珠海市鳳凰中學教育集團2024～2025學年度第二學期初三年級學生學業質量模擬監測（數學）說明：1．全卷共6頁，考試時間為120分鐘，滿分120分．2．答題卡必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目的指定區域內相應位置上；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．3．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將答題卡上交，試卷自己妥善保存．一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.數學家劉徽在《九章算術》中第一次給出了正負數的概念：“正算赤，負算黑”，即用紅色木棍表示正數，用黑色木棍表示負數．若4根紅色木根表示，則3根黑色木根表示（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查用正負數來表示實際問題中具有相反意義的量，熟練掌握用正負數表示具有相反意義的量是解題的關鍵．根據正負數的表示方法解答即可．詳解】解：4根紅色木根表示，3根黑色木根表示，故選：．2.下面的圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；B．該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；C．該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；D．該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意，故選：A．3.請閱讀一小段約翰斯特勞斯作品，根據樂譜中的信息，確定最后一個音符的時值長應為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】本題是有理數運算的實際應用，就是已知兩個數的和及其中一個加數，求另外一個加數，作減法列出正確的算式依題意得：故選C．4.已知，如圖，∠A＝70°，∠B＝40°，CD平分∠ACE，則∠ACD＝（）A.55° B.70° C.40° D.110°【答案】A【解析】【分析】由三角形外角的性質求解∠ACE的度數，再利用角平分線的定義可求解∠ACD的度數．【詳解】解：∵∠ACE是△ABC的外角，∠A＝70°，∠B＝40°，∴∠ACE＝∠A+∠B＝110°，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ACE＝55°．故選：A．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，角平分線的定義，求解∠ACE的度數是解題的關鍵．5.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查整式的加減及乘除運算，根據整式的加減及乘除運算法則逐項判斷即可．【詳解】A、，運算錯誤，該選項不符合題意；B、運算正確，該選項符合題意；C、，運算錯誤，該選項不符合題意；D、，運算錯誤，該選項不符合題意．故選：B6.現有一批瓶飲料中有2瓶已過了保質期，從中任取1瓶，恰好取到已過了保質期的飲料的概率是，這批飲料中沒有過期的有（）瓶．A.96 B.48 C.50 D.100【答案】B【解析】【分析】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數．直接利用概率公式求解．【詳解】解：設這批飲料中沒有過期的有x瓶,則，解得：，經檢驗，是原方程的解，故選B．7.如圖，在中，為直徑，，為圓上的點，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，由直徑所對的圓周角是得出，根據直角三角形的兩個銳角互余結合圓周角定理計算即可．【詳解】∵在中，為直徑，∴，∵，∴，故選D．8.如圖，已知一坡面的坡度，則坡角的度數為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查坡度坡角，根據坡度即為坡角的正切值求解即可．【詳解】解：∵，∴坡角．故選：C．9.座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間T（單位：s）稱為一個周期，其計算公式為，l表示擺長（單位：m）．若一臺座鐘的擺長為，當取3時，該擺針擺動的周期為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了求代數式的值，正確計算是解題的關鍵．把代入中即可求解【詳解】解：把代入，得，故選：D．10.如圖，已知的頂點在反比例函數的圖象上，邊在軸上，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數的綜合題．要求反比例函數中的值，需要先求出點的坐標，過點作軸于點，在中，利用已知的邊的長度和角度信息，求出點的橫、縱坐標，再代入反比例函數表達式求出．【詳解】解：過點作軸于點，如圖所示，，在中，，，，，，，在中，，，，，點在第二象限，點的坐標為，頂點在反比例函數的圖象上，將點的坐標代入函數表達式中，可得，；故選：B．二、填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11.某品牌專賣店月份銷售了雙運動鞋，其尺碼和數量統計如下表：尺碼3839404142數量24563這雙運動鞋尺碼的眾數是______．【答案】【解析】【分析】根據眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數，故數量最多的尺碼即是答案．【詳解】∵尺碼，數量；尺碼，數量；尺碼，數量；尺碼，數量；尺碼，數量∴∴尺碼是這雙運動鞋尺碼的眾數故答案為：．【點睛】本題考查眾數的定義，數量掌握眾數的定義是解題的關鍵．12.