第28頁（共28頁）2024-2025學年上學期高二數學人教A版（2019）期中必刷常考題之導數的概念及其意義一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?河南期末）已知函數f（x）＝xlnx﹣x2，則limΔxA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（2024秋?深圳校級期末）若函數y＝f（x）在x＝x0處的導數等于a，則limΔxA．a B．2a C．3a D．13．（2024秋?上城區校級期末）已知點P是曲線C：y=x3-3x2A．[π4，π2] B．[π44．（2024秋?滄州期末）已知函數f（x）＝sin（cosx），則limtA．1 B．0 C．﹣1 D．sin15．（2024秋?溫州期末）已知函數f（x）在R上可導，其部分圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（）A．f(3)-B．f'C．f'D．f二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?香坊區校級期末）如圖是函數y＝f（x）的導函數y＝f'（x）的圖象，則以下說法正確的為（）A．﹣2是函數y＝f（x）的極值點 B．函數y＝f（x）在x＝1處取最小值 C．函數y＝f（x）在x＝0處切線的斜率小于零 D．函數y＝f（x）在區間（﹣2，2）上單調遞增（多選）7．（2024秋?西湖區校級期末）下列命題正確的是（）A．（e﹣x）′＝e﹣x B．已知函數f（x）在R上可導，且f′（1）＝1，則limΔxC．若y＝f（x）?g（x），則y′＝f′（x）?g（x）+f（x）?g′（x） D．一質點A沿直線運動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為y（t）＝t2+1，則該質點在t＝2s時的瞬時速度是4m/s（多選）8．（2024秋?連云港期末）蜥蜴的體溫與陽光照射的關系近似為T(t)=120t+5+15，其中TA．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫下降了12℃ B．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為﹣2.4℃/min C．當t＝5時，蜥蜴體溫的瞬時變化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴體溫的瞬時變化率為﹣3℃/min時的時刻t三．填空題（共4小題）9．（2024秋?安陽期末）若limx0→0f(1+x0)-f(1)10．（2024秋?河南期末）曲線f（x）＝ex﹣1在x＝1處的切線的傾斜角為．11．（2025?山西模擬）已知f（x）＝x2+x，則曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處切線的傾斜角是．12．（2024秋?吉安期末）過點（0，﹣2）作曲線y=x-1x四．解答題（共3小題）13．（2024?邢臺二模）在函數極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式00型或∞∞型極限的一種重要方法，其含義為：若函數f（x）和g（①limx→af(x)=0②在點a的附近區域內兩者都可導，且g′（x）≠0；③limx→a則limx（1）用洛必達法則求limx（2）函數f(x)=1+x+x22!+x33!+?+x（3）已知g（2x）＝g（x）?cosx，g（0）＝1，x∈(-π2參考公式：limx→a14．（2024春?遼源期末）已知函數f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函數f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（Ⅱ）求函數f（x）的極值．15．（2024春?黃浦區校級期中）已知車輛啟動后的一段時間內，車輪旋轉的角度和時間（單位：秒）的平方成正比，且車輛啟動后車輪轉動第一圈需要1秒．（1）求車輪轉動前2秒的平均角速度；（2）求車輪在轉動開始后第3秒的瞬時角速度．

