第27章圓27.4正多邊形和圓

1.知道正多邊形和圓的關系，知道正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.2.能用正多邊形的知識解決圓的有關計算問題.3.會用量角器等分圓，會用尺規作圖作圓內接正方形和正六邊形.◎重點:能用正多邊形的知識解決問題；會用量角器等分圓周；會用尺規作圖作圓內接正方形和正六邊形.◎難點:用正多邊形的知識解決問題.

各條邊

相等

、各個角也

相等

的多邊形是正多邊形.

相等相等

正多邊形的有關概念及性質

閱讀課本本課時“例”之前的內容，完成下面問題.·導學建議·教師可提問線段的垂直平分線的性質及角平分線的性質，加強新舊知識的聯系.正五邊形有

五

條對稱軸，這些對稱軸都交于一點，記為O，根據軸對稱的性質可知，這些對稱軸是正五邊形各邊

垂直平分線

的交點，因此點O到正五邊形各頂點的距離

相等

，記為R.那么以點O為圓心、R為半徑的圓就過正五邊形的各個

頂點

，它是該正五邊形的外接圓.另外，這些對稱軸也是正五邊形各內角的平分線，根據角平分線的性質，點O到各邊的距離都

相等

，記為r，那么以點O為圓心，r為半徑的圓就與正五邊形的各邊都相切，它是正五邊形的內切圓.五垂直平相等頂點相等分線

歸納總結

任何正多邊形都有一個

外接圓

和一個

內切圓

.這兩個圓有公共的

圓心

，稱其為正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.

外接圓內切圓圓心·導學建議·教師可提出問題:如果將圓n等分，依次連接各等分點，得到一個n邊形，這個n邊形一定是正n邊形嗎？學生思考，小組交流.教師根據學生回答進行總結.

正八邊形的中心角是

45

°.

45

圓內接正多邊形的畫法閱讀課本本課時“圖27.4.6”右邊的內容至“練習”，完成下列問題.·導學建議·教師可引導分析:1.正方形的中心角為90°，說明兩條半徑互相垂直；2.正六邊形的中心角是60°，說明半徑和邊長構成等邊三角形，故正六邊形的半徑等于邊長.

1.尺規作圖.(1)利用尺規作圖作出☉O的圓內接正方形(不寫作法，保留作圖痕跡).(2)利用尺規作圖作出☉M的圓內接正三角形(不寫作法，保留作圖痕跡).(3)在用尺規作圖作圓內接正方形、正六邊形的基礎上，你還可以作出哪些正多邊形？(舉出四個即可)解:(1)如圖，四邊形ABCD即為所求.(2)如圖，△GEF即為所求.(3)(答案不唯一)舉出四個即可，如正八邊形、正三角形、正十二邊形、正十六邊形、正二十四邊形等.2.用量角器畫圓的內接正五邊形時，可以把中心角

五

等分，那么弧被

五

等分，順次連接各等分點即可得到正五邊形.

方法歸納交流

因為同圓中相等的弧所對的弦

相等

，相等的弧所對的圓周角

相等

，因此n等分圓周即可作出正n邊形.五五相等相等變式演練

下列正多邊形，不能用尺規作圖作出的是(

B

)A.正三角形B.正五邊形C.正六邊形D.正八邊形B

圓內接正多邊形的中心角、半徑、邊心距3.如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數是(

B

)A.4B.5C.6D.7B

已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積.

因此，所求的正六邊形的周長為6a.因此，所求的正六邊形的周長為6a.

1下列正多邊形中，中心角等于內角的是(

C

)A.正六邊形B.正五邊形C.正方形D.正三角形2若正方形的邊長為6，則其內切圓半徑的大小為(

B

)A.3B.3C.6D.6CB3如圖，在☉O中，OA＝AB，OC⊥AB，則下列結論錯誤的是(

D

)A.弦AB的長等于圓內接正六邊形的邊長B.弦AC的長等于圓內接正十二邊形的邊長C.＝D.∠BAC＝30°

D

A.3B.9C.18D.36

C

7圖1是我們常見的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的平面圖形——正八邊形.(1)如圖2，AE是☉O的直徑，用直尺和圓規作☉O的內接正八邊形ABCDEFGH(不寫作法，保留作圖痕跡)；

解:(1)如圖，八邊形ABCDEFGH即為所求.

8如圖①②③④，M，N分別是☉O的內接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…，正n邊形ABCDEFG…的邊AB，BC上的點，且BM＝CN，連接OM，ON.(2)圖②中，∠MON的度數是

，圖③中，∠MON的度數是

；

(3)試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系(直接寫出答案).

(1)求圖①中∠MON的度數；解:(1)如圖，連接OB，OC.∵正三角形ABC內接于☉O，∴∠O