PAGE1專題21圓課標要求考點考向1．理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念;探索并掌握點與圓的位置關系。2.探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論:圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半;直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑;圓內接四邊形的對角互補。4.會計算圓的弧長、扇形的面積。圓考向一圓中角的求解考向二弧長及扇形面積的求解考向三圓內的綜合問題考點圓?考向一圓中角的求解解題技巧圓中，一條弧所對的圓心角只有一個，所對的圓周角有無數個，靈活運用同弧所對的圓周角相等。一般若已知圓的直徑，常常結合直徑所對的角是直角構造直角三角形。1.（2024?濟寧）如圖，分別延長圓內接四邊形的兩組對邊，延長線相交于點E，F．若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據“圓的內接四邊形對角互補”可得，．根據三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．本題主要考查了“圓的內接四邊形對角互補”和三角形外角定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【詳解】∵四邊形是的內接四邊形∴，，，，，，，，解得，，．故選：C2.（2024?泰安）如圖，是的直徑，，是上兩點，平分，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內角和定理，先根據角平分線的定義得到根據圓周角定理得到，再根據圓周角定理得到，，然后利用三角形的內角和定理求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵是的直徑，，∴，，則，∴，故選：A．3.（2024?山東）如圖，是的內接三角形，若，，則．【答案】/40度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識，利用圓周角定理求出的度數，利用等邊對等角、三角形內角和定理求出的度數，利用平行線的性質求出的度數，即可求解．【詳解】解∶連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．?考向二弧長及扇形面積的求解解題技巧圓心角為n°，半徑為r的弧長；圓心角為n°，半徑為r的扇形面積1.（2024?東營）習近平總書記強調，中華優秀傳統文化是中華民族的根和魂．東營市某學校組織開展中華優秀傳統文化成果展示活動，小慧同學制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開后，外側兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角．現需在扇面一側繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】將山水畫所在紙面的面積轉化為大小兩個扇形的面積之差即可解決問題．本題主要考查了扇形面積的計算，熟知扇形面積的計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：由題知，，，所以山水畫所在紙面的面積為：．故選：C．2.（2024?濟寧）如圖，三個頂點的坐標分別是．(1)將向下平移2個單位長度得，畫出平移后的圖形，并直接寫出點的坐標；(2)將繞點逆時針旋轉得．畫出旋轉后的圖形，并求點運動到點所經過的路徑長．【答案】(1)作圖見解析，(2)作圖見解析，【分析】本題考查了作圖—平移變換和旋轉變換，弧長公式，解題的關鍵熟練掌握平移和旋轉的性質，（1）利用平移的性質作出對應點，再連線即可，（2）利用旋轉的性質分別作出對應點，再連線，運動到點所經過的路徑長即為弧長即可可求解【詳解】（1）解：如下圖所示：由圖可知：；（2）解：如上圖所示：運動到點所經過的路徑為：3.（2024?青島）如圖，是上的點，半徑，，，連接AD，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【分析】本題考查了圓周角定義，扇形的面積，連接，由圓周角定理可得，進而得，再根據扇形的面積計算公式計算即可求解，掌握圓周角定理及扇形的面積計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：連接，則，∵，∴，∴，故選：．4.（2024?日照）如圖，在菱形中，，點O是對角線的中點，以點O為圓心，長為半徑作圓心角為的扇形，點D在扇形內，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】連接，將繞點O順時針旋轉得到．