第七章計算機代數

ComputationalAlgebra

SymbolicManipulation

MachineAlgebra

§7.1引言

數值計算系統

Fortran語言

例：.....

x=i

Y二2

Z=X+Y

非數值計算系統

Mathematica語言

例：勒讓德多項式定義

(1)LegendreP[72,x\給出勒讓彳惠多項式匕(x).

(2)LegendreP[77,m,x]給出伴隨勒讓德多項式

P”"'(x)=(-1)7,(1-X2Cr)

也可以由用戶采用遞推公式定義：

P[n_,x_]:=

module[{temp},temp=O;

If[n==0,temp=l,

If[n==l,temp=x,

If[n>1,

temp=((2n-l)xP[n-1,x]-(n-l)P[n-2,x])/n,Null

],Null],Null

];temp

]

遞推公式

P()G)=1,P|(x)=x,尸〃(x)=[(2n-j(x)-(n-l)Pn_2(x)]In

表面上來看，數值計算語言應當與計算機代數語言是

本質上迥然不同的兩種語言。其實，兩者在本質上是完

全一致的。這是因為目前我們使用的計算機仍然是一種

二進制的數字計算處理機。文字、字符或符號都只能通

過二進制編碼才能用計算機進行處理。

由于這種本質聯系，所有的數值算法語言經過改造加

工以后，都可以發展為計算機代數語言，或者說可以具

有非數值處理功能。

所謂計算機代數處理系統實際上是指硬件和軟件的

綜合。

常用的計算機代數系統：

1.MACSYMAo它是用LISP語言的一種功能很強的方言

FranzLisp寫成的。它是一個通用的計算機代數系統。

(2)REDUCEo它是由赫電(A.C.Hearn)設計的。該

語言是用SUSP(StandardLISP)寫成的，通用的代

數處理系統，具有相當廣泛的基本代數處理功能，并

能處理高能物理的計算問題。

(3)Mathematicao該系統是美國Wolfram公司開發

的一個功能強大的計算機通用數學系統。其基本系統

主要是用C語言開發的。它是當前運用十分廣泛的符

號代數處理系統。

(4)Maple.這是一個商業產品。其優點是使用圖形用戶

界面并支持一些復雜運算，如：因式分解，積分或求和。

缺點是Maple不適用于處理大量數據。

(5)GiNaC:這是用C+T的符號計算庫。它的主要特征是

具備以面向對象的方式實現用戶自己的算法的能力。它

能處理大量數據，在基準測試下，其運算速度可與下面

的FORM相當。

(6)SCHOONSCHIPo這是很著名的粒子物理研究用的計算

機代數系統。它也能做一般的代數運算，是目前為止運

行速度最快的系統。該程序是用CDC型60位計算機和

6800系列計算機的匯編語言寫成的，因而大大限制了

它適用的機型。

(7)FORM:優點是運算速度高和具有處理大量數據的

能力。它被廣泛運用于高能物理和涉及大型中間表達式

的程序。人們普遍認為它是SCH00NSCHIP系統的后繼程

序

計算機代數系統的發展歷史：

由二十世紀六十年代最早的計算機代數系統幾乎完全是基于LISP

表處理語言.它是用來處理表鏈的。它對于早期符號計算程序的

重要性，就好比同一時期處理數值計算的程序FORTRAN系統。在

這個階段，REDUCE程序對高能物理巳經表現出一些特殊的用途。

RJSCHOONSCHIP是M.Veltman用匯編語言寫的，專門應用于粒子物

理領域。匯編代碼的應用導致了難以置信的高速計算程序（相對

于最初的解釋代碼），從而使計算更復雜的高能物理放射過程成

為可能。由于人們逐漸認識到這個程序的重要性，因而，1998年

M.Veltman因此獲得了諾貝爾物理獎。

田同時值得一提的是基于FranzLISP的MACSYMA系統，它引發了

算法的重要發展。

出從1980年以來，新的計算機代數系統開始采用C語言編寫。這

樣的系統與解釋語言LISP相比，能婚更好的利用計算機資源，

并能保持程序的可移植性，而這正是解釋語言所做不到的。

出這個時期還出現了最早的商業計算機代數系統，其中

Mathematica和Maple最為著名。另外，少量的專用程序也出現

了，J.Vermaseren編寫的FORM獄是一個用于粒子物理研究的程

序。它是可移植的，并認為是SCHOONSCHIP系統的后繼程序。

由近幾年，有關大型程序可維護性的問題變得越來越重要。全部

的設計范例都由過程設計變到了面向對象設計。反映在編程語

