江蘇無錫市湖濱中學2024-2025學年高三（下）數學第5周階段性訓練模擬練習一．選擇題（共7小題）1．已知點F1，F2是橢圓Ω的兩個焦點，P是橢圓Ω上一點，△PF1F2的內切圓的圓心為Q．若，則橢圓Ω的離心率為（）A． B． C． D．2．若非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．π3．在復平面內，復數z＝（sinα﹣2sinβ）+（cosα﹣2cosβ）i（i為虛數單位）與點對應，則cos（α﹣β）＝（）A． B． C． D．4．已知一幾何體上半部分為圓臺PO，下半部分為圓錐SO，其中圓錐SO底面的半徑為r，高為h．圓臺PO的兩底面的半徑分別r和，高為2h．該幾何體內接于表面積為100π的球，則圓臺PO的體積為（）A． B． C． D．5．已知圓錐的底面半徑為3，圓錐內的最大球的表面積為9π，則該圓錐的側面積為（）A．9π B．15π C． D．6．如圖，將邊長為1的正五邊形ABCDE的各邊延長，得到一個正五角星．若點P、Q在正五角星的內部（含邊界），則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知拋物線C：y2＝4x，其中AC，BD是過拋物線焦點F的兩條互相垂直的弦，直線AC的傾斜角為α，當α＝45°時，如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32二．多選題（共4小題）（多選）8．設z1，z2為復數，則下列說法中正確的有（）A．|z1|+|z2|＝|z1+z2| B． C．若|z1|＝|z2|，則 D．若，則z1為純虛數（多選）9．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝2，P為CC1的中點，點Q滿足（λ∈[0，1]，μ∈[0，1]），則下列結論中正確的是（）A．若，則四面體A1BPQ的體積為定值 B．若△A1BQ的外心為O，則為定值2 C．若，則點Q的軌跡長度為 D．若λ＝1且，則存在點E∈A1B，使得AE+EQ的最小值為（多選）10．在棱長為的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F分別是棱BC，CC1的中點，下列選項中正確的是（）A．直線EF與A1B所成的角為 B．平面AEF截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積為 C．若點P滿足，其中θ∈R，則三棱錐D﹣A1C1P的體積為定值 D．以B1為球心，4為半徑作一個球，則該球面與三棱錐B1﹣ABC表面相交的交線長為3π（多選）11．如圖所示，已知正三棱錐A﹣BCD底面邊長為m，側棱長為n，E，F，G，H分別為AB，AD，CD，BC的中點，連接EF，FG，GH，HE，CE，CF，則下列說法正確的是（）A．四邊形EFGH為矩形 B．向量，不共面 C．點P在△ABC內，點P到點A距離與到底面BCD距離相等，則點P的軌跡是橢圓的一部分 D．若側棱長n＝m，則直線AC與平面CEF所成角的正弦值為三．填空題（共2小題）12．已知四棱錐P﹣ABCD的底面是平行四邊形，點E滿足．設三棱錐P﹣ACE和四棱錐P﹣ABCD的體積分別為V1和V2，則的值為．13．已知在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M是底面ABCD內的動點，點N為棱BC上的動點，且tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，則MN+ND的最小值為．四．解答題（共7小題）14．如圖，在所有棱長都為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點E是棱AA1的中點，AB1⊥CE．（1）求證：平面A1ABB1⊥平面ABC；（2）若，點P滿足，求直線CP與平面A1ABB1所成角的正弦值．15．如圖所示的幾何體中，ABC﹣A1B1C1為三棱柱，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝2CD，．（1）求證：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD＝2，求三棱錐C1﹣A1CD的體積．16．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AA1＝AD＝2BC＝2，．點E在棱A1D1上，平面BC1E與棱AA1交于點F．（1）求證：BD⊥C1F；（2）若BE與平面ABCD所成角的正弦值是，求三角形C1EF的面積．17．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA＝PC，AC⊥BC，PH⊥平面ABC，H為垂足，D為AC的中點．（1）證明：DH∥平面PBC；（2）若AC＝2，∠PAH＝∠CAH＝45°，求二面角P﹣BC﹣A的正弦值．

