中考二次函數(shù)壓軸題解題通法探討

幾個(gè)自定義概念：

①三角形基本模型：有一邊在X軸或Y上，或有一邊平行于X軸或Y

軸的三角形稱為三角形基本模型。

②動(dòng)點(diǎn)（或不確定點(diǎn)）坐標(biāo)“一母示”：借助于動(dòng)點(diǎn)或不確定點(diǎn)所在

函數(shù)圖象的解析式，用一個(gè)字母把該點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，簡(jiǎn)稱“設(shè)橫表縱工

如：動(dòng)點(diǎn)P在y=2x+l上，就可設(shè)P（t,2t+l）.若動(dòng)點(diǎn)P在y=

3X2-2X+1,則可設(shè)為P（t,3r-2r+l）當(dāng)然若動(dòng)點(diǎn)M在X軸上，則設(shè)

為（t,0）.若動(dòng)點(diǎn)M在Y軸上，設(shè)為（0,t）.

③動(dòng)三角形：至少有一邊的長(zhǎng)度是不確定的，是運(yùn)動(dòng)改變的。或至

少有一個(gè)頂點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)，改變的三角形稱為動(dòng)三角形。

④動(dòng)線段：其長(zhǎng)度是運(yùn)動(dòng)，改變，不確定的線段稱為動(dòng)線段。

⑤定三角形：三邊的長(zhǎng)度固定，或三個(gè)頂點(diǎn)固定的三角形稱為定三

角形。

⑥定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。

如：y=3x—6o

⑦X標(biāo)，Y標(biāo)：為了記憶和闡述某些問(wèn)題的便利，我們把橫坐標(biāo)稱為

x標(biāo)，縱坐標(biāo)稱為y標(biāo)。

⑧干脆動(dòng)點(diǎn)：相關(guān)平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動(dòng)

點(diǎn)稱為干脆動(dòng)點(diǎn)，與之共線的問(wèn)題中的點(diǎn)叫間接動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”

是針對(duì)干脆動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)而言的。

1.求證“兩線段相等”的問(wèn)題：

借助于函數(shù)解析式，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來(lái)；

然后看兩線段的長(zhǎng)度是什么距離（即是“點(diǎn)點(diǎn)”距離，還是“點(diǎn)軸距

離”，還是“點(diǎn)線距離”，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式或點(diǎn)到X軸（y地）

的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式，分別把兩條線段的長(zhǎng)度表示出來(lái)，分

別把它們進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可證得兩線段相等。

2、“平行于y軸的動(dòng)線段長(zhǎng)度的最大值”的問(wèn)題：

由于平行于y軸的線段上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等（常設(shè)為t）,借助于兩

個(gè)端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的

代數(shù)式表示出來(lái)，再由兩個(gè)端點(diǎn)的凹凸?fàn)顩r，運(yùn)用平行于y軸的線段長(zhǎng)度

計(jì)算公式》上-y下，把動(dòng)線段的長(zhǎng)度就表示成為一個(gè)自變量為t,且開(kāi)口

向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動(dòng)線段長(zhǎng)度的最

大值與端點(diǎn)坐標(biāo)。

3、求一個(gè)已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題：

先用點(diǎn)斜式（或稱K點(diǎn)法）求出過(guò)已知點(diǎn)，且與已知直線垂直的直

線解析式，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，最終用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可。

4、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問(wèn)題：

（方法1）先求出定直線的斜率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋

物線相切的直線的解析式（留意該直線與定直線的斜率相等，因?yàn)槠?/p>

行直線斜率（k）相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，

用代入法把字母y消掉，得到一個(gè)關(guān)于x的的一元二次方程，由題有

△二從一4ac=0（因?yàn)樵撝本€與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，所以

/-4ac=0）從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物

線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用

點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算該切點(diǎn)到定直線的距離，即為最大距離。

（方法2）該問(wèn)題等價(jià)于相應(yīng)動(dòng)三角形的面積最大問(wèn)題，從而可先求

出該三角形取得最大面積時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求

出其最大距離。

（方法3）先把拋物線的方程對(duì)自變量求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，

當(dāng)該導(dǎo)數(shù)等于定直線的斜率時(shí)，求出的點(diǎn)的坐標(biāo)即為符合題意的點(diǎn)，其最

大距離運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可以輕松求出。

5.常數(shù)問(wèn)題：

（1）點(diǎn)到直線的距離中的常數(shù)問(wèn)題：

“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離等于一個(gè)固定常數(shù)”

的問(wèn)題：

先借助于拋物線的解析式，把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來(lái)，再利用

點(diǎn)到直線的距離公式建立一個(gè)方程，解此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

進(jìn)而利用拋物線解析式，求出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就

求出來(lái)了。

（2）三角形面積中的常數(shù)問(wèn)題:

“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之與定線段構(gòu)成的動(dòng)三角形的面積

等于一個(gè)定常數(shù)”的問(wèn)題：

先求出定線段的長(zhǎng)度，再表示出動(dòng)點(diǎn)（其坐標(biāo)需用一個(gè)字母表示）到

定直線的距離，再運(yùn)用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出

動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的解析式，可求出動(dòng)點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而拋物線