言上從C變到C++。這樣GiNaC庫隨之發展起來.它支持C++環境

下的符號計算。

§7.2粒子物理研究中計算機代數的應用

由利用計算機代數系統使微擾計算步驟自動化。

由粒子物理是應用計算機代數的一個重要領域，它充分發

揮了計算機代數系統的潛力。

SCHOONSCHIP,REDUCE,Mathematica,

FORM和GiNaC

RJ采用計算機代數系統來計算的復雜量子場論問題可以

分為兩類：

(1)第一類問題是僅僅只需要系統的基本支持的計算。

(2)復雜的計算方法。既可以采用標準化的非局部操作

也可以采用針對特定問題的計算算法，如采用由用戶

發展起來的專用算法。

有關粒子物理研究中微擾計算的計算機代數算法：

一、圖形產生

ThomasHahn,FeynArts

以FeynArts程序包為例：使用時，首先加載該程序包：

?FeynArts.m(或init.m文件)

一旦用戶給定初、末態粒子，微擾計算的階數，適當的模

型，利用FeynArts就可以得到非零貢獻的費曼圖。用如下

函數的操作指令就可以得到費曼圖.

(1)CreateTopo\ogies[/,e]產生l圈e個夕卜腿的拓撲。

(2)InsertFields[top,ext,Model->{mod1,mod^-mod1,mod2,??

中的場加到外腿數為ext的拓撲top中去。

(3)Paint[expr]在屏幕上畫出InsertFields輸出expr的

費曼圖形。

二、費曼幅度和指標收縮計算

FeynArts程序包中，采用函數

CreateFeynAmp[expr]

將InsertFields函數輸出expr的一組費曼圖產生對應

的解析幅度。

圖形與幅度的轉換過程是按照費曼圖圖形技術中

所對應的規則進行的：

外線對應自由波函數，內線對應著傳播函數，頂點

對應相互作用頂點。

例：協變規范中的膠子傳播函數的規則和夸克一膠

子作用頂點的規則：

由上面的費曼規則得到的不變振幅的表達式中將包

含了重復指標求和。

例如：洛侖茲指標的收縮可以通過不斷運用以下幾個

規則來實現：

v

g/p=g],gPvP=Pp,g〃』"=y〃,g)=D,

P

〃〃夕〃二〃夕,〃"“=〃/,Y,Y=D

如果要對一串狄拉克(Dirac)矩陣乘積的重復指標收

縮，例如力"、我們可以先用狄拉克矩陣的反對易關

系｛九，九｝二2g吟使兩個狄拉克矩陣用同一個指標，然后再

用上面公式化商。

在振幅平方的計算中，一般有狄拉克矩陣的求陣跡計

算。由于結果是相對論性不變量，所以人們很少有必

要去研究公式中各個矢量的分量，而只研究這些矢量

的標積。這樣計算就沒有原來那么復雜了。原則上這

個計算方法是很明確的：

由奇數個狄拉克矩陣的陣跡是零；

RjTrl=4;

由偶數（2n）個V矩陣的乘積的陣跡計算可以用公

式:

1）乂叱…二心11=U八的卜，—gagX

將(2n)個V矩陣的乘積的陣跡計算轉變為對(2n-2)的

V矩陣的乘積求陣跡。理論上反復運用上式，(2n)個

狄拉克矩陣的陣跡會產生(2n-l)(2n-3)…3-

l=(2nT)!!項。這個數目甌n加而指數增長。如

果在指標〃……出”之間沒有別的關系,則這實際上就是

(2n)個V矩陣的乘積的陣跡最后結果的項數。

FORM程序是處理費曼幅度化簡、洛侖茲指標收縮

和V矩陣陣跡的最好工具之一。運用'tHooft-

Veitman方案對狄拉克代數的計算在TRACER程序中得

以實現。

三、單圈積分函數計算和Passarino—Veltman化簡

Passarino和Veitman已經首先給出了一圈標量

和張量積分函數系統的算法。其計算的基本甩想就是

將張量積分計算化解為標量積分函數的計算,而標量

積分函數最終化為Spence函數的計算。

例：介紹張量圈積分化簡到一個標量圈積分的集

合。以下面的三點積分計算為例，

.d°kk"_____

3Jj/〃」二(A_pJ(〃_pLpJ

其中Pi和Pi表示外線動量。Passarino和Veltman采用

將Ir寫成最一般的形式，即用形狀因子乘以外部動量

和（或）度規張量表示的形式。在以上我們的例子里，

我們將該張量積分寫為

療二。2：』+即；。22+｛/m，；｝金+8七24.

這里加，〃；｝二P，P；+。然后通過方程兩邊與外部動量

和度規張量g””收縮，來解出形狀因子

。21，。22，023和^24o左邊的結果是按照傳播子重寫成圈動量

女〃與和外部動量之間的標量乘積的形式，例如：

2〃1-k=k2-（k-p>+p；.