證明，推出，利用即可求解．【詳解】解：如圖，連接，將繞點O順時針旋轉得到．，，在菱形中，點O是對角線的中點，，，，，，，，，，．，，．故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形全等的判定與性質，解直角三角形，扇形的面積，作出輔助線，構造三角形全等，利用是解題的關鍵．5.（2024?泰安）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面積公式是關鍵．如圖：連接，作于點B，得三角形是等邊三角形，求出，再根據，即可解答．【詳解】解：如圖：連接，作于點B，∵，∴三角形是等邊三角形，∴，∴∴,∴．故選：A．6.（2024?威海）如圖，在扇形中，，點是的中點．過點作交于點，過點作，垂足為點．在扇形內隨機選取一點，則點落在陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是求不規則圖形的面積，幾何概率，根據陰影部分面積等于扇形的面積，即可求解．【詳解】解：∵，，∴四邊形是矩形，∴∴∵點是的中點∴∴∴∴，，點落在陰影部分的概率是故選：B．7.（2024?煙臺）如圖，在邊長為6的正六邊形中，以點F為圓心，以的長為半徑作，剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為．【答案】【分析】本題考查正多邊形的性質，求圓錐的底面半徑，先求出正六邊形的一個內角的度數，進而求出扇形的圓心角的度數，過點作，求出的長，再利用圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，進行求解即可．【詳解】解：∵正六邊形，∴，，∴，，∴，過點作于點，則：，設圓錐的底面圓的半徑為，則：，∴；故答案為：．8.（2024?山東）如圖，在四邊形中，，，．以點為圓心，以為半徑作交于點，以點為圓心，以為半徑作所交于點，連接交于另一點，連接．(1)求證：為所在圓的切線；(2)求圖中陰影部分面積．（結果保留）【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行四邊形的性質和判定，圓的性質，扇形面積，等邊三角形的性質等知識點，證明四邊形是平行四邊形是解題關鍵．（1）根據圓的性質，證明，即可證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，再根據圓的切線判定定理即可證得結果．（2）先求出平行四邊形的高，根據扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：連接如圖，根據題意可知：，又∵，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴在以為直徑的圓上，∴，∴為所在圓的切線．（2）過作于點，由圖可得：，在中，，，∴，∴，由題可知：扇形和扇形全等，∴，等邊三角形的面積為：，∴?考向三圓內的綜合問題1.（2024?德州）如圖，圓與都經過A，B兩點，點在上，點C是上的一點，連接并延長交于點P，連接．(1)求證：(2)若，．①求的半徑；②求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)①2②【分析】對于（1），連接，在中，先根據同弧所對的圓周角相等得，然后在中，根據圓周角定理得，可得答案；對于（2）①，由結合（1），可得，再連接，作，可得，，進而得出，然后在中，根據得出答案；對于②，先說明是等邊三角形，即可求出其面積，在中，求出弓形的面積，然后根據得出答案．【詳解】（1）如圖所示．連接，在中，，在中，，∴；（2）①，∵，∴．連接，過點作，交于點D，∴，，∴．在中，，即，∴，所以的半徑是2；②∵，∴是等邊三角形，∴．∵，∴垂直平分，垂直平分，∴點三點共線．在中，，在中，．在中，上標點，．在中，．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，線段垂直平分線的性質和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面積，等邊三角形的性質和判定，構造輔助線是解題的關鍵．2.（2024?濰坊）（多選）如圖，是的外接圓，，連接并延長交于點．分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點．直線交于點，連接，下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．四邊形為菱形【答案】ABD【分析】本題主要考查圓的性質、圓周角定理、平行線的性質以及菱形的判定，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．