第=page11頁，共=sectionpages11頁上海市建平世紀中學2025屆高三下學期階段測試一數學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面α，β，則下列命題正確的是(

)A.若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l//m B.若α//β，l//α，m//β，則l//m

C.若α//β，m⊥α，l⊥β，則l//m D.若α⊥β，l⊥α，m//β，則l⊥m2.已知兩個變量x和y之間具有線性相關關系，5次試驗的觀測數據如下：x100120140160180y4554627592那么變量y關于x的線性回歸方程只可能是(

)A.y=0.575x?14.9 B.y=0.572x?13.9

C.y=0.575x?12.9 D.y=0.572x?14.93.已知直線l:y=3x與雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A.2+1 B.3+1 C.4.設數列an的前n項和為Sn，若存在非零常數c，使得對任意正整數n，都有2Sn=an+c，則稱數列an具有性質p：①存在等差數列an具有性質A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.已知集合A=xx?2x≤0，B=xx26.若sinα=13，則cos2α=7.若復數z滿足1?iz=2+3i(其中i是虛數單位)，則z=

．8.已知隨機變量X服從正態分布N8,σ2，且PX<5=0.3，則P9.已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體積為16π，則球的表面積為

．10.記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3+a4=711.已知向量a=(2,3)，b=(?1,2)，則a在b方向上的投影向量的坐標為

．12.已知函數fx=lnx+1,x≥0,?2x13.在2x+ax5(a<0)的二項式展開式中x2的系數為2880，則14.已知1號箱中有2個白球和4個紅球、2號箱中有5個白球和3個紅球，現隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是

．15.在?ABC中，過中線AD的中點E作一條直線分別交AB,AC于M,N兩點，若AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，則2x+4y16.若關于x的方程mex=?x2+x+1有三個不等實數根，則實數三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，AC與BD交于O點，PA⊥平面ABCD，且二面角P?BC?A的大小為45(1)求點A到平面PBD的距離；(2)求直線AC與平面PCD所成的角．18.(本小題12分)已知fx=(1)求函數fx(2)在ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，若fA2?π6=3，c=219.(本小題12分)2024年兩會期間民生問題一直是百姓最關心的熱點，某調查組利用網站從參與調查者中隨機選出200人，數據顯示關注此問題的約占45，并將這200人按年齡分組，第1組[15,25)，第2組[25,35)，第3組[35,45)，第4組[45,55)，第5組[55,65](1)求a，并估計參與調查者的平均年齡；(2)把年齡在第1，2，3組的居民稱為青少年組，年齡在第4，5組的居民稱為中老年組，若選出的200人中不關注民生問題的中老年人有10人，得到如下2×2列聯表.請將列聯表補充完整填入答題卡，并回答：依據小概率值α=0.050的獨立性檢驗，能否認為是否關注民生與年齡有關？關注民生問題不關注民生問題合計青少年中老年10合計200(3)將此樣本頻率視為總體的概率，從網站隨機抽取4名青少年，記錄4人中“不關注民生問題”的人數為Y，求隨機變量Y=2時的概率和隨機變量Y的數學期望EY附：χ2α0.0500.0100.0050.001x3.8416.6357.87910.82820.(本小題12分)橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點是F6(1)求橢圓C1(2)當直線AB的斜率為2時，求AB的長度；(3)若過原點的直線m與橢圓C1交于C，D兩點，且OC=tOA+21.(本小題12分)已知實數a>0，設fx(1)若a=3，求函數y=fx，x∈R的圖象在點1,?1(2)若a=13，求函數y=fx(3)若對于任意的x1∈2,+∞，總存在x2∈1,+∞，使得參考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.x0<x≤16.79