2024-2025學年上學期高二數學人教A版（2019）期中必刷常考題之導數的概念及其意義參考答案與試題解析題號12345答案BBBCB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?河南期末）已知函數f（x）＝xlnx﹣x2，則limΔxA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考點】含Δx表達式的極限計算與導數的關系．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】B【分析】根據導數的定義和導數的運算公式求解．【解答】解：函數f（x）＝xlnx﹣x2，則f′（x）＝1+lnx﹣2x，所以f′（1）＝1+ln1﹣2＝﹣1，limΔx→0f(1)-f(1+Δx故選：B．【點評】本題主要考查導數的定義和導數的運算公式，屬于基礎題．2．（2024秋?深圳校級期末）若函數y＝f（x）在x＝x0處的導數等于a，則limΔxA．a B．2a C．3a D．1【考點】含Δx表達式的極限計算與導數的關系．【專題】轉化思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】B【分析】利用導數的幾何意義以及極限的性質化簡即可求解．【解答】解：由題意可得f′（x0）＝a，則limΔx→0f(x0+2Δx)-f(故選：B．【點評】本題考查了導數的幾何意義以及極限的性質，屬于基礎題．3．（2024秋?上城區校級期末）已知點P是曲線C：y=x3-3x2A．[π4，π2] B．[π4【考點】導數與切線的斜率．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】B【分析】結合導數的幾何意義，先求出切線的斜率范圍，即可求出傾斜角，即可求解．【解答】解：曲線C：則y'=3x2-23曲線C在點P處的切線的傾斜角為α，則tanα≥1，故α的取值范圍為[π4，π故選：B．【點評】本題主要考查導數與切線的斜率，屬于基礎題．4．（2024秋?滄州期末）已知函數f（x）＝sin（cosx），則limtA．1 B．0 C．﹣1 D．sin1【考點】變化率的極限與導數的概念．【專題】極限思想；定義法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據導數的概念計算即可．【解答】解：由題意得f′（x）＝﹣sinx?cos（cosx），所以limt故選：C．【點評】本題考查導數的概念，屬于基礎題．5．（2024秋?溫州期末）已知函數f（x）在R上可導，其部分圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（）A．f(3)-B．f'C．f'D．f【考點】導數與切線的斜率．【專題】計算題；數形結合；綜合法；導數的概念及應用；數學抽象．【答案】B【分析】根據題意，由導數的幾何意義和割線的斜率分析可得答案．【解答】解：根據題意，如圖：由導數的幾何意義，f′（1）為曲線在x＝1處切線的斜率，f′（3）為曲線在x＝1處切線的斜率，f(3)-f(1)3-1=則有f'故選：B．【點評】本題考查導數的幾何意義，注意直線的斜率分析，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?香坊區校級期末）如圖是函數y＝f（x）的導函數y＝f'（x）的圖象，則以下說法正確的為（）A．﹣2是函數y＝f（x）的極值點 B．函數y＝f（x）在x＝1處取最小值 C．函數y＝f（x）在x＝0處切線的斜率小于零 D．函數y＝f（x）在區間（﹣2，2）上單調遞增【考點】導數及其幾何意義；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．【專題】計算題；數形結合；數形結合法；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】AD【分析】根據導函數圖像判斷函數的單調性，再根據選項逐一判斷即可．【解答】解：根據導函數y＝f'（x）的圖象，可知當x∈（﹣∞，﹣2）時，f'（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）時，f'（x）≥0且僅當x＝1時，f'（x）＝0，故函數在（﹣∞，﹣2）上函數f（x）單調遞減；在（﹣2，+∞）函數f（x）單調遞增，所以﹣2是函數y＝f（x）的極小值點，所以A正確；其中x＝1兩側函數的單調性不變，則在x＝1處不是函數y＝f（x）的最小值，所以B不正確；由圖像可知f'（0）＞0，所以函數y＝f（x）在x＝0處的切線的斜率大于零，所以C不正確；由y＝f（x）圖象可得，當x∈（﹣2，2）時，f'（x）≥0，所以函數y＝f（x）在x∈（﹣2，2）上單調遞增，所以D正確，故選：AD．【點評】本題主要考查了導數的幾何意義和函數的單調性與極值，考查了數形結合思想，屬于基礎題．（多選）7．（2024秋?西湖區校級期末）下列命題正確的是（）A．（e﹣x）′＝e﹣x B．已知函數f（x）在R上可導，且f′（1）＝1，則limΔxC．若y＝f（x）?g（x），則y′＝f′（x）?g（x）+f（x）?g′（x） D．一質點A沿直線運動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為y（t）＝t2+1，則該質點在t＝2s時的瞬時速度是4m/s【考點】變化率的極限與導數的概念；含Δx表達式的極限計算與導數的關系．【專題】函數思想；定義法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】BCD【分析】根據導數的定義與性質，對選項中的命題真假性判斷即可．