專題十六圖形的相似與位似（講義）——中考數學一輪復習備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點相似三角形1.比例的性質☆本專題主要以選擇題、填空題和解答題的形式出現，重點考查學生利用相關定理和性質進行證明的能力，近年來更加注重利用相似解決實際問題的開放探究，體現了數形結合的核心素養2.平行線分線段成比例☆3.相似三角形的性質☆☆☆4.相似三角形的有關證明與計算☆☆☆5.相似三角形的實際應用☆☆位似6.位似☆☆講解一：比例線段一、比例線段的相關概念及性質1.線段的比：在同一長度單位下，量得的兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比.【注意】兩條線段的比，與所選的長度單位無關，但所選的長度單位必須一致，其值是一個沒有單位的正數.2.四條線段成比例：對于四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段成比例.【注意】（1）成比例線段是有順序的，即若是成比例線段，則（或），不能寫成.（2）在運用計算時，通常情況下，四條線段的長度單位要一致，但有時為了計算方便，的長度單位一致，的長度單位一致也可以.3.比例的相關性質：（1）基本性質：若，則.（2）合比性質：若，則.（3）分比性質：若，則.（4）等比性質：若，則.4.黃金分割線在線段上，點把線段分成兩條線段和（），如果，那么稱線段被點黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，與的比叫做黃金比，黃金比為，線段有兩個黃金分割點和.二、平行線分線段成比例1.平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.幾何語言：如圖，直線，直線被直線，，所截，那么，可簡記為：.【注意】（1）對應線段成比例是指同一條直線上的兩條線段的比，等于另一條直線上與它們對應的線段的比，書寫時，要把對應線段寫在對應的位置上.（2）基本事實中的“所得的對應線段”是指被截直線上的線段，與這組平行線上的線段無關.2.平行線分線段成比例的基本事實應用在三角形中的結論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.幾何語言：如圖，，或或.命題精練命題形式1比例的性質1．（2023·甘肅武威·中考真題）若，則ab=（）A．6 B． C．1 D．【答案】A解析：根據等式的性質即可得出結果．等式兩邊乘以，得，故選：A．2．（2023·四川甘孜·中考真題）若，則．【答案】1解析：根據比例的性質解答即可，，．故答案為：1．3.（2023·浙江·中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節課后，發現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．圖中橫線處應填：.【答案】解析：∵∴∴，故答案為：．命題形式2平行線分線段成比例1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形中，，反比例函數的圖象經過點A、B及的中點M，軸，與y軸交于點N．則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】本題考查反比例函數的性質，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質等知識，找到坐標之間的關系是解題的關鍵．作輔助線如圖，利用函數表達式設出、兩點的坐標，利用，是中點，找到坐標之間的關系，利用平行線分線段成比例定理即可求得結果．解析：作過作的垂線垂足為，與軸交于點，如圖，在等腰三角形ABC中，，是中點，設，，由中點為，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中點為M，∴，即，由在反比例函數上得，∴，解得：，由題可知，，∴．故選：B．2．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形1．以A為端點畫一條射線；2．用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．這一畫圖過程體現的數學依據是（）A．兩直線平行，同位角相等B．兩條平行線之間的距離處處相等C．垂直于同一條直線的兩條直線平行D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例【答案】D解析：由步驟2可得：C、D為線段AE的三等分點步驟3中過點C、D分別畫BE的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例得：M、N就是線段AB的三等分點故選：D3.（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在中，F是上一點，交于點E，的延長線交的延長線于點G，，，則的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C解析：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，設為x，∵，，∴，，∴，，∴，即，得，∴．故選：C．4.（2023·吉林·中考真題）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】利用平行線分線段成比例定理的推論得出，即可求解．解析：∵中，，∴，∵∴，故選：A．5.（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為．

【答案】解析：，，，，，，，；故答案為：.講解二：三角形相似的判定與性質一、相似圖形相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.【注意】（1）兩個圖形是否相似與圖形的大小、位置無關.（2）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到.（3）全等圖形是特殊的相似圖形，也就是說全等圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是全等圖形.二、相似多邊形1.相似多邊形：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.【注意】兩個多邊形相似，必須同時具備三個條件：（1）邊數相同；（2）角分別相等；（3）邊成比例.2.相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比.【注意】相似比的值與兩個多邊形的順序有關.例如，若四邊形與四邊形的相似比為3，則四邊形與四邊形的相似比為.3.相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例.【注意】（1）相似多邊形的對應角相等，但相等的兩個角未必是對應角，要結合圖形去觀察它們之間的對應關系.（2）相似多邊形的定義可用來判斷兩個多邊是否相似.（3）相似多邊形的性質常用來求相似多邊形未知邊的長度或未知角的度數.三、相似三角形的判定1.利用平行線判定兩個三角形相似的定理定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.幾何語言：如圖所示，，.2.利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的定理定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，,且，.【注意】應用該定理判定兩個三角形相似時，相等的角必須是成比例的兩邊的夾角.3.應用三邊判定兩個三角形相似的定理定理：三邊成比例的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，，.【注意】利用三邊成比例判定兩個三角形相似時，一定要注意邊與邊之間的對應關系，主要根據最長邊與最長邊對應，最短邊與最短邊對應的思路找對應邊.4.利用兩角判定兩個三角形相似的定理定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，,.【注意】利用此定理證明兩個三角形相似的關鍵是找相等的角.