18．梯形ABCD中，AD∥BC，E為AD上的一點且有BE⊥AD，AE＝BE＝1，BC＝ED，將△ABE沿BE翻折到△PEB使得二面角P﹣BE﹣C的平面角為θ，連接PC，PD，F為棱PD的中點．（1）求證：FC∥面PBE；（2）當θ＝，PD＝時，求直線PC與平面BCF所成角的正弦值．19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）證明：AA1⊥平面ABC；（2）已知AA1＝3，AB＝2，AC＝1，BC＝，求直線A1B與AC1所成角的正弦值．

20．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，BC＝CD＝，∠DCB＝90°，∠DAB＝45°，E，F分別為AD，AB的中點．（1）求證：AD⊥BD；（2）求證：平面BDC1∥平面EFD1；（3）若CC1＝2，P是線段D1F上的動點，求直線A1P與平面BDC1所成角的正弦值的最大值．

參考答案與試題解析題號1234567答案DBCDBBB一．選擇題（共7小題）1．【解答】解：不妨設橢圓的方程為：，P（x0，y0），Q（x，y），則有F1（﹣c，0），F2（c，0），所以，因為，所以＝（3x0﹣11x﹣2c，3y0﹣11y）＝（0，0），所以，所以△PF1F2的內切圓的半徑為，由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以．故選：D．2．【解答】解：設向量與的夾角為θ，θ∈[0，π]，非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量是，則，解得cosθ＝，解得．故選：B．3．【解答】解：由題意，，兩式平方相加，可得1﹣4（cosαcosβ+sinαsinβ）+4＝4，即cos（α﹣β）＝．故選：C．4．【解答】解：設該幾何體的外接球的半徑為R，則該球的表面積為4πR2＝100π，所以R＝5，設該幾何體的外接球的球心到圓O平面的距離為t，則根據題意可得，解得h＝3，t＝2，r＝，所以，2h＝6，所以圓臺PO的體積為＝．故選：D．5．【解答】解：由球的表面積公式S＝4πR2＝9π，解得R＝，即圓錐內的最大球的直徑為，圓錐軸截面如圖，則AD＝BD＝3，，因為∠COE+∠DOE＝∠CAB+∠DOE＝π，所以∠COE＝∠CAB，設∠COE＝∠CAB＝2α，則，，則cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝，在△COE中，OC＝＝＝，所以CD＝CO+OD＝4，所以，所以圓錐的側面積為π×3×5＝15π．故選：B．6．【解答】解：，當與方向相反，此時最小，且，由于P，Q在正五角星的內部（含邊界），所以P、Q分別是與A、B共線的五角星的頂點M、N，如圖所示：此時最小，故此時P點在圖中的M點處，由于與方向相反，且要最大，故Q在圖中N處．取AE的中點為F，正五角星在AB上的兩個頂點分別為M，N，因為cos54°＝sin36°，所以4cos318°﹣3cos18°＝2sin18°cos18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1＝0，解得sin18°＝，所以AN＝＝＝，所以AM＝AB+BM＝1+＝，所以＝﹣AN?AM＝＝．故選：B．7．【解答】解：已知拋物線C：y2＝4x，則F（1，0），又直線AC的傾斜角α＝45°，則直線AC的方程為y＝x﹣1，聯立，得x2﹣6x+1＝0，解得，結合圖可取，，故，，根據拋物線的對稱性結合AC，BD是過拋物線焦點F的兩條互相垂直的弦，可知，故，故結合拋物線對稱性可得“蝴蝶形圖案（陰影區域）”的面積為2×4＝8．故選：B．二．多選題（共4小題）8．【解答】解：對于A：對于z1＝1+i，z2＝1﹣i，則|z1+z2|＝2，故A錯誤；對于B，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，則，，所以＝，故B正確；對于C：對于z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，顯然，故C錯誤；對于D，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，，則，可得，即z1為純虛數，故D正確．故選：BD．9．【解答】解：對于A選項，取DD1，DC的三等分點分別為M，N，如圖所示，因為，所以3λ+3μ＝1，令，，則，所以Q∈MN．因為MN∥CD1，CD1∥A1B，所以MN∥A1B，所以△A1BQ的面積為定值，點P到平面A1BQ的距離也是定值，故A選項正確．對于B選項，如圖，若△A1BQ的外心為O，過點O作OH⊥A1B于點H，則H是A1B的中點．因為，所以，故B選項錯誤．對于C選項，如圖，在平面A1B1C1D1中作A1K⊥C1D1，顯然A1K⊥平面CC1D1D，由長度和角度，可得．在Rt△A1KQ中，，所以，則點Q在以K為圓心，為半徑的圓上運動．設此圓與D1D交于點A3，因為且KD1＝1，所以，則點Q的軌跡長度是．故C選項正確．對于D選項，若λ＝1且，則點Q與點P重合．把△A1AB沿著A1B進行翻折，使得A1，A，B，P四點共面，此時AE+EQ有最小值AP（這里和后面的A均為翻折后的點）．在△A1PB中，，，，所以，所以，從而，在△APB中，由余弦定理得：，故D選項正確．故選：ACD．10．