【解答】解：對于A，（e﹣x）′＝﹣e﹣x，選項A錯誤；對于B，limΔx→0f(1+Δx)-f(1-Δx)Δx對于C，y＝f（x）g（x），則y′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x），選項C正確；對于D，由y（t）＝t2+1，所以y′（t）＝2t，y′（2）＝4，所以該質點在t＝2s時的瞬時速度是4m/s，選項D正確．故選：BCD．【點評】本題考查了導數的定義與應用問題，是基礎題．（多選）8．（2024秋?連云港期末）蜥蜴的體溫與陽光照射的關系近似為T(t)=120t+5+15，其中TA．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫下降了12℃ B．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為﹣2.4℃/min C．當t＝5時，蜥蜴體溫的瞬時變化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴體溫的瞬時變化率為﹣3℃/min時的時刻t【考點】平均變化率；瞬時變化率．【專題】計算題；方程思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】ABC【分析】對于A，分別求出t＝0和t＝5時的蜥蜴體溫，即可得到從t＝0到t＝5的蜥蜴體溫下降量；對于B，根據平均變化率計算公式即可得出結果；對于C，求出T′（t），令t＝5，即可求出蜥蜴體溫的瞬時變化率；對于D，令T′（t）＝﹣3，求出t的值，即是蜥蜴體溫的瞬時變化率為﹣3℃/min時的時刻．【解答】解：根據題意，T(t)=依次分析選項：對于A，當t＝0時，T(0)=1205+15=39，當t＝所以從t＝0到t＝5，蜥蜴的體溫下降了39﹣27＝12，故A正確；對于B，從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為T(5)-T(0)對于C，T'(t)=-120(t+5)2，當t＝5時，T'(5)=對于D，令T'(t)=-故選：ABC．【點評】本題考查平均變化率、瞬時變化率的計算，涉及導數的計算，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?安陽期末）若limx0→0f(1+x0)-f(1)【考點】變化率的極限與導數的概念．【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解．【答案】﹣9．【分析】根據導數的定義求值．【解答】解：由導數的定義可知limx0所以f′（1）＝﹣9．故答案為：﹣9．【點評】本題主要考查了導數的定義，屬于基礎題．10．（2024秋?河南期末）曲線f（x）＝ex﹣1在x＝1處的切線的傾斜角為π4【考點】導數與切線的斜率．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】π4【分析】根據導數的幾何意義求導即可求得斜率，可得傾斜角．【解答】解：曲線f（x）＝ex﹣1，則f′（x）＝（ex﹣1）′＝ex﹣1，當x＝1時，切線的斜率為1，故切線的傾斜角為π4故答案為：π4【點評】本題主要考查導數的幾何意義，屬于基礎題．11．（2025?山西模擬）已知f（x）＝x2+x，則曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處切線的傾斜角是π4【考點】導數與切線的斜率．【專題】方程思想；定義法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】π4【分析】對函數y＝f（x）求導，求出在點（0，f（0））處的切線斜率，進而得出傾斜角．【解答】解：由f（x）＝x2+x，得f′（x）＝2x+1，則f′（0）＝1，則曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為1，設斜線的傾斜角為α（0≤α＜π），則tanα＝1，可得α=π故答案為：π4【點評】本題考查導數的幾何意義及應用，考查直線的傾斜角與斜率的關系，是基礎題．12．（2024秋?吉安期末）過點（0，﹣2）作曲線y=x-1x【考點】導數與切線的斜率．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】2．【分析】先求導，設出切點，再結合切線的性質，列出方程組，即可求解．【解答】解：y＝f（x）=x則y'＝f'（x）＝1+1設切點為（x0，y0），則x0-1故切線的斜率為f'（1）＝1+1＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查導數與切線的性質，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024?