上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來(lái)了。

（3）幾條線段的齊次塞的商為常數(shù)的問(wèn)題：

用K點(diǎn)法設(shè)出直線方程，求出與拋物線1或其它直線）的交點(diǎn)坐標(biāo)，

再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系，把問(wèn)題中的全部線段表示出

來(lái)，并化解即可。

6.“在定直線（常為拋物線的對(duì)稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線）

上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問(wèn)題：

先求出兩個(gè)定點(diǎn)中的任一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把該

對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)定點(diǎn)連結(jié)得到一條線段，該線段的長(zhǎng)度〈應(yīng)用兩點(diǎn)間的距

離公式計(jì)算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點(diǎn)就

是符合距離之和最小的點(diǎn)，其坐標(biāo)很易求出〔利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法）。

7.三角形周長(zhǎng)的“最值（最大值或最小值）”問(wèn)題：

①“在定直線上是否存在一點(diǎn)，使之和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)

最小”的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問(wèn)題）：

由于有兩個(gè)定點(diǎn)，所以該三角形有肯定邊（其長(zhǎng)度可利用兩點(diǎn)間

距離公式計(jì)算），只需另兩邊的和最小即可。

②“在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的垂線，與y軸的平

行線和定直線，這三線構(gòu)成的動(dòng)直角三角形的周長(zhǎng)最大”的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“三

邊均動(dòng)的問(wèn)題）：

在圖中找尋一個(gè)和動(dòng)直角三角形相像的定直角三角形，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

一母示后，運(yùn)用丸=坐"，把動(dòng)三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)口向下的

C定.斜邊定.

拋物線來(lái)破解。

8.三角形面積的最大值問(wèn)題：

①“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積

最大”的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問(wèn)題”）：

（方法1）先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長(zhǎng)度；然后再利用

上面3的方法，求出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到該定直線的最大距離。最終利

用三角形的面積公式工底.高。即可求出該三角形面積的最大值，

2

同時(shí)在求解過(guò)程中，切點(diǎn)即為符合題意要求的點(diǎn)。

（方法2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的

交點(diǎn)，從而把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母

示后，進(jìn)一步可得到s動(dòng)三角形二；（y上（動(dòng)）*：動(dòng)右（定）-x左（定J

,轉(zhuǎn)化為

一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)求出最大值。

②“三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形面積最大”的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“三邊均動(dòng)”的

問(wèn)題）：

先把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形（有一邊在X軸或y軸上

的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角

形）面積之差，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)在X軸或y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此類(lèi)題型，題中

肯定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個(gè)三角形與圖中另一個(gè)三

角形相像（常為圖中最大的那一個(gè)三角形）。利用相像三角形的性質(zhì)（對(duì)

應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比）可表示出分割后的一個(gè)三角形的高。從而可以

表示出動(dòng)三角形的面積的一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問(wèn)題也就

輕松解決了。

9.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面

積最大的問(wèn)題”：

由于該四邊形有三個(gè)定點(diǎn)，從而可把動(dòng)四邊形分割成一個(gè)動(dòng)三角形與

一個(gè)定三角形（連結(jié)兩個(gè)定點(diǎn)，即可得到一個(gè)定三角形）的面積之和，所

以只需動(dòng)三角形的面積最大，就會(huì)使動(dòng)四邊形的面積最大，而動(dòng)三角形面

積最大值的求法與拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)求法與7相同。

10、“定四邊形面積的求解”問(wèn)題：

有兩種常見(jiàn)解決的方案：

方案（一）：連接一條對(duì)角線，分成兩個(gè)三角形面積之和；

方案（二）：過(guò)不在x軸或y軸上的四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，向x軸（或y

軸）作垂線，或者把該點(diǎn)與原點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，分割成一個(gè)梯形（常為直角梯

形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個(gè)基本模型的三角形面積的

和（差）

11.“兩個(gè)三角形相像”的問(wèn)題：

兩個(gè)定三角形是否相像：

（1）已知有一個(gè)角相等的情形：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出已知角的

兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相像;否則不相像。

（2）不知道是否有一個(gè)角相等的情形：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩

個(gè)三角形各邊的長(zhǎng)，看看是否成比例？若成比例，則相像;否則不相像。

一個(gè)定三角形和動(dòng)三角形相像：

（1）已知有一個(gè)角相等的情形：

先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)（一母示），然后

把兩個(gè)目標(biāo)三角形（題中要相像的那兩個(gè)三角形）中相等的那個(gè)已知角作

為夾角，分別計(jì)算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對(duì)應(yīng)

成比例（要留意是否有兩種狀況），列出方程，解此方程即可求出動(dòng)點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)，留意去掉不合題意的點(diǎn)。

（2）不知道是否有一個(gè)角相等的情形：

這種情形在相像性中屬于高端問(wèn)題，破解方法是，在定三角形中，由

各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出定三角形三邊的長(zhǎng)度，用視察法得出某一個(gè)角可能是特

別角，再為該角找尋一個(gè)直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特別角的度

數(shù)，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”后，分析在動(dòng)三角形中哪個(gè)角可以和定三角形