根據全等三角形的判定定理證明，證明即可證明四邊形為菱形，再根據圓周角定理進行判定即可．【詳解】解：令AC,OE交于點，由題意得：是的垂直平分線，，，選項A正確；故四邊形為菱形，選項D正確；，四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形，，選項B正確；，故選項C錯誤；故選ABD．3.（2024?煙臺）如圖，是的直徑，內接于，點I為的內心，連接并延長交O于點D，E是上任意一點，連接，，，．(1)若，求的度數；(2)找出圖中所有與相等的線段，并證明；(3)若，，求的周長．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)30【分析】（1）利用圓周角定理得到，再根據三角形的內角和定理求，然后利用圓內接四邊形的對角互補求解即可；（2）連接，由三角形的內心性質得到內心，，，然后利用圓周角定理得到，，利用三角形的外角性質證得，然后利用等角對等邊可得結論；（3）過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，根據內切圓的性質和和切線長定理得到，，，利用解直角三角形求得，，進而可求解．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，又，∴，∵四邊形是內接四邊形，∴，∴；（2）解：，證明：連接，∵點I為的內心，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）解：過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，∵點I為的內心，即為的內切圓的圓心．∴Q、F、P分別為該內切圓與三邊的切點，∴，，，∵，，，∴，∵，，，∴，∴的周長為．【點睛】本題考查圓周角定理、圓內接四邊形的性質、三角形的內角和定理、三角形的內心性質、三角形的外角性質、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．一、單選題1．（22-23九年級上·山東臨沂·期中）平分銳角，以為圓心以任意長為半徑畫，分別交，，于A，B，C三點，以C為圓心，以長為半徑畫弧與相交于異于B點的點D，連接，．下列結論錯誤的是（）A． B．若，則C． D．【答案】D【分析】先根據題意畫好圖形，如圖，連接，，由角平分線的定義結合圓心角，弧，弦之間的關系，判斷A；證明為等邊三角形，可判斷B；連接，證明，可判斷C；連接，可得，可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，

∵平分銳角，∴，∴，故A不符合題意；∵由作圖可得，∴，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴，∴，故B不符合題意；連接，∵，，∴，∴，故C不符合題意；連接，∵，，∴，∴，故D符合題意．故選D．【點睛】本題考查的是角平分線的定義，圓心角，弧，弦之間的關系，平行線的判定，兩點之間線段最短，等邊三角形的性質與判定，熟練的利用圓心角，弧，弦之間的關系進行轉化是解本題的關鍵．2．（24-25九年級上·山東菏澤·階段練習）如圖的半徑是的直徑，的半徑交于，設弧的長是，弧AB的長是，那么(

)A．﹥ B．﹤C． D．與的大小不能確定【答案】C【分析】本題考查了弧長的公式，圓周角定理；由圓周角定理，得，由題意得，再代入弧長的公式，進行計算即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，故選：C．3．（24-25九年級上·山東臨沂·期中）為了表演課本劇，需要制作如圖所示的一個圓錐形的帽子，已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，則制作這個帽子所需紙板面積為（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【分析】該題主要考查了圓錐的側面積，解題的關鍵是掌握圓錐的側面積．根據圓錐的側面積公式求解即可．【詳解】解：根據題意可得圓錐形的帽子的側面積為：，∴所需紙板的面積是．故選：D．4．（2024·山東·模擬預測）如圖，大圓柱上挖了一個小圓柱．已知大圓柱的底面和小圓柱的底面是同心圓，、分別是大圓柱和小圓柱的底面半徑．若大圓柱的底面周長為，，小圓柱的體積為，小圓柱中放一個最大的圓錐，則該圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓柱體積、圓錐側面積和勾股定理，根據大圓柱柱的底面周長為和可求得圓柱的高，再結合小圓柱的體積為可求得小圓柱的底面半徑，從而求得圓錐的母線，再根據圓錐側面積公式解題即可．【詳解】解：大圓柱的底面周長為，大圓柱的底面半徑，，大圓柱的高，又小圓柱的體積為，小圓柱的底面面積為，小圓柱的底面半徑，小圓柱中放了一個最大的圓錐，圓錐的母線長，該圓錐的側面積為，故選：A．二、多選題5．（23-24九年級下·山東濰坊·開學考試）孫尚任在《桃花扇》中寫道：“何處瑤天笙弄，聽云鶴縹緲，玉佩丁冬”，玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品．現有一玉佩如圖所示，其平面圖形可以看成扇形的一部分（如圖），已知，，則（