邢臺二模）在函數極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式00型或∞∞型極限的一種重要方法，其含義為：若函數f（x）和g（①limx→af(x)=0②在點a的附近區域內兩者都可導，且g′（x）≠0；③limx→a則limx（1）用洛必達法則求limx（2）函數f(x)=1+x+x22!+x33!+?+x（3）已知g（2x）＝g（x）?cosx，g（0）＝1，x∈(-π2參考公式：limx→a【考點】極限及其運算．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）1；（2）函數f（x）僅在（﹣∞，0）上存在1個零點；（3）g（x）=sinx【分析】（1）直接利用洛必達法則求解即可；（2）求出導函數f'（x），并利用導數判斷函數f(（3）由題意可得：g(2x)g(x)【解答】解：（1）limx（2）因為f(x)=1+所以f'(x)-f(x)=-x2n-1(2n當x＞0時，h'（x）=[f(x)ex]'＜0，函數h當x＜0時，h'（x）=[f(x)ex]'＞0而limx→-∞f(x)ex=-∞，f（0）＝1所以當x＞0時，h（x）=f所以函數f（x）僅在（﹣∞，0）上存在1個零點．（3）因為g（2x）＝g（x）?cosx，所以g(2所以g(x)g(所以將各式相乘得：g(所以兩側同時運算極限得：limn即g(令t=x2n，原式可化為g(x)所以由（1）得：g(x)=sinxx(x≠0)，由題意函數綜上，g（x）=sinx【點評】本題考查新定義、利用導數研究函數的單調性、零點，考查學生的邏輯思維能力和運算能力，屬中檔題．14．（2024春?遼源期末）已知函數f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函數f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（Ⅱ）求函數f（x）的極值．【考點】變化的快慢與變化率；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】綜合題；函數思想；轉化法；導數的綜合應用．【答案】見試題解答內容【分析】（Ⅰ）先求導，根據導數的幾何意義即可求出，（Ⅱ）先求導，再根據導數和函數極值的關系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x﹣1+aex，得f′（x由函數f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，得f′（1）＝1-ae=0，解得（Ⅱ）f′（x）＝1-①當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R上為增函數，f（x）無極值②當a＞0時，令f′（x）＝0，解得x＝lna，∴x∈（﹣∞，lna）時，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數f（x）在（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增．∴f（x）在x＝lna處取得極小值，且極小值為f（lna）＝lna，無極大值綜上，當a≤0時，函數f（x）無極值；當a＞0時，f（x）在x＝lna處取得極小值lna，無極大值．【點評】本題考查了導數和函數的極值的關系，關鍵是分類討論，屬于中檔題．15．（2024春?黃浦區校級期中）已知車輛啟動后的一段時間內，車輪旋轉的角度和時間（單位：秒）的平方成正比，且車輛啟動后車輪轉動第一圈需要1秒．（1）求車輪轉動前2秒的平均角速度；（2）求車輪在轉動開始后第3秒的瞬時角速度．【考點】變化的快慢與變化率；導數及其幾何意義．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】（1）4π；（2）12π．【分析】（1）設出未知數，得到y＝kt2，待定系數法求出解析式，從而計算出車輪轉動前2秒的平均角速度；（2）求導，由導函數的意義得到答案．【解答】解：（1）設車輪旋轉的角度為y，車輛啟動后車輪轉動的時間為t秒，則y＝kt2，由題意得t＝1時，y＝2π，即2π＝12k，解得k＝2π，故y＝2πt2，車輪轉動前2秒的平均角速度為2π（2）y＝2πt2，y′＝4πt，由導函數的意義可得車輪在轉動開始后第3秒的瞬時角速度為4π×3＝12π．【點評】本題主要考查導數的幾何意義，屬于基礎題．

