），軸交于點C,對稱軸交拋物線于點Q,交x軸于點M.其

中點4（-2,0）,點8（4,0）.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接BC,在第一象限的拋物線上有一點P,且點P位于對稱軸右側，過P作于

點。，PE_LMQ于點E,求述PD+PE的最大值及此時點。的坐標.

(3)將拋物線向右平移2個單位長度后得到新拋物線力,新拋物線力與原拋物線相交于點M在新拋

物線力的對稱軸上有一點，，點/為％與x正半軸的交點，若是以AW為腰的等腰三角形，

請直接寫出點”的坐標，并寫出求解其中一個”點的過程.

【答案】(l)y=-[%2+gX+2

(2)最大值為玄P(3,J

(3)點”的坐標(3,2+的百)或(3,2-4q)或(3,-1)；見解析

【分析】(1)用待定系數法把71(-2,0),8(4,0)代入即可求出.

(2)過點P作y軸平行線交BC于點H,由點B,C的坐標可求出直線BC的解析式，設

P(m,-M+如+2),一如+2),由PD1BC,PH||OC,

得出?ABOC,3=瞿=提，從而推出遍PD=2R”，進而建立函數模型遙PD+PE=

PHBL2V5

2PH+PE=一如24-3m_l=-1(^2-3)2即可得出結果.

(3)由原拋物線向右平移2個單位得到新拋物線yi=-12+9,從而得出乂尸的坐標,設9(3,九)，

42

以M/為腰的等腰二角形，有兩種情況①HN=NF,?〃N=HF,利用勾股定埋可建立方程，解出即

得到結果.

(I)

拋物線y=ax2+6%+2與x軸交于點4(-2,0),點B(4,0),

.[0=16a+4b+2

??(0=4"2匕+2'

???該拋物線的解析式y=-；x2+^x+2.

(2)

(2)如圖所示：過點P作y軸平行線交8c于點H,

--yec=-2X+2，

設P(m,—：巾2++2),H—+2),

vPD1BC,PH//OC,

PDHBOC,

,PD_OB_4

??PH-BC-2建’

：,V5PD=2PH,

：2

-PH=-4-m+m,PE=m-l,

:?炳PD+PE=2PH+PE=--m2+3m-1=--(m-3)2+

2272

V--<0,1<m<4,

2

???當m=3時,y/SPD+PE的最大值為夕

???P(3,*

(3)

(3)點”的坐標(3,2+4^)或(3,2-JT可或(3,-1).

???原拋物線為y=--x2+^x+2=--(x-I)2+-,

4244

???原拋物線向右平移2個單位得到新拋物線%=

???新拋物線為與原拋物線相交于點M點b為yi與x正半軸的交點,

N(2,2),尸(6,0),

???”為新拋物線對稱軸上一點，

設”（3,h）,

設NH=NF時，則NH2=N?2,

,?,1+（九一27二20,

：.h=2±719,

AW（3,2±V19）.

設NH=，尸I時，W\NH2=HF2,

:.l2+（2-h）2=32+h2,

???h=-1,

???W（X-1）.

故點H的坐標為：（3,2+舊）或（3,2-舊）或（3,-1）.

【點睛】本題是二次函數綜合題，主:要考查了用待定系數法求二次函數的解析式，建模思想求最值

問題，等腰三角形腰的不確定性，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的

坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

6.（2022?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考三模）如圖1,拋物線y=。/+/^+2（。W0）交大軸于點

4（一1,0）,點B（4,0）,交），軸于點C.連接8C,過點A作/4D〃8c交拋物線于點。（異于點A）.

（1）求拋物線的表達式：

（2）點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PE〃y軸，交4。于點E,過點E作EG_LBC于點

G,連接PG,求aPEG面枳的最大值及此時點。的坐標；

（3）如圖2,將拋物線丁=。/+6%+25工0）水平向右平移；個單位，得到新拋物線力,在yi的對稱

軸上確定一點使得AZ?。例是以8。為腰的等腰二角形，請寫出所有符合條件的點用的坐標，并

任選其中一個點的坐標，寫出求解過程.