如公共角、對頂角、同角（等角）的余角（補角）、同弧所對的圓周角等都是相等的角，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件.5.直角三角形相似的判定方法①一個銳角相等的兩個直角三角形相似；②兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似；③斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似.四、相似三角形的性質1.根據三角形相似的定義可知，相似三角形的對應角相等，對應邊成比例.2.相似三角形對應線段的性質：相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.即相似三角形對應線段的比等于相似比.已知，且相似比為，由相似三角形的判定定理和相似三角形的定義可以證明對應線段的比等于相似比，具體如下表：圖形推理結論相似比相似比為對應高的比由兩角分別相等的兩個三角形相似，得，再由相似三角形的定義，得對應高的比等于相似比對應中線的比由兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，得，再由相似三角形的定義，得對應中線的比等于相似比對應角平分線的比由兩角分別相等的兩個三角形相似，得，再由相似三角形的定義，得對應角平分線的比等于相似比【注意】在應用相似三角形對應線段的性質解題時，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中線的比、角平分線的比都等于相似比，而是相似三角形中對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比等于相似比.3.相似三角形周長的比等于相似比.4.相似三角形面積的比等于相似比的平方.5.應用幾何圖形的證明與計算常見的類型是證明線段的數量關系，求線段的長度及圖形的面積等.解決實際問題常見類項是計算物體的高度和河的寬度等，基本思想是建立相似三角形模型五、相似三角形的判定思路六、相似三角形的常見模型（1）A字型——有一個公共角類別已知為公共角，為公共角，或方法判定思路①判定思路②表示（2）8字型——有一組對頂角模型已知與為對頂角，與為對頂角，或方法判定思路①判定思路②表示（3）母子型——有一個公共角且該角的一邊為公共邊模型已知為公共角，或為公共角，，方法判定思路②判定思路②或④表示或（4）一線三等角型——三個角相等且這三個角的頂點在同一條直線上模型已知方法判定思路②（根據三角形的內角和及同角的余角相等求證另一組等角）表示命題精練命題形式3相似三角形的性質1．（2024·重慶·中考真題）若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（）A． B． C． D．【答案】D解析：根據“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可．兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是，故選：D．2．（2024·重慶·中考真題）若兩個相似三角形的相似比為，則這兩個三角形面積的比是（）A． B． C． D．【答案】D解析：∵兩個相似三角形的相似比為，∴這兩個三角形面積的比是，故選：D．3.（2024·四川內江·中考真題）已知與相似，且相似比為，則與的周長比為（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵與相似，且相似比為，∴與的周長比為，故選B．4.（2024·江蘇鹽城·中考真題）兩個相似多邊形的相似比為，則它們的周長的比為．【答案】解析：∵兩個相似多邊形的相似比為，∴它們的周長的比為，故答案為：．5.（2023·江蘇泰州·中考真題）兩個相似圖形的周長比為，則面積比為．【答案】解析：兩個相似圖形，其周長之比為，其相似比為，其面積比為．故答案為：．命題形式4相似三角形的有關證明與計算1．（2024·山東德州·中考真題）如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點F，E．若，則為（）A． B． C． D．【答案】A解析：∵，設，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵平分，∴點F到、的距離相等，又點A到、的距離相等，∴，即，故選：A．2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點A在雙曲線上，連接AO并延長，交雙曲線于點B，點C為x軸上一點，且，連接，若的面積是6，則k的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C解析：過點A作軸，過點B作軸，如圖所示：∴，∴，∵點A在雙曲線上，點B在，∴∴，∴，∴，∴，∵，軸，∴，∵，∴，∴∴∴，故選：C．3.（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為．【答案】96解析：作交于點H，則，∵四邊形是邊長為10的菱形，對角線相交于點O，∴，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：96．4.（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．【答案】見解析【思路點撥】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．根據正方形的性質，得出，，進而得出，根據兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明．解析：，，，四邊形是正方形，，，，，又，．命題形式5相似三角形的實際應用1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，小杰從燈桿的底部點B處沿水平直線前進到達點C處，他在燈光下的影長米，然后他轉身按原路返回到點B處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米【答案】D【思路點撥】本題考查相似三角形的應用舉例，設回過程中小杰身高為，連接并延長交于點G，根據題意得到，證明，得到，由推出，即可得出結論．解析：設回過程中小杰身高為，連接并延長交于點G，根據題意得到，，，，，，米，，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是2.5米，故選：D．2．（2024·海南·中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱經過的中點O，與地面垂直于點M，，當蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為．【答案】80解析：過點B作交的延長線于N，

∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴另一端B離地面的高度為．故答案為：80．3.（2024·江蘇揚州·中考真題）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經小孔在屏幕（豎直放置）上成像．設，．小孔到的距離為，則小孔到的距離為．【答案】【思路點撥】此題主要考查了相似三角形的應用，由題意得，，過作于點，交于點，利用已知得出，進而利用相似三角形的性質求出即可，熟練掌握相似三角形的性質是解題關鍵．解析：由題意得：，∴，如圖，過作于點，交于點，∴，，∴，即，∴（），即小孔到的距離為，故答案為：．講解三：位似定義兩個圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行（或在同一直線上），像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.性質（1）位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離的比等于相似比；（2）位似圖形對應點的連線或延長線相交于一點；（3）位似圖形對應邊平行（或在同一條直線上）；（4）位似圖形對應角相等；（5）在平面直角坐標系中，如果原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標比等于±k