考點卡片1．變化的快慢與變化率【知識點的認識】1、平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當自變量x由x1變化到x2時，其函數y＝f（x）的函數值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數值的變化2、瞬時變化率：變化率的概念是變化快慢的特例，我們記△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），則函數的平均變化率為：△y△x=f(x13、導數的概念：函數f（x）在x＝x0處時的瞬時變化率是函數y＝f（x）在x＝x0處的導數，記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解題方法點撥】瞬時速度特別提醒：①瞬時速度實質是平均速度當△t→0時的極限值．②瞬時速度的計算必須先求出平均速度，再對平均速度取極限，函數y＝f（x）在x＝x0處的導數特別提醒：①當△x→0時，比值△y△x的極限存在，則f（x）在點x0處可導；若△y△x的極限不存在，則f②自變量的增量△x＝x﹣x0可以為正，也可以為負，還可以時正時負，但△x≠0．而函數的增量△y可正可負，也可以為0．③在點x＝x0處的導數的定義可變形為：f′（x0）=△x→0limf(x導函數的特點：①導數的定義可變形為：f′（x）=△②可導的偶函數其導函數是奇函數，而可導的奇函數的導函數是偶函數；③可導的周期函數其導函數仍為周期函數；④并不是所有函數都有導函數．⑤導函數f′（x）與原來的函數f（x）有相同的定義域（a，b），且導函數f′（x）在x0處的函數值即為函數f（x）在點x0處的導數值．⑥區間一般指開區間，因為在其端點處不一定有增量（右端點無增量，左端點無減量）．【命題方向】典例1：一質點的運動方程是s＝5﹣3t2，則在一段時間[1，1+△t]內相應的平均速度為（）A．3△t+6B．﹣3△t+6C．3△t﹣6D．﹣3△t﹣6分析：分別求出經過1秒種的位移與經過1+△t秒種的位移，根據平均速度的求解公式平均速度＝位移÷時間，建立等式關系即可．解：V=故選D．點評：本題考查函數的平均變化率公式：f(典例2：一質點運動的方程為s＝8﹣3t2．（1）求質點在[1，1+△t]這段時間內的平均速度；（2）求質點在t＝1時的瞬時速度（用定義及求導兩種方法）．分析：本題考查的是變化率及變化快慢問題．在解答時：（1）首先結合條件求的△s，然后利用平均速度為△s（2）定義法：即對平均速度為△s△t當△t趨向于0時求極限即可獲得解答；求導法：t＝1時的瞬時速度即s＝8﹣3t2在t＝1處的導數值，故只需求t＝1時函數s＝8﹣3解答：由題意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴質點在[1，1+△t]這段時間內的平均速度為：v=（2）定義法：質點在t＝1時的瞬時速度為v=求導法：質點在t時刻的瞬時速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴當t＝1時，v＝﹣6×1＝﹣6．點評：導數的物理意義建立了導數與物體運動的瞬時速度之間的關系．對位移s與時間t的關系式求導可得瞬時速度與時間t的關系．根據導數的定義求導數是求導數的基本方法，誚按照“一差、二比、三極限”的求導步驟來求．值得同學們體會和反思．2．平均變化率【知識點的認識】平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當自變量x由x1變化到x2時，其函數y＝f（x）的函數值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數值的變化【解題方法點撥】﹣計算：將區間端點a和b代入函數f，計算f(﹣解釋：平均變化率描述了函數在區間上的平均斜率，反映函數值的總體變化趨勢．【命題方向】常見題型包括計算函數在給定區間上的平均變化率，解決實際問題中的平均變化率計算．函數f（x）＝log2x在區間[2，4]上的平均變化率是_____．解：函數的平均變化率是f(4)-故答案為：123．瞬時變化率【知識點的認識】1、平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當自變量x由x1變化到x2時，其函數y＝f（x）的函數值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數值的變化2、瞬時變化率：變化率的概念是變化快慢的特例，我們記△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），則函數的平均變化率為：△y△x=f(x1【解題方法點撥】函數f（x）在x＝x0處時的瞬時變化率是函數y＝f（x）在x＝x0處附近平均變化率的極限：x→【命題方向】常見題型包括計算函數在特定點上的瞬時變化率，分析實際問題中的瞬時變化率．函數f(x)=-6x在解：函數f（x）在x＝1處的瞬時變化率為limΔx故答案為：6．4．導數及其幾何意義【知識點的認識】1、導數的定義如果函數f（x）在（a，b）中每一點處都可導，則稱f（x）在（a，b）上可導，則可建立f（x）的導函數，簡稱導數，記為f′（x）；如果f（x）在（a，b）內可導，且在區間端點a處的右導數和端點b處的左導數都存在，則稱f（x）在閉區間[a，b]上可導，f′（x）為區間[a，b]上的導函數，簡稱導數．