【解答】解：作出圖形如下：對A選項，根據題意易知EF∥BC1，且三角形A1C1B為正三角形，所以直線EF與A1B所成的角為，所以A選項錯誤；對B選項，易知EF∥BC1∥AD1，所以平面AEF截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面為等腰梯形AEFD1，又易知AD1＝2EF＝，D1F＝AE＝，所以平面AEF截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積為：＝，所以B選項正確；對C選項，因為點P滿足，又cos2θ+sin2θ＝1，cos2θ≥0，sin2θ≥0，所以根據向量共線定理可得P在線段B1C上，又易知B1C∥A1D，又B1C?平面A1DC1，A1D?平面A1DC1，所以B1C∥平面A1DC1，所以P到平面A1DC1的距離為定值，又三角形A1DC1的面積也為定值，所以三棱錐D﹣A1C1P的體積為定值，所以C選項正確；對D選項，如圖，分別作出以B1為球心，4為半徑的球與三棱錐B1﹣ABC三個表面的交線，易得圖中GB＝＝2，B1B＝，所以∠GB1B＝，所以HB1G＝＝，所以的長度為＝，由對稱性可知該球在側面B1BC內所截得的圓弧長等于的長度，又易知側面ACB1為邊長為的正三角形，所以該球在側面ACB1內所截得的圓弧長為＝，在底面三角形ABC內，易知K點即為G點，所以BK＝BL＝BG＝2，所以該球在底面三角形ABC內所截得的圓弧長為＝π，所以以B1為球心，4為半徑的球面與三棱錐B1﹣ABC表面相交的交線長為＝3π，所以D選項正確．故選：BCD．11．【解答】解：對于A，∵E，F，G，H分別為AB，AD，CD，BC的中點，根據中位線定理得EF∥BD，，HG∥BD，，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，取BD中點O，連接OC，OA，∵正三棱錐A﹣BCD，AB＝AD，得BD⊥OA，BC＝DC得BD⊥OC，OA∩OC＝O，OA，OC?平面OAC，∴BD⊥平面OAC，AC?平面OAC，∴BD⊥AC，又∵EH∥AC，HG∥BD，∴EH⊥HG，四邊形EFGH為矩形，A正確；對于B，四邊形EFGH為矩形，，向量可以由向量，線性表示，向量，，共面，B錯誤；對于C，點P在△ABC內，過點P作PM⊥底面BCD，BC?底面BCD，則PM⊥BC，過點P作PN⊥BC，連接MN，∵PM∩PN＝P，PM，PN?平面PMN，∴BC⊥平面PMN，MN?平面PMN，∴BC⊥MN，∴∠PNM為二面角A﹣BC﹣D的平面角θ，當m，n確定時，二面角A﹣BC﹣D的平面角θ是定值，，∵點P到點A距離與到底面BCD距離PM相等，∴定值，且0＜sinθ＜1，根據橢圓第二定義，到定點A和到定直線BC的距離比為定值sinθ∈（0，1）的點的軌跡為橢圓，故C正確；對于D，若側棱長n＝m，正三棱錐A﹣BCD為正四面體，設m＝2，以BC中點H為坐標原點，HC，HD，Hz所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示：則C（1，0，0），，B（﹣1.0，0），，E，F，，設平面CEF的法向量，，，則，即，取，則，∴平面CEF的法向量，設直線AC與平面CEF所成的角為α，∴，D正確．故選：ACD．三．填空題（共2小題）12．【解答】解：四棱錐P﹣ABCD的底面是平行四邊形，點E滿足，設三棱錐P﹣ACE和四棱錐P﹣ABCD的體積分別為V1和V2，設點C到平面PAD的距離為h，∵，∴，∴，其中三棱錐P﹣ACE的體積為V1，則VC﹣EAD＝2V1，VP﹣ACD＝VC﹣PAE+VC﹣EAD＝V1+2V1＝3V1，∵VP﹣ABCD＝2VP﹣ACD，∴V2＝6V1，則．故答案為：．13．【解答】解：如圖（一），因為，，又tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，所以MB＝2MA，如圖（二），建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（3，0），D（0，3），設點M（x，y），根據MB＝2MA，所以，化簡得：（x+1）2+y2＝4（x≥0，y≥0），該方程表示圓心為P（﹣1，0），r＝2的圓的一部分，又點D（0，3）關于BC的對稱點D′（6，3），所以．故答案為：．四．解答題（共7小題）14．【解答】解：（1）證明：取AB的中點O，連接EO，A1B，OC，因為E為AA1中點，O為AB中點，所以EO∥A1B，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則四邊形ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，則AB1⊥EO，又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE?平面EOC，所以AB1⊥平面EOC，又因為OC?平面EOC，所以OC⊥AB1，因為△ABC是等邊三角形，O為AB中點，所以OC⊥AB．又因為OC⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1?平面A1ABB1，所以OC⊥平面A1ABB1，又因為OC?面ABC，所以平面A1ABB1⊥平面ABC．（2）連接A1O．