計算：__________．【答案】1【解析】【分析】本題主要考查同分母分式加減法，原式通分后再化簡即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：1．13.如圖是一組有規律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規律，第n個圖案中有__________個白色圓片（用含n的代數式表示）【答案】【解析】【分析】由于第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，，可得第個圖案中有白色圓片的總數為．【詳解】解：第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，，∴第個圖案中有個白色圓片．故答案為：．【點睛】此題考查圖形的變化規律，通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況．解題關鍵是總結歸納出圖形的變化規律．14.若關于x的方程有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．由方程有兩個不等的實數根結合根的判別式，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出結論．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，．故答案為：．15.如圖，在菱形中，的長為4，點E，F分別是，的中點，連接，．若，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角函數解直角三角形，勾股定理等．延長，交于點M，根據菱形的性質和中點性質證明，，過F點作于N點，根據三角函數的定義結合勾股定理列式計算即可得出答案．【詳解】解：延長，交于點M，在菱形中，點E，F分別是，的中點，，，，，，在和中，，，和中，，，，過F點作于N點，，∴設，則，∴，，，，在中，由勾股定理得，即，解得，，故答案為：．三、解答題（共3小題，滿分21分，每小題7分）16.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查了立方根、算術平方根、絕對值、乘方，先化簡絕對值和運算立方根、算術平方根、乘方，再運用加減，即可作答．詳解】解：．17.某商場以1200元購進一批商品，很快銷售完了，由于商品暢銷，商場又用1200元購進第二批這種商品，但第二批商品單價比第一批商品的單價上漲了20%，結果比第一批少購進5件這種商品，求第一批和第二批商品的購進單價分別是多少元？【答案】第一批商品的單價為40元，第二批商品的單價為48元．【解析】【分析】本題考查分式方程的應用．設第一批商品的單價為元，根據結果比第一批少購進5件這種商品列出分式方程得，解方程并檢驗可得答案．【詳解】解：設第一批商品的單價為元，則第二批商品的單價為元；根據題意得：，解得，經檢驗，是原方程的解，也符合題意，，第一批商品的單價為40元，第二批商品的單價為48元．18.某數學活動小組利用太陽光線下物體的影子和標桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時刻，旗桿的影子為，與此同時在C處立一根標桿，標桿的影子為，，．請你從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求旗桿的高度．條件①：；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角為．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．參考數據：，，．【答案】旗桿的高度約為．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，投影的性質，掌握投影的性質及解直角三角形的應用是解題的關鍵．先求得的長為．若選擇條件①：根據同一時刻物高與影長成正比進行計算即可求解；若選擇條件②：過點作，垂足為，則，，解可得，再根據線段的和差關系即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴的長為．若選擇條件①：由題意得：，∴，∴，∴旗桿的高度為；若選擇條件②：過點D作，垂足為F，則，，在中，，∴，∴，∴旗桿的高度約為．四、解答題（共3小題，滿分27分）19.如圖，在中，．（1）用無刻度直尺和圓規在上求作點D，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】（1）作的垂直平分線，交于點D，點D即為所作；（2）作，，垂足分別為和，先求得，利用等腰三角形的性質結合勾股定理求得，利用等積法求得，據此計算即可求解．【小問1詳解】解：如圖，點D即為所作；【小問2詳解】解：作，，垂足分別為和，如圖，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，即，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了尺規作圖，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的外角性質，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．20.某校舉辦中華傳統文化知識大賽，該校七年級共240名學生和八年級共260名學生都參加了比賽．為了解答題情況，進行了抽樣調查，從這兩個年級各隨機抽取20名學生，獲取了他們的成績（百分制），并對數據（成績）進行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．七、八兩個年級學生成績的頻數分布直方圖如下（數據分成4組：，，，）：b．七年級學生的成績在這一組的是：8082848586878787878789c．七、八年級成績的平均數、中位數、眾數如下：