中的那個(gè)特別角相等，借助于特別角，為動(dòng)點(diǎn)找尋一個(gè)直角三角形，求出

動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個(gè)角相等的兩個(gè)定三角形是否相像的問(wèn)題

了，只需再驗(yàn)證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)符

合題意，否則這樣的點(diǎn)不存在。簡(jiǎn)稱“找特角，求（動(dòng)）點(diǎn)標(biāo)，再驗(yàn)證”。

或稱為“一找角，二求標(biāo)，三驗(yàn)證”。

12.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成等腰三

角形”的問(wèn)題;

首先弄清題中是否規(guī)定了哪個(gè)點(diǎn)為等腰三角形的頂點(diǎn)。（若某邊底，

則只有一種狀況；若某邊為腰，有兩種狀況；若只說(shuō)該三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角

形，則有三種狀況）。先借助于動(dòng)點(diǎn)所在圖象的解析式，表示出動(dòng)點(diǎn)的坐

標(biāo)（一母示），按分類(lèi)的狀況，分別利用相應(yīng)類(lèi)別下兩腰相等，運(yùn)用兩點(diǎn)

間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再借助

動(dòng)點(diǎn)所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，可求出動(dòng)點(diǎn)縱坐標(biāo)，留意去掉不合題意的點(diǎn)

（就是不能構(gòu)成三角形這個(gè)題意）。

13、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形”

問(wèn)題：

這類(lèi)問(wèn)題，在題中的四個(gè)點(diǎn)中，至少有兩個(gè)定點(diǎn)，用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母

示”分別設(shè)出余下全部動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（若有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，明顯每個(gè)動(dòng)點(diǎn)應(yīng)各選

用一個(gè)參數(shù)字母來(lái)“一母示”出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)），任選一個(gè)已知點(diǎn)作為對(duì)角線

的起點(diǎn)，列出全部可能的對(duì)角線（明顯最多有3條），此時(shí)與之對(duì)應(yīng)的另

一條對(duì)角線也就確定了，然后運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出每一種狀況兩條對(duì)

角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點(diǎn)重合，其坐標(biāo)對(duì)

應(yīng)相等，列出兩個(gè)方程，求解即可。

進(jìn)一步有：

①若是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成矩形呢？先讓動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，

再驗(yàn)證兩條對(duì)角線相等否？若相等，則所求動(dòng)點(diǎn)能構(gòu)成矩形，否則這樣的

動(dòng)點(diǎn)不存在。

②若是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成棱形呢？先讓動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，

再驗(yàn)證隨意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動(dòng)點(diǎn)能構(gòu)成棱形，否則這樣

的動(dòng)點(diǎn)不存在。

③若是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成正方形呢？先讓動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊

形，再驗(yàn)證隨意一組鄰邊是否相等？和兩條對(duì)角線是否相等？若都相等，

則所求動(dòng)點(diǎn)能構(gòu)成正方形，否則這樣的動(dòng)點(diǎn)不存在。

14、”拋物線上是否存在一點(diǎn)，使兩個(gè)圖形的面積之間存在和差倍分

關(guān)系”的問(wèn)題：（此為“單動(dòng)問(wèn)題”〈即定解析式和動(dòng)圖形相結(jié)合的問(wèn)題〉，

后面的19實(shí)為本類(lèi)型的特別情形。）

先用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”的方法設(shè)出干脆動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示

（假如圖形是動(dòng)圖形就只能表示出其面積）或計(jì)算（假如圖形是定圖形就

計(jì)算出它的具風(fēng)光積），然后由題意建立兩個(gè)圖形面積關(guān)系的一個(gè)方程，

解之即可。（留意去掉不合題意的點(diǎn)），假如問(wèn)題中求的是間接動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，

則在求出干脆動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)后，再往下接著求解艮］可。

15、“某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)

成直角三角形”的問(wèn)題：

若夾直角的兩邊與y軸都不平行：先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（一母示），視題

目分類(lèi)的狀況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運(yùn)用兩直線

（沒(méi)有與y軸平行的直線）垂直的斜率結(jié)論（兩直線的斜率相乘等于-1）,

得到一個(gè)方程，解之即可。

若夾直角的兩邊中有一邊與y軸平行，此時(shí)不能運(yùn)用斜率公式。補(bǔ)救

措施是：過(guò)余下的那一個(gè)點(diǎn)（沒(méi)在平行于y軸的那條直線上的點(diǎn)）干脆向

平行于y的直線作垂線或過(guò)直角點(diǎn)作平行于y軸的直線的垂線與另一相關(guān)

圖象相交，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)可輕松搞定。

16、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形”

的問(wèn)題。

①若定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，先用k點(diǎn)法求出另始終角邊所在直線的解析

式（如斜率不存在，依據(jù)定直角點(diǎn)，可以干脆寫(xiě)出另始終角邊所在直線的

方程），利用該解析式與所求點(diǎn)所在的圖象的解析式組成方程組，求出交

點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出兩條直角邊等否？若等，該交點(diǎn)合

題，反之不合題，舍去。

②若動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)：先利用k點(diǎn)法求出定線段的中垂線的解析式，

