2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至6頁(yè)．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題）注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件互斥，那么．·如果事件相互獨(dú)立，那么．·球的體積公式，其中表示球的半徑．·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（）A. B.C D.4.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.5.若，則大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則與相交7.已知函數(shù)的最小正周期為．則函數(shù)在的最小值是（）A. B. C.0 D.8.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.9.一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體體積為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10.已知虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．11.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．12.的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____．13.五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.（1）甲選到的概率為_(kāi)_____；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為_(kāi)_____．14.在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則______；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．15.若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16.在中，．（1）求；（2）求；（3）求．17.已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面距離．18.已知橢圓橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．（1）求橢圓方程．（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．19.已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．（1）求數(shù)列前項(xiàng)和；（2）設(shè)，，其中是大于1的正整數(shù)．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．20.設(shè)函數(shù)．（1）求圖象上點(diǎn)處的切線方程；（2）若在時(shí)恒成立，求的取值范圍；（3）若，證明．

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至6頁(yè)．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題）注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件互斥，那么．·如果事件相互獨(dú)立，那么．·球的體積公式，其中表示球的半徑．·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．【1題答案】【答案】B【2題答案】【答案】C【3題答案】【答案】A【4題答案】【答案】B【5題答案】【答案】B【6題答案】【答案】C【7題答案】【答案】A【8題答案】【答案】C【9題答案】【答案】C第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．【10題答案】【答案】【11題答案】【答案】20【12題答案】【答案】##【13題答案】【答案】①.②.【14題答案】【答案】①.②.【15題答案】【答案】三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟【16題答案】【答案】（1）（2）（3）【17題答案】【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【18題答案】【答案】（1）（2）存在，使得恒成立.【19題答案】【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)詳解；②【20題答案】【答案】（1）（2）（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析參考答案2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至6頁(yè)．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題）注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件互斥，那么．·如果事件相互獨(dú)立，那么．·球的體積公式，其中表示球的半徑．·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.B2.C3.A4.B5.B6.C7.A8.C9.C第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10.11.2012.##13.①.②.14.①.②.15