右邊的前兩項消去了傳播子，而最后一項根本與圈動

量無關。接著得到線性方程求解形狀因子。在這一步，

我們會遇到計算Gram行列式

八二4〃/Pi

力〃2〃2?

這個算法的缺點就在出現在對這個行列式的計算上

面。如果在一個pi和P2共線的相空間域中，Gram行列

式趨向與零，這時穩定的數值計算程序就變得十分困

難。目前已經有對Passarino-Veltman算法的改進

的方法，這在很大程度上避免了Gram行列式出現。

近年來出現了解析或數值計算一圈圖的一點、二點、

三點、四點，甚至五點積分函數的程序包。LoopTools

就是這樣一個計算標量和張量單圈積分的程序包。由

于多點單圈圖的動量積分具有可以最終歸結為

Spence函數計算的共性，因而這樣的積分是可以用計

算機代數系統來解決復雜計算的困難。然而二圈以上

的動量積分計算就不再具有這一共性，不具備統一的

算法，因此用計算機代數系統來解決復雜計算還存在

困難。

四、高階量子修正計算的計算機代數程序

目前比較著名的，用于高階電弱和QCD理論微擾計算，

基于計算機代數的程序包有以下四組。每組中的不同程

序包大都有相同的語法，它們還可以K接起來使用。

(1)FeynArts,FeynCalc,FormCalc,LoopTools,

TwoCalc和s21seo

⑵GEFICOM,QGRAF,MATAD和MINCERO

(3)DIANA,QGRAF和0N-SHELL2,

(4)xloops和GiNaC。

如前面所列舉的高階精確計算程序包表明：計算機代數

系統與其余程序部份間的有效交流是極為重要。這些外部

程序可黃巨是數值計算，文字處理，數據庫，專家庫類型的

程序包，也可能是特別適合問題的某一部份計算的計算機

代數系統。將來人們會更多地強調對程序集成的某種程度

的標準化，以及要求具備不同系統間數據傳遞功能。斷著

將來硬件和軟件的發展,計算機代數系統功能的擴展會向

兩個不同方向發展：一方面，計算機代數系統可以進行遠

遠超出現在水平的非常復雜的計算，另一方面計算機代數

系統越來越成為解決常規問題的軟件環境中的一部份。

§7.3Mathematica語言編程

單詞，詞匯——@語句，文章

1.過程

一般形式為：

Module[{＜局部變量名表〉}，表達式1;表達式2;…表達式n]

例如：

unit[x_,y_,z_]:=Module[{len},len=Sqrt[x^2+y^2+z^2];

N[{x/len,y/len,z/len}]]

Block[{〈局部變量名表〉}，表達式1;表達式2;…表達

式n]

2.控制選擇

(i)順序控制分號“；”

(ii)條件控制

If語言結構。

If[邏輯表達式，表達式]

If[邏輯表達式，表達式1,表達式2]

If[邏輯表達式，表達式1,表達式2,表達式3]

例如：

u

f[x_]:=If[(x>0)||(x=0),N[Sqrt[x]],Print[xisnegativeo

Print[uxisnotnumerical.55]

Which語句結構。

Which[條件1,表達式1,條件2,表達式2,…，條件

n,表達式n]

例：Which[2==3,x,3==3,y'

其結果為y。這是由于條件2=3的結果為False,而條

件3=3的結果為True.

Switch語句結構。

Switch[判別表達式，模式1,表達式1,模式2,表達

式2,…，模式n,表達式n]

例：i二1

Switch[i^2,0,x,1,y,2,z

最后結果為y。

(iii)循環控制

Do語句結構

Do[表達式，{循環描述}]

例：Do[Print[2^i],{i,1,5}'

該指令的結果是循環打印出2,(i=l,2,3,4,5)的值2,

4,8,16,32O

For語句結構

For[初始表達式，條件，步進表達式，循環表達式]

例如：For[i=0,i<=10,++1,Print[i]]

值為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10o

While語句結構

While[條件，循環表達式]

例如：

i=0

While[i<=10,Print[i];i++]

3.程序包結構

一般的程序包具有如下的基本框架：

BeginPackage[“程序包名稱，叫

名稱：：usage="字符串，程序包中定義在包外可以使用

的函數、變量等的名字和使用說明。”

BeginPrivate'

程序包主體.（包括外部可用的函數及變量，一些內部

函數變量的定義.)

End[]

EndPackage[

7.3Mathematica語言編程

1.過程

一般形式為：

Module[{v局部變量名表〉}，表達式1；表達式2；…表達式n]

例如：

unit[x_,y_,