再把該解析式與所求點(diǎn)所在圖象的解析式組成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再

分別計(jì)算出該點(diǎn)與兩定點(diǎn)所在的兩條直線的斜率，把這兩個(gè)斜率相乘，看

其結(jié)果是否為-1?若為-1,則就說(shuō)明所求交點(diǎn)合題；反之，舍去。

17、“題中含有兩角相等，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長(zhǎng)度”等的問(wèn)題：

題中含有兩角相等，則意味著應(yīng)當(dāng)運(yùn)用三角形相像來(lái)解決，此時(shí)找尋

三角形相像中的基本模型“A”或“X”是關(guān)鍵和突破口。

18.“在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的狀況下，題中又含有某動(dòng)

圖形（常為動(dòng)三角形或動(dòng)四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線

段長(zhǎng)”的問(wèn)題：

（此為“單動(dòng)問(wèn)題”〈即定解析式和動(dòng)圖形相結(jié)合的問(wèn)題〉，本類(lèi)型事

實(shí)上是前面14的特別情形。）

先把動(dòng)圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或

y軸上，或者有一邊平行于x軸或y軸）面積的和或差，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐

標(biāo)（一母示），按化分后的圖形建立一個(gè)面積關(guān)系的方程，解之即可C

句話，該問(wèn)題簡(jiǎn)稱“單動(dòng)問(wèn)題”，解題方法是“設(shè)點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）標(biāo)，圖形轉(zhuǎn)

化（分割）,列出面積方程”。

19.“在相關(guān)函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個(gè)參數(shù)字母）的

狀況下，題中又含有動(dòng)圖形（常為動(dòng)三角形或動(dòng)四邊形）的面積為定常數(shù),

求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)的值”的問(wèn)題：

此為“雙動(dòng)問(wèn)題”（即動(dòng)解析式和動(dòng)圖形相結(jié)合的問(wèn)題）。

假如動(dòng)圖形不是基本模型，就先把動(dòng)圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化或分割（轉(zhuǎn)

化或分割后的圖形須為基本模型），設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（一母示），利用轉(zhuǎn)化或

分割后的圖形建立面積關(guān)系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應(yīng)點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，再利用該點(diǎn)所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)（留

意，此時(shí)，肯定不能把該點(diǎn)坐標(biāo)再代入對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式，這樣會(huì)把

全部字母消掉）。再留意圖中另一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的位置關(guān)系（或其它關(guān)系，

方法是常由已知或利用（2）問(wèn)的結(jié)論，從幾何學(xué)問(wèn)的角度進(jìn)行推斷，表

示出另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最終把剛表示出來(lái)的這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)再代入相應(yīng)解析

式，得到僅含一個(gè)字母的方程，解之即可。假如動(dòng)圖形是基本模型，就無(wú)

須分割（或轉(zhuǎn)化）了，干脆先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（一母式），然后列出面積方

程，往下操作方式就與不是基本模型的狀況完全相同。一句話，該問(wèn)題簡(jiǎn)

稱“雙動(dòng)問(wèn)題”，解題方法是“轉(zhuǎn)化（分割），設(shè)點(diǎn)標(biāo)，建方程，再代入，

得結(jié)論”。

常用公式或結(jié)論：

（1）橫線段的長(zhǎng)=橫標(biāo)之差的肯定值=X大4小=七左

縱線段的長(zhǎng)二縱標(biāo)之差的肯定值二y大-y小二九?，'下

（2）點(diǎn)軸距離：

點(diǎn)PJ,.）到X軸的距離為尻到Y(jié)軸的距離為同。

（3）兩點(diǎn)間的距離公式：

若A（N，y）,B42,2），貝1J

AB二-%2）2+（y-%/

（4）點(diǎn)到直線的距離：

點(diǎn)P（不，為）到直線Ax+By+C=O（其中常數(shù)A,B,C最好化為整系數(shù),

也便利計(jì)算）的距離為：

d_+8yo十。

VA2+B2

\kxQ-y0+b\

或一—+戶

（5）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：

若A（%y）,B（J必），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（土產(chǎn)，七匹）

（6）直線的斜電公式：

若A（&y）,B（生必）"工石），則直線AB的斜率為：

。金占一出,@工匕〉,（注：時(shí)，直線AB與y軸平行，斜率不存在）

王一人2

（7）兩直線平行的結(jié)論:

已知直線4：y=^x+/?],/2:y=k2x+h2;

①若41%=>{=&；

②若勺二&且6產(chǎn)"n4II4

(8)兩直線垂直的結(jié)論：

已知直線4：>=4工+偽，/2：丁二左21+2；

①若/1U=人42=-1；

②若&&=-1=>41Z2.

