專題05解析幾何解答題鞏固練習(xí)二1．（2023·全國·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為是橢圓的中心，點(diǎn)為其上的一點(diǎn)滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若在上存在一點(diǎn)，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求的范圍．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）設(shè)，在中，設(shè)，，，，，所以橢圓的方程為：（2）設(shè)，直線的方程為，，，，設(shè)，若為常數(shù)，則，即，而此時，又，即或，綜上所述，或，存在點(diǎn)，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值2．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【解析】（1）由得直線是拋物線的一條切線．所以，所以橢圓（2）

當(dāng)直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為當(dāng)直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為所以兩圓的交點(diǎn)為點(diǎn)猜想：所求的點(diǎn)為點(diǎn)．證明如下．當(dāng)直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點(diǎn)當(dāng)直線與軸不垂直時，可設(shè)直線為：由得，設(shè)，則則所以，即以為直徑的圓過點(diǎn)所以存在一個定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)．3．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析【解析】（1）依題可得，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，因為直線過點(diǎn)且斜率不為，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，其判別式，所以，.兩式相除得，即．因為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．從而．（3）由（1）知，設(shè)，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意，得的漸近線方程為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，又因為，所以，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，因為，均與的右支有兩個交點(diǎn)，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當(dāng)，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．

5．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過定點(diǎn)?若不過定點(diǎn)，請說明原因；若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意漸近線方程為，