）A． B．弧的長為C．該平面圖形的周長為 D．該平面圖形的面積為【答案】CD【分析】設點是扇形的圓心，由相似三角形的判定與性質可知，是的中位線，得出，證得是等邊三角形，得出，根據平行線的性質得出，利用弧長公式求得弧的長為，進而即可求得該平面圖形的周長為，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式即可求得該平面圖形的面積為．【詳解】解：如圖，設點是扇形的圓心，，，，，，，，，,，分別是，的中點，，，，是等邊三角形，，，，故選項不符合題意；的長為：，故選項不符合題意；該平面圖形的周長為，故選項符合題意；，分別是，的中點，，，，如圖，過點作于點，則，，在中，根據勾股定理，可得：，，該平面圖形的面積，故選項符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，平行線的性質，弧長的計算，求組合圖形的周長，垂線的定義，等腰三角形的性質，勾股定理，扇形的面積公式，三角形的面積公式，求組合圖形的面積等知識點，熟練掌握弧長的計算公式以及扇形的面積公式是正確解答的前提，求出弧所對應的圓心角和半徑是解題的關鍵．6．（2024·山東濰坊·二模）如圖，在矩形中，，先以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點；再以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點；然后以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點；最后以為直徑作半圓．則下列說法正確的是（

）A．四邊形為直角梯形B．因為，所以C．不論邊長和的長度如何，始終成立D．當點為的中點時，圖中由四條圓弧構成的圖形的周長為【答案】AC【分析】本題考查的是矩形的性質，梯形的含義，求解弧長，扇形的面積，掌握基礎圖形的性質是解本題的關鍵．由四邊形矩形，證明，，證明，可判定A，求解，，可判定C，表示，，，可判定B，證明，可得，，再結合弧長公式可判定D；【詳解】解：四邊形矩形，∴，∵，，由作圖可知：，，，，，，，，，而與不平行，∴四邊形為直角梯形，故A符合題意；∵，，，，∴，故B不符合題意；∵，，，故C符合題意；∵點F為的中點，∴，∴，∴，∴∴四條圓弧構成的圖形的周長為；故D不符合題意；故選：AC三、填空題7．（2024·山東淄博·一模）如圖，用若干個正方形拼成一個大矩形，然后在每個正方形中以邊長為半徑繪制圓弧，這些圓弧連起來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契螺旋線”．若圖中最大的矩形面積為416，則這段“斐波那契螺旋線”的長度為．【答案】【分析】設最小的兩個正方形的邊長為，則最大的矩形的長為，寬為，根據題意列方程得到最小正方形的邊長，然后根據弧長公式即可得到結論．本題考查了弧長的計算，正方形的性質，矩形的性質，熟練掌握弧長公式是解題的關鍵．【詳解】解：設最小的兩個正方形的邊長為，如圖：∵每個正方形中以邊長為半徑繪制圓弧，這些圓弧連起來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契螺旋線”∴∴則最大的矩形的長為，寬為，根據題意得，，解得（負值舍去），這段“斐波那契螺旋線”的長度為，故答案為：．8．（24-25九年級上·山東淄博·階段練習）如圖，半徑為2的和的圓心，都在線段上，還在上，兩圓交點為C，過點C作于點E交于點D，則的大小為，AD的長為．【答案】30【分析】連接，，，．由垂徑定理得，進而得，再證明△是等邊三角形，得，證△是等邊三角形，利用勾股定理及30度直角三角形的性質即可得解．【詳解】解：如圖，連接，，，．，，，，是等邊三角形，，∵，∴，，∵，是等邊三角形，，．故答案為：30，．【點睛】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定及性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，30度直角三角形的性質，熟練掌握垂徑定理，等邊三角形的判定及性質是解題的關鍵．9．（23-24九年級上·山東淄博·期末）如圖，點A，C均在半徑為的上，點是內一點，于點．若．