(9)由特別數(shù)據(jù)得到或猜想的結(jié)論：

①已知點(diǎn)的坐標(biāo)或線段的長(zhǎng)度中若含有血、G等敏感數(shù)字信息，

那很可能有特別角出現(xiàn)。

②在拋物線的解析式求出后，要高度關(guān)注交點(diǎn)三角形和頂點(diǎn)三角

形的形態(tài)，若有特別角出現(xiàn)，那許多問(wèn)題就好解決。

③還要高度關(guān)注已知或求出的直線解析式中的斜率K的值，若

K=±y,則直線與X軸的夾角為30。；若K=±1；則直線與X軸的夾角為45。；

若K=±6，則直線與X軸的夾角為60。。這對(duì)計(jì)算線段長(zhǎng)度或或點(diǎn)的坐標(biāo)

或三角形相像等問(wèn)題創(chuàng)建條件。

二次函數(shù)基本公式訓(xùn)練：

破解函數(shù)難題的基石

⑴橫線段的長(zhǎng)度計(jì)算:【特點(diǎn)：兩端點(diǎn)的y標(biāo)相等，長(zhǎng)度

①若A(2,0),B(10,0),則AB二-------o

②若A(-2,0),B(-4,0),則AB=

③若M(-3,0),N(10,0),則MN二

④若0(0,0),A(6,0),則0A二

⑤若0(0,0),A(-4,0),則0A=-----------o

?若0(0,0),A(t,O),且A在0的右端，則0A二

⑦若0(0,0。A(t,O),且A在0的右端，則0A二

⑧若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，則AB二

⑨若A(4t,m)且B在A的左端,則AB=------------0

⑩若P(2m+3,a),M(l-m,a),且P在B的右端,則PM二------------。

留意：橫線段上隨意兩點(diǎn)的y標(biāo)是相等的，反之y標(biāo)相等的隨意兩個(gè)

點(diǎn)都在橫線段上。

(2)縱線段的長(zhǎng)度計(jì)算：【特點(diǎn)：兩端點(diǎn)的x標(biāo)相等，長(zhǎng)度二y大-丁小】。

?(若A(0,5),B(0,7),則AB二

②若A(0,-4),B(0,一8),,貝ijAB二

③若A(0,2),B(0,-6),則AB二一

④若A(0,0),B(0,-9),則AB二

⑤若A(0,0),B(0,-6),則AB二

⑥若0(0,0),A(0,t),且A在。的上端，則0A二

⑦若0(0,0),A(0,t),且A在0的下端，則0A二——o

⑧若A(6,-4t),B(6,3t),且A在B的上端，則AB二------------。

⑨若M(叫1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，則MN=——。

⑩若P(t,3n+2),M(t,l-2n),且P在M的上端,則PM=——。

留意：縱線段上隨意兩點(diǎn)的x標(biāo)是相等的，反之x標(biāo)相等的隨意兩個(gè)

點(diǎn)都在縱線段上。

(3)點(diǎn)軸距離：

一個(gè)點(diǎn)G標(biāo)，了標(biāo))到x軸的的距離等于該點(diǎn)的y標(biāo)的肯定值(即

V標(biāo)|)，到y(tǒng)軸的距離等于該點(diǎn)的x標(biāo)的肯定值(即上標(biāo)|)。

①點(diǎn)(-4,-3)到x軸的距離為--------，到y(tǒng)軸的距離為--------o

②若點(diǎn)A(1-2吐r+2.3)在第一象限，則點(diǎn)A到x軸的距離為一一

一一，至Uy軸的距離為o

③若點(diǎn)M(t,/+4/+3)在其次象限，則點(diǎn)M到x軸的距離為------

------,到y(tǒng)軸的距離為------------。

④若點(diǎn)A(-t,2t-1)在第三象限，則點(diǎn)A到x軸的距離為----------

—,到y(tǒng)軸的距離為------------。

⑤若點(diǎn)N(t,-產(chǎn)+2/-3)點(diǎn)在第四象限，則點(diǎn)N到x軸的距離為一

,到y(tǒng)軸的距離為--------。

⑥若點(diǎn)P(t,『+2-3)在x軸上方，則點(diǎn)P到x軸的距離為

⑦若點(diǎn)Q(t,〃一2一6)在x軸下方，則點(diǎn)Q到x軸的距離為

⑧若點(diǎn)D(t,/2+4/-5)在y軸左側(cè)，則點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為

⑨若點(diǎn)E(n,2n+6)在y釉的右側(cè)，則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為

⑩若動(dòng)點(diǎn)P(t,r一2f+3)在x軸上方，且在y軸的左側(cè)，則點(diǎn)P

到x軸的距離為--------------,到y(tǒng)軸的距離為----------------。

11若動(dòng)點(diǎn)P(t,『-2/+3)在x軸上方，且在y軸的右側(cè)，則點(diǎn)P

到x軸的距離為----------------,到y(tǒng)軸的距離為------------。

12若動(dòng)點(diǎn)P(t,尸-2/+3)在x軸下方，且在y軸的左側(cè)，則點(diǎn)P

到x軸的距離為----------------,到y(tǒng)軸的距離為----------------。

13若動(dòng)點(diǎn)P(t,r-2f+3)在x軸下方，且在y軸的右側(cè)，則點(diǎn)P

到x軸的距離為----------------,到y(tǒng)軸的距離為----------------。

留意：在涉與拋物線，直線，雙曲線等上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

“一母示”后，還要高度關(guān)注動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)改變的區(qū)域(例如：動(dòng)點(diǎn)P在拋物

線y=d一2]一3上位于x軸下方,y軸右側(cè)的圖象上運(yùn)動(dòng)),以便精確寫(xiě)

出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中參數(shù)字母的取值范圍，以與點(diǎn)軸距離是等于相應(yīng)工標(biāo)(或y標(biāo))

