24.3.1.2銳角三角函數

--特殊角的三角函數值第24章解直角三角形華東師大版數學九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********給出解直角三角形的定義：在直角三角形中，除直角外，已知兩個元素（其中至少一個是邊），求其他元素的過程叫做解直角三角形。引導學生分析為什么已知的兩個元素中至少有一個是邊：如果已知的兩個元素都是角，由于三角形的內角和是\(180^{\circ}\)，直角三角形中直角是固定的\(90^{\circ}\)，那么僅知道兩個銳角，三角形的大小和形狀是不確定的，無法求出三邊的長度。而當已知至少一條邊和其他一個元素時，就可以利用勾股定理、銳角三角函數等知識求出其他元素。分類討論解直角三角形的類型：類型一：已知斜邊和一直角邊例如，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=5\)，\(a=3\)，求\(b\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。先根據勾股定理\(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)。再根據\(\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}\)，利用計算器求出\(\angleA\approx36.9^{\circ}\)。最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx53.1^{\circ}\)。類型二：已知斜邊和一銳角如在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=10\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，求\(a\)，\(b\)，\(\angleB\)。因為\(\sinA=\frac{a}{c}\)，所以\(a=c\sinA=10\times\sin30^{\circ}=5\)。又因為\(\cosA=\frac{b}{c}\)，所以\(b=c\cosA=10\times\cos30^{\circ}=5\sqrt{3}\)。由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。類型三：已知一直角邊和一銳角已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=6\)，\(\angleB=45^{\circ}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleA\)。因為\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\)，則\(\angleA=\angleB\)，所以\(a=b=6\)。再根據勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)。類型四：已知兩直角邊若在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=4\)，\(b=3\)，求\(c\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。首先由勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)。然后\(\tanA=\frac{a}{b}=\frac{4}{3}\)，利用計算器求出\(\angleA\approx53.1^{\circ}\)。最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx36.9^{\circ}\)。（三）例題解析（15分鐘）例1：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=\sqrt{3}\)，\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，解這個直角三角形。分析：已知\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，因為\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)。又因為\(\sinB=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)，解得\(AB=2\)。再根據勾股定理\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)。解答過程：解：因為\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。又\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)。由\(\sinB=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)，得\(AB=2\)。根據勾股定理\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)。綜上，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(\angleB=60^{\circ}\)，\(AB=2\)，\(BC=1\)。例2：在\(\triangleABC\)中，\(\angleC\)為直角，\(\angleA\)、\(\angleB\)、\(\angleC\)所對的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(b=20\)，\(\angleA=35^{\circ}\)，解這個三角形（精確到\(0.1\)）。分析：已知\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=90^{\circ}-\angleA=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}\)。因為\(\tanA=\frac{a}{b}\)，所以\(a=b\tanA=20\times\tan35^{\circ}\)，利用計算器求出\(a\approx20\times0.7002\approx14.0\)。又因為\(\cosA=\frac{b}{c}\)，所以\(c=\frac{b}{\cosA}=\frac{20}{\cos35^{\circ}}\)，利用計算器求出\(c\approx\frac{20}{0.8192}\approx24.4\)。解答過程：解：因為\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=90^{\circ}-\angleA=55^{\circ}\)。由\(\tanA=\frac{a}{b}\)，得\(a=b\tanA=20\times\tan35^{\circ}\approx20\times0.7002\approx14.0\)。由\(\cosA=\frac{b}{c}\)，得\(c=\frac{b}{\cosA}=\frac{20}{\cos35^{\circ}}\approx\frac{20}{0.8192}\approx24.4\)。綜上，\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=55^{\circ}\)，\(a\approx14.0\)，\(c\approx24.4\)。（四）鞏固練習（10分鐘）在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=37^{\circ}\)，\(BC=32\)，（參考數據：\(\sin37^{\circ}\approx0.60\)，\(\cos37^{\circ}\approx0.80\)，\(\tan37^{\circ}\approx0.75\)），求\(AC\)的長。解：因為\(\tanB=\frac{AC}{BC}\)，所以\(AC=BC\tanB=32\times\tan37^{\circ}\approx32\times0.75=24\)。如圖，已知\(Rt\triangleABC\)中，斜邊\(BC\)上的高\(AD=3\)，\(\cosB=\frac{3}{5}\)，求\(AC\)的長。解：在\(Rt\triangleABD\)中，\(\cosB=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}\)，設\(BD=3x\)，\(AB=5x\)。由勾股定理\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x\)，又\(AD=3\)，所以\(4x=3\)，\(x=\frac{3}{4}\)，則\(AB=\frac{15}{4}\)。因為\(\angleB+\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleCAD+\angleC=90^{\circ}\)，所以\(\angleB=\angleCAD\)，則\(\cos\angleCAD=\cosB=\frac{3}{5}\)。在\(Rt\triangleACD\)中，\(\cos\angleCAD=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}\)，即\(\frac{3}{AC}=\frac{3}{5}\)，解得\(AC=5\)。（五）課堂小結（5分鐘）引導學生回顧本節課的主要內容：解直角三角形的定義。解直角三角形的依據，包括勾股定理、直角三角形兩銳角互余以及銳角三角函數。解直角三角形的類型和方法，已知兩個元素（至少一個是邊）求其他元素的過程。強調在解直角三角形時需要注意的問題：選擇合適的三角函數關系式，盡量使用原始數據進行計算，以減小誤差。注意計算的準確性和規范性，書寫過程要條理清晰。（六）布置作業（5分鐘）基礎作業：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=10\)，\(\cosA=\frac{4}{5}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleB\)。已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=60^{\circ}\)，\(b=4\)，解這個直角三角形。拓展作業：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=45^{\circ}\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，\(AB=6\)，求\(BC\)的長（結果保留根號）。一個物體從點\(A\)出發，沿坡度為\(1:2\)的斜坡向上移動到點\(B\)，如果\(AB=5\sqrt{5}\)米，求物體升高了多少米？五、教學反思在本節課的教學過程中，通過復習舊知引入新課，讓學生對直角三角形的相關知識有了更清晰的認識，為學習解直角三角形奠定了基礎。在探究新知環節，通過分類討論和例題解析，引導學生掌握解直角三角形的方法和步驟，培養了學生的分析問題和解決問題的能力。在練習環節，通過不同類型的練習題，讓學生鞏固所學知識，提高了學生的解題能力。但在教學過程中，可能存在部分學生對三角函數的運用不夠熟練，在后續的教學中應加強針對性的練習和輔導。同時，在教學方法上可以進一步多樣化，提高學生的學習興趣和參與度。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理9布置作業學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解銳角三角形函數

在Rt△ABC中問題

特殊角的三角函數兩塊三角尺中有幾個不同的銳角？分別求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值．30°60°45°45°活動一

設30°所對的直角邊長為

a，那么斜邊長為2a，另一條直角邊長=∴30°60°∴活動二

設45°所對的直角邊長為

a，則斜邊長=∴45°45°知識要點1特殊三角函數值

銳角a三角函數30°45°60°sinacosatana1典例講解例1.

計算：(1)sin30°?tan30°+cos60°?tan60°.(2)sin260°+cos260°-tan45°解：(1)

sin30°?tan30°+cos60°?tan60°例2

(1)如圖(1),在Rt△ABC中，∠C=9