2、導數的幾何意義函數f（x）在x＝x0處的導數就是切線的斜率k．例如：函數f（x）在x0處的導數的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點撥】（1）利用導數求曲線的切線方程．求出y＝f（x）在x0處的導數f′（x）；利用直線方程的點斜式寫出切線方程為y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函數在x＝x0處可導，則圖象在（x0，f（x0））處一定有切線，但若函數在x＝x0處不可導，則圖象在（x0，f（x0））處也可能有切線，即若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的導數不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．（3）注意區分曲線在P點處的切線和曲線過P點的切線，前者P點為切點；后者P點不一定為切點，P點可以是切點也可以不是，一般曲線的切線與曲線可以有兩個以上的公共點，（4）顯然f′（x0）＞0，切線與x軸正向的夾角為銳角；f′（x0）＜0，切線與x軸正向的夾角為鈍角；f（x0）＝0，切線與x軸平行；f′（x0）不存在，切線與y軸平行．【命題方向】題型一：根據切線方程求斜率典例1：已知曲線y=x2A．3B．2C．1D．1解：設切點的橫坐標為（x0，y0）∵曲線y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故選A．題型二：求切線方程典例2：已知函數f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即為（﹣3，3）∴在點（﹣3，f（﹣3））處的切線過（﹣3，3）將（﹣3，3）代入選項通過排除法得到點（﹣3，3）只滿足A故選A．5．變化率的極限與導數的概念【知識點的認識】導數的概念：函數f（x）在x＝x0處時的瞬時變化率是函數y＝f（x）在x＝x0處的導數，記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解題方法點撥】導函數的特點：①導數的定義可變形為：f′（x）=△②可導的偶函數其導函數是奇函數，而可導的奇函數的導函數是偶函數；③可導的周期函數其導函數仍為周期函數；④并不是所有函數都有導函數．⑤導函數f′（x）與原來的函數f（x）有相同的定義域（a，b），且導函數f′（x）在x0處的函數值即為函數f（x）在點x0處的導數值．⑥區間一般指開區間，因為在其端點處不一定有增量（右端點無增量，左端點無減量）．【命題方向】常見題型包括利用極限定義導數，解決涉及導數和變化率的實際問題．已知函數y＝f（x）在x＝x0處的導數f'（x0）＝﹣1，則limΔx→0解：∵f'（x0）＝﹣1，∴limΔx→0f(x0+6．含Δx表達式的極限計算與導數的關系【知識點的認識】導數的概念：函數f（x）在x＝x0處時的瞬時變化率是函數y＝f（x）在x＝x0處的導數，記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解題方法點撥】導函數的特點：①導數的定義可變形為：f′（x）=△②可導的偶函數其導函數是奇函數，而可導的奇函數的導函數是偶函數；③可導的周期函數其導函數仍為周期函數；④并不是所有函數都有導函數．⑤導函數f′（x）與原來的函數f（x）有相同的定義域（a，b），且導函數f′（x）在x0處的函數值即為函數f（x）在點x0處的導數值．⑥區間一般指開區間，因為在其端點處不一定有增量（右端點無增量，左端點無減量）．【命題方向】常見題型包括利用極限定義導數，解決涉及導數和變化率的實際問題．已知函數f（x）在x＝x0處的導數為f′（x0），則limΔxA．2f′（x0）B．﹣2f′（x0）C．12f'(解：根據題意，limΔx→0f(x故選：C．7．導數與切線的斜率【知識點的認識】導數的幾何意義函數f（x）在x＝x0處的導數就是切線的斜率k．例如：函數f（x）在x0處的導數的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點撥】（1）利用導數求曲線的切線方程．求出y＝f（x）在x0處的導數f′（x）；利用直線方程的點斜式寫出切線方程為y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函數在x＝x0處可導，則圖象在（x0，f（x0））處一定有切線，但若函數在x＝x0處不可導，則圖象在（x0，f（x0））處也可能有切線，即若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的導數不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．