的相反數(shù)，還是其本身。

(4)中點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算：

若【A(不,)，B(占小),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為("旦,)]

①若A(-4,3),B(6,7),則AB中點(diǎn)為

若M(0,-6),N(6,-4),則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為

③若P(L-3),Q(-J),則PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為

232

-O

④若A(l,2),B(-3,4),且B為AM的中點(diǎn),則M點(diǎn)的坐標(biāo)為

O

⑤若A(-l,3),B(0,2),且A為BP中點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為

O

⑥點(diǎn)P(—5,0)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

o

⑦點(diǎn)P(6,0)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

⑧點(diǎn)P(6,2)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

_____________________________O

⑨點(diǎn)Q(—4,3)關(guān)于直線x=-3的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為一

⑩點(diǎn)M(—4,—2)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

O

11點(diǎn)P(4,—3)關(guān)于直線x=-l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

12點(diǎn)M(—4,2)關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

13點(diǎn)T(4,—3)關(guān)于直線y=l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

14點(diǎn)Q(0,—3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

15點(diǎn)N(4,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的圣標(biāo)為-------。

⑸由兩直線平行或垂直，求直線解析式?！緝芍本€平行，則兩個(gè)k

值相等；兩直線垂直，則兩個(gè)k值之積為T(mén).】

①某直線與直線y=2x+3平行，且過(guò)點(diǎn)(1,-1),求此直線的解析式。

②某直線與直線y=--x+l平行，且過(guò)點(diǎn)(2,3),求此直線的解析

2

式。

③某直線與直線y二-5平行，且過(guò)點(diǎn)(-3,0),求此直線的解析

3

式。

某直線與y地交于點(diǎn)P(0,3),且與直線y=-x-］平行,求此直線

④2

的解析式。

⑤某直線與x軸交于點(diǎn)P(-2,0),且與直線y二-，x+4平行，求此

2

直線的解析式。

⑥某直線與直線尸2x7垂直，且過(guò)點(diǎn)(2,1),求此直線的解析式。

⑦某直線與直線y=-3x+2垂直，且過(guò)點(diǎn)(3,2),求此直線的解析式。

⑧某直線與直線垂直，且過(guò)點(diǎn)(2,-1),求此直線的解析

3

式。

⑨某直線與直線y二-』x-4垂直，且過(guò)點(diǎn)(1,-2),求此直線的解析

2

式。

⑩某直線與X軸交于點(diǎn)P（-4,0）,且與直線尸-21+5垂直，求此

3

直線的解析式。

兩點(diǎn)間的距離公式：

（6）___________________

若A（x,y）,B（々，%），則AB=J（Xrf+Gr%）?

①若A(-2,0),B(0,3),則AB二

②若P(-2,3),Q(1,-1),則PQ二

③若M(0,2),N(-2,5),則MN=

④若P(展°),Q則PQ二-----------------

⑤若A(，L3),B(-則AB二---------------------

⑥若P(15),B(一“r),則PB=----------------o

3111

⑦若P(1/),B(一『)，則PB二---------------------

1211

⑧若P(一"W),則PM二------------o

2112

⑨若A(一不三)，B(一二L§),則AB=------------

二?1_1

⑩若AB則AB=--------------)

11若A(―2,0),B(3,0),則AB=

12若P(0,-4),Q(0,-2),則PQ二

13若P⑶0),Q(4,0),則PQ二

14若P(l,-4),Q(2,0),則PQ二

m直線的斜率公式：【注：所謂斜率，就是一次函數(shù)尸kx+b中k的

值；可由兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)干脆求得：若A(XJ),B(Z，%)—尸乙)，則

k-AzA

,(y標(biāo)之差除以對(duì)應(yīng)的x標(biāo)之差)】

例題：若A(2,-3),例-1,4),則.一

??

解：?A(2,-3),B(-l,4),

*z(-3)-4_7

??^=2-(-1)-3

①若A((),2),B(3,O),則k”=。

若A(l,?2),B(-3,1),則k"

②。

若M(-3,l),N(-2,-4),貝

③。

若P(l,-4),Q(-l,2),則

④

若C(-l,1),Q(—,一一),則%。二

⑤23-------------o

2I1

若E(；,-1),F(--,貝狄"二

⑥332-------------。

2II

右M(-￡,Q(-l,一不)，則k,w0=

⑦532------------------。

231

若P(-―Q(-l?~-)，則kp°=

⑧344-------------。

點(diǎn)到直線的距離公式：

(8)

點(diǎn)P(X。,短到直線Ax+By+C=O(為了便利計(jì)算，A,B,C最好化為整系數(shù))

d_砂02cl

的距離公式為：VA2+B2,運(yùn)用該公式時(shí)，要先把一次函數(shù)

y=kx+b化為一般式Ax+By+OO的形式(即：先寫(xiě)x項(xiàng)，再寫(xiě)y項(xiàng)，最終寫(xiě)