7.262

或8.0.2

9.16π

10.95

11.?412.?∞,?2∪13.?6

14.82715.3216.?517.解：(1)因為四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AB,AD?平面ABCD，所以AP,AB,AD兩兩垂直，以A為原點，AB,AD,AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標系，設PA=a，a>0，則P0,0,a，B1,0,0，C1,1,0，所以PB=1,0,?a，BC=設平面PBC的法向量n1則n1?PB取平面BCA的法向量n2因為二面角P?BC?A的大小為45所以cosn1,n2所以PB=1,0,?1，PD=設平面PBD的法向量n=則n?PB=所以點A到平面PBD的距離d=AP(2)由(1)得PC=設平面PCD的法向量m=則m?PC=x+y?z=0設直線AC與平面PCD所成的角為θ，θ∈0,所以sinθ=所以直線AC與平面PCD所成的角為π6

18.解：(1)∵f∴T=令2kπ+π2故fx的單調遞減區間為(2)∵f∴S∴b=4又∵∴a2∴a=23

19.解：(1)∵0.010×10+0.015×10+0.030×10+a×10+0.010×10=1，∴a=0.035，x=0.01×10×20+0.015×10×30+0.035×10×40+0.03×10×50+0.010×10×60=41.5∴估計參與調查者的平均年齡為：41.5歲；(2)選出的200人中，各組的人數分別為：第1組：200×0.010×10=20人，第2組：200×0.015×10=30人，第3組：200×0.035×10=70人，第4組：200×0.030×10=60人，第5組：200×0.010×10=20人，∴青少年組有20+30+70=120人，中老年組有200?120=80人，∵參與調查者中關注此問題的約占80%,∴有200×(1?80%)=40人不關心民生問題，∴選出的200人中不關注民生問題的青少年有30人，∴2×2列聯表如下；關注民生問題不關注民生問題合計青少年9030120中老年701080合計16040200零假設H0χ2∴根據獨立性檢驗，可以認為零假設H0即能依據小概率值α=0.050的獨立性檢驗，認為是否關注民生與年齡有關；(3)由題意，青少年“不關注民生問題”的頻率為30120將頻率視為概率，每個青少年“不關注民生問題”的概率為14因為每次抽取的結果是相互獨立的，所以Y～B4,所以P(Y=k)=C所以P(Y=2)=C42

20.解：(1)焦點F為62,0，則c=點E1,1在橢圓C1：x2解得a2=3或a2=1所以橢圓C1的方程為x(2)直線AB設其方程為y=2x+m，Ax1,聯立x23+則Δ=64m又x1+以AB為直徑的圓過原點即OA=5x將x1+x2=?解得m2AB=(3)當直線AB斜率存在時，設其方程為y=kx+m，Ax1,聯立x23+則Δ=46又x1+以AB為直徑的圓過原點即OA?化簡可得k2代入②③兩式，整理得k2即m2將④式代入①式，得Δ=44k2設線段AB中點為M，由OC=tOA+又S?OAB又由OC=tOA+OB，則化簡可得t(代入橢圓方程可得8m2t則S=當直線AB斜率不存在時，AB方程為x=±1，直線CD過AB中點，即為x軸，易得AB=2，CD=2綜上，四邊形ACBD面積的取值范圍為6

21.解：(1)因為a=3，fx=x所以f′x=2x?6x故點1,?1處的切線方程為y??1=?4(2)a=13，ff′x=?23x當x∈2,3時，f′x>0當x∈3,+∞時，f′x<0所以f所以函數y=fx，x∈2,+∞的值域為(3)由已知有f′(x)=2x?2ax2(a>0).令f′(x)=0，解得x=0x(?∞,0)0(0,1(f′(x)?0+0?f(x)↘0↗1↘所以f(x)的單調增區間是(0,1a)，單調減區間是(?∞,0)當x=0時，f(x)取極小值0，當x=1a時，由f(0)=f(32a)=0知，當x∈(0,32a)因為對于任意的x1∈2,+∞，總存在x當fx1=0時，不成立，故fx1設集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={1f(x)|x∈(1,+∞),f(x)≠0},則“