平均數中位數眾數七年級84.2mn八年級84.687.588根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m，n的值；（2）估計七、八兩個年級成績在的人數一共為______；（3）把七年級抽取的20名學生的成績由高到低排列，記排名第5的學生的成績為，把八年級抽取的20名學生的成績由高到低排列，記排名第5的學生的成績為，比較，的大小，并說明理由．【答案】（1）86.5，87；（2）126；（3），理由見解析．【解析】【分析】本題考查頻數分布直方圖，平均數，中位數眾數的意義和用樣本估計總體，準確理解這些概念是解題的關鍵．（1）根據中位數和眾數的概念求解即可；（2）根據樣本估計總體的方法求解即可；（3）根據兩個年級抽取的20名學生的成績在的人數判斷出，的大小，進而比較即可．【小問1詳解】∵一共抽取20名學生∴中位數為第10名學生和第11名學生成績的平均數∴第10名學生和第11名學生成績分別86，87∴；抽取的20名七年級學生的成績中87出現的次數最多∴眾數；【小問2詳解】（人）∴估計七、八兩個年級成績在的人數一共為126人；【小問3詳解】∵七年級抽取的20名學生的成績在的有4人∴排名第5的學生的成績中最高成績，∴∵八年級抽取的20名學生的成績在的有6人∴排名第5的學生的成績∴．21.小李和小王去公園玩標準的蹺蹺板（兩邊長度一樣）游戲，兩同學越玩越開心，小李對小王說：“真可惜！我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我就能翹得更高！”（1）請你根據他們的對話，借助圖1，計算出蹺蹺板的支點O與地面的距離的長度；（2）你認為小李的話對嗎？請你作圖分析，說明理由．（3）如果小李想把小王翹高到1米25，試說明你的方法．【答案】（1）米；（2）小李的話不對，見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了相似三角形性質的應用；（1）小李對小王說“真可惜！我只能將你最高翹到1米高”，可知B在地面上時，A距離地面1米，利用是三角形的中位線可知米；（2）若將兩端同時都再伸長相同的長度，依然是三角形的中位線，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架高度的兩倍即為1米，所以不可能翹得更高；（3）①方案一：保持長度不變．將延長一半至E，即只將小王一邊伸長一半．利用相似三角形的性質求解即可；②方案二：只將支架升高0.125米．同樣利用相似三角形的性質求解即可．【小問1詳解】解：小李對小王說“真可惜！我只能將你最高翹到1米高”，情形如圖1所示，是標準蹺蹺板支架的高度，是蹺蹺板一端能翹到的最高高度1米，是地面．，，，又此蹺蹺板是標準蹺蹺板，，，而米，得米；【小問2詳解】解：小李的話不對．若將兩端同時都再伸長相同的長度，假設為a米．如圖2所示，米，米∵，∴，即．∴，同理可得∽，∴，由米，得米．綜上所述，蹺蹺板兩邊同時都再伸長相同的一段長度，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架高度的兩倍，所以不可能翹得更高；【小問3詳解】解：①方案一：如圖3所示，保持長度不變．將延長一半至E，即只將小王一邊伸長一半．使，則，由∽，得，∴米．②方案二：如圖4所示，只將支架升高0.125米．∵，，又米，∴，∴米．五、解答題（共2小題，滿分27分）22.如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣在軸上，且dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為軸，高度dm．現計劃將此余料進行切割：（1）若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積；（2）若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長最大，求此矩形的周長；（3）若切割成圓，判斷能否切得半徑為dm的圓，請說明理由．【答案】（1）；（2）20dm；（3）能切得半徑為3dm的圓．【解析】【分析】（1）先把二次函數解析式求出來，設正方形的邊長為2m，表示在二次函數上點的坐標，代入即可得到關于m的方程進行求解；（2）如詳解2中圖所示，設矩形落在AB上的邊DE=2n，利用函數解析式求解F點坐標，進而表示出矩形的周長求最大值即可；（3）設半徑為3dm的圓與AB相切，并與拋物線小腳，設交點為N，求出交點N的坐標，并計算點N是與拋物線在y軸右側的切點即可．【小問1詳解】由題目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）設二次函數解析式為y=ax2+bx+c，∵對稱軸為y軸，∴b=0，將A、C代入得，a=，c=8則二次函數解析式為，如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設其邊長為2m，則P點坐標可以表示為（m，2m）代入二次函數解析式得，，解得（舍去），∴2m=，則正方形的面積為；【小問2詳解】如下圖所示矩形DEFG，設DE=2n，則E（n，0）將x=n代入二次函數解析式，得，則EF=，矩形DEFG的周長為：2（DE+EF）=2（2n+）=，當n=2時，矩形的周長最大，最大周長為20dm；【小問3詳解】若能切成圓，能切得半徑為3dm的圓，理由如下：如圖，N為上一點，也是拋物線上一點，過點N作的切線交y軸于點Q，連接MN，過點N作NP⊥y軸于P，設，由勾股定理得：，∴解得：，（舍去），∴，∴∵∴∴設QN的解析式為：∴∴∴QN的解析式為：與拋物線聯立為：所以此時N為與拋物線在y軸右側的唯一公共點，所以若切割成圓，能夠切成半徑為3dm的圓．【點睛】本題考查了二次函數與幾何結合，熟練掌握各圖形的性質，能靈活運用坐標與線段長度之間的轉換是解題的關鍵．23.如圖，在中，，