常數(shù)項(xiàng)，等號(hào)右邊必需是0)。

12

V=-X—

例題：求點(diǎn)P(2「3)到直線23的距離。

I2

y=-x—

解：先把直線23化為一般式

3x-6y-4=0

</_|3x2-6x(-3)-4|_4^

所以商+(-6『3

注：4。+4%十0的值就是把點(diǎn)(x(),)，。)對(duì)應(yīng)代入代數(shù)式Ax+By+c中。

或者把y一通過(guò)移項(xiàng)化為

(同樣要先寫(xiě)x

項(xiàng)，再寫(xiě)y項(xiàng)，最終寫(xiě)常數(shù)項(xiàng)，等號(hào)右邊必需是0)。

d=網(wǎng)

從而V1+P

12

y=-x-

另解：因?yàn)?3,p(2,-3)

19

x2-(-3)+(-%)

d二

所以(注：由于系數(shù)中

有分?jǐn)?shù)，計(jì)算比較繁雜)。

求點(diǎn)P(-2,1)到直線y=x+2的距離

①

求點(diǎn)Q(1,-4)到直線y=2x-l的距離。

求點(diǎn)A(1,2)到直線y=2xT的距離

③2

求點(diǎn)M(0,-3)到直線y=！xT的距離

@3

求點(diǎn)P(-2,0)到直線y='x-L的距離

⑤24

⑥求點(diǎn)K(-3,-2)到直線y=「3x的距離。

求點(diǎn)P(-3,-1)到直線尸,X-1的距離

⑦23

求點(diǎn)P（--,-1）到直線y=：x+，的距離

⑧232

求點(diǎn)Q到直線y二』x」的距離

⑨2342

求點(diǎn)P77到直線y二士3x」1的距離

⑩3424

求點(diǎn)N"16）到直線-*|的距離

7711

“求點(diǎn)D（-?Z）到直線廠5J的距離

求點(diǎn)E7?到直線y=±7」1x的距離

135324

在一個(gè)題中設(shè)計(jì)若干常見(jiàn)問(wèn)題：

女口圖示，已矢口板4物線y=/—2X_3與y軸交于點(diǎn)B,與X

軸交于C,D（C在D點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)A為頂點(diǎn)。

A

①判定三角形ABD的形態(tài)？并說(shuō)明理由。

A

【通法：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，求出該三角形各邊的長(zhǎng)】

②三角形ABD與三角形BOD是否相像？說(shuō)明理由。

\A

【通法：用兩點(diǎn)間的距離公式分別兩個(gè)三角形的各邊之長(zhǎng)，再

用相像的判定方法】

③在X軸上是否存在點(diǎn)P,使PB+PA最短？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo),

A

【通法：在兩定點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)（為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，經(jīng)常取軸上的點(diǎn)）,

求出該點(diǎn)關(guān)于題中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的那條直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把此

對(duì)稱點(diǎn)與余下定點(diǎn)相連】

④在y軸上是否存在點(diǎn)P,使三角形PAD的周長(zhǎng)最小？若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

AY

o

DX

A

【通法：留意到AD是定線段，其長(zhǎng)度是個(gè)定值，因此只需PA+P

D最小】

⑤在對(duì)稱軸x=1上是否存在點(diǎn)P,使三角形PBC是等腰三角形?

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

x=l

【通法：對(duì)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)一母示（1,t）后，分三種狀況，若

P為頂點(diǎn)，則PB=PC；若B為頂點(diǎn)，則BP=BC；若C為頂點(diǎn)，則

CP=CBO分別用兩點(diǎn)間的距離公式求出或表示各線段的長(zhǎng)度】。

B

【通法：分類(lèi)探討，用兩點(diǎn)間的距離公式】。

⑦在直線BD下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使的面積最大？若

存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)叨理由。

0

D

?P

B

【通法：sPBD上（動(dòng)）下（動(dòng)））“x右（定）-x左（定））】

⑧在直線BD下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使四邊形DOBP的面積最

大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出四邊形面積的最大值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由。

D

?p

B

【通法：S四邊形003PHsDOB+SDBP或S四邊形DOBP=SBOp+SDP0

?在直線BD下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使四邊形DCBP的面積

最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出四邊形面積的最大值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑩在直線BD下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線BD的

距離最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最大距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由。

【通法：因?yàn)锽D是定線段，點(diǎn)P到直線BD的距離最大，意味著三

角形BDP的面積最大】

11在拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線BD的距離等于3,

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

八

Y

\0/

D

B

【通法：在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程,

求解即可】。

A

【通法;在動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)一母示后，把到羽形三角形ABD的面積算出,

借助于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)把動(dòng)三角形PBC的面積表示出來(lái)，再代入已知中的面積等

式】。

13若點(diǎn)P在拋物線上,

【通法：利用與點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出直線PB的解析式,

再把此解析式與拋物線方程組成方程組，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)】。

14若Q是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與CD重合），QE交BC于

點(diǎn)E,當(dāng)三角形QBE的面積最大時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

Q

cX

\//D

E

B

【通法：三角形QBE是三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形，把該三角形分割成兩個(gè)

三角形基本模型的差，即SQ陀=題中平行線的作用是有兩個(gè)

三角形相像，從而有對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比，最終該動(dòng)三角形的面積