【答案】【分析】連接，過點作于點，作于點，延長交于點，連接，先求出，，再證出，根據相似三角形的性質可得，然后利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，作于點，延長交于點，連接，則，，，，，，由圓周角定理得：，，在和中，，，，即，解得，，，，，則在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理等知識，通過作輔助線，構造相似三角形是解題關鍵．10．（23-24九年級上·山東威?！て谀⒌牧踊⊙叵艺郫B、剛好落在半徑的中點C處，已知，則．【答案】【分析】設折疊后的所在圓的圓心為，的直徑為，連接，，過點B作于F，先求出，，則，再根據折疊，得出與是等圓，根據圓周角定理，得出，從而得出，再根據等腰三角形的性質求出，從而求得，然后利用勾股定理求出長，即可求解．【詳解】解：如圖，設折疊后的所在圓的圓心為，的直徑為，連接，，過點B作于F，∵C是半徑的中點，，∴，，∴∵將的劣弧BD沿弦BD折疊，∴與是等圓，∵∴∴∵∴，，∴，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，折疊的性質，等腰三角形的性質，弦、弧的關系，勾股定理．正確作出輔助線和證明是解題的關鍵．11．（24-25九年級上·山東臨沂·階段練習）已知是的直徑，AB，是的弦，點D在內運動且滿足，當，，連接CD，則線段CD長度的最小值為．

【答案】【分析】本題考查圓周角定理的推論，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，取AB的中點，連接，根據直徑所對的圓周角是直角可得，然后得到，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊得一半可得，即可得到當點在同一條直線上時，線段CD的值最小，然后利用勾股定理解題即可．【詳解】解：如圖，取AB的中點，連接，∵是的直徑，，，，，點為AB的中點，，當點在同一條直線上時，線段CD的值最小，在中，由勾股定理，得，，

故答案為：．12．（2024·山東聊城·一模）是的直徑，，分別是直徑和弦上的兩個動點，已知，，則線段的最小值是．

【答案】2【分析】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形三邊關系定理，軸對稱最短路線問題．連接，延長到，使，連接，，由圓周角定理得到，由線段垂直平分線的性質得到，，由等腰三角形的性質得到，由三角形三邊關系定理得到，當時，最小，由含30度角的直角三角形的性質求出，即可得到的最小值是2．【詳解】解：連接，延長到，使，連接，，，

是圓的直徑，，垂直平分，，，，，當最小時，的和最小，當時，最小，此時，，，的最小值是2，，的最小值是2．故答案為：2．四、解答題13．（24-25九年級上·山東淄博·階段練習）小予和小凡同學計劃為美術教室設計一款多功能桌．現有圓心為O、半徑為R的圓面形材料若干個（如圖1所示），先在圓面材料上裁掉一個以O為圓心、為半徑的圓得到一個圓環，然后把圓環6等分（如圖2所示），得到若干扇環形桌面（如圖3所示）．(1)圖3中一個扇環的面積為_________（用含r、R的式子表示）；(2)小予同學用8塊相同的扇環拼成如圖4所示的桌子．①圖4是一個中心對稱圖形，請在圖上標出對稱中心A；②根據圖4上標注的數據求這張桌子的桌面面積（結果保留π）．(3)小凡同學用10塊相同的扇環拼成如圖5所示的桌子．矩形ABCD是能把這張桌子圍起來的最小矩形，且，直接寫出圖中線段EF的長度．【答案】(1)(2)①見解析；②(3)【分析】本題考查了中心對稱圖形，圓的面積，軸對稱等，熟練掌握它們的性質是解題的關鍵；（1）由題可知一個扇環面積等于，進而用大圓面積減去小圓面積即可得出圓環面積；（2）①對應點連線的交點即是對稱中心；，②由題先分別求出R和r的長度，再代入即可得解；（3）先找出各扇環圓心，得出，以及，然后我們發現點與點關于中垂線對稱，點和關于中垂線對稱，，且F、G、三點共線，進而得到是等腰三角形，且頂角為，即可得解【詳解】（1）解：；故答案為：；（2））①如圖所示；②如圖，設兩個圓環的圓心分別為和，則，，，解得，；（3）如圖，分別作出各扇環所在的圓心、、、，由圖得，由（2）②可得，，，點與點關于中垂線對稱，點和關于中垂線對稱，且、、三點共線，一個扇環是圓環，，△是等邊三角形，，，，，是等腰三角形，且頂角為，．14．（24-25九年級上·山東淄博·階段練習）如圖，已知點A、B、C為上互不重合的三點，，圖形G關于軸對稱后的圖形稱為，把再關于AC軸對稱后的圖形稱為圖形，若圖形和都在上或內，則稱圖形G為關于的“軸轉圖形”．例如圖中點D為關于的“軸轉圖形”：如圖1，在平面直角坐標系中，的半徑為1，上有三點，，(1)①直接寫出的度數；②在點O0,0和點中，點_________為關于的“軸轉圖形”，且的坐標為_________；(2)平面內有一條線段EF，且EF是關于的“軸轉圖形”．①若EF上所有的點都在上或內，則EF長度的最大值為_________；②若EF是平面內的任意一條線段，則EF長度的最大值為_________