【命題方向】求切線方程典例2：已知函數f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即為（﹣3，3）∴在點（﹣3，f（﹣3））處的切線過（﹣3，3）將（﹣3，3）代入選項通過排除法得到點（﹣3，3）只滿足A故選A．8．極限及其運算【知識點的認識】1．數列極限（1）數列極限的表示方法：（2）幾個常用極限：③對于任意實常數，當|a|＜1時，n→∞liman＝當|a|＝1時，若a＝1，則n→∞liman＝1；若a＝﹣1，則n→∞liman＝（﹣當|a|＞1時，n→∞lima（3）數列極限的四則運算法則：如果，那么特別地，如果C是常數，那么．（4）數列極限的應用：求無窮數列的各項和，特別地，當|q|＜1時，無窮等比數列的各項和為S=a11-q（|q（化循環小數為分數方法同上式）注：并不是每一個無窮數列都有極限．x→2．函數極限；（1）當自變量x無限趨近于常數x0（但不等于x0）時，如果函數f（x）無限趨進于一個常數a，就是說當x趨近于x0時，函數f（x）的極限為a．記作x→x0limf(x)=a或當x→x注：當x→x0時，f（x）是否存在極限與f（x）在x0處是否定義無關，因為x→x0并不要求x＝x0．（當然，f（x）在x0是否有定義也與f（x）在x0處是否存在極限無關．函數f（x）在x0有定義是x→x0如P（x）=x-1;x＞1-x+1;（2）函數極限的四則運算法則：如果，那么特別地，如果C是常數，那么．注：①各個函數的極限都應存在．②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況．（3）幾個常用極限：3．函數的連續性：（1）如果函數f（x），g（x）在某一點x＝x0連續，那么函數f（x）±g（x），f（x），g（x），f(x)g(x)（g（x）≠0（2）函數f（x）在點x＝x0處連續必須滿足三個條件：①函數f（x）在點x＝x0處有定義；②x→x0limf(x)存在；③函數f（x）在點x＝x（3）函數f（x）在點x＝x0處不連續（間斷）的判定：如果函數f（x）在點x＝x0處有下列三種情況之一時，則稱x0為函數f（x）的不連續點．①f（x）在點x＝x0處沒有定義，即f（x0）不存在；②x→x0limf(x)不存在；③9．利用導數研究函數的單調性【知識點的認識】1、導數和函數的單調性的關系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間．2、利用導數求解多項式函數單調性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計算導數f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區間，列表考察這若干個區間內f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調區間：f′（x）＞0，則f（x）在對應區間上是增函數，對應區間為增區間；f′（x）＜0，則f（x）在對應區間上是減函數，對應區間為減區間．【解題方法點撥】若在某區間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數（減函數的情形完全類似）．即在區間內f′（x）＞0是f（x）在此區間上為增函數的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導數和函數單調性的關系典例1：已知函數f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數g（x）單調遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導數和函數單調性的綜合應用典例2：已知函數f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）若函數y＝f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x（Ⅲ）求證：ln2解：（Ⅰ）f'(x當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，減區間為[1，+∞）；當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），減區間為（0，1]；當a＝0時，f（x）不是單調函數（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）＝﹣2∴g由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln10．利用導數研究函數的極值【知識點的認識】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；（2）極小值：一般地，設函數f（x）在