【答案】（l）y=—g/+gx+2

（2）當m=2時，即尸（2,3）時，5”EG有最大值3

（3）所有符合條件的點M的坐標為M（3,-3）或M（3,-3+逐）或M（3,-3-遍），求解過程見解析

【分析】（1）根據交點法設拋物線的解析式，然后和。工2一3”一4a比較相同項系數，即可解答,

(2)連接AC,過G作G，1PE于”，在即A40C中，根據勾股定理求出4c長，在RsBOC中,

根據勾股定理求出BC長，然后根據勾股定理逆定理求出aABC為直角三角形，再證明四邊形AECG

是矩形，得出4C=GE,利用44S證明A40C三AGHE,得出G"=OA=1,從而推出5”.=[2從

設P(m,-[m2+gm+2)(0<mv4),再求出直線4。的解析式，則可表示出E點坐標，再根據

兩點間距離表示出PE的長，最后根據二次函數的性質求面積的最大值即可：

(3)根據平移的性質求出新拋物線的對稱軸，聯直線人D和拋物線的解析式求出。點的坐標，設

M用兩點間距圈公式表示出△/?/?/的=邊,然后分和A/NMD兩種情況討論.分別

求出M點坐標，即可解答.

【詳解】(1)解：???拋物線過點A,B,設拋物線為、=磯％+1)(%-4),

ax2+bx+2=ax2—3ax-4a,

解得：a=—5

，拋物線為y=+g%+2：

在RSBOC中，80=4,0C=2,

：.BC=V42+22=2\/5,

在"BC中，

'：AC+8(72=5+20=25=AB2,

：,AC1BC,

又，：GE1BC,AD//BC,

J四邊形AEGC為矩形，AC=GE,

'：GH//AO,CO//EH,

：,LAOC=AGHEQ4/1S),

：,GH=AO=1,

：^PEG=\PEGH=\PE,

設P(m,—1m24-1?n4-2)(0<m<4),

VBC：y=-^x+2,AD//BC,

?，?AD：y=E(m,一綱-J,

PE=—Tn2+2m+：,

22

-FPEG=：PE=~^m2+m+￡

V-^<0,開口向下，

當m=2時，即P(2,3)時，有最大值*

(3)拋物線原對稱為直線x=￡

平移后新對稱軸為直線x=3,

聯立y=_：%一$

12?3f

一二+二1

/y=2x2x+2,

解得D(5,-3),

設M(3,m),5(4,0),

MD2=m2+6m+3,BM2=m2+1,BD2=10,

當=時，m2=9,m=3或-3,

但m=3時，B,。，“三點共線，舍去，

故ni]=-3?

當3。=MD時，m2+6m+3=0,

加2,3=-3±V6,

綜上，M(3,-3)或M(3,-3+遍)或M(3,-3一遍).

【點睛】本題是二次函數的綜合題，涉及的知識點有：利用交點法求二次函數解析式，二次函數和

三角形面積的綜合，二次函數和等腰三角形的綜合，兩點間距離公式，三角形全等的判定，矩形的

判定，以及二次函數的平移，以及方程思想的應用，綜合性較強，有一定難度.

7.(2022.重慶.西南大學附中校考模擬預測)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+：x+c

與x軸交于點4(3,0)、B(-1,0)兩點，與y軸交于點C,連接AC.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式:

(2)點P為線段AC上方拋物線上一動點，過點尸作PQ1”軸交AC于點Q,求PQ+等CQ的最大值

及此時點。的坐標；

(3)如圖2,將拋物線沿射線CA方向平移半個單位，得到新拋物線y',M是新拋物線/的對稱軸上

一點,在(2)問的條件下，若AAPM是以4P為腰的等腰三角形，請直接寫出符合條件的所有點M

的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來.

【答案】(19=一1%2+；X+2：

(2)PQ+等CQ的最大值為/此時，P(2,2)；

(