因為，AB＝AA1，所以△A1AB是等邊三角形，所以A1O⊥AB，又平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，A1O?平面A1ABB1，所以A1O⊥平面ABC，由OC，OB?平面ABC，得A1O⊥OC，A1O⊥OB，又OC⊥AB，如圖，以O為原點，OC、OB、OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，則O（0，0，0），，B（0，1，0），，．設C1（x，y，z），又，即，得，所以，，，則，易知平面A1ABB1的一個法向量，所以，設直線CP與平面A1ABB1所成角為θ，則．15．【解答】解：（1）證明：∵AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，∴AC1⊥A1C，∵AA1⊥平面ABC，又CD?平面ABC，∴AA1⊥CD，又AD＝2CD，，∴CD2+AC2＝AD2，CD⊥AC，∵AC∩AA1＝A，CD⊥平面ACC1A1，∵AC1?平面ACC1A1，∴CD⊥AC1，又AC1⊥A1C，且CD∩A1C＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD；（2）∵CD＝2，∴AD＝4，，∴三棱錐C1﹣A1CD的體積為：＝．16．【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AA1＝AD＝2BC＝2，，點E在棱A1D1上，平面BC1E與棱AA1交于點F．在直四棱柱中ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴AA1⊥BD，連接AC，∵tan∠ADB＝＝，，∴∠ADB＝∠CAB，又∠ADB+∠DBA＝90°，∴∠CAB+∠DBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AA1，AC?平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵C1F?平面ACC1A1，∴BD⊥C1F．（2）以A為坐標原點，AD所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則A（0，0，0），，，，設E（x，0，2），x＞0，平面ABCD的法向量為，∵BE與平面ABCD所成角的正弦值是，∴＝|cos＜＞|＝＝，解得，則，，，設F（0，0，z），，∵C1，B，E，F四點共面，則，∴（﹣1，﹣，z﹣2）＝m（）+n（﹣，﹣，0），∴，解得，，z＝1，∴F（0，0，1），∴F為棱AA1的中點．∴，∴cos＜＞＝＝＝，∴sin＜＞＝＝，∴三角形C1EF的面積為：S＝||×||×sin＜＞＝．17．【解答】（1）證明：連接PD，因為PA＝PC，D為AC的中點，所以AC⊥PD，又因為PH⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PH⊥AC，又因為PD，PH?平面PHD，PD∩PH＝P，所以AC⊥平面PHD，又DH?平面PHD，所以AC⊥DH，因為AC⊥BC，且HD，BC?平面ABC，所以DH∥BC，因為BC?平面PBC，DH?平面PBC，所以DH∥平面PBC；（2）解：如圖，過點H作HQ⊥BC于點Q，連接PQ，因為PH⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PH⊥BC，又HQ⊥BC，HQ∩PH＝H，HQ，PH?平面PHQ，所以BC⊥平面PHQ，又PQ?平面PHQ，所以PQ⊥BC，所以∠PQH為二面角P﹣BC﹣A的平面角，因為AC＝2，∠PAH＝∠CAH＝45°，所以，HQ＝DC＝1，所以，所以，所以二面角P﹣BC﹣A的正弦值為．18．【解答】解：（1）證明：取PE中點G，連接GB，GF，因為BC∥ED，，在△PED中，GF∥ED，，所以GF∥BC，GF＝BC，所以四邊形BCFG為平行四邊形，所以FC∥GB，又因為FC?平面PBE，GB?平面PBE，所以FC∥平面PBE；（2）BE⊥AD，則BE⊥PE且BE⊥ED，所以BE⊥平面PDE，又BE?平面BCDE，平面PDE⊥平面BCDE，在平面PDE內，過點E作EQ⊥ED交PD于點Q，因為平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以EQ⊥平面BCDE，以{，，}為正交基底建立如圖坐標系，，D（0，2，0），，B（1，0，0），C（1，1，0），，，，設為平面BCF的法向量，則，則，所以．19．【解答】解：（1）證明：在△ABC中，取點P并作PG⊥AB，PH⊥AC，G，H為垂足，∵PG⊥AB，平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，PG?平面ABC，∴PG⊥平面ABB1A1，∵AA1?平面ABB1A1，∴PG⊥AA1，∵PG∩PH＝P，且PG，PH?平面ABC，∴AA1⊥平面ABC；（2）AA1＝3，AB＝2，AC＝1，BC＝，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，由（1）知AA1⊥平面ABC，又∵AB?平面ABC，AC?平面ABC，∴AB⊥AA1，AC⊥AA1，以A為坐標原點，AB，AC，A