方可表示為，以動(dòng)點(diǎn)Q(l,0)的坐標(biāo)有關(guān)的開(kāi)口向下的二次函數(shù)?！?/p>

15若E為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使B,D,E,F

構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)。

【通法：以其中一個(gè)已知點(diǎn)(如：點(diǎn)B)作為起點(diǎn)，列出全部對(duì)角線

的狀況（如：BD,BE,BF）,分別設(shè)出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E,點(diǎn)F）,運(yùn)用中點(diǎn)

坐標(biāo)公式，求出每一種狀況下，兩條對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，留意到兩個(gè)中點(diǎn)

重合，其坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，列出方程組，求解即可】。

中考二次函數(shù)壓軸題分析

（_）【2012宜賓中考】如圖，拋物線丁二工2-2工+。的頂點(diǎn)人在直

線l:y=x-5上。

（1）求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)。

（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C,D（C點(diǎn)在D點(diǎn)

的左側(cè)），試推斷三角形ABD的形態(tài):

(3)在直線1上是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)P,A,B,D為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由。

A

(-)【2012涼山州中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4

與x軸，y軸分別交于A,B,兩點(diǎn)，拋物線)，=*+法+'經(jīng)過(guò)A,B,兩點(diǎn)，并

與x軸交于另一點(diǎn)C(點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè))，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)。

(1)求拋物線的解析式與點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)P在其次象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PD，x軸于D,交AB于點(diǎn)E.

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PE最長(zhǎng)？此時(shí)PE等于多少？

(3)假如平行于x軸的動(dòng)直線1與拋物線交于點(diǎn)Q,與直線AB交

于點(diǎn)N,點(diǎn)M為OA的中

M丫

點(diǎn)，則是否存在這樣的直線

1,使得三角形MON是等

腰三角形？若存在，懇求出

點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理.

（三）［2012廣安市中考】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABJ_x軸于點(diǎn)B,

AB=3,tanZA0B=3/4o將△OAB圍著原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90“，得到△0AB；

再將△0AB圍著線段0B,的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180“，得到△0AB,拋物線y=ax2+bx+c

（a^O）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、Bi、A”

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PBBi的面積最

大？求出這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到線段BBi的距

離為也？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

2

y

圖12

備用圖

（四）12012樂(lè)山中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（m,m）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n,-n）,拋物線經(jīng)過(guò)A、0、B三點(diǎn)，連接0A、

OB、AB,線段AB交y軸于點(diǎn)C.己知實(shí)數(shù)m、n（m<n）分別是方程x?-

2x-3=0的兩根.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點(diǎn)P為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)0、B重合），直線PC

與拋物線交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接0D、BD.

①當(dāng)△OPC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②求ABOD面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).

（五）【2012成都中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)

），=3x+〃z（加為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）,與y軸交于點(diǎn)C.以

4

直線x=l為對(duì)稱軸的拋物線），=依2+云+c5氏c為常數(shù)，且〃W0）經(jīng)

過(guò)A,C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B.

（1）求〃，的值與拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線AC的平行線

交x軸于點(diǎn)F.是否存在這樣的點(diǎn)E,使得以A,C,E,F為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)與相應(yīng)的平行四邊形的面積；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若P是拋物線對(duì)稱軸上使4ACP的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P隨意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于y）,乂式天，必）兩點(diǎn),

摸索究MFMF是否為定值，并寫(xiě)出探究過(guò)程.

M.M,

(六)【2012黃岡中考】如圖，已知拋物線的方程G：)，=-，(x+2)(x-〃z)

tn

(m>0)與x軸相交于點(diǎn)B、C,與y軸相交于點(diǎn)E,且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)。

(1)若拋物線G過(guò)點(diǎn)M(2,2),求實(shí)數(shù)m的值。

(2)在(1)的條件下，求三角形BCE的面積。

(3)在(1)的條件下,在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H,使BH+EH最小,

并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)。

(4)在第四象限內(nèi)，拋物線G上是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)B,C,F為

頂點(diǎn)的三角形與三角形BCE相像？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由。

Y

A

（七）【2013宜賓中考】如圖，拋物線丁=o?+加一4a經(jīng)過(guò)ACT,0）,

C（0,4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B。

（1）求拋物線的解析式；

（2）己知點(diǎn)D（m,m+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)

稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接BD,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且NDBP=45，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

A0BX

（八）【2013山西中考】如圖，拋物線），=1/一31_4與X軸交于A,B,

兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,以BC為一邊，點(diǎn)

0為對(duì)稱中心作棱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,0）,

過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線1交拋物線于點(diǎn)Q.

（1）求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線1分別交BD,BC于點(diǎn)M,N.摸

索究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)推斷四邊形CQBM

的形態(tài)，并說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q,使三角形BDQ為直角

三角形？若存在，請(qǐng)干脆寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

C

(九)【2013重慶中考】如圖，對(duì)稱軸為直線x=T的拋物線

2

y=cvc+bx+c(a，0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0).

(1)求點(diǎn)B的包標(biāo)；

(2)已知a=l,C為拋物線與y軸的交點(diǎn).

①若點(diǎn)P在拋物線上，且S?況=4S8OC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD~1?"軸拋物線于點(diǎn)D,求線段QD

長(zhǎng)度的最大.

(十)【2013浙江紹興市中考】拋