PAGE138中學(xué)?潤(rùn)文高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期4月月考高一年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)試卷（時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】如圖，在平行四邊形中，且，A：，故A正確；B：，故B正確；C：由，得，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確.故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及幾何意義判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限．故選:B．3.已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A. B.3 C. D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，根據(jù)題意得到，即可求解．【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為，由題意，可得，解得，即圓錐的母線長(zhǎng)為．故選：D.4.在中，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理可得.【詳解】由正弦定理可得，，又，所以，不妨設(shè)，所以由余弦定理得．故選：D．5.下列說(shuō)法正確的是（）A.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B.三棱錐的四個(gè)面都可以是直角三角形C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐【答案】B【解析】【詳解】如圖所示．對(duì)于A，如圖①，將兩個(gè)相同的斜平行六面體疊放，符合條件但不是棱柱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖②，PA⊥底面ABC，AB是圓O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，則三棱錐PABC的四個(gè)面都是直角三角形，故B正確；對(duì)于C，如圖③，延長(zhǎng)其側(cè)棱不交于一點(diǎn)，符合條件但不是棱臺(tái)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖④，以Rt△ABC的斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個(gè)對(duì)底的圓錐，故D錯(cuò)誤．6.已知直線和平面，則“”是“直線與平面無(wú)公共點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合充分，必要條件關(guān)系判斷.【詳解】因?yàn)榘椭本€與平面相交兩種情況，因此若，則直線可以與平面無(wú)公共點(diǎn)也可以與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，因此“”是“直線與平面無(wú)公共點(diǎn)”的必要不充分條件.故選：B．7.如圖，在梯形中，，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量基本定理和線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故選：A.8.如圖，四邊形的斜二測(cè)畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.B.C.四邊形的周長(zhǎng)為D.四邊形的面積為【答案】D【解析】【分析】利用斜二測(cè)畫法將圖形還原計(jì)算幾何圖形的面積與周長(zhǎng)以及相關(guān).【詳解】如圖可知，四邊形的周長(zhǎng)為，四邊形的面積為.故選:D.二?多選題（本體共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.z的虛部為-3 B.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求解復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】解：由可得，故z的虛部為3，A錯(cuò)誤；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，B正確；，C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.有下列說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的說(shuō)法為（）.A.、為實(shí)數(shù)，若，則與共線B.若、，則C.兩個(gè)非零向量、，若，則與垂直D.若，、分別表示、的面積，則【答案】AB【解析】【分析】由零與任何向量共線，即可判斷B；由三角形的重心的向量表示和性質(zhì)可判斷D；由向量共線的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷C．【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與可以任意向量，滿足，但與不一定共線，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，如果、都非零向量，，滿足已知條件，但是結(jié)論不成立，故B錯(cuò)，對(duì)于C選項(xiàng)，若，所以，即，即，所以，∴與垂直，故C正確，若，設(shè)，，可得為的重心，設(shè)，，，則，，，由，可得，故D正確；故選：AB.11.如圖，在正方體中，?????分別是棱?????的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.直線和平行，和異面B.直線和平行，和相交C.直線和相交，和異面D.直線和異面，和異面【答案】CD【解析】【分析】利用平行線的傳遞性可判斷出直線和平行，利用三角形全等可證得和相交，由異面直線的定義可判斷出和異面，即可得出合適的選項(xiàng).詳解】如下圖所示：因?yàn)?分別為?的中點(diǎn)，則，同理可證，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋裕裕娱L(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，同理可證，因?yàn)椋裕袋c(diǎn)?重合，所以，?相交，由異面直線的定義結(jié)合圖形可知，?異面，故AB對(duì)，CD均錯(cuò).故選：CD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則______．【答案】38【解析】【分析】代入方程結(jié)合復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算法則待定系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】將代入方程得，所以，所以.故答案為：3813.已知棱長(zhǎng)為的正方體中，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】將平面繞翻折到與平面共面，連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，利用勾股定理計(jì)算出即可.【詳解】如圖將平面繞翻折到與平面共面（如下平面圖形），連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，又，，所以，則，即的最小值為.故答案為：14.在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．【答案】或0【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知向量與的夾角為30°，.求的值.【答案】，【解析】【分析】首先利用向量數(shù)量積求出，然后再利用向量的模的求法求模即可.【詳解】.，.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算、向量模的計(jì)算，需熟記向量的數(shù)量積公式以及向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.16.已知復(fù)數(shù)，，其中a是正實(shí)數(shù)．（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若是純虛數(shù)，求a的值．【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)建關(guān)于的方程組，求解的值；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解，利用復(fù)數(shù)的定義，構(gòu)建關(guān)于的方程組，求解的值；【小問(wèn)1詳解】解：∵，，，∴，從而，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為2．【小問(wèn)2詳解】依題意得：，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以：，解得：或；又因?yàn)閍是正實(shí)數(shù)，所以a＝2．17.已知是三邊長(zhǎng)且，的面積．（1）求角；（2）求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理計(jì)算即可；（2）先根據(jù)面積公式求出，結(jié)合，得到，進(jìn)而得到，求出周長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】由余弦定理得，因?yàn)椋裕弧拘?wèn)2詳解】由三角形面積公式得，即，解得，故，又，故，所以，故，，故的周長(zhǎng)為．18.如圖，“中國(guó)天眼”是我國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡，其反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設(shè)球冠底的半徑為r，球冠的高為h，球冠底面圓周長(zhǎng)為C.（1）求球冠所在球的半徑R(結(jié)果用h?r表示)；（2）已知球冠表面積公式為，當(dāng)，時(shí)，求的值及球冠所在球的表面積.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】(1)根據(jù)給定信息結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)，再借助勾股定理列式計(jì)算即得.(2)根據(jù)給定條件結(jié)合(1)的結(jié)論求出球半徑R即可計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】如圖，點(diǎn)O是球冠所在球面的球心，點(diǎn)O1是球冠底面圓圓心，點(diǎn)A是球冠底面圓周上一點(diǎn)，線段O1B是球冠的高，依題意，OB垂直于球冠底面，顯然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r，中，，即，整理化簡(jiǎn)得：，所以球冠所在球的半徑R有：.【小問(wèn)2詳解】因球冠底面圓周長(zhǎng)，則，又球冠表面積公式為，且，則，由(1)知，即，解得，于是得，球O的表面積為，所以的值是，球冠所在球的表面積是.19.如圖是一個(gè)正四棱臺(tái)的石料，上、下底面的邊長(zhǎng)分別為和，高．（1）求四棱臺(tái)的表面積；（2）若要這塊石料最大限度打磨為一個(gè)圓臺(tái)，求